線性代數(shù) 第一章、矩陣

1、1 矩陣是線性代數(shù)的一個最基本的概念，是線性代矩陣是線性代數(shù)的一個最基本的概念，是線性代數(shù)的研究對象和重要工具，許多理論問題和實際問題數(shù)的研究對象和重要工具，許多理論問題和實際問題都可以用矩陣表示并且可以運用有關(guān)理論得到解決。都可以用矩陣表示并且可以運用有關(guān)理論得到解決。例如例如 ：學(xué)生各科考試成績，企業(yè)銷售產(chǎn)品的數(shù)量和：學(xué)生各科考試成績，企業(yè)銷售產(chǎn)品的數(shù)量和單價，超市物品配送路徑等。本章就是討論最簡單的單價，超市物品配送路徑等。本章就是討論最簡單的由數(shù)形成的矩形數(shù)表由數(shù)形成的矩形數(shù)表矩陣及其運算。矩陣及其運算。1.1 1.1 矩陣的概念矩陣的概念1.2 1.2 矩陣的運算矩陣的運算1.3 1

2、.3 可逆矩陣可逆矩陣1.4 1.4 矩陣的初等變換和初等方陣矩陣的初等變換和初等方陣第一章第一章 矩陣矩陣21 矩陣的概念矩陣的概念背景：背景： 數(shù)的發(fā)展：自然數(shù)數(shù)的發(fā)展：自然數(shù) 整數(shù)整數(shù) 有理數(shù)有理數(shù) 實數(shù)實數(shù) 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) 對于這些數(shù)一般用集合的觀點討論對于這些數(shù)一般用集合的觀點討論,通常只通常只是研究它們的一些運算法則和運算規(guī)律。例是研究它們的一些運算法則和運算規(guī)律。例如加、減、乘、除等。如加、減、乘、除等。 3下面引入一個一般的概念下面引入一個一般的概念如求方程如求方程 的根，的根，21 0 x 此方程不僅在有理數(shù)范圍內(nèi)無解，就是在實數(shù)范圍此方程不僅在有理數(shù)范圍內(nèi)無解，就是在實數(shù)范圍內(nèi)也

3、無解，只在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有解。內(nèi)也無解，只在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有解。為了在以后的討論中能把具有共同運算性質(zhì)的數(shù)集為了在以后的討論中能把具有共同運算性質(zhì)的數(shù)集統(tǒng)一處理統(tǒng)一處理在研究某些問題時，常常和所研究對象的取值范圍在研究某些問題時，常常和所研究對象的取值范圍有關(guān)。有關(guān)。4 設(shè)設(shè)F是復(fù)數(shù)集是復(fù)數(shù)集C的一個子集合，如果的一個子集合，如果F滿滿足下列兩個條件：足下列兩個條件：（1）0和和1都在都在 F 中中（2） F 中任意兩個數(shù)中任意兩個數(shù)(可以相等可以相等)的和、差、積、的和、差、積、商（除數(shù)不為零）仍然在該集合中商（除數(shù)不為零）仍然在該集合中 則稱集合則稱集合F構(gòu)成一個構(gòu)成一個數(shù)域數(shù)域定義1.1例如例如

4、: 有理數(shù)集、實數(shù)集、復(fù)數(shù)集都構(gòu)成數(shù)域。有理數(shù)集、實數(shù)集、復(fù)數(shù)集都構(gòu)成數(shù)域。 但整數(shù)集不構(gòu)成數(shù)域。但整數(shù)集不構(gòu)成數(shù)域。 5定義1.2如果一個數(shù)集如果一個數(shù)集F中任意兩個數(shù)經(jīng)過某一種運算后所得結(jié)果仍在該數(shù)集中,則稱數(shù)集F對該運算封閉.例如例如: 整數(shù)集對加法運算封閉，但對除法運整數(shù)集對加法運算封閉，但對除法運 算不封閉。算不封閉。 因此,要證明一個數(shù)集是否構(gòu)成數(shù)域只要能證明該數(shù)集中含有數(shù)0和1,并且對加、減、乘、除四種運算都封閉即可。6注意:（1）本書中涉及到的數(shù)都是指某個數(shù)域中的數(shù) 例1 設(shè) 則 是一個 數(shù)域。 3, ,Faba bQF（2）若沒有特別說明涉及到的數(shù)域一般是指實數(shù)域7引例:例例

5、1 1 設(shè)某種物資，如煤炭等，有設(shè)某種物資，如煤炭等，有 個產(chǎn)地，個產(chǎn)地， ， 個銷地，個銷地， ，如果以如果以 aij表示由第表示由第i個產(chǎn)地銷往第個產(chǎn)地銷往第 j個銷地的數(shù)量，個銷地的數(shù)量，mn12,mA AA12,nB BB1112112122221212jnjniiijinmmmjmnaaaaaaaaaaaaaaaa矩陣表示由第表示由第 個產(chǎn)地銷往第個產(chǎn)地銷往第 個銷地的數(shù)量個銷地的數(shù)量ijaij則這類物資的調(diào)運方案，可用一個則這類物資的調(diào)運方案，可用一個數(shù)表數(shù)表表示如下：表示如下：8由由mn 個數(shù)個數(shù) aij ( i = 1, 2, , m ; j = 1, 2, , n)按一按一定

6、次序定次序排成排成 m 行行 n 列的列的矩形矩形數(shù)數(shù)表表111212122212nnmmmnaaaaaaaaa稱為一個稱為一個 m 行行 n 列的列的矩陣矩陣，簡記，簡記為為 (aij)mn一般用一般用大寫字母大寫字母 A，B，表示，表示，m行行n列的矩陣列的矩陣A也也記為記為Amn，構(gòu)成矩陣，構(gòu)成矩陣A的每個數(shù)稱為矩陣的每個數(shù)稱為矩陣A的的元素元素，而而aij表示矩陣第表示矩陣第 i 行、第行、第 j 列的元素列的元素。定義1.3m nA9(1)如果矩陣如果矩陣A的元素的元素aij全為實全為實(復(fù)復(fù))數(shù)數(shù),就就稱稱A為實為實(復(fù)復(fù))矩陣。一般的，僅討論實矩陣矩陣。一般的，僅討論實矩陣。(2

7、)如果矩陣的行數(shù)等于列數(shù)如果矩陣的行數(shù)等于列數(shù) ， 則稱矩陣為則稱矩陣為 階矩陣或階矩陣或 階方陣，記做階方陣，記做m nnnnA實際上，一階矩陣就是一個數(shù)實際上，一階矩陣就是一個數(shù)。(3)若兩個矩陣行數(shù)和列數(shù)分別相等，則稱這若兩個矩陣行數(shù)和列數(shù)分別相等，則稱這兩個矩陣是兩個矩陣是同型矩陣同型矩陣，否則稱為非同型矩陣。，否則稱為非同型矩陣。(4) )若兩個矩陣不但是同型矩陣，而且對應(yīng)的元若兩個矩陣不但是同型矩陣，而且對應(yīng)的元素也相等，則稱這兩個矩陣相等。素也相等，則稱這兩個矩陣相等。注意注意：10矩陣應(yīng)用舉例：矩陣應(yīng)用舉例：例例1：把下圖中四個城市之間的航線用矩陣表示出來：把下圖中四個城市之間

8、的航線用矩陣表示出來 城市城市2城市城市3城市城市4城市城市1解解:設(shè)設(shè)1,140ijaij從城市i到城市j有一條航線（，）， 從城市i到城市j沒有航線則得到則得到鄰接矩陣鄰接矩陣40110101101000010A11例例2：把下列成績統(tǒng)計表用矩陣表示出來：把下列成績統(tǒng)計表用矩陣表示出來 姓名高數(shù) 英語 鄧論 普物張一98908772李二89908698王三97847587劉六85888588解：解： 用矩陣表示為用矩陣表示為9890877289908698978475878588858812l列矩陣：列矩陣：只有一列的矩陣只有一列的矩陣12mbbBbl零矩陣：零矩陣：元素都是零的矩陣元素都

9、是零的矩陣 記作記作O。幾種比較特殊的矩陣：有多少個？它們都相等嗎？l行矩陣：行矩陣：只有一行的矩陣只有一行的矩陣12(,)nAaaa13形如形如 的方陣的方陣11121222000nnnnaaaaaa形如形如 的方陣的方陣11212212000nnnnaaaaaa上、下三角矩陣統(tǒng)稱為上、下三角矩陣統(tǒng)稱為三角矩陣三角矩陣14l對角矩陣：對角矩陣：方陣并且除方陣并且除主對角線主對角線上的元素外其余上的元素外其余 元素全為零元素全為零通常用通常用 表示表示),(21ndiag即即 = ),(21ndiagnnn00000021例如:100(1, 2,3)020003diag 是一個三階對角矩陣15

10、l數(shù)量矩陣：數(shù)量矩陣：對角矩陣中當對角矩陣中當 時時n21例如：5000050000500005就是一個數(shù)量矩陣也就是說，數(shù)量矩陣是對角矩陣的一種特例16 特點特點:從左上角到右下角的直線從左上角到右下角的直線(主對角線主對角線)上上的元素都是的元素都是1，其他元素都是，其他元素都是0。100010001E即即l單位矩陣：單位矩陣：當數(shù)量矩陣中對角線上的常數(shù)為當數(shù)量矩陣中對角線上的常數(shù)為1，稱為單位矩陣，用字母稱為單位矩陣，用字母 或或 表示表示 nEE17如果變量如果變量y1 ,y2 ,. ,ym可由變量可由變量x1 ,x2 ,. ,xn線性表示線性表示, . ,22112222121212

11、121111nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay稱為由變量稱為由變量x1 ,x2 , . ,xn到變量到變量y1 ,y2 , . ,ym的的變換為變換為線性變換線性變換。線性變換由線性變換由 個個 元函數(shù)元函數(shù)組成，每個函數(shù)都是變量的一次冪，故而稱組成，每個函數(shù)都是變量的一次冪，故而稱之為線性變換之為線性變換。mn線性變換：線性變換：定義定義1.4即即18稱為線性變換的系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣。111212122212nnmmmnaaaaaaaaaA其中其中,由系數(shù)構(gòu)成的矩陣由系數(shù)構(gòu)成的矩陣可以看出給定一個矩陣必定對應(yīng)于一個線性變換可以看出給定一個矩陣必定對應(yīng)于一個線性變換如

12、：單位矩陣如：單位矩陣100010001nE對應(yīng)的線性變換為對應(yīng)的線性變換為1122nnyxyxyx稱為稱為恒等變換恒等變換19再如再如: 線性變換線性變換 .,222111nnnxyxyxy 對應(yīng)對應(yīng)n階系數(shù)矩陣為階系數(shù)矩陣為12000000nA是一個對角矩陣。是一個對角矩陣。也就是說，線性變換和系數(shù)矩陣是一一對應(yīng)的也就是說，線性變換和系數(shù)矩陣是一一對應(yīng)的。202 矩陣的運算矩陣的運算一一. 矩陣的加法矩陣的加法定義定義2.1 設(shè)有兩個設(shè)有兩個m n矩陣矩陣A=(aij), B=(bij),那么那么A與與B的和記為的和記為C=A+B,規(guī)定為規(guī)定為11111212112121222222112

13、2nnnnmmmmmnmnabababababababababC A B 背景背景: 矩陣之所以有用矩陣之所以有用,不在于把一組數(shù)能排成矩形不在于把一組數(shù)能排成矩形數(shù)表數(shù)表,而在于能進行有實際意義的運算。而在于能進行有實際意義的運算。21加法滿足運算規(guī)律加法滿足運算規(guī)律: (1) A+B= B + A; (交換律) (2) (A + B)+C= A +(B +C) . (結(jié)合律)特別的特別的:AAOOA=+=+) 3 (OAAAA=+=+)- ()- () 4( A是是A的負矩陣的負矩陣nmijaA)(注意注意:只有當只有當兩個矩陣同型兩個矩陣同型時時,才能進行加法運算，才能進行加法運算，其運

14、算法則就是把它們的對應(yīng)元素相加。其運算法則就是把它們的對應(yīng)元素相加。22類似的，也可以定義矩陣的減法類似的，也可以定義矩陣的減法。nmijijbaBABA=+=)-()- (-例：計算下列兩個矩陣的和與差例：計算下列兩個矩陣的和與差102110,32 1213AB解：解：012212,51213 4A BA B23二二. 數(shù)與矩陣相乘（簡稱為數(shù)乘）數(shù)與矩陣相乘（簡稱為數(shù)乘）定義定義2.2 數(shù)數(shù) 與矩陣與矩陣A的乘積記作的乘積記作 A,規(guī)定為規(guī)定為111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa 數(shù)與矩陣相乘滿足數(shù)與矩陣相乘滿足運算規(guī)律運算規(guī)律:)()(1(AA AAA )(2(BABA

15、 )()3(24例例2設(shè)43 1,205A1201 03B求 A3B解：36033 09B43 136032053 09AB 191504說明：矩陣的加法運算和數(shù)乘運算統(tǒng)稱為矩陣的說明：矩陣的加法運算和數(shù)乘運算統(tǒng)稱為矩陣的線性運算線性運算25三三. 矩陣與矩陣相乘矩陣與矩陣相乘(矩陣的乘法矩陣的乘法)引例引例 設(shè)變量設(shè)變量 到變量到變量 的線性變換為的線性變換為 變量變量 到變量到變量 的線性變換為的線性變換為那么，變量那么，變量 到變量到變量 的線性變換應(yīng)為的線性變換應(yīng)為12,t t123,x x x111 112 2221 122 2331 132 2xb tb txb tb txb tb

16、 t123,x x x12,y y111 1122133221 1222233ya xa xa xya xa xa x12,t t12,y y11111 112 21221 122 21331 132 222111 112 22221 122 22331 132 2yab tb tab tb tab tb tyab tb tab tb tab tb t26即：111 11122113 31111 12122213 322221 11222123 31121 12222223 322ya ba ba bta ba ba btya ba ba bta ba ba bt上述運算也稱為兩個線性變換的乘

17、積上述運算也稱為兩個線性變換的乘積根據(jù)線性變換與矩陣的關(guān)系，也可以理解為根據(jù)線性變換與矩陣的關(guān)系，也可以理解為111213212223aaaaaa111221223132bbbbbb矩陣矩陣與與的乘積為的乘積為27111211121311 1112 2113 3111 1212 2213 32212221222321 1122 2123 3121 1222 2223 323132bbaaaa ba ba ba ba ba bbbaaaa ba ba ba ba ba bbb按上述方法定義的矩陣乘法有實際意義。按上述方法定義的矩陣乘法有實際意義。由此推廣得到一般的定義：由此推廣得到一般的定義：？

18、28定義定義2.3 設(shè)設(shè)A=(aij)m s，B=(bij)s n ，那么規(guī)定矩陣那么規(guī)定矩陣A與與B的乘積是的乘積是C=(cij) m n,其中其中 skkjiksjisjijiijbabababac12211并把此乘積記作并把此乘積記作C=AB。 msmmisiisaaaaaaaaa212111211 snnnsjsjjbbbbbbbbb211221111 mnmjminnijijccccccccc11111129特例特例:行矩陣與列矩陣相乘行矩陣與列矩陣相乘其結(jié)果就是一個數(shù)其結(jié)果就是一個數(shù)12121 122,()ssssbba aaa ba ba bb思考：列矩陣和行矩陣相乘的結(jié)果是什么

19、？思考：列矩陣和行矩陣相乘的結(jié)果是什么？例例321 ,1AB BA 設(shè)A=(1,2,-3),B=求解：解：21,2, 3 1(1)1AB 22 461 1,2, 31 2311 23BA 30注意：注意：（）只有當前面的矩陣（左矩陣）的列數(shù)與（）只有當前面的矩陣（左矩陣）的列數(shù)與后面的矩陣（右矩陣）的行數(shù)相等時，兩個后面的矩陣（右矩陣）的行數(shù)相等時，兩個矩陣才能相乘。矩陣才能相乘。（）乘積矩陣（）乘積矩陣C=AB的行數(shù)為的行數(shù)為A的行數(shù)，列數(shù)的行數(shù)，列數(shù)為為B的列數(shù)。的列數(shù)。31例例4.線性變換的矩陣表示線性變換的矩陣表示yAx111 11221221 122221 122nnnnmmmmnn

20、ya xa xa xya xa xa xya xaxax設(shè)線性變換設(shè)線性變換，111212122212nnmmmnaaaaaaaaaA12nxxxx12myyyy，則記32設(shè)方程組為11 112211nna xa xa xb21 122222nna xa xa xb1 122mmmnnma xa xa xb例例5.線性方程組的矩陣表示線性方程組的矩陣表示其中設(shè)111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa稱為線性方程組的系數(shù)矩陣33則方程組可以表示為則方程組可以表示為：12mbbBb若令若令1112111212222212nnmmmnnmaaaxbaaaxbaaaxb簡記為AXB12

21、nxxXx34例例61 01 21 1300 51 4A 034121311121B求：求：AB和和BA。解：解：567102621710AB3235 16174624 123762BA思考思考:由本例的計算你能得到什么結(jié)論？由本例的計算你能得到什么結(jié)論？35一般地，矩陣乘法不滿足交換律，即：一般地，矩陣乘法不滿足交換律，即：ABBAm sAs nBm ss nABmns nm sBA1.如果如果 ， ，則，則 有意義，當有意義，當 時，時， 無意義無意義。2.即使即使 ， ，則，則 是是m階方陣，而階方陣，而 是是n階方陣；階方陣；m nAn mBm nn mABn mm nBA3.3.如果

22、如果 ， 都是都是n階方陣，階方陣， 如如：AB注意注意36例例 7 設(shè)設(shè)1111A1111B則則00,00AB22,22BA特別的，當AB=BA時，則稱A與與B可交換可交換。.BAAB 故故由例由例7可知兩個非零矩陣的乘積可能是零矩陣可知兩個非零矩陣的乘積可能是零矩陣。同樣不滿足交換律同樣不滿足交換律37則55,1010ABAC,.AOBC但且例例8 設(shè)1321B7112C1224A由例由例8可知矩陣乘法一般不滿足消去律?？芍仃嚦朔ㄒ话悴粷M足消去律。38數(shù)的運算與矩陣運算的比較：數(shù)的運算與矩陣運算的比較：在數(shù)的乘法中，若 ab = 0 a = 0 或 b = 0兩個非零矩陣乘積可能為O。在

23、矩陣乘法中,若 AB = O A = O 或 B = O在矩陣乘法中, 若 AC = AD, 且 A O C = D 在數(shù)的乘法中，若 ac = ad，且 a 0 c = d (消去律成立) (消去律不成立)39矩陣的乘法滿足如下的運算律矩陣的乘法滿足如下的運算律：(1)()()AB CA BC結(jié)合律CABAACBACABCBA )( )() 2(右右分分配配律律左左分分配配律律BAAB)()() 3( 對于單位矩陣，有對于單位矩陣，有nmnnmnmnmmAEAAAE ,單位矩陣與任何矩陣可交換簡記為簡記為:AEEAA40例例10利用矩陣的運算計算第一節(jié)例利用矩陣的運算計算第一節(jié)例2中中4個學(xué)

24、個學(xué)生每人的總成績和各學(xué)科平均成績生每人的總成績和各學(xué)科平均成績解：解：每人的總成績的矩陣表示式每人的總成績的矩陣表示式989087728990869897847587858885881111 347363=34334698908772899086989784758785888588各學(xué)科平均成績的矩陣表示式各學(xué)科平均成績的矩陣表示式1 1 1 1，1492.2588=83.2586.2541為方陣為方陣A的的n次冪次冪。一般稱一般稱nnAAAA 規(guī)定規(guī)定：EA 0設(shè)設(shè)k，l為正整數(shù)為正整數(shù)，判斷下列各式是否正確？下列各式是否正確？,klk lA AA(),klklAA()kkkABA B。

25、矩陣乘法中的特例：方陣的冪矩陣乘法中的特例：方陣的冪思考：（思考：（1）兩個對角矩陣的乘積如何計算？）兩個對角矩陣的乘積如何計算？ （2）對角矩陣的冪如何計算？）對角矩陣的冪如何計算？ （3）單位矩陣的冪又如何？）單位矩陣的冪又如何？42例例1：用矩陣表示課本第：用矩陣表示課本第2頁圖頁圖1，1中，從第中，從第i個個城市經(jīng)過一次中轉(zhuǎn)到第城市經(jīng)過一次中轉(zhuǎn)到第j個城市的單向航線。個城市的單向航線。解：由于四個城市之間的單向航線可用下列矩陣表示解：由于四個城市之間的單向航線可用下列矩陣表示0111100001001010A利用矩陣的乘法可知，下列矩陣即為所求利用矩陣的乘法可知，下列矩陣即為所求221

26、10011110000211A43242(),2,42ijijbbi 設(shè)A則 表示從第個城市經(jīng)一次中轉(zhuǎn)到第j個城市 的單向航線數(shù)如：b表示從第 個城市經(jīng)過一次中轉(zhuǎn)到第 個城市 有2條單向航線 分別為412，432。思考思考：上述問題中若要表示從第：上述問題中若要表示從第i個城市能直接或經(jīng)個城市能直接或經(jīng)一一 次中轉(zhuǎn)到第次中轉(zhuǎn)到第j個城市的單向航線，該用什么樣的矩個城市的單向航線，該用什么樣的矩陣？陣？（答案：（答案： ）2AA44思考題：1.判斷：設(shè)A，E都是n階方陣，則2.求所有與矩陣A可交換的矩陣，其中3.設(shè)A，B都是n階方陣,(A+B)2展開式如何?1 1001 1001A2()()AE

27、OAEAEOAEAE 或 45練習(xí)題練習(xí)題2.,1021nANnA求求設(shè)設(shè)121111.1,32344AB 求求10()BA46四、矩陣的轉(zhuǎn)置四、矩陣的轉(zhuǎn)置滿足運算律：滿足運算律：(1)()TTAA (2)()TTTABAB(3)()TTAA (4)(),()()TTTn TTnABB AAA定義定義 把矩陣把矩陣A的行換成同序數(shù)的列的行換成同序數(shù)的列,得到的新矩陣得到的新矩陣稱為稱為A的的轉(zhuǎn)置矩陣轉(zhuǎn)置矩陣,記作記作 或或 。 TAA111212122212nnmmmnaaaaaaaaaA1121112222T12mmnnmnaaaaaaaaaA行列互換1221()TTTTnnA AAAA A

28、 47(),(),(),()ijm sijs nTTijm nijn mAaBbABCcB ADd設(shè)記有有1sjijkkikca b121211(,)jssjijiisikijkjkkikkjsaadb bbb aa ba所以所以), 2 , 1;, 2 , 1(mjnicdjiij ,()TTTTCDABB A即即或或證明：4）48(1) 若方陣A滿足 AT = A，即 aji = aij，則稱A為對稱矩陣對稱矩陣。(2) 若方陣A滿足 AT = A，即 aji = aij，則稱A為反對稱矩陣反對稱矩陣。這時 aii = 0 ( i = 1, 2, n)對稱矩陣的特點對稱矩陣的特點是是: 它

29、的元素以主對角線為對稱軸對應(yīng)相等它的元素以主對角線為對稱軸對應(yīng)相等 。反對稱矩陣的特點反對稱矩陣的特點是是: 以主對角線為對稱軸的對應(yīng)元素絕對值以主對角線為對稱軸的對應(yīng)元素絕對值相等相等,符號相反符號相反,且主對角線上各元素均為且主對角線上各元素均為0 。49例例8設(shè)11 2,201A21 0113421B，求 (AB)T。解法一：解法一：21 011 2113201421AB92180198()201 1TAB50解法二(AB)T = BT AT214121 121 003 121 98201 151例例9 9 設(shè)列矩陣設(shè)列矩陣 滿足滿足 12,TnXx xx1,TX X .,2,EHHHX

30、XEHnETT 且且陣陣是對稱矩是對稱矩證明證明階單位矩陣階單位矩陣為為證明證明2TTTHEXX2TTTEXX2,TEXXH.是對稱矩陣是對稱矩陣H2HHHT 22TXXE TTTXXXXXXE44 TTTXXXXXXE44 TTXXXXE44 .E 52思考題思考題: 證明證明: 任一任一 階矩陣階矩陣 都可表示成對稱陣都可表示成對稱陣與反對稱陣之和與反對稱陣之和.nA證明證明TAAC 設(shè)設(shè) TTTAAC 則則AAT ,C 所以所以C為對稱矩陣為對稱矩陣.,TAAB 設(shè)設(shè) TTTAAB 則則AAT ,B 所以所以B為反對稱矩陣為反對稱矩陣.22TTAAAAA 22CB。53練習(xí)題 證明:若A

31、為（實）對稱矩陣，且2AOAO，則。54定義定義 將矩陣將矩陣A用若干條縱線和橫線分成許多個小用若干條縱線和橫線分成許多個小矩陣矩陣,每個小矩陣稱為每個小矩陣稱為A的子塊的子塊,以子塊為元素的矩陣以子塊為元素的矩陣稱為稱為分塊矩陣分塊矩陣。 111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa列舉三種分塊形式：列舉三種分塊形式：111213142122232431323334(1)aaaaaaaaaaaa11122122AAAAA五、矩陣的分塊五、矩陣的分塊對行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣經(jīng)常采用分塊法來簡化計算，盡量分出一些單位矩陣和零矩陣55111213142122232431

32、323334(2)aaaaaaaaaaaa111213142122232431323334(3)aaaaaaaaaaaa111212122212,rrsssrAAAAAAAAAA同一列的子塊的列數(shù)相同；同一行的子塊的行數(shù)相同。56 ,4321AAAA bbaaA110101000001 0101aA其中其中 1012aA 1003bA bA1004（按列分塊）（按列分塊）,4321 AAAA bbaaA110101000001 0011aA 其中其中 0002aA 1013bA bA1104 （按行分塊）（按行分塊）兩種特殊的分塊方式：兩種特殊的分塊方式：57分塊矩陣的運算法則分塊矩陣的運算法

33、則: :(1)(1)矩陣矩陣A與與B為同型矩陣為同型矩陣,采用同樣的分塊法采用同樣的分塊法,有有 111211112121222212221212,rrrrsssrsssrAAABBBAAABBBABAAABBB111112121121212222221122rrrrsssssrsrABABABABABABA BABABAB注： 也是同型矩陣。當然，對加法而言，分塊法意義不大。ijijAB與58(2)數(shù)乘： 設(shè) ， 是數(shù)，則1111rssrAAAAA1111rssrAAAAA59(3) A為為m l 矩陣矩陣,B為為l n 矩陣矩陣,將將A,B分成分成 11111111,trsstttrs t

34、t rAABBABAABB其中其中Ai1,Ai2,Ait的列數(shù)分別等于的列數(shù)分別等于B1j,B2j,Btj的行數(shù)的行數(shù),則有則有 1111rssrs rCCABCC1(1,2,., ;1,2,., )tijikkjkCA Bis jr其中60注：矩陣的分塊乘法能夠進行，則應(yīng)有前一(左)矩陣的列數(shù)=后一(右)矩陣的行數(shù)；前一矩陣的列塊數(shù)=后一矩陣的行塊數(shù)；前一矩陣的每一個列塊的列數(shù)=后一矩陣的對應(yīng)的行塊的行數(shù)簡單的說，前一矩陣的列分法與后一矩陣的行分法一致一致。61 ，將A,B分別按照行和列分塊用分塊矩陣的乘法去理解矩陣乘法()()ijm sijs nAaBb，1212()TTnTmAB，則：1

35、11212122212()TTTnTTTnijm nTTTmmmnABc 其中，1sTijijikkjkca b 621000101001001201,1210104111011120AB例例10求求AB.解解 A,B分塊成分塊成 110000010012101101EAAE112122101 0120 1104 111 2 0BEBBB63111112122111211220EBEBEABAEBBABBAB 11422101204311012101112121111BBA 133302141121221BA1010120124331131AB64(4)設(shè)設(shè)111212122212rrsssr

36、AAAAAAAAAA則則112111222212ssrrsrAAAAAAAAAA(5)設(shè)設(shè)n階方陣階方陣A的分塊矩陣為的分塊矩陣為 12mAAAA除主對角線上的子塊不為零子塊外除主對角線上的子塊不為零子塊外,其余子塊都為其余子塊都為零矩陣零矩陣,且且Ai(i=1,2,m)為方陣為方陣,則則A稱為稱為分塊對角矩分塊對角矩陣陣(或或準對角矩陣準對角矩陣). 怎么樣就成為對角矩陣？65例如：例如：321AAA00為準對角矩陣。32000014000000600000051000021100001266 在矩陣理論的研究中在矩陣理論的研究中, ,矩陣的分塊是一種最矩陣的分塊是一種最基本基本, ,最重要

37、的計算技巧與方法最重要的計算技巧與方法. .(1) 加法加法采采用用相相同同的的分分塊塊法法同同型型矩矩陣陣 ,(2) 數(shù)乘數(shù)乘的每個子塊的每個子塊乘乘需需乘矩陣乘矩陣數(shù)數(shù)AkAk,(3) 乘法乘法,ABAB若若 與與 相相乘乘 需需 的的列列的的劃劃分分與與 的的行行的的劃劃分分一一致致 分塊矩陣之間的運算分塊矩陣之間的運算: :分塊矩陣之間與一般矩陣之間的運算性質(zhì)類似分塊矩陣之間與一般矩陣之間的運算性質(zhì)類似(4) 轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置 srAAA11rA11sATsA1TrA1 TsrTTAAA11673 可逆矩陣可逆矩陣( (方陣方陣) ) 背景：背景：在矩陣的運算中沒有除法。從乘法的角度看，在矩陣

38、的運算中沒有除法。從乘法的角度看，n階單位矩陣階單位矩陣E在在n階方陣乘法中階方陣乘法中的地位的地位與數(shù)與數(shù)1 1在數(shù)的在數(shù)的乘法中的地位類似，因此可以把數(shù)中的倒數(shù)關(guān)系延乘法中的地位類似，因此可以把數(shù)中的倒數(shù)關(guān)系延拓到矩陣中。拓到矩陣中。定義定義3.13.1 對于對于n階方陣階方陣A, ,如果存在一個如果存在一個n階方陣階方陣B，滿足滿足AB=BA=E，則稱方陣，則稱方陣A可逆，且把方陣可逆，且把方陣B稱為稱為A的逆矩陣。記作的逆矩陣。記作 1BA顯然，只有方陣才可能有逆矩陣；如果顯然，只有方陣才可能有逆矩陣；如果B是是A的逆的逆矩陣，則矩陣，則A是是B的逆矩陣；的逆矩陣；實際上，只需滿足實際

39、上，只需滿足AB= E或 BA=E即可（后面有證）。即可（后面有證）。68例例1 設(shè)設(shè),21212121,1111 BA,EBAAB .的一個逆矩陣的一個逆矩陣是是AB性質(zhì)性質(zhì)1 1 如果如果A是可逆的是可逆的,則則A的逆矩陣唯一的逆矩陣唯一 。證證:設(shè)設(shè)B,C都是都是A的逆矩陣的逆矩陣,則一定有則一定有逆矩陣的性質(zhì)逆矩陣的性質(zhì)B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C.694,A BAB性質(zhì)若為同階方陣且均可逆 則亦可逆 且 1111 ABBAABAB1 AEA,1EAA .111 ABAB證明證明 1ABB1 1 A3,0, AkkA性質(zhì)若 可逆 數(shù)則可逆 且 .111 AkkA1112,

40、.AAAA性質(zhì)若 可逆 則亦可逆 且 .1212 AA推推廣廣1AmA1 mA1 1A70 TTTAAAA11 TE ,E .11TTAA 01,.kkAAEAA另外 當 可逆時 定義證明證明 為正整數(shù)為正整數(shù)k115,.TTTAAAA性質(zhì)若 可逆 則亦可逆 且71性質(zhì)性質(zhì)6 設(shè)設(shè) ，則，則，120na aa 112naaa 112naaa 12111naaa 11111nnaaa 72性質(zhì)性質(zhì)7 設(shè)設(shè)M是一準對角矩陣，是一準對角矩陣， 都是可逆矩陣，都是可逆矩陣，則則M也是可逆矩陣，且也是可逆矩陣，且12sAAMA (1,2, )iA is 111121sAAMA 類似的，類似的，11112

41、111sssAAAAAA 73性質(zhì)性質(zhì)8 8 設(shè)設(shè)A, ,B, ,C都是都是n階矩陣，且階矩陣，且A,B均可逆，均可逆，則則11111ACAA CBOBOB 性質(zhì)性質(zhì)9 9 設(shè)設(shè)A, ,B, ,D都是都是n階矩陣，且階矩陣，且A,B均可逆，均可逆，則則11111A OAODBB DAB 74例例 2 2 設(shè)設(shè),0112 A.A求 的逆矩陣解解:設(shè)設(shè) 是是 的逆矩陣的逆矩陣, dcbaBA則則 dcbaAB0112 1001221 00 1a cb dab 利用待定系數(shù)法利用待定系數(shù)法(以后還有其它方法以后還有其它方法) , 1, 0, 02, 12badbca . 2, 1, 1, 0dcba

42、75又因為又因為 0112 2110 0112 2110,1001 所以所以.21101 AABAB76證證明明, 022 EAA由由 EEAA2 得得()2AEAE.,2,:, 022并求它們的逆矩陣并求它們的逆矩陣都可逆都可逆證明證明滿足方程滿足方程設(shè)方陣設(shè)方陣EAAEAAA 例例3 3.可可逆逆故故A .211EAA 77022 EAA又由又由 0432 EEAEA EEAEA 3412.EA可可逆逆故故2 EAEA34121 且且.43AE 12 EA類似的， ？類似于因式分解。1(4 )AE思考：是否還有別的方法？思考：是否還有別的方法？78例例4設(shè)A，B，A+B，A-1+B-1都可

43、逆，證明： (A-1+B-1)-1=B(A+B)-1A79500031 ,021A求求A-1 .例例5 設(shè)設(shè)解解11112231111(5),;,21235AAAA1250000310021AAA11005011 .023A80定義定義1 對矩陣的行施行下列三種變換稱為矩陣的對矩陣的行施行下列三種變換稱為矩陣的初等行變換初等行變換(1) 互換兩行互換兩行 的位置的位置 ( 記作記作 ri rj );(2) 以不為以不為0的數(shù)的數(shù) k 乘以某一行乘以某一行 ( 記作記作 k ri );(3) 將某一行的元素乘以數(shù)將某一行的元素乘以數(shù)k后加到另一后加到另一行行的對應(yīng)的對應(yīng)元素上去元素上去 (記作記

44、作 ri + k rj )。相應(yīng)地，對矩陣的列可以定義矩陣的初等列變換初等列變換 記號只需將 r 換成換成 c即可即可。矩陣的初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的矩陣的初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等初等變換變換4 矩陣的初等變換和初等方陣81矩陣的等價關(guān)系滿足的性質(zhì)：矩陣的等價關(guān)系滿足的性質(zhì)：(1) 自反性自反性：；A A(2) 對稱性對稱性：若，則；BAAB(3) 傳遞性傳遞性：若，則；A B B CA C記做記做AB定義定義2 若矩陣若矩陣經(jīng)過若干次初等變換得到矩陣經(jīng)過若干次初等變換得到矩陣則稱矩陣則稱矩陣與矩陣與矩陣等價等價ABAB82定義定義3滿足下列特點的矩陣稱為滿足下列特點的

45、矩陣稱為行階梯形矩陣行階梯形矩陣（1）矩陣中可畫出一條階梯線，階梯線下方元素全為零）矩陣中可畫出一條階梯線，階梯線下方元素全為零（2）每個階梯只有一行，且階梯線的豎線后面第一個）每個階梯只有一行，且階梯線的豎線后面第一個元素非零元素非零其中，元素全部為零的行稱為其中，元素全部為零的行稱為零行零行，否則稱為，否則稱為非零行。非零行。定理定理：任何矩陣都可以通過單純的初等行變換化成行：任何矩陣都可以通過單純的初等行變換化成行階梯形矩陣。階梯形矩陣。例如：例如：120400510000A就是一個行階梯形矩陣就是一個行階梯形矩陣83 例如例如： 對下列矩陣施行初等行變換化為行階梯形對下列矩陣施行初等行

46、變換化為行階梯形21312rrrr012140243501267B01214000530005332rr012140005300000目前，已經(jīng)化為行階梯形矩陣了。下面繼續(xù)進行初目前，已經(jīng)化為行階梯形矩陣了。下面繼續(xù)進行初等行變換。等行變換。84215r0 1 21430 0 0150 0 00012rr170120530001500000觀察上述行階梯形矩陣，滿足觀察上述行階梯形矩陣，滿足（1）非零行的第一個非零元素都是）非零行的第一個非零元素都是1（2）每個非零行的第一個非零元素所在列的其）每個非零行的第一個非零元素所在列的其他元素都是零。他元素都是零。滿足這兩個特點的行階梯形矩陣稱為滿足

47、這兩個特點的行階梯形矩陣稱為行最簡形矩陣行最簡形矩陣可知，可知，任何矩陣都可以通過單純的初等行變換化成行任何矩陣都可以通過單純的初等行變換化成行最簡形矩陣。最簡形矩陣。85定義定義 由單位矩陣由單位矩陣 E 經(jīng)過經(jīng)過一次一次初等變換得到的矩陣初等變換得到的矩陣稱為稱為初等初等方方陣陣。 矩陣的初等變換是矩陣的一種基本運算，應(yīng)矩陣的初等變換是矩陣的一種基本運算，應(yīng)用非常廣泛用非常廣泛.三種初等變換對應(yīng)著三種初等方陣三種初等變換對應(yīng)著三種初等方陣. 行（列）上去行（列）上去乘某行（列）加到另一乘某行（列）加到另一以數(shù)以數(shù)乘某行或某列；乘某行或某列；以數(shù)以數(shù)對調(diào)兩行或兩列；對調(diào)兩行或兩列；kk. 3

48、0. 2. 186110111011ijijrrnccE 或記作第第 i 行行第第j行行( , )E i j(1)87111111iikrncEk或k記作(2)第第 i 行行( )Eik88(3)1111k第第 i 行行第第 j 行行ijjirkrnkcE或或c cE( i+ j (k)記作89關(guān)于初等方陣有下列結(jié)論關(guān)于初等方陣有下列結(jié)論: E(i,j)-1E(i,j)E(i(k)-1=E(i(1/k),E(i+j(k)-1=E(i+j(-k) 注注:上述結(jié)論可以利用逆矩陣的定義證明上述結(jié)論可以利用逆矩陣的定義證明初等方陣都是可逆矩陣初等方陣都是可逆矩陣,并且它們的逆矩陣仍然是并且它們的逆矩陣

49、仍然是初等方陣初等方陣.其逆矩陣分別是其逆矩陣分別是:90 111212122231323111221223132111213212223313233110010000110201000110030010100nnnaaakaaaaaakaaaaaabbbbbbbbbk例計算并觀察初等方陣的作用其中 nnnaaakakakaaaa332312222111211 3231222132123111aaaakaakaa 323331222321121311bbbbbbbbb91定理定理1對對A施行一次施行一次初等行變換初等行變換，相當于在，相當于在A的的左側(cè)乘以左側(cè)乘以一個相應(yīng)的一個相應(yīng)的m階階初等

50、矩陣初等矩陣；對對A施行一次施行一次初等列變換初等列變換，相當于在，相當于在A的的右側(cè)乘以右側(cè)乘以一個相應(yīng)的一個相應(yīng)的n階階初等矩陣初等矩陣；設(shè)設(shè)A是一個是一個 m n 矩陣矩陣矩陣乘法與矩陣的初等變換的關(guān)系92r1 r2343332311413121124232221aaaaaaaaaaaaE(1, 2) A343332311413121124232221aaaaaaaaaaaa100001010343332312423222114131211aaaaaaaaaaaa343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaA例如：例如：93定理定理2: 任意一個任意一個m n矩陣都可以經(jīng)過若干次初等行矩陣都可以經(jīng)過若干次初等行變換和若干次初等列變換化為如下形狀的矩陣：變換和若干次初等列變換化為如下形狀的矩陣：()()() ()rrn rm rrm rn rEOOO1212stPPPQQQ即即存存在在初初等等矩矩陣陣， ， ，和和， ，使使 0002112rtsEQQAQPPP稱為A的初等標準形其中其中，),min(nmr rEOPAQOO推論推論: 設(shè)設(shè)A是一個是一個m n階矩階矩陣，則一定存在陣，則一定存在m階可逆矩陣階可逆矩陣