D86多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1D86多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用已知平面光滑曲線)(xfy ),(00yx切線方程0yy 法線方程0yy 若平面光滑曲線方程為, 0),(yxF),(),(ddyxFyxFxyyx故在點),(00yx切線方程法線方程)(0yy ),(00yxFy)(),(000 xxyxFx0)(00 xxxf)()(100 xxxf在點可導(dǎo)，則有有因 0)(),(000yyyxFx),(00yxFy)(0 xx 第1頁/共25頁過點 M 與切線垂直的平面稱為曲線在該點的法法位置.TM空間光滑曲線在點 M 處的切線切線為此點處割線的極限平面平面.MM第2頁/共25頁)(, )(,

2、 )(:tztytxzzzyyyxxx000得令, 0t切線方程切線方程000zzyyxx000(,)M xx yy zz )(0t)(0t)(0tTMM:的方程割線MM( ),( ),( )ttt設(shè)可導(dǎo)0000(,)ttM xyz對應(yīng)ttt0ttt對應(yīng)第3頁/共25頁)(00 xxt此處要求)(, )(, )(000ttt也是法平面的法向量,切線的方向向量:稱為曲線的切向量切向量 .)( )(00yyt0)(00zzt如個別為0, 則理解為分子為 0 .M不全為0, )(, )(, )(000tttTT因此得法平面方程法平面方程 T000zzyyxx)(0t)(0t)(0t第4頁/共25頁求

3、圓柱螺旋線 kzRyRx,sin,cos2 對應(yīng)點處的切線方程和法平面方程.2 切線方程 Rx法平面方程xR220R xk zk即200k xRzRkyR即解解:,sinRx0Ry 2zkk,cosRy , kz 02(0,)MRk對應(yīng)的切向量為2()0k zk在),0,(kRT, 切點時,第5頁/共25頁光滑曲線0),(0),(:zyxGzyxF當(dāng)0),(),(zyGFJ)()(xzxy則曲線上一點),(000zyxM 可表示為處的切向量為 001,(),()Txx時, 切線方程切線方程00000 1()()xxyyzzxy0()xx法平面方程法平面方程00()()xyy00()()0 xz

4、z第6頁/共25頁0,6222zyxzyx在點M ( 1,2, 1) 處的切線方程與法平面方程. xxzzxyydddd解解:1ddddxzxy1111ddzyxyxz11ddzyxy曲線在點 M(1,2, 1) 處的切向量:解得11zx,zyxzzyyx)1,0, 1 (MMxzxyTdd,dd,1方程組兩邊對 x 求導(dǎo)得第7頁/共25頁切線方程121zyx即0202yzx法平面方程0) 1() 1()2(0) 1(1zyx即0 zx點 M (1,2, 1) 處的切向量011)1,0, 1(T第8頁/共25頁:( , , )0F x y z 設(shè) 有光滑曲面通過其上定點),(000zyxM0t

5、t 設(shè)對應(yīng)點 M,)(, )(, )(000ttt切線方程為)()()(000000tzztyytxx不全為0 . 則 在, )(, )(, )(:tztytx且點 M 的切向量切向量為任意任意引一條光滑曲線MT下面證明:此平面稱為 在該點的切平面切平面. 上過點 M 的任何曲線在該點的切線都在同一平面上. )(, )(, )(000tttT第9頁/共25頁在 上, 0),(:zyxFMT( )( )( )0 xyzFtFtFt)(, )(, )(:tztytx0) )(, )(, )(tttF,0Mtt對應(yīng)點注意 得)(, )(, )(000tttT),(, ),(, ),(00000000

6、0zyxFzyxFzyxFnzyx令nT 切向量由于曲線 的任意性 , 表明這些切線都在以為法向量n的平面上 , 從而切平面存在 .n兩邊對 t 求導(dǎo)0tt令)(0t0),(000zyxFz)(0t),(000zyxFy)(0t),(000zyxFx第10頁/共25頁MT)( ),(0000 xxzyxFx法線方法線方程程 000zzyyxx)( ),(0000yyzyxFy0)(,(0000zzzyxFz),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFzn),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx曲面 在點 的0),(:zyxF),(000z

7、yxM法向量法向量第11頁/共25頁)( ),(000 xxyxfx曲面時, ),(yxfz zyxfzyxF),(),(則在點 處,( , , )x y z故當(dāng)函數(shù) ),(yxf),(00yx1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx法線方程法線方程,yyfF 1zF令有在點),(000zyx在點有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時, )( ),(000yyyxfy0zz,xxfF 切平面方程切平面方程第12頁/共25頁,法向量法向量用2211cosyxff表示法向量的方向角, 并假定法向量方向.為銳角則22cos,1xxyfff 向上,(, 1)xynff 22cos,1yxyfff 第13頁/共

8、25頁3632222zyx在點(1 , 2 , 3) 處的切平面及法線方程. 解解:3632),(222zyxzyxF所以橢球面在點 (1 , 2 , 3) 處:切平面方程切平面方程 (1)x 03694zyx即法線方程法線方程321zyx4(2)y9(3)0z149法向量令(2 , 4 , 6 )nxyz(1, 2,3)2(1, 4,9)n第14頁/共25頁zyx222zyx在點),(000zyxM解解:兩曲面在點 M 相切,000000000y zx zx yxyz202020zyx又點 M 在球面上,32202020azyx故于是有000zyx2(0)aa相切.333a與球面, ),(0

9、000001yxzxzyn ),(0002zyxn 21/nn, 因此有兩曲面在 M 點的法向量分別為第15頁/共25頁 ,xyzxyzMTF FFG GG空間光滑曲線0),(0),(:zyxGzyxF在點M 處的切向量三、三、 切向量與法向量的關(guān)系切向量與法向量的關(guān)系,xyzMTG G G,xyzMTF FF且故第16頁/共25頁0453203222zyxxzyx在點(1,1,1) 的切線解解:)2,2, 1(因此切線的方向向量為)1,9,16(由此得切線方程:111zyx1691法平面方程:0) 1() 1(9) 1(16zyx024916zyx即與法平面.)1 , 1 , 1 (1)2,

10、2,32(zyxn)5,3,2(2n12Tnn點 (1,1,1) 處兩曲面的法向量為第17頁/共25頁1 空間曲線的切線與法平空間曲線的切線與法平面面 切線方程切線方程 000zzyyxx法平面方程法平面方程)(00 xxt(1) 參數(shù)式情況:)()()(:tztytx空間光滑曲線切向量切向量)(0t)(0t)(0t)( )(00yyt0)(00zzt)(, )(, )(000tttT第18頁/共25頁切線方程切線方程法平面方程法平面方程000dd1ddxxyyzzyzxx空間光滑曲線0),(0),(:zyxGzyxF切向量切向量000dd()()()0ddMMyzxxyyzzxxdd1,dd

11、MyzTxx或或 ,xyzxyzMTF FFG GG第19頁/共25頁空間光滑曲面0),(:zyxF曲面 在點法線方程法線方程),(0000zyxFxxx),(0000zyxFyyy),(0000zyxFzzz)( ),()( ),(00000000yyzyxFxxzyxFyx(1) 隱式情況 :的法向量法向量),(000zyxM0)(,(0000zzzyxFz切平面方程切平面方程),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx第20頁/共25頁空間光滑曲面),(:yxfz )( ),()( ),(0000000yyyxfxxyxfzzyx切平面方程切平面方程法線方程法線方程1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx,1cos,1cos2222yxyyxxffffff法線的方向余弦方向余弦2211cosyxff法向量法向量) 1 ,(yxffn第21頁/共25頁1 如果平面01633zyx與橢球面相切,提示提示:, ),(000zyxM則223yx .求000226zyx3301633000zyx163202020zyx2162 z(二法向量平行) (切點在平面上)(切點在橢球面上)設(shè)切點為第22頁/共25頁證明 曲面)(xyfxz 上任一點處的切平面都通過原點.提示提示:, ),(000zyxM則通過此0zz)(0