D110閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)76009PPT學(xué)習教案

1、會計學(xué)1D110閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)76009閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù):( )( , )f xa b在上連續(xù)，ab在 點右連續(xù)，在 點左連續(xù).回顧：第1頁/共23頁一、最大值和最小值定理定義:.)()()()()()()(,),(0000值值小小上的最大上的最大在區(qū)間在區(qū)間是函數(shù)是函數(shù)則稱則稱都有都有使得對于任一使得對于任一如果有如果有上有定義的函數(shù)上有定義的函數(shù)對于在區(qū)間對于在區(qū)間IxfxfxfxfxfxfIxIxxfI 例如,sin1xy ,2 , 0上上在在 , 2max y; 0min y,sgn xy ,),(上上在在, 1max y; 1min y,), 0(上上

2、在在. 1minmax yy( )( , )yf xxa b 在內(nèi)既無最大值也無最小值。第2頁/共23頁定理1(最大值和最小值定理) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界且一定能取得其最大值和最小值.).()(),()(,)(2121xffxffbaxbabaCxf 有有使得使得則則若若xyo)(xfy ab2 1 注意:1.若區(qū)間是開區(qū)間, 定理不一定成立; 2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點, 定理不一定成立.第3頁/共23頁xxf1)( xyOxytan2xyo21, 01,( )1, 1,3, 12.xxyf xxxx xyo)(xfy 211第4頁/共23頁二、零點定理與介值定理定義:.)(, 0)

3、(000的零點的零點稱為函數(shù)稱為函數(shù)則則使使如果如果xfxxfx 定理定理 3(3(零點定理零點定理) ) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 ba,上連續(xù)，且上連續(xù)，且)(af與與)(bf異號異號( (即即0)()( bfaf),),那末在開區(qū)間那末在開區(qū)間 ba,內(nèi)至少有函數(shù)內(nèi)至少有函數(shù))(xf的一個零的一個零點點, ,即至少有一點即至少有一點 )(ba ，使，使0)( f. .),(0)(內(nèi)至少存在一個實根內(nèi)至少存在一個實根在在即方程即方程baxf 第5頁/共23頁幾何解釋:.,)(軸至少有一個交點軸至少有一個交點線弧與線弧與則曲則曲軸的不同側(cè)軸的不同側(cè)端點位于端點位于的兩個的兩個連續(xù)

4、曲線弧連續(xù)曲線弧xxxfy xyo)(xfy ab1 2 3 定理定理 4(4(介值定理介值定理) ) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 ba, 上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點取不同的函數(shù)值上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點取不同的函數(shù)值 Aaf )( 及及 Bbf )(, , 那末，對于那末，對于A與與B之間的任意一個數(shù)之間的任意一個數(shù)C，在開區(qū)間，在開區(qū)間 ba,內(nèi)至少有一點內(nèi)至少有一點 ，使得，使得Cf )( )(ba . . 第6頁/共23頁證,)()(Cxfx 設(shè)設(shè),)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則bax Cafa )()( 且且,CA Cbfb )()( ,CB , 0)()( ba 由零點定理,使使

5、),(ba , 0)( , 0)()( Cf 即即.)(Cf xyo)(xfy abABMm1x2xC1 2 3 幾何解釋:.)(至少有一個交點至少有一個交點直線直線與水平與水平連續(xù)曲線弧連續(xù)曲線弧Cyxfy 第7頁/共23頁例1.)1 , 0(01423至少有一根至少有一根內(nèi)內(nèi)在區(qū)間在區(qū)間證明方程證明方程 xx證, 14)(23 xxxf令令,1 , 0)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則xf, 01)0( f又又, 02)1( f由零點定理,使使),(ba , 0)( f, 01423 即即推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值 與最小值 之間的任何值.Mm.)1 , 0(01423 內(nèi)至少有一根

6、內(nèi)至少有一根在在方程方程 xx第8頁/共23頁01423 xx一個根 .證: 顯然, 1 ,014)(23Cxxxf又,01)0(f02) 1 (f故據(jù)零點定理, 至少存在一點, ) 1 ,0(使,0)(f即01423說明:,21x,0)(8121f內(nèi)必有方程的根 ;) 1 ,(21取 1 ,21的中點,43x,0)(43f內(nèi)必有方程的根 ;),(4321可用此法求近似根.二分法4321x01在區(qū)間)1 ,0(的中點取1 ,0內(nèi)至少有則則第9頁/共23頁例2.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使得使得證明證明且且上連續(xù)上連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)證,)()(xxfxF

7、令令,)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則baxFaafaF )()(而而, 0 bbfbF )()(, 0 由零點定理,使使),(ba , 0)()( fF.)( f即即第10頁/共23頁例3 )()(), 0)2()0(2 , 0)(affaaffaxf 使使證明證明上連續(xù)，且上連續(xù)，且在在設(shè)設(shè)證則則記記)()()(axfxfxF )(, 0(, 0)(的定義域的定義域即即上連續(xù)上連續(xù)在在xFaaxF)()0()0(affF 且且)0()()2()()(fafafafaF )()0(aff 若若即為所求即為所求則則0 )()0(aff 若若0)()0( aFF則則由零點定理知0)(), 0( Fa 使

8、使)()(aff 即即總之)()(), 0affa 使使第11頁/共23頁0)()()(212xfxff上連續(xù) , 且恒為正 ,)(xf在,ba對任意的, ),(,2121xxbaxx必存在一點證:, ,21xx使. )()()(21xfxff令)()()()(212xfxfxfxF, 則,)(baCxF)()(21xFxF)()()(2112xfxfxf)()()(2122xfxfxf)()(21xfxf221)()(xfxf0使,)()(21時當xfxf,0)(xf,0)()(21xFxF故由零點定理知 , 存在, ),(21xx,0)(F即. )()()(21xfxff當)()(21xf

9、xf時,取1x或2x, 則有)()()(21xfxff證明:第12頁/共23頁注方程f(x)=0的根函數(shù)f(x)的零點有關(guān)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)命題的證明方法10直接法：先利用最值定理，再利用介值定理20間接法（輔助函數(shù)法）：先作輔助函數(shù)， 再利用零點定理輔助函數(shù)的作法（1）將結(jié)論中的(或x0或c)改寫成x（2）移項使右邊為0，令左邊的式子為F(x)則F(x)即為所求第13頁/共23頁 區(qū)間一般在題設(shè)中或要證明的結(jié)論中已經(jīng)給出，余下只須驗證F(x)在所討論的區(qū)間上連續(xù)，再比較一下兩個端點處的函數(shù)值的符號，或指出要證的值介于F(x)在所論閉區(qū)間上的最大值與最小值之間。第14頁/共23頁已知函數(shù))(xf

10、在區(qū)間 I 上連續(xù),即:,0Ix ,0,0,0時當 xx)()(0 xfxf一般情形,.,0都有關(guān)與x,0無關(guān)時與若x就引出了一致連續(xù)的概念 .定義:, I, )(xxf對,0若,0存在, I,21xx對任意的都有,)()(21xfxf)(xf則稱在 I 上一致連續(xù) .顯然:上一致連續(xù)在區(qū)間 I)(xf上連續(xù)在區(qū)間 I)(xf,21時當 xx第15頁/共23頁xxf1)(, 1,0(C但不一致連續(xù) .因為, ) 10(0取點, )N(,11211nxxnn則 21xx 111nn)1(1nn可以任意小但)()(21xfxf) 1( nn1這說明xxf1)(在 ( 0 , 1 上不一致連續(xù) .定

11、理., ,)(baCxf若,)(baxf在則上一致連續(xù).(證明略)思考: P74 題 7提示:設(shè))(, )(bfaf存在,作輔助函數(shù))(xFaxaf, )(bxaxf, )(bxbf, )(,)(baCxF顯然第16頁/共23頁三、小結(jié)四個定理有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.注意1閉區(qū)間； 2連續(xù)函數(shù)這兩點不滿足上述定理不一定成立解題思路1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;2.輔助函數(shù)法:先作輔助函數(shù)F(x),再利用零點定理;第17頁/共23頁思考題下述命題是否正確？ 如如果果)(xf在在,ba上上有有定定義義，在在),(ba內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，且且0)()( bfaf，那那

12、么么)(xf在在),(ba內(nèi)內(nèi)必必有有零零點點.第18頁/共23頁思考題解答不正確.例函數(shù) 0, 210,)(xxexf)(xf在在)1 , 0(內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù), . 02)1()0( ef但但)(xf在在)1 , 0(內(nèi)內(nèi)無無零零點點. 第19頁/共23頁1. 任給一張面積為 A 的紙片(如圖),證明必可將它一刀剪為面積相等的兩片.提示:建立坐標系如圖.xoy則面積函數(shù),)(CS因,0)(SAS)(故由介值定理可知:, ),(0.2)(0AS使)(S作業(yè)P74 題 3 ; 4; 5第20頁/共23頁( )0,4,f x 在閉區(qū)間上連續(xù)13xex至少有一個不超過 4 的 證：證明令3( )1xf xxe且)0(f31e)4(f4 341e030e根據(jù)零點定理 ,(0,4),( )0,f使原命題得證 .(0, 4)內(nèi)至少存在一點在開區(qū)間顯然正根 .第21頁/共23頁一、一、 證明方程證明方程bxax sin，其中，其中0,0 ba，至，至少有一個正根，并且它不超過少有一個正根，并且它不超過