拓?fù)鋵W(xué)第三次作業(yè)參考解答

1、拓?fù)鋵W(xué)第三次作業(yè)參考解答4.16. 設(shè)X表示所有n階實(shí)方陣的集合.對(duì)每個(gè)A=(a。)wX及正數(shù)名,定義U(A;a)=B=(bij)wX,i,j<n,a。一引<G.證明：全體U(A;約構(gòu)成的集合是X上一個(gè)拓?fù)浠?證明：為方便起見，記全體U(A;8)構(gòu)成的集合為B，則只需證明B滿足拓?fù)浠膬蓷l公理。(1) B是X的覆蓋這一點(diǎn)是顯然的。(2)設(shè)A=(aij),B=(bij)是兩個(gè)n階實(shí)方陣，?6是兩個(gè)正數(shù)，不妨設(shè)工之6.并設(shè)C=9)U(A,;)-U(B,、).則依題意知，Vi,j<n,cjaj<%cj-巧<6.令了=min名一qaj,5-cjbj:1<i,j<

2、;n.則不難看出，U(C,)U(A,;)-U(B,、).因此，B確實(shí)是X的拓?fù)浠?.17. 設(shè)p是一個(gè)給定的素?cái)?shù)，對(duì)每個(gè)正整數(shù)a,定義Ua(n)=n+mpamWLI,證明：1Ua(n)aw|J+nw|_是整數(shù)集口上的一個(gè)拓?fù)浠?證明：由定義可知，VnwL,Vaw,nwUa(n)(取m=0就知道了)，故Ua(n)awU;nw|_是的一個(gè)覆蓋。再設(shè)kWUa(m)cUb(n)(其中a,b是兩個(gè)正整數(shù)，m,n=U),則存在兩個(gè)整數(shù)r,s使得abk二nrp;msp.不妨設(shè)a之b,則m=n+rpa-spb,n=m+spbrpa.從而Vi運(yùn)Ua(n),三jw使得i=n+jpa.于是i=(mspb-rpa)

3、jpa二m(sjpaj-rpa上)pbUb(m).這表明，Ua(n)一Ub(m)=Ub(m).由此可見，Ua(n)awU：nWl_確實(shí)是n上的一個(gè)拓?fù)浠?.3. 設(shè)X是Hausdorff空間，f:XtX為一連續(xù)映射，試證明其不動(dòng)點(diǎn)集Fixf:=xX:f(x)=x是一個(gè)閉集.證明：只需證明不動(dòng)點(diǎn)集的余集C=xXf(x)#x)是開集就可以了。設(shè)xWC,則f(x)#x,于是由T2分離性知，存在開集UwN(x),V三N(f(x)使得UCV=電又由f的連續(xù)性，存在開集UieN(x)使得f(U1)uV.令W=UCU1，則WwN(x)且W=C,這表明x是C的內(nèi)點(diǎn)。再由x的任意性知C是開集。5.5. 證明：

4、(1)Hausdorff空間的子空間也是Hausdorff空間；(2)如果f:XTY是一個(gè)閉的雙射(即一一映射)，而X為Hausdorff空間，則Y也是Hausdorff空間；(3)如果f:XtY是一個(gè)連續(xù)的單射，Y為Hausdorff空間，則X也是Hausdorff空間.證明：(1)設(shè)X是一個(gè)Hausdorff空間，A為其一個(gè)子空間。對(duì)于任意不同的兩點(diǎn)x,ywA,由X是Hausdorff空間知，存在X中的開集U,V使彳#xwU,ywV,UeV=S令UA=Uca,Va=Vca,AA則易見有UawNa(x),VawNA(y),并且UaVa=.可見A也是Hausdorff空間。設(shè)f:XtY是一個(gè)閉

5、的雙射(即一一映射)，而X為Hausdorff空間，對(duì)Y中任意兩個(gè)不同的11,點(diǎn)yi,y2,記xi=f(yi)，x2=f(y2),則人,是X中兩個(gè)不同的點(diǎn)，因此由假設(shè)，存在鄰域U1=N(x,),U2wN(馬閩導(dǎo)U1cU2=中由于f:XtY是閉映射，故由定理3.3,存在兩個(gè)Y中的開集V產(chǎn)N(y1),V2wN(y2)使得f,(M)=U，f,M)匚U2.顯然，VrV2=R可見Y也是Hausdorff空間。(3)設(shè)f:XtY是一個(gè)連續(xù)的單射，Y為Hausdorff空間，對(duì)于X中任意兩個(gè)不同的點(diǎn)x1,x2,令y1=f(x1)，y2=f(x2),則y1，y2是空間Y中兩個(gè)不同的點(diǎn)，從而由假設(shè)，存在V1wN

6、(y1),V2£N(y2)使得V1cV2=。由于f是一個(gè)連續(xù)的單射，故存在UN(x1),U2=N(x2)使得f(U戶V,f(U)由V是單射知，U1CU2=(f/0f(5)C(f卬2)5心2=：,可見UCU2=4.因此X也是Hausdorff空間.5.8. 證明：如果X是正則工空間，則對(duì)任意不同的兩個(gè)點(diǎn)x,ywX,存在U亡N(x),V亡N(y)使得U-V=.證明：設(shè)X是T1空間，則對(duì)任意不同的兩個(gè)點(diǎn)x,yX,x,y都是閉集，又由正則性知，存在U1wN(x),VwN(y)使得U1cV1=在再利用定理5.3,知，存在UwN(x),VwN(y)使得UUUi,VVVi.顯然，UcVuUiCVi

7、=e,因此UcV=e.5.9. 如果X是正規(guī)空間，則對(duì)任意不相交的兩個(gè)閉集A,BUX,存在UWN(A),VwN(B)使得U-V=.證明：設(shè)X是正規(guī)空間，則對(duì)任意不相交的兩個(gè)閉集A,BuX,由定義知，存在UiwNA,VW(N)曲彳©.又由定理5.4可知，存在UwN(A),VwN(B)使得UuUi,且VuVi.顯然UcV=*.5.i5.證明：可數(shù)的正則空間是正規(guī)的.證明：設(shè)X是一個(gè)可數(shù)的正則空間，F(xiàn)是其任一閉子集，UWN(F).不妨記F=%nWK,其中Ku|_為可數(shù)集。則VnwK,$wU,故由正則性知，存在Un乏N(4)使得二U.由于顯然有F仁|jUn，故由定理5.4即知，X是正規(guī)空間。

8、nEK5.16. 證明：正則的Lindelof空間必定是正規(guī)的空間.證明：設(shè)X是正則的Lindelof空間，F(xiàn)是任一閉子集，UN(F).對(duì)于任一xF,也有UwN(x),因此由正則性，存在開集U(x)使得xwU(為二百7)仁U這樣就得到空間X的一個(gè)開覆蓋U(x)xwFkJFc.由于X是Lindelof空間，故有可數(shù)的子覆蓋U(xn)xnwF,n=NkJFc.顯然F仁=山()人WF,nwN,且對(duì)于每個(gè)n,都有U(%)uU(=)=U.因此由定理5.4可知，X是一個(gè)正規(guī)空間。5.17. 設(shè)X滿足T4分離公理，f:XtY為一滿連續(xù)閉映射，則Y也滿足T4分離公理.證明：設(shè)f:XtY為一滿連續(xù)閉映射，X滿足

9、T4分離公理，對(duì)于Y中的任意兩個(gè)開集Vi,V2,若iii,VV2=Y，則f(Vi)Jf(V2)=f(V=V2)=X,因此由定理5.4知，X中有閉集EE使得一一二一一一一一一Euf(V),E2Uf(V2),且E1=E2=X.由f是滿的閉映射，知Fi=f(Ei),F2=f(E2)都是Y中的閉集，且f(EI)uf()f,(M)=Vi,f(E2)ufC'fJ(V2)=V2,FF2=f(EJuf(E2)=f(E1E2)=Y.因此由定理5.4知，Y滿足T4分離公理.6.3. 設(shè)X為完全正則空間，xwX,VUwN(x).證明：存在連續(xù)映射f:XTI使得f11)=卜,且f(Uc)u0的充分必要條件是x

10、為Gg集.證明：(設(shè)必要性)存在連續(xù)映射f:XtI使得f、1)=x,且f(Uc)u。,則由加=3(1)=£，1,1)='(1,1)njnnJn,1以及每個(gè)f(1,1)都是開集，即可知x為G6集.n0o(充分性)設(shè)&為G5集，則存在可數(shù)個(gè)開集U1,U2,|,Un,|使得x=0Un.對(duì)于每個(gè)自然數(shù)n,n1顯然xWUn,因此由X的完全正則性，存在連續(xù)函數(shù)3：XtI使得fn(x)=1,fn(Un)匚。.令jfn(t)g：X>I,g(t)C+,-tX.nd21c則容易驗(yàn)證，g:XTI是連續(xù)映射，且g(x)=£f=1,又對(duì)于任一t#x,twx=Uu：,必定nm2N

11、存在一個(gè)n使得twu：,從而fn(t)=0,進(jìn)而有g(shù)(t)<1.可見g,(1)=x.此外，由于UwN(x),故存在一個(gè)連續(xù)函數(shù)h:XTI使得h(x)=1,h(Uc)=0最后，令f=g力，則f:XtI連續(xù)，并且f"(1)=x,f(Uc)u0.n6.4. 設(shè)X是正規(guī)空間，51,111,是閉子集，滿足="試證明：存在Ui亡N(Fi)(1EiWn)使i=1n得ns=.i=1證明：我們先證明如下這個(gè)結(jié)論：(1)若uu/lhun是x的一個(gè)開覆蓋，則存在X的一個(gè)開覆蓋v1M,lli,vn使得土Ui,i=1,2jll,n.n事實(shí)上，不妨設(shè)n22.令F1=X(J。，則F1是閉集，且F1

12、UU1.于是由正規(guī)性，存在V1wN(F1)使得i=2nF1uVuV；uUi.這樣Vi,U2,"|,Un也是X的一個(gè)開覆蓋。再令F2=X-(VHUi),則F2是閉集，13且F2UU2.于是由正規(guī)性，存在V2WN(F2)使得F2UV2UV2UU2.這樣Vi，V2，U3，|,Un也是X的一個(gè)開覆蓋。設(shè)已經(jīng)得到X的開覆蓋VnVIIIMnUj,其中每個(gè)iWn1,耳匚5.最后令nJFn=X-Ijvi,則Fn是閉集，且FnUUn.于是由正規(guī)性，存在VnWN(Fn)使得FnUVnUVnUUn.顯然Vi，V2，|H，Vn,Vn滿足要求。現(xiàn)在我們再來證明原先的結(jié)論。nn對(duì)于I集Fi,F2,|H,Fn,若

13、滿足|Fi二/則UFic=X,因此由(1),存在開集ViMJIlM使得i1i1V,V2,|,Vn覆蓋X,且ViUFic(i=1,21|l,n).記Uj=XM(i=1,2川|,n),則每個(gè)Ui都是開集，并且FiuUiuU?uViC(i=1,2J|,n).從而n因此有PliUi=ei16.5. 證明：X是正規(guī)空間的U對(duì)X的每個(gè)有限開覆蓋U1,U2,l|,Un,存在n個(gè)連續(xù)函數(shù)f:XTI使得nVxWX,£f(x)三1,并且做WXUi,fi(x)=0.i1證明：給定X的一個(gè)有限開覆蓋522,111,5,則由習(xí)題6.4證明的前半部分知，存在X的一個(gè)開覆蓋&又2,|乂使得您=5=1,2,H|,n.對(duì)每個(gè)i£n,由啊引理，有連續(xù)函數(shù)gi:Xti使得g(“)用,gi(UC).由此得到一個(gè)連續(xù)函數(shù)g：=g+g2+M+gn：XT1,n,任一xWX,g(x)=g1(x)+g2(x)+HI+gn(x).x?X,由于V1,V2,|,Vn是X的覆蓋，故存在i£n使得x?M,于是g(x)?g/x)1.可見g(x)i0.nViWn,令1=9:XtI,則fi是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，且顯然VxwX,£(x)三1.又對(duì)于任gpx=X-Ui,由g/x)=0可知，也有fi(x)=0.6