數(shù)理統(tǒng)計概率和抽樣定理復習

1、數(shù)理統(tǒng)計復習概率論部分1、事件間的運算關系:關系符號概率論的定義包含A匚B事件A發(fā)生必然導致事件B發(fā)生相等A=BAB而且B=A和（并）A+B(AUB)事件A與B中至少一個事件發(fā)生積（交）AB：AAB)事件A與B同時發(fā)生差AB事件A發(fā)生同時B不發(fā)生互不相容AB=0事件A與B不可能同時發(fā)生對立A事件A不發(fā)生2、事件的運算規(guī)律運算律公式交換律A+B=B+A,AB=BA結合律(A+B)+C=A+(B+C),(AB)C=A(BC)分配律(A+B)C=AC+BC,A+(BC)=(A+B)(A+C)差積轉(zhuǎn)換律A-B=AB=A-AB對立律AA=0,A+A=Q對偶律a+b=AB,ab=a+B互不相容與對立事件的

2、關系概率的定義定義公式古典概率m_A所含的基本事件數(shù)P（A尸n一基本事件總數(shù)公理化定義對樣本空間中任意事件A對應的一個實數(shù)P（A）,滿足(基本性質(zhì))公理1(非負性)：0&P(A)W1公理2(規(guī)范性)：pg)=i,p(0)=o公理3(可加性):若Ai,A2,%，兩兩互不相容，P(Ai+A2+TAn+尸P(Ai)+P(A2)+P(An)+則稱P(A)為隨機事件A的概率。(五)概率的計算公式名稱計算公式加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)若A、B立/、相容(AB=0):P(A+B)=P(A)+P(B)對立事件公式P(A)=1-P(A);P(A)=1-P(A)事件之差公式P(A

3、-B)=P(A)-P(AB)若BuA,P(A-B)=P(A)-P(B)條件概率公式P(B|A)=P(AB),(P(A)>0)P(A)乘法公式若P(A)>0,P(AB)=P(A)P(B|A)若P(B)>0,P(AB)=P(B)P(A|B)當P(A1A2-An-1)>0時，有P(A1A2An)=P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)P(AnA1A2,An-1)獨立事件公式A、BffiM":P(AB)=P(A)P(B)A1,A2,，An相互獨立：P(A1A2-An)=P(A1)P(A2)-P(An)全概率公式若A1,A2,，An為完備事件組，對事件Bnp(b)=

4、£P(A)P(B|A)i凸逆概率公式若A1,A2,，An為完備事件組，P(B)>0(貝葉斯公式)P(Aj|B)_P(Aj)P(B|Aj)n2P(A)P(B|A)i二完備事件組1.Ai,A2,An立/、相容且P(Ai)>0(i=1,2,，n);A1,A2,，2.A1+A2+一,+An=QAn獨立與互不相容的關系二、隨機變量及其函數(shù)分布1、隨機變量的定義2、離散型隨機變量：概率分布列及其性質(zhì)，分布函數(shù)，求事件概率，一些特殊的離散型隨機變量及其分布，隨機變量函數(shù)的概率分布列3、連續(xù)型隨機變量：密度函數(shù)及其性質(zhì)，分布函數(shù)，求事件概率，一些特殊的連續(xù)型隨機變量及其密度函數(shù)，特殊的，

5、正態(tài)分布的所有性質(zhì)，及其總體是正態(tài)分布的事件概率的計算。4、數(shù)字特征：期望，方差及其性質(zhì)和計算，隨機變量函數(shù)的期望和方差；協(xié)方差，相關系數(shù)及其性質(zhì)和計算，熟記特殊分布的期望和方差5、二維離散型隨機向量：聯(lián)合概率分布列，邊緣分布，獨立性的判斷，求事件的概率，求各自的期望，方差。習題1、設連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為xF(x)=ABe"x00,x<0求：(1)常數(shù)A、B;(2)概率密度函數(shù)f(x)0解：(1)由分布函數(shù)的性質(zhì)F(+8)=1得xF(+oo)=ljmJa+Be2)=A=1,再由分布函數(shù)的連續(xù)性知其右極限F(0+0)=F(0)，即xF(0+0)=xlimo(ABe2)=A

6、B=0聯(lián)立上述兩式，解之得：A=1,B=-1則分布函數(shù)為F(x)=1-屋0,(2)所求密度函數(shù)為1-xf(x)=F(x)=；260,2、設隨機變量心區(qū)間1,6上服從均勻分布，求方程x2+tx+1=0有實根的概率。解：易知方程x2+Mx+1=0有實根當且僅當A=t2-4>0,即|目2。故所求問題轉(zhuǎn)化為：已知U1,6,求P|q>2?，F(xiàn)因在1,6上服從均勻分布，則3勺概率密度為1f(x)=<50,1MxM6,其他.方程x2+Ex+1=0有實根的充要條件是A=t2-4>0,即|42,故P同22=1Pg<2=1-P-2<<2212114=1-f(x)dx=1-(

7、0dx-Idx)=1-工15553、設隨機變量X和Y獨立，且X服從均值為1,標準差為應的正態(tài)分布，而Y服從標準正態(tài)分布，試求隨機變量Z=2X-Y+3的概率密度函數(shù)。由于X和Y相互獨立且都服從正態(tài)分布，所以Z作為X,Y的線性組合也服從正態(tài)分布，故只需求E(Z)和D(Z)就可確定Z的概率密度函數(shù)了。由題設知，XN(1,2),YN(0,1)。則由期望和方差的性質(zhì)得E(Z)=E(2X-Y+3)=2E(X)-E(Y)+3=5D(Z)=D(2X-Y+3)=如(X)+D(Y)=9.又因X,Y是相互獨立的正態(tài)隨機變量，Z是X,Y的線性函數(shù)，故Z也為正態(tài)隨機變量，即ZN(J,C2),且=E(Z)=5,c2=D(

8、Z)=9o則Z的概率密度為抽樣定理1.設總體XN(NP2),其中內(nèi)O2為已知數(shù)，Xi,X2,，Xn來自X的一個樣本，X,S2分別是樣本均值和方差，且相互獨立，則樣本均值X分布，-222而統(tǒng)計量X!三分布，統(tǒng)計量七二分布，統(tǒng)計量.一4分布。:/.nS/Jn二2 .設xi,X2,，X20是來自N(10,1)的一個簡單樣本，x是其樣本均值，則X服從分布，E(X)=,D(X)=；PX>10=。3 .設隨機變量X和Y相互獨立而且都服從正態(tài)分布N(0,32)，而X3X2,X9和丫1,丫2,，Y9分別是來自總體X和Y的簡單隨機樣本，則統(tǒng)計量X1X9U：一9Y2丫；服從分布，參數(shù)為。4 .設Q,U是兩個相互獨立的