概率論第一章習題課

1、1、運算關(guān)系包含： A 則 B 相等： A = B和：至少有一個發(fā) 生 A+B積：同時發(fā)生 ABBAABBA且SBAABA、B不相容BAA、B 對立 記為AB 差： ABB =SA（一）、事件的關(guān)系第一章 習題課 除與一般代數(shù)式運算相同的法則以外，注意1）對偶律 2）其他3）獨立性事件的獨立性是由概率定義的；n個事件的獨立性要求BAABBABA:ASAAAAAA)()(CABABCA21nn個等式成立。（三） 解題方法1、一般概率古典概型2） 利用事件的運算2、運算法則化為事件的和利用對立事件A、B相互獨立分解到完備組中： 全概公式)(BAP)()()()(ABPBPAPBAP)()()(BP

2、APBAP一般情況ABBApBApBAp11化為事件的積)(ABP)|()(ABPAP)()(BPAP一般情況 knKkABPAPBP/1nAAA,21是完備組，2） 用乘法公式1） 在縮減完備組中計算，方法同 1。3） 用逆概公式2、條件概率)()()/(APABPABP)|(ABPi),2, 1(ni)()(APABPiniiiBPBAP1)()|()()|(iiBPBAP例1 1K2KB如圖：1K合上的概率為 0.82K合上的概率為 0.71K2K同時合上的概率為 0.5求燈亮的概率。解 設(shè)11:KA合上22:KA合上 8 . 01Ap7 . 02Ap5 . 021AApB: 燈亮。 2

3、1AApBp 12121AAPApAp例2 某城市的供水系統(tǒng)由甲、乙兩個水源與三部分管道 1，2，3 組成。 每個水源都可以供應城市的用水。設(shè)事件 Ak 表示第 k 號管道正常工作，k=1，2，3。B 表示“城市能正常供水”，B表示“城市斷水”。 城市甲乙123解321AAAB321AAAB321AAA已知 3 . 0AP 6 . 0BP求BAP例3 解0)()(PBAP 3 . 0APBAP在下列兩種情形下和ABP1、 A、B互不相容BABABAAB 6 . 0BPABP2、 A、B 有包含關(guān)系 BPAPBA 3 . 0APBPABP解有放回地抽取兩次，每次抽取一個球。 求下列事件的概率1、

4、A: 全紅。 2、B:無紅。 3、 D :白出現(xiàn)。解 913131)(AP943232)(BP9532321)(DP例4 袋中有紅、黃、白色的球各一個。例5.某教研室共有11 名教師, 其中男教師7 人, 現(xiàn)在要選 3 名優(yōu)秀教師, 問其中至少有一女教師概率解:(方法一)設(shè) A = “ 3 名優(yōu)秀教師中至少有一名女教師” = “ 3 名優(yōu)秀教師中恰有 名女教師”iAi則A321AAA兩兩互不相容且321,AAA)(AP)()()(321APAPAP方法二 設(shè) A = “ 3 名優(yōu)秀教師全是男教師”)(AP)(1AP311C2714CC311C1724CC311C0734CC1311C37C78

5、8. 0788. 0例6從5雙不同號碼的鞋子中任取4只，求4只鞋子中至少有2只配成一雙的概率。410C解：（錯解）基本事件總數(shù)：5雙鞋子共有10只，任取4只的取法總數(shù)為A=表示“4只鞋子中至少有2只配成一雙”于是有利于A的基本事件總數(shù)可這樣計算：15C28C從5雙中任取一雙有種取法，種取法， 然后在余下的8只中任取2只共有由乘法原理 2815CC可知有利于A的總數(shù)為故所求概率為 322114)(4102815CCCAP若不成雙，則與5雙中任取的一雙就出現(xiàn)4只鞋中恰有2只成雙的情形；若成雙則與5雙中任取的一雙就出現(xiàn)4只恰有2雙的情形，25C（分析） 中的兩只鞋有“成雙”或“不成雙”兩種情況，28

6、C后者多算了 種 ，因此有利于A的基本事件總數(shù)故所求概率為 252815CCC2113)(410252815CCCCAP方法一：A=表示“4只鞋子中至少有2只配成一雙”故第一只鞋子是從5雙（10只）中任取一只，有10種取法，第二只鞋子從剩下的4雙（8只）中任取一只，有8種取法種取法，第三只鞋子從再剩下的3雙（6只）中取一只，有6種取法，第四只鞋子有4種取法，故所求概率為 它的對立事件 為“4只鞋子均不成雙”A可知 的樣本點數(shù)為A46810211378910468101)(1)(APAP方法二：中包含的樣本點總數(shù)是從5雙不同的鞋子中任取4雙，再從每雙中任取一只的不同取法的種數(shù)，共有種取法， 故A

7、4452C2113/21)(1)(410445CCAPAP方法三：A1=表示“4只鞋子中恰有2只配成一雙”A1所包含的樣本點總數(shù)為從5雙鞋子中任取一雙，再從另外4雙中取不能配對的兩只，共有種取法，從而A2=表示“4只鞋子恰好配成兩雙”則且21AAA21AA)(142815CCC2112)()(4101428151CCCCAPA2所包含的樣本點的總數(shù)為從5雙中任取2雙的取法數(shù)，即有25C種取法，從而211)(410252CCAP2113)()()(21APAPAP故224152CC或例7 設(shè)有一枚深水炸彈擊沉一潛水艇的概率的概率為1/3，擊傷的概率為1/2，擊不中的概率為1/6，并且擊傷兩次也會

8、導致潛水艇下沉。求施放4枚深水炸彈能擊沉潛水艇的概率。解 記A=擊不沉，B=4枚中都擊不中，C=4枚中只有一枚擊傷其它三枚擊不中)()(CBPAP43144613612161)()(CCPBP擊沉的概率為446136)(1)(APAP例8.設(shè)一批產(chǎn)品的一、二、三等品各占60、30、10，現(xiàn)從中任取一件，結(jié)果不是三等品,則取得的是一等品的概率為多少？3,2, 1i31131AAAAA6 . 0)(1AP3 . 0)(2AP1 . 0)(3AP)(31AAP解: 設(shè)iAi“取出的一件產(chǎn)品為由題意)|(31AAP9 . 06 . 0)(3AP)(13AP31AA)(1AP32等品”1A例9.一批零件

9、共100件, 其中有10 件次品, 每次從其中任取一個零件，取后不放回。試求：1) 若依次抽取3 次, 求第3 次才抽到合格品的概率2) 如果取到一個合格品就不再取下去，求在3 次內(nèi)取到合格品的概率 iA“第 次抽到合格品”i解: 設(shè))(321AAAP100101)|(213AAAP)|(12AAP)(1AP99998900083. 02) 設(shè)A“三次內(nèi)取到合格品”321211AAAAAAA則且互斥)(AP)(1AP9993. 0)()()(321211AAAPAAPAP321211AAAAAAA)|()(121AAPAP)|()|()(213121AAAPAAPAP(方法二) 利用對立事件A

10、“三次都取到次品”321AAAA 下利用條件概率去做10010)|(1213AAAP)|(12AAP)(1AP9999889993. 0)(1)(1)(321AAAPAPAP1 例 10 設(shè)某光學儀器廠制造的透鏡，第一次落 下時打破的概率為 1/2 ，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率為 7/10 ,若前兩次落下未打破，第三次落下打破的概率為 9/10 。求透鏡落下三次而未打破的概率。 解：以 Ai ( i=1,2,3 ) 表示事件“透鏡第 i 次落下打破”，以 B 表示事件“透鏡落下三次而未打破”，由題意, 可知,21)(1AP107)(12AAP109)(213AAAP321AAAB

11、 )()|()|()()(112213321APAAPAAAPAAAPBP.2003)211)(1071)(1091 (例11 11只水果其中一級品8個，二級品3個，隨機地分 給甲4個，乙6個，丙1個。 1) 已知丙未拿到二級品，求甲，乙均拿到二級品的概率 2) 求甲、乙均拿到二級品而丙未拿到二級品的概率。)|(CABP)|()|()|(1CBAPCBPCAP5416106741047CCCC553254118)|()()(CABPCPCABP解 記A（B，C）=甲（乙，丙）拿到二級品（2）（1）)|(1CABP)|(1CBAP例13 某小組有20名射手，其中一、二、三、四級射手分別為2、6、

12、9、3名又若選一、二、三、四級射手參加比賽，則在比賽中射中目標的概率分別為0.85、0.64、0.45、0.32，今隨機選一人參加比賽，試求該小組在比賽中射中目標的概率解：標該小組在比賽中射中目設(shè)B4321 ，級射手參加比賽選iiiA203A,209A,206A,202A4321PPPP已知：,64. 02,85. 01ABPABP,32. 04,45. 03ABPABP由全概率公式，有由全概率公式，有 41nnABPnAPBP32. 020345. 020964. 020685. 02025275. 0例 14 對以往的數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明當機器調(diào)整得良好時，產(chǎn)品的合格率為 90% , 而當機器

13、發(fā)生某一故障時，其合格率為 30% 。每天早上機器開動時，機器調(diào)整良好的概率為 75% 。已知某天早上第一件產(chǎn)品是合格品，試求機器調(diào)整得良好的概率是多少？ 機器調(diào)整得良好 產(chǎn)品合格 機器發(fā)生某一故障 BBAP A B( | ) 90%P A B( |) 30%解解 ：)()|()()|()()|()|(BPBAPBPBAPBPBAPABP.9 .025.03 .075.09 .075.09 .015 用某種方法檢驗產(chǎn)品，若產(chǎn)品是次品，經(jīng)檢驗是次品的概率為90；若產(chǎn)品是正品，經(jīng)檢驗是正品的概率為99，現(xiàn)從含有5次品的一批產(chǎn)品中隨機的抽取1件進行檢驗，求下列事件的概率1.經(jīng)檢驗是次品；（2）檢驗是

14、次品，實為正品解：設(shè)A表示“隨機抽取一件產(chǎn)品，該產(chǎn)品確實是正品”,90. 0)(ABP99. 0)(ABP則：P(A)=0.95, 05. 090. 095. 001. 0設(shè)B表示“產(chǎn)品經(jīng)檢驗被認為是次品” )()()()()(APABPAPABPBP)()()()()()()()()(APABPAPABPAPABPBPABPBAP05. 090. 095. 001. 095. 001. 016 A,B,C三人在同一辦公室工作，房間里有三部電話，據(jù)統(tǒng)計知，打給A,B,C的電話的概率分別為2/5，2/5，1/5，他們常因工作外出， A,B,C三人外出的概率分別為1/2，1/4，1/4 ，設(shè)三人的

15、行動相互獨立，求： （1）無人接電話的概率； （2）被呼叫人在辦公室的概率； 若某一時間段打進3個電話，求：（3）這3個電話打給同一個人的概率； （4）這3個電話打給不相同的人的概率：（5）這3個電話都打給B，而B卻都不在的概率。 解：設(shè)A，B，C分別表示A，B，C在辦公室；TA表示有人打電話找A，TB表示有人打電話找B,TC表示有人打電話找C ，TA(i)表示第i個電話找A，且事件間獨立 321414121)(CBAP(1)無人接電話的概率 111,244PAP BP C51)(,52)(,52)(CBATPTPTP)()()(CTPBTPATPCBA)(CTBTATPpCBA)()()()

16、()()(CPTPBPTPAPTPCBA20/1351)411 (52)411 (52)211 (（2 2）被呼叫人在辦公室的概率；）被呼叫人在辦公室的概率；12517)51()52()52(3331252451525233 PPP上述三個方括號所示的事件互不相容，各次電話相互獨立（3）這3個電話打給同一個人的概率；（4）這3個電話打給不相同的人的概率：)3 () 2() 1 ( AAATTT)3 () 2() 1 (CCCTTT)3 () 2() 1 (BBBTTT641414141P（5）三個電話都打給B的條件下，而B卻不在的概率為：,41)()(BBPiTPB思考與練習：1.選擇題 設(shè))

17、(,則下列正確的是AB )(1)()(APBAPA)()()()(APBPABPB)()()(BPABPC)()()(APBAPD解: )(1BAP)(1BAP)( BAPAB ABA)(1)(APBAP A)( 設(shè)設(shè)P(A)=1/4, P(B)=1/2,P(A)=1/4, P(B)=1/2,若事件若事件A A與與B B相互相互獨立獨立 等于多少？等于多少？ )(BAP因因A,BA,B獨立，所以獨立，所以8/ 52/ 14/ 12/ 14/ 1)()()()(ABPBPAPBAP 設(shè)設(shè)P(A)=1/4, P(B)=1/2,P(A)=1/4, P(B)=1/2,若事件若事件A A與與B B互斥互

18、斥 等于多少？等于多少？ )(BAP因因A,BA,B互斥，所以互斥，所以4/ 32/ 14/ 1)()()(BPAPBAP2 某人外出旅游兩天，據(jù)天氣預報，第一天下雨的概率為0.6，第二天下雨的概率為0.3，兩天都下雨的概率為0.1，試求：(1) 第一天下雨而第二天不下雨的概率； (2) 第一天不下雨第二天下雨的概率；(3) 至少有一天下雨的概率； (4) 兩天都不下雨的概率；(5) 至少有一天不下雨的概率。 設(shè)Ai=“第i天下雨”，i1，2，則解, 1 . 0)(, 3 . 0)(, 6 . 0)(2121AAPAPAP21121AAAAAB21221AAAAAC21AAD2121AAAAE2121AAAAF(1)(1)設(shè)設(shè)B=B=“第一天下雨第二