立體幾何中向量法求空間角ppt課件

1、立體幾何中-向量法求空間角新泰一中 丁衍君 2019、12、28空間的角：空間的角：空間的角常見(jiàn)的有：空間的角常見(jiàn)的有：線線角、線面角、面面角。線線角、線面角、面面角。 空間兩條異面直線所成的角可轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的銳角或直角。故我們研討線線角時(shí)，就主要求 范圍內(nèi) 的角； 斜線與平面所成的角是指斜線與它在面內(nèi)斜線與平面所成的角是指斜線與它在面內(nèi)的射影所成銳角，再結(jié)合與面垂直、平行或在的射影所成銳角，再結(jié)合與面垂直、平行或在面內(nèi)這些特殊情況，線面角的范圍也是面內(nèi)這些特殊情況，線面角的范圍也是 ；0,2 兩個(gè)平面所成的角是用二面角的平面角來(lái)兩個(gè)平面所成的角是用二面角的平面角來(lái)度量。它的范圍是度

2、量。它的范圍是 。 0, 總之，空間的角最終都可以轉(zhuǎn)化為兩相交直線所成的角?？傊臻g的角最終都可以轉(zhuǎn)化為兩相交直線所成的角。因此我們可以思索經(jīng)過(guò)兩個(gè)向量的夾角去求這些空間角。因此我們可以思索經(jīng)過(guò)兩個(gè)向量的夾角去求這些空間角。(0, 2 異面直線所成角的范圍：異面直線所成角的范圍： 0,2ABCD1D, 與 的關(guān)系？CD AB思索：思索：, 與 的關(guān)系？DC AB結(jié)論：結(jié)論：cos|cos,| a b|一、線線角：一、線線角： ab，ab，設(shè)直線的方向向量為 ，的方向向量為CAaBbDaabb2n BA ，直線與平面所成角的范圍： 0,2ABO, 設(shè)平面 的法向量為 ，則與 的關(guān)系？nn BA

3、思索：思索：結(jié)論：結(jié)論：sin|cos,| n AB 二、線面角：二、線面角： nnBAAB2n BA ，ll三、面面角：三、面面角：二面角的范圍：0, 法向量法法向量法 1n 1n 2n 2n 12n n ，12n n ，12n n ，12n n ，cos12cos, n ncos12cos, n n留意法向量的方向：一進(jìn)一出，二面角等于法向量夾角；留意法向量的方向：一進(jìn)一出，二面角等于法向量夾角；同進(jìn)同出，二面角等于法向量夾角的補(bǔ)角同進(jìn)同出，二面角等于法向量夾角的補(bǔ)角例例12019年福建卷如圖，四面體年福建卷如圖，四面體ABCD中，中，O、E分別是分別是BD、BC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，I求證：求

4、證：AO平面平面BCD；II求異面直線求異面直線AB與與CD所成角的大?。凰山堑拇笮?；III求點(diǎn)求點(diǎn)E到平面到平面ACD的間隔。的間隔。2BDCDCBCA2 ADAB C A D B O E x C A B O D y z E解：解：I提示提示;數(shù)量積為零數(shù)量積為零 II解：以解：以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，(1,0,0),( 1,0,0),BD 則13(0, 3,0), (0,0,1),( ,0),( 1,0,1),( 1,3,0).22CAEBACD .2cos,4BACDBA CDBA CD 所以異面直線所以異面直線AB與與CD所成角的所成角的余

5、弦值為余弦值為 2.4III解：設(shè)平面解：設(shè)平面ACD的法向量為的法向量為( , , ),nx y z那么那么.( , , ).( 1,0, 1)0,.( , , ).(0, 3, 1)0,n ADx y zn ACx y z 0,30.xzyz1,y (3,1, 3)n 13(,0),22EC 令令得得是平面是平面ACD的一個(gè)法向量，又的一個(gè)法向量，又.321.77EC nhn 所以點(diǎn)所以點(diǎn)E到平面到平面ACD的間隔的間隔 x C A B O D y z E例例2、(2019，天津，天津)如下圖，在四棱錐如下圖，在四棱錐P-ABCD中，底中，底面面ABCD是正方形，側(cè)棱是正方形，側(cè)棱PD 底

6、面底面ABCD，PD=DC，E是是PC的中點(diǎn)。的中點(diǎn)。(1)證明：證明：PA/平面平面EDB；(2)求求EB與底面與底面ABCD所成的角的正切值。所成的角的正切值。ABCDPEGxyzABCDPEGxyz(1)證明：設(shè)正方形邊長(zhǎng)為證明：設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，那么，那么PD=DC=DA=1.連連AC、BD交于交于G點(diǎn)點(diǎn)DADC DP 以， ， 為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系。如圖所示。則(0 0 0)(0 01)(10 0)(010)(110)DPACB， ， ， ， ， ，(101)PA ， ，1 1(0)2 2EPCE又 為中點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為 ，1 1(0)2 2GBDG 為中點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，11(0)

7、22EG ， ，2/PAEGPAEGPAEGPAEG 可得。因?yàn)榕c不共線，所以/PAEDBEGEDBPAEDB又平面，平面平面(2)求求EB與底面與底面ABCD所成的角的正切值。所成的角的正切值。ABCDPEGxyz(1)(0 0 0)(0 01)1 1(110)(0)2 2DPBE由知， ， ， ， ，PDABCDPDABCD 解：因?yàn)槠矫?，所以是平面的法向量?1(0 01)(1)22PDEB ， ， ，10062cos6312PD EB ，所以所以EB與底面與底面ABCD所成的角的正弦值為所成的角的正弦值為66所以所以EB與底面與底面ABCD所成的角的正切值為所成的角的正切值為55zxy

8、 方向朝面內(nèi)，方向朝面內(nèi)， 方向朝面外，屬方向朝面外，屬于于“一進(jìn)一出的一進(jìn)一出的情況，二面角等情況，二面角等于法向量夾角于法向量夾角mn1、如圖，知：直角梯形、如圖，知：直角梯形OABC中，中， OABC,AOC=90，SO面面OABC， 且且OS=OC=BC=1，OA=2。求：求：(1)異面直線異面直線SA和和OB所成的角的余弦值所成的角的余弦值 (2)OS與面與面SAB所成角的余弦值所成角的余弦值 (3)二面角二面角BASO的余弦值的余弦值OABCSxyz【測(cè)試】【測(cè)試】 OABCSxyz(1)OAOC OS 解：以， ， 為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系如圖。(0 0 0)(0 01)(2

9、 0 0)(110)OSAB則， ， ， ， ，(2 01)(110)SAOB ， ， ， ，20010cos552SAOB ，1、如圖，知：直角梯形、如圖，知：直角梯形OABC中，中， OABC,AOC=90，SO面面OABC， 且且OS=OC=BC=1，OA=2。求：求：(1)異面直線異面直線SA和和OB所成的所成的 角的余弦值角的余弦值 OABCSxyz1、如圖，知：直角梯形、如圖，知：直角梯形OABC中，中， OABC,AOC=90，SO面面OABC， 且且OS=OC=BC=1，OA=2。求：求：(2)OS與面與面SAB所成角的余弦值所成角的余弦值 (2)(2 01)(111)SASB解：， ， ， ，()SABnxyz設(shè)平面的一個(gè)法向量為， ，201120 xzxyzxyz 取，則，(112)(0 01)SABnOS 故平面的一個(gè)法向量為， ，又， ，0026cos316nOS ，所以所以O(shè)S與面與面SAB所成角的余弦值為所成角的余弦值為33OABCSxyz(112)SABn 解：由(2)知平面的一個(gè)法向量為， ，OCSAOOCSAO 又由平面知是平面的法向量