第01章 軸向拉伸及壓縮

1、11 軸向拉壓的概念及實例軸向拉壓的概念及實例12 內(nèi)力、截面法、內(nèi)力、截面法、軸力及軸力圖軸力及軸力圖13 截面上的應(yīng)力及強度條件截面上的應(yīng)力及強度條件 第一章第一章 軸向拉伸和壓縮（軸向拉伸和壓縮（Axial Tension） 1-4 1-4 拉壓桿的變形拉壓桿的變形 彈性定律彈性定律1-5 1-5 拉壓桿的彈性應(yīng)變能拉壓桿的彈性應(yīng)變能1-6 1-6 拉壓超靜定問題及其處理方法拉壓超靜定問題及其處理方法1-7 1-7 材料在拉伸和壓縮時的力學性能材料在拉伸和壓縮時的力學性能11 軸向拉壓的概念及實例軸向拉壓的概念及實例軸向拉壓的外力特點：軸向拉壓的外力特點：外力的合力作用線與桿的軸線重合。

2、一、概念一、概念軸向拉壓的變形特點：軸向拉壓的變形特點：桿的變形主要是軸向伸縮，伴隨橫向 縮擴。軸向拉伸：桿的變形是軸向伸長，橫向縮短。軸向壓縮：桿的變形是軸向縮短，橫向變粗。軸向壓縮，對應(yīng)的力稱為壓力。軸向壓縮，對應(yīng)的力稱為壓力。軸向拉伸，對應(yīng)的力稱為拉力。軸向拉伸，對應(yīng)的力稱為拉力。力學模型如圖力學模型如圖PPPP工工程程實實例例二、二、一、內(nèi)力一、內(nèi)力 指由外力作用所引起的、物體內(nèi)相鄰部分之間分布內(nèi)指由外力作用所引起的、物體內(nèi)相鄰部分之間分布內(nèi)力系的合成（附加內(nèi)力）。力系的合成（附加內(nèi)力）。12 內(nèi)力內(nèi)力 截面法截面法 軸力及軸力圖軸力及軸力圖二、截面法二、截面法 軸力軸力 內(nèi)力的計算是

3、分析構(gòu)件強度、剛度、穩(wěn)定性等問題的基礎(chǔ)。求內(nèi)力的一般方法是截面法。1. 截面法的基本步驟：截面法的基本步驟： 截開截開：在所求內(nèi)力的截面處，假想地用截面將桿件一分為二。代替代替：任取一部分，其棄去部分對留下部分的作用，用作用 在截開面上相應(yīng)的內(nèi)力（力或力偶）代替。平衡平衡：對留下的部分建立平衡方程，根據(jù)其上的已知外力來 計算桿在截開面上的未知內(nèi)力（此時截開面上的內(nèi)力 對所留部分而言是外力）。2. 軸力軸力軸向拉壓桿的內(nèi)力，用軸向拉壓桿的內(nèi)力，用N 表示。表示。例如： 截面法求N。 0 X0 NPNP APP簡圖APPPAN截開：截開：代替：代替：平衡：平衡：反映出軸力與截面位置變化關(guān)系，較直觀

4、；確定出最大軸力的數(shù)值及其所在橫截面的位置，即確定危險截面位置，為強度計算提供依據(jù)。三、三、 軸力圖軸力圖 N (x) 的圖象表示。的圖象表示。3. 軸力的正負規(guī)定軸力的正負規(guī)定: : N 與外法線同向,為正軸力(拉力)N與外法線反向,為負軸力(壓力)N 0NNN 0NNNxP+意意義義例例1 圖示桿的A、B、C、D點分別作用著大小為5P、8P、4P、 P 的力，方向如圖，試畫出桿的軸力圖。解： 求OA段內(nèi)力N1：設(shè)置截面如圖ABCDPAPBPCPDOABCDPAPBPCPDN10 X01DCBAPPPPN 04851PPPPNPN21同理，求得AB、BC、CD段內(nèi)力分別為： N2= 3PN3

5、= 5PN4= P軸力圖如右圖BCDPBPCPDN2CDPCPDN3DPDN4Nx2P3P5PP+軸力(圖)的簡便求法： 自左向右:軸力圖的特點：突變值 = 集中載荷 遇到向左的P， 軸力N 增量為正；遇到向右的P ， 軸力N 增量為負。5kN8kN3kN+3kN5kN8kN解：x 坐標向右為正，坐標原點在 自由端。取左側(cè)x 段為對象，內(nèi)力N(x)為：qq LxO2021d)(kxxkxxNx2max21)(kLxN例例2 圖示桿長為L，受分布力 q = kx 作用，方向如圖，試畫出 桿的軸力圖。Lq(x)Nxxq(x)NxO22kL一、應(yīng)力的概念一、應(yīng)力的概念 13 截截面上的應(yīng)力及強度條件

6、面上的應(yīng)力及強度條件問題提出：問題提出：PPPP1. 內(nèi)力大小不能衡量構(gòu)件強度的大小。2. 強度：內(nèi)力在截面分布集度應(yīng)力； 材料承受荷載的能力。1. 定義：定義：由外力引起的內(nèi)力。 工程構(gòu)件，大多數(shù)情形下，內(nèi)力并非均勻分布，集度的定義不僅準確而且重要，因為“破壞”或“失效”往往從內(nèi)力集度最大處開始。 P AM平均應(yīng)力：平均應(yīng)力：全應(yīng)力（總應(yīng)力）：全應(yīng)力（總應(yīng)力）：APpMAPAPpAMddlim02. 應(yīng)力的表示：應(yīng)力的表示：全應(yīng)力分解為：全應(yīng)力分解為：p M ANANAddlim0ATATAddlim0垂直于截面的應(yīng)力稱為垂直于截面的應(yīng)力稱為“正應(yīng)力正應(yīng)力” ( (Normal Stress

7、) )；位于截面內(nèi)的應(yīng)力稱為位于截面內(nèi)的應(yīng)力稱為“剪應(yīng)力剪應(yīng)力”( (Shearing Stress) )。 變形前1. 變形規(guī)律試驗及平面假設(shè)：變形規(guī)律試驗及平面假設(shè)：平面假設(shè)：平面假設(shè)：原為平面的橫截面在變形后仍為平面。 縱向纖維變形相同。abcd受載后PP d ac b二、拉（壓）桿橫截面上的應(yīng)力二、拉（壓）桿橫截面上的應(yīng)力均勻材料、均勻變形，內(nèi)力當然均勻分布。2. 拉伸應(yīng)力：拉伸應(yīng)力：N(x)PAxN)( 軸力引起的正應(yīng)力 ： 在橫截面上均布。危險截面：內(nèi)力最大的面，截面尺寸最小的面。危險點：應(yīng)力最大的點。3. 危險截面及最大工作應(yīng)力：危險截面及最大工作應(yīng)力：)()(max( maxx

8、AxN 直桿、桿的截面無突變、截面到載荷作用點有一定 的距離。4. 公式的應(yīng)用條件：公式的應(yīng)用條件：6. 應(yīng)力集中（應(yīng)力集中（Stress Concentration）：）： 在截面尺寸突變處，應(yīng)力急劇變大。5. Saint-Venant原理：原理： 離開載荷作用處一定距離，應(yīng)力分布與大小不受外載荷作用方式的影響。Saint-Venant原理與應(yīng)力集中示意圖(紅色實線為變形前的線，紅色虛線為紅色實線變形后的形狀。)變形示意圖：abcPP應(yīng)力分布示意圖：7. 強度設(shè)計準則（強度設(shè)計準則（Strength Design）：）： )()(max( maxxAxN其中：-許用應(yīng)力， max-危險點的最

9、大工作應(yīng)力。設(shè)計截面尺寸：設(shè)計截面尺寸：maxminNA ; maxAN )N(fPi依強度準則可進行三種強度計算： 保證構(gòu)件不發(fā)生強度破壞并有一定安全余量的條件準則。 max校核強度：校核強度：許可載荷：許可載荷： 例例3 已知一圓桿受拉力P =25 k N，直徑 d =14mm，許用應(yīng)力 =170MPa，試校核此桿是否滿足強度要求。解： 軸力：N = P =25kNMPa1620140143102544232max.d PAN應(yīng)力：強度校核： 170MPa162MPamax結(jié)論：此桿滿足強度要求，能夠正常工作。例例4 已知三鉸屋架如圖，承受豎向均布載荷，載荷的分布集度為：q =4.2kN/

10、m，屋架中的鋼拉桿直徑 d =16 mm，許用應(yīng)力=170M Pa。 試校核剛拉桿的強度。鋼拉桿4.2mq8.5m 整體平衡求支反力解：鋼拉桿8.5mq4.2mRARBHAkN519 00 0.RmHXABA應(yīng)力：強度校核與結(jié)論： MPa 170 MPa 131 max 此桿滿足強度要求，是安全的。MPa1310160143103264d 4 232max .PAN 局部平衡求 軸力： qRAHARCHCNkN326 0.NmC 。 sin; /hL/NABDBBD例例5 簡易起重機構(gòu)如圖，AC為剛性梁，吊車與吊起重物總重為P，為使 BD桿最輕，角 應(yīng)為何值？ 已知 BD 桿的許用應(yīng)力為。;B

11、DBDLAV 分析：xLhPABCDPxhNmBDA)ctg() sin( , 0coshPLNBD /NABD BD桿面積A：解： BD桿內(nèi)力N( )： 取AC為研究對象，如圖 YAXANBxLPABCYAXANBxLPABC 求VBD 的最小值：;2sin 2sinPL/AhALVBD2 45minoPLV,時三、拉三、拉(壓壓)桿斜截面上的應(yīng)力桿斜截面上的應(yīng)力設(shè)有一等直桿受拉力P作用。求：斜截面k-k上的應(yīng)力。 PPkka解：采用截面法由平衡方程：Pa=P則：aaaAPp Aa：斜截面面積；Pa：斜截面上內(nèi)力。由幾何關(guān)系：aaaacos cosAAAA代入上式，得：aaaaacoscos

12、0APAPp斜截面上全應(yīng)力：aacos0pPkkaPa aPPkka斜截面上全應(yīng)力：aacos0pPkkaPa a分解：pa aaaa20coscos paaaaaa2sin2sincossin00p反映：通過構(gòu)件上一點不同截面上應(yīng)力變化情況。當a = 90時，0)(mina當a = 0,90時，0| mina當a = 0時， )(0maxa(橫截面上存在最大正應(yīng)力)當a = 45時，2|0maxa(45 斜截面上剪應(yīng)力達到最大) a a a aa a2 2、單元體：、單元體：單元體構(gòu)件內(nèi)的點的代表物，是包圍被研究點的 無限小的幾何體，常用的是正六面體。 單元體的性質(zhì)a、平行面上，應(yīng)力均布；

13、b、平行面上，應(yīng)力相等。3 3、拉壓桿內(nèi)一點、拉壓桿內(nèi)一點M 的應(yīng)力單元體的應(yīng)力單元體: :1.1.一點的應(yīng)力狀態(tài)：一點的應(yīng)力狀態(tài)：過一點有無數(shù)的截面，這一點的各個截面 上的應(yīng)力情況，稱為這點的應(yīng)力狀態(tài)。補充：補充：PM aaaaacossin cos 020取分離體如圖3， a 逆時針為正； a 繞研究對象順時針轉(zhuǎn)為正；由分離體平衡得：aaaa2sin 2 )2cos(1 2 :00或4 4、拉壓桿斜截面上的應(yīng)力、拉壓桿斜截面上的應(yīng)力 aax圖3MPa7 .632 / 4 .1272 /0maxMPa5 .95)60cos1 (24 .127)2cos1 (20aaMPa2 .5560sin

14、24 .1272sin20aaMPa4 .127 1014. 3100004 20AP例例6 直徑為d =1 cm 桿受拉力P =10 kN的作用，試求最大剪應(yīng)力，并求與橫截面夾角30的斜截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力。解：拉壓桿斜截面上的應(yīng)力，直接由公式求之： 例例7 7圖示拉桿沿mn由兩部分膠合而成,受力P，設(shè)膠合面的許用拉應(yīng)力為=100MPa ；許用剪應(yīng)力為=50MPa ，并設(shè)桿的強度由膠合面控制,桿的橫截面積為A= 4cm，試問:為使桿承受最大拉力,a角值應(yīng)為多大?(規(guī)定: a在060度之間)。kN50,6 .26BBPa聯(lián)立(1)、(2)得：PPmna解：) 1 ( cos2aaAP)2(

15、cossinaaaAPPa6030B kN2 .463/ 41050460sin/60/cos260APkN50maxP(1)、(2)式的曲線如圖(2)，顯然，B點左 側(cè)由剪應(yīng)力控制桿的強度，B點右側(cè)由正應(yīng)力控制桿的強度，當a=60時，由(2)式得 kN44.553/ 41060460sin/60/cos260,1APBkN44.55maxP解(1)、(2)曲線交點處：kN4 .54;3111BBPa?;MPa60maxP討論：若Pa6030B1 1 1、桿的縱向總變形：、桿的縱向總變形： 3 3、平均線應(yīng)變：、平均線應(yīng)變：LLLLL1d 2 2、線應(yīng)變：單位長度的線變形。、線應(yīng)變：單位長度的

16、線變形。一、拉壓桿的變形及應(yīng)變一、拉壓桿的變形及應(yīng)變LLL1d1 14 4 拉壓桿的變形拉壓桿的變形 彈性定律彈性定律abcdxL4 4、x點處的縱向線應(yīng)變：點處的縱向線應(yīng)變：xxxdlim 06 6、x點處的橫向線應(yīng)變：點處的橫向線應(yīng)變：5 5、桿的橫向變形：、桿的橫向變形：accaacacacPP d ac bxxdL1二、拉壓桿的彈性定律二、拉壓桿的彈性定律APLL dEANLEAPLLd1 1、等內(nèi)力拉壓桿的彈性定律、等內(nèi)力拉壓桿的彈性定律2 2、變內(nèi)力拉壓桿的彈性定律、變內(nèi)力拉壓桿的彈性定律)(d)()d(xEAxxNxLLxEAxxNxL)(d)( )d(dniiiiiAELNL1

17、d內(nèi)力在內(nèi)力在n段中分別為常量時段中分別為常量時“EA”稱為桿的抗拉壓剛度。稱為桿的抗拉壓剛度。PPN（x）xd xN(x)dxx 1)()(1)d(ExAxNEdxx3 3、單向應(yīng)力狀態(tài)下的彈性定律、單向應(yīng)力狀態(tài)下的彈性定律 1:E即4 4、泊松比（或橫向變形系數(shù)）、泊松比（或橫向變形系數(shù)） :或三、是誰首先提出彈性定律三、是誰首先提出彈性定律 彈性定律是材料力學等固體力學一個非常重要的基礎(chǔ)。一般認為它是由英國科學家胡克(1635一1703)首先提出來的，所以通常叫做胡克定律。其實，在胡克之前1500年，我國早就有了關(guān)于力和變形成正比關(guān)系的記載。C1、怎樣畫小變形放大圖？變形圖嚴格畫法，圖中

18、弧線；求各桿的變形量Li ，如圖；變形圖近似畫法，圖中弧之切線。例例6 小變形放大圖與位移的求法。ABCL1L2P1L2LC2、寫出圖2中B點位移與兩桿變形間的關(guān)系A(chǔ)BCL1L2a1L2LBuBvB1LuB解：變形圖如圖2， B點位移至B點，由圖知：aasinctg21LLvB060sin6 . 12 . 18 . 060sinooATPTmkN55.113/PTMPa1511036.7655.119AT例例7 設(shè)橫梁ABCD為剛梁，橫截面面積為 76.36mm 的鋼索繞過無摩擦的定滑輪。設(shè) P=20kN，試求剛索的應(yīng)力和 C點的垂直位移。設(shè)剛索的 E =177GPa。解：方法1：小變形放大圖

19、法 1）求鋼索內(nèi)力：以ABCD為對象2) 鋼索的應(yīng)力和伸長分別為：800400400DCPAB60 60PABCDTTYAXAmm36. 1m17736.766 . 155.11EATLLCPAB60 60800400400DAB60 60DBD12CC3）變形圖如左圖 , C點的垂直位移為：260sin60sin 221DDBBLCmm79. 060sin236. 160sin2oL1 15 5 拉壓桿的彈性應(yīng)變能拉壓桿的彈性應(yīng)變能一一、彈性應(yīng)變能：彈性應(yīng)變能：桿件發(fā)生彈性變形，外力功轉(zhuǎn)變?yōu)樽冃文苜A存 與桿內(nèi)，這種能成為應(yīng)變能（Strain Energy）用“U”表示。二、二、 拉壓桿的應(yīng)變

20、能計算：拉壓桿的應(yīng)變能計算： 不計能量損耗時，外力功等于應(yīng)變能。) d)(d (xEAxNx xxNWUd)(21ddxEAxNUd2)(d2LxEAxNUd2)( 2niiiiiAELNU122內(nèi)力為分段常量時N（x）xd xN(x)dxx三、三、 拉壓桿的比能拉壓桿的比能 u： 單位體積內(nèi)的應(yīng)變能。21dd)(21ddxAxxNVUuN（x）xd xN(x)dxxdxxxddN(x)N(x)xd)(xNkN55.113/PT解：方法2：能量法： （外力功等于變形能） （1）求鋼索內(nèi)力：以ABD為對象：060sin6 . 12 . 18 . 060sinooATPTm例例7 設(shè)橫梁ABCD為

21、剛梁，橫截面面積為 76.36mm 的鋼索繞過無摩擦的定滑輪。設(shè) P=20kN，試求剛索的應(yīng)力和 C點的垂直位移。設(shè)剛索的 E =177GPa。800400400CPAB60 60PABCDTTYAXAEALTPC222mm79. 0 36.76177206 . 155.11 22PEALTCMPa1511036.7655.119AT（2) 鋼索的應(yīng)力為：（3) C點位移為：800400400CPAB60 60能量法能量法：利用應(yīng)變能的概念解決與結(jié)構(gòu)物：利用應(yīng)變能的概念解決與結(jié)構(gòu)物或構(gòu)件的彈性變形有關(guān)的問題，這種方法或構(gòu)件的彈性變形有關(guān)的問題，這種方法稱為能量法。稱為能量法。1 16 6 拉壓

22、超靜定問題及其處理方法拉壓超靜定問題及其處理方法1、超靜定問題、超靜定問題：單憑靜平衡方程不能確定出全部未知力 （外力、內(nèi)力、應(yīng)力）的問題。一、超靜定問題及其處理方法一、超靜定問題及其處理方法2、超靜定的處理方法、超靜定的處理方法：平衡方程、變形協(xié)調(diào)方程、物理 方程相結(jié)合，進行求解。例例8 設(shè)1、2、3三桿用鉸鏈連接如圖，已知：各桿長為：L1=L2、 L3 =L ；各桿面積為A1=A2=A、 A3 ；各桿彈性模量為：E1=E2=E、E3。外力沿鉛垂方向，求各桿的內(nèi)力。CPABDaa123解：、平衡方程:0sinsin21aaNNX0coscos321PNNNYaaPAaaN1N3N211111

23、AELNL 33333AELNL幾何方程變形協(xié)調(diào)方程：物理方程彈性定律：補充方程：由幾何方程和物理方程得。解由平衡方程和補充方程組成的方程組，得:acos31LLacos33331111AELNAELN333113333331121121cos2 ; cos2cosAEAEPAENAEAEPAENNaaaCABDaa123A11L2L3L平衡方程；幾何方程變形協(xié)調(diào)方程；物理方程彈性定律；補充方程：由幾何方程和物理方程得；解由平衡方程和補充方程組成的方程組。3、超靜定問題的方法步驟：、超靜定問題的方法步驟：例例9 9 木制短柱的四角用四個40404的等邊角鋼加固，角鋼和木材的許用應(yīng)力分別為1=1

24、60M Pa和2=12MPa，彈性模量分別為E1=200GPa 和 E2 =10GPa；求許可載荷P。0421PNNY21LL2222211111LAELNAELNL幾何方程物理方程及補充方程：解：平衡方程:PPy4N1N2PPy4N1N2 解平衡方程和補充方程，得:PNPN72. 0 ; 07. 021 11107. 0APN求結(jié)構(gòu)的許可載荷： 方法1:角鋼面積由型鋼表查得角鋼面積由型鋼表查得: : A1 1=3.086=3.086cm222272. 0APN kN104272. 0/1225072. 0/2222AP kN4 .70507. 0/1606 .30807. 0/111AP m

25、m8 . 0/111ELmm2 . 1/222EL所以在所以在1 1= =2 2 的前提下，角鋼將先達到極限狀態(tài)，的前提下，角鋼將先達到極限狀態(tài)， 即角鋼決定最大載荷。即角鋼決定最大載荷。求結(jié)構(gòu)的許可載荷： 07. 0 07. 0111ANPkN4 .70507. 06 .308160另外：若將鋼的面積增大另外：若將鋼的面積增大5倍，怎樣？倍，怎樣？ 若將木的面積變?yōu)槿魧⒛镜拿娣e變?yōu)?5mm，又又怎樣？怎樣？結(jié)構(gòu)的最大載荷永遠由鋼控制著結(jié)構(gòu)的最大載荷永遠由鋼控制著。方法2:、幾何方程解：、平衡方程:2、靜不定問題存在裝配應(yīng)力靜不定問題存在裝配應(yīng)力。0sinsin21aaNNX0coscos32

26、1NNNYaa13cos)(LLa二、裝配應(yīng)力二、裝配應(yīng)力預(yù)應(yīng)力預(yù)應(yīng)力1、靜定問題無裝配應(yīng)力。、靜定問題無裝配應(yīng)力。 如圖，3號桿的尺寸誤差為，求各桿的裝配內(nèi)力。ABC12ABC12DA13aaacos)(33331111AELNAELN、物理方程及補充方程： 、解平衡方程和補充方程，得: / cos21cos33113211321AEAEAELNNaa / cos21cos23311331133AEAEAELNaaA1aaN1N2N3AA13L2L1L1 1、靜定問題無溫度應(yīng)力。、靜定問題無溫度應(yīng)力。三三 、裝配溫度、裝配溫度 如圖，1、2號桿的尺寸及材料都相同，當結(jié)構(gòu)溫度由T1變到T2時,

27、求各桿的溫度內(nèi)力。（各桿的線膨脹系數(shù)分別為ai ; T= T2 -T1)ABC12CABD123A11L2L3L2 2、靜不定問題存在溫度應(yīng)力。、靜不定問題存在溫度應(yīng)力。CABD123A11L2L3L、幾何方程解：、平衡方程:0sinsin21NNX0coscos321NNNYcos31LLiiiiiiiLTAELNLa、物理方程：PAaaN1N3N2CABD123A11L2L3L、補充方程aacos)(333333111111LTAELNLTAELN解平衡方程和補充方程，得: / cos21)cos(331132311121AEAETAENNaa / cos21cos)cos(2331132

28、31113AEAETAENaa aaaaN1N2例例10 如圖，階梯鋼桿的上下兩端在T1=5 時被固定,桿的上下兩段的面積分別 =cm2 ， =cm2，當溫度升至T2 =25時,求各桿的溫度應(yīng)力。 (線膨脹系數(shù)a =12.5 ； 彈性模量E=200GPa)C1106、幾何方程：解：、平衡方程：021NNY0NTLLL、物理方程解平衡方程和補充方程，得:kN 3 .3321 NN、補充方程2211 ; 2EAaNEAaNLTaLNTa22112EANEANTa、溫度應(yīng)力MPa 7 .66111ANMPa 3 .33222AN1 17 7 材料在拉伸和壓縮時的力學性能材料在拉伸和壓縮時的力學性能一、試驗條件及試驗儀器一、試驗條件及試驗儀器1 1、試驗條件：常溫、試驗條件：常溫(20)(20)；靜載（及其緩慢地加載）；靜載（及其緩慢地加載）； 標準試件。標準試件。dh力學性能：材料在外力作用下表現(xiàn)的有關(guān)強度、變形方面的特性。2 2、試驗儀器：萬能材料試驗機；變形儀（常用引伸儀）。、試驗儀器：萬能材料試驗機；變形儀（常用引伸儀）。EEAPLL二、低碳鋼試件的拉伸圖二、低碳鋼試件的拉伸圖( (P- - L圖圖) )三、低碳鋼試件的應(yīng)力三