第一章 行列式及其應(yīng)用

1、音樂音樂音樂音樂主講教師：主講教師： 何何 敏敏 勇勇 第一章第一章行列式及其應(yīng)用行列式及其應(yīng)用3第一節(jié)第一節(jié) n 階行列式階行列式一、二階行列式的引入一、二階行列式的引入:22)1(a ,2212221212211abxaaxaa :12)2(a ,1222221212112abxaaxaa ，得，得兩式相減消去兩式相減消去2x;)(212221121122211baabxaaaa (2) (1) 22221211212111bxaxabxaxa4;)(212221121122211baabxaaaa ，得，得類似地，消去類似地，消去1x,)(211211221122211abbaxaaaa

2、 時，時，所以當(dāng)所以當(dāng)021122211 aaaa方程組有唯一解方程組有唯一解，211222112122211aaaabaabx .211222112112112aaaaabbax .,22221211212111bxaxabxaxa)1()2(5引入記號引入記號定義定義2112221122211211aaaaaaaa 稱為二階行列式稱為二階行列式. .主對角線主對角線對角線法則對角線法則2211aa 二階行列式的計算二階行列式的計算2112aa 11a21a12a22a，211222112122211aaaabaabx .211222112112112aaaaabbax 主對角線主對角線6二

3、、三階行列式二、三階行列式三元線性方程組三元線性方程組 333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa211121323112113222112112)()(babaxaaaaxaaaa 311131333113113232113112)()(babaxaaaaxaaaa 321231333213123232213122)()(babaxaaaaxaaaa 32a )(22a 12a 31221333211232231132211331231233221132112322112311223211131221322113aaaaaaaaaa

4、aaaaaaaabaabaabaabaabaaaabx 731221333211232231132211331231233221132112322112311223211131221322113aaaaaaaaaaaaaaaaaabaabaabaabaabaaaabx 引入記號引入記號定義定義稱為稱為三階行列式三階行列式. .,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa8333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 對角線法

5、則對角線法則說明：說明： 1、三階行列式包括、三階行列式包括3!項，每一項都是位于項，每一項都是位于不同行，不同列的三個元素的乘積不同行，不同列的三個元素的乘積，其中三項為正，其中三項為正，三項為負(fù)三項為負(fù).322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 2、對角線法則只適用于二階與三階行列式、對角線法則只適用于二階與三階行列式91 1、計算行列式：計算行列式：.52112 (1)(1)(2)(2)140053101 .7125 .0000 abcacbcbcaba(3)(3)10三、全排列及其逆序數(shù)三、全排列及其逆序數(shù) 由由n個不同數(shù)碼個不同數(shù)碼1,2,n 組

6、成的有序數(shù)組組成的有序數(shù)組 i1i2in, 稱為一個稱為一個n級排列級排列.定義定義 在一個在一個n級排列級排列 i1i2in 中中, 如果有較大的數(shù)如果有較大的數(shù) it 排在較小的數(shù)排在較小的數(shù) is 前面前面(is1)共有共有n!個個 n 級排列級排列, 其中奇偶排其中奇偶排列各占一半列各占一半.14四、四、n階行列式階行列式333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa (1) 三階行列式共有三階行列式共有 3! = 6 項項(2) 每項都是位于不同行不同列的三個元素

7、的乘積每項都是位于不同行不同列的三個元素的乘積(3) 每項的正負(fù)號都取決于位于不同行不同列的三個每項的正負(fù)號都取決于位于不同行不同列的三個元素的下標(biāo)排列元素的下標(biāo)排列例如例如322113aaa列標(biāo)排列列標(biāo)排列312是偶排列是偶排列,正號正號 322311aaa,負(fù)號負(fù)號 列標(biāo)排列列標(biāo)排列132是奇排列是奇排列,15.)1(321321321321)( pppppppppaaa 333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 16nnnnnnaaaaaaaaaD2122221

8、11211 定義定義 用用n2個元素個元素aij (i,j =1,2,n) 組成的記號組成的記號定義為定義為,)1(21212121)(nnnnpppppppppaaa ).det(ija簡記作簡記作determinant為這個排列的逆序數(shù)為這個排列的逆序數(shù)的一個排列，的一個排列，為自然數(shù)為自然數(shù)其中其中)(212121nnpppnppp n階行列式是階行列式是n!項的代數(shù)和項的代數(shù)和,不同列的不同列的n個元素的乘積個元素的乘積.每項都是位于不同行、每項都是位于不同行、17所表示的代數(shù)和中有所表示的代數(shù)和中有4! = 24項項.例如例如, 四階行列式四階行列式44434241343332312

9、423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 例如例如, a11a22a33a44項取正號項取正號, a14a23a31a42項取負(fù)號項取負(fù)號, a11a24a33a44不是不是D的項的項.18 D中各項中不為零的項只有中各項中不為零的項只有a11a22ann, 其它項其它項均為零均為零, 由于由于 (12n) = 0, 因此這一項取正號因此這一項取正號, 得得例例9 9 計算上計算上三角行列式三角行列式nnnnaaaaaaD000022211211 解解nnnnaaaaaa00022211211.2211nnaaa 19同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式.2211n

10、naaa nnnnaaaaaa2122211100020特殊情況：特殊情況：.00000000000000002211332211nnnnaaaaaaa 這種行列式稱為這種行列式稱為對角行列式對角行列式.21例例1010 計算行列式計算行列式000000000000dcbaD 解解abcdD)4321()1( .abcd 練習(xí)練習(xí): : 推廣到推廣到 n 階情況。階情況。22n 21.)1(212)1(nnn 2)1()12)1( nnnn 23例例1111 設(shè)設(shè),1211123111211)(xxxxxf .3的的系系數(shù)數(shù)求求 x含含 的項有兩項的項有兩項,即即3x解解43342211)12

11、43()1(aaaa 44332211)1234()1(aaaa 3x 32x . 13 的系數(shù)為的系數(shù)為故故 x,3x 24練習(xí)：練習(xí)：P8 習(xí)題習(xí)題 1.11. 25說明說明 行列式中行與列的地位是對等的行列式中行與列的地位是對等的, ,因此行列式因此行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立. .第二節(jié)第二節(jié) 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即行列式行列式 稱為行列式稱為行列式 D 的轉(zhuǎn)置行列式的轉(zhuǎn)置行列式. TDnnaaa2211nnaaa21122121nnaaa TDnnaaa2211

12、 D記記2121nnaaannaaa2112證略證略DDT 26性質(zhì)性質(zhì)2 2 交換行列式的兩行交換行列式的兩行( (列列),),行列式的值變號行列式的值變號. .例如例如,571571 266853.825825 361567567361266853證略證略推論推論 如果行列式有兩行如果行列式有兩行( (列列) )完全相同，則此行列完全相同，則此行列式為零式為零. .證明證明互換相同的兩行，有互換相同的兩行，有 . 0 D,DD 27性質(zhì)性質(zhì)3 3 行列式的某一行行列式的某一行( (列列) )中所有的元素都乘以中所有的元素都乘以同一數(shù)同一數(shù)k，等于用數(shù)等于用數(shù)k乘此行列式乘此行列式, , 即

13、即證略證略nnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211 說明說明行列式的某一行行列式的某一行(列列)中所有元素若有公因子中所有元素若有公因子, 可以提到行列式符號的外面可以提到行列式符號的外面推論推論如果行列式有兩行如果行列式有兩行(列列)的對應(yīng)元素成比例的對應(yīng)元素成比例, 則則行列式的值等于零行列式的值等于零.28性質(zhì)性質(zhì)4 4若行列式的某一列若行列式的某一列( (行行) )的元素都是兩數(shù)之和的元素都是兩數(shù)之和, ,nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(2122222211111211

14、則則D等于下列兩個行列式之和：等于下列兩個行列式之和：nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 122211111122211111例如例如注意注意： 一次只能拆一行或一列一次只能拆一行或一列.證證略略29例例1 1 證明證明3332221113333332222221111112cbacbacbaaccbbaaccbbaaccbba 由性質(zhì)由性質(zhì)4 4， 證證上式左邊上式左邊 333332222211111333332222211111accbbaccbbaccbbaccbaaccbaaccba 3333222211113333222211113333222

15、21111333322221111accbaccbaccbacbbacbbacbbacbaacbaacbaccbaccbaccba 30333322221111333322221111333322221111333322221111accbaccbaccbacbbacbbacbbacbaacbaacbaccbaccbaccba 由性質(zhì)由性質(zhì)2 2推論，第二、第三個行列式的值為推論，第二、第三個行列式的值為0 0； 再由性質(zhì)再由性質(zhì)4 4，把第一、第四個行列式分別拆成兩個行列，把第一、第四個行列式分別拆成兩個行列式之和并化簡后，式之和并化簡后， 上式上式333222111333222111acbacbacbcbacbacba .2333222111cbacbacba 31njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111njnjnjninjjjinjjijiaakaaaaakaaaaakaaakcc)()()(1222221111111 k例如例如列列 column行行 row性質(zhì)性質(zhì)5把行列式的某一列把行列式的某一列(行行)的各元素乘以同一數(shù)的各元素乘以同一數(shù)k后后加到另一列加到另一列(行行)對應(yīng)的元素上去，行列式的值不變對應(yīng)的元素上去，行列式的值不變32補充例題補充例題331111111111111111 2000220022201111 .8 5