概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件最新完整版

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計 2006-02-10 第一章 隨機(jī)事件及其概率2022-4-301.1 隨機(jī)事件及其概率的統(tǒng)計定義一、概率論的誕生及應(yīng)用一、概率論的誕生及應(yīng)用1654年年,一個名叫梅累的騎士就一個名叫梅累的騎士就“兩個賭徒約兩個賭徒約定賭若干局定賭若干局, 且誰先贏且誰先贏 c 局便算贏家局便算贏家, 若在一賭徒若在一賭徒勝勝 a 局局 ( ac ),另一賭徒勝另一賭徒勝b局局(bc)時便終止賭時便終止賭博博,問應(yīng)如何分賭本問應(yīng)如何分賭本” 為題求教于帕斯卡為題求教于帕斯卡, 帕斯卡帕斯卡與費(fèi)馬通信討論這一問題與費(fèi)馬通信討論這一問題, 于于1654 年共同建立了年共同建立了概率論的第一個基本

2、概念概率論的第一個基本概念數(shù)學(xué)期望。數(shù)學(xué)期望。 概率論是數(shù)學(xué)的一個分支概率論是數(shù)學(xué)的一個分支,它研究隨機(jī)現(xiàn)象的它研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律數(shù)量規(guī)律. 概率論的廣泛應(yīng)用幾乎遍及所有的科概率論的廣泛應(yīng)用幾乎遍及所有的科學(xué)領(lǐng)域?qū)W領(lǐng)域, 例如天氣預(yù)報例如天氣預(yù)報, 地震預(yù)報地震預(yù)報, 產(chǎn)品的抽樣調(diào)產(chǎn)品的抽樣調(diào)查查; 另外在另外在經(jīng)濟(jì)、金融、保險；管理決策；生物經(jīng)濟(jì)、金融、保險；管理決策；生物醫(yī)藥；農(nóng)業(yè)（試驗設(shè)計等）等領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用醫(yī)藥；農(nóng)業(yè)（試驗設(shè)計等）等領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用.在一定條件下必然發(fā)生在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象. . “太陽不會從西邊升起太陽不會從西邊升起”,1

3、.確定性現(xiàn)象確定性現(xiàn)象 “可導(dǎo)必連續(xù)可導(dǎo)必連續(xù)”,“水從高處流向低處水從高處流向低處”,實例實例自然界所觀察到的現(xiàn)象自然界所觀察到的現(xiàn)象: 確定性現(xiàn)象確定性現(xiàn)象 隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象 二、隨機(jī)現(xiàn)象 確定性現(xiàn)象的特征確定性現(xiàn)象的特征: 條件完全決定結(jié)果條件完全決定結(jié)果在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象.實例實例1 “在相同條件下擲一枚均勻的硬幣在相同條件下擲一枚均勻的硬幣,觀觀察正反兩面出現(xiàn)的情況察正反兩面出現(xiàn)的情況”.2. 隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象 結(jié)果有可能結(jié)果有可能出現(xiàn)正面出現(xiàn)正面也可能也可能出現(xiàn)反面出現(xiàn)反面.結(jié)果有可能為結(jié)果有可能為:

4、“1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或或 “6”. 實例實例3 “拋擲一枚骰子拋擲一枚骰子,觀觀 察出現(xiàn)的點數(shù)察出現(xiàn)的點數(shù)”. 實例實例2 “用同一門炮向同用同一門炮向同 一目標(biāo)發(fā)射同一種炮彈多一目標(biāo)發(fā)射同一種炮彈多 發(fā)發(fā) , 觀察彈落點的情況觀察彈落點的情況”.結(jié)果結(jié)果: “彈落點會各不相同彈落點會各不相同”.實例實例4 “從一批含有正從一批含有正品和次品的產(chǎn)品中任意抽品和次品的產(chǎn)品中任意抽取一個產(chǎn)品取一個產(chǎn)品”.其結(jié)果可能為其結(jié)果可能為: 正品正品 、次品次品.實例實例5 “過馬路交叉口時過馬路交叉口時,可能遇上各種顏色的交通可能遇上各種顏色的交通指揮燈指揮燈”.實例實例6 “

5、一只燈泡的壽命一只燈泡的壽命” 可長可可長可短短.隨機(jī)現(xiàn)象的特征隨機(jī)現(xiàn)象的特征:條件不能完全決定結(jié)果條件不能完全決定結(jié)果2. 隨機(jī)現(xiàn)象在一次觀察中出現(xiàn)什么結(jié)果具有隨機(jī)現(xiàn)象在一次觀察中出現(xiàn)什么結(jié)果具有偶然偶然性性, 但在大量重復(fù)試驗或觀察中但在大量重復(fù)試驗或觀察中, 這種結(jié)果的出現(xiàn)這種結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的具有一定的統(tǒng)計規(guī)律性統(tǒng)計規(guī)律性 , 概率論就是研究隨機(jī)現(xiàn)概率論就是研究隨機(jī)現(xiàn)象這種本質(zhì)規(guī)律的一門數(shù)學(xué)學(xué)科象這種本質(zhì)規(guī)律的一門數(shù)學(xué)學(xué)科.隨機(jī)現(xiàn)象是通過隨機(jī)試驗來研究的隨機(jī)現(xiàn)象是通過隨機(jī)試驗來研究的.問題問題 什么是隨機(jī)試驗什么是隨機(jī)試驗?如何來研究隨機(jī)現(xiàn)象如何來研究隨機(jī)現(xiàn)象?說明說明1. 隨機(jī)現(xiàn)象

6、揭示了條件和結(jié)果之間的非確定性聯(lián)隨機(jī)現(xiàn)象揭示了條件和結(jié)果之間的非確定性聯(lián)系系 , 其數(shù)量關(guān)系無法用函數(shù)加以描述其數(shù)量關(guān)系無法用函數(shù)加以描述. 1. 可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行; 2. 每次試驗的可能結(jié)果不止一個每次試驗的可能結(jié)果不止一個,并且能事并且能事先明確試驗的所有可能結(jié)果先明確試驗的所有可能結(jié)果; 3. 進(jìn)行一次試驗之前不能確定哪一個結(jié)果進(jìn)行一次試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn)會出現(xiàn).定義定義 在概率論中在概率論中,把具有以下三個特征的試驗稱把具有以下三個特征的試驗稱為為隨機(jī)試驗隨機(jī)試驗.三、隨機(jī)試驗說明說明 1. 隨機(jī)試驗簡稱為試驗隨機(jī)試驗簡稱為試驗, 是

7、一個廣泛的術(shù)語是一個廣泛的術(shù)語.它包它包括各種各樣的科學(xué)實驗括各種各樣的科學(xué)實驗, 也包括對客觀事物進(jìn)行也包括對客觀事物進(jìn)行的的 “調(diào)查調(diào)查”、“觀察觀察”、或、或 “測量測量” 等等.實例實例 “拋擲一枚硬幣拋擲一枚硬幣,觀觀察正面察正面,反面出現(xiàn)的情況反面出現(xiàn)的情況”.分析分析 2. 隨機(jī)試驗通常用隨機(jī)試驗通常用 E 來表示來表示.(1) 試驗可以在試驗可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行;1.“拋擲一枚骰子拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù)觀察出現(xiàn)的點數(shù)”.2.“從一批產(chǎn)品中從一批產(chǎn)品中,依次任選三件依次任選三件,記記 錄出現(xiàn)正品與次品的件數(shù)錄出現(xiàn)正品與次品的件數(shù)”.同理可知下列

8、試驗都為隨機(jī)試驗同理可知下列試驗都為隨機(jī)試驗(2) 試驗的所有可能結(jié)果試驗的所有可能結(jié)果:正面正面，反面反面;(3) 進(jìn)行一次進(jìn)行一次試驗之前不能試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn)確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn). 故為隨機(jī)試驗故為隨機(jī)試驗.3. 記錄某公共汽車站記錄某公共汽車站某日上午某時刻的等某日上午某時刻的等車人車人 數(shù)數(shù).4. 考察某地區(qū)考察某地區(qū) 10 月月份的平均氣溫份的平均氣溫.5. 從一批燈泡中任取從一批燈泡中任取一只一只,測試其壽命測試其壽命. 四、概率的統(tǒng)計定義、隨機(jī)事件：在試驗的結(jié)果中，可能發(fā)生、也可能不發(fā)、隨機(jī)事件：在試驗的結(jié)果中，可能發(fā)生、也可能不發(fā)生的事件。比如，拋硬幣試驗中，生

9、的事件。比如，拋硬幣試驗中，”徽花向上徽花向上”是隨機(jī)事是隨機(jī)事件；擲一枚骰子中，件；擲一枚骰子中，”出現(xiàn)奇數(shù)點出現(xiàn)奇數(shù)點”是一個隨機(jī)事件等。是一個隨機(jī)事件等。、頻率：設(shè)、頻率：設(shè)A為實驗為實驗E中的一個隨機(jī)事件，將中的一個隨機(jī)事件，將E重復(fù)重復(fù)n次，次，A發(fā)生發(fā)生m次，稱次，稱f(A)=m/n為事件為事件A的頻率的頻率 隨著實驗次數(shù)隨著實驗次數(shù)n的增加，頻率將處于穩(wěn)定狀態(tài)比如投的增加，頻率將處于穩(wěn)定狀態(tài)比如投硬幣實驗，頻率將穩(wěn)定在硬幣實驗，頻率將穩(wěn)定在1/2附近附近、統(tǒng)計概率：將事件、統(tǒng)計概率：將事件A的頻率的穩(wěn)定值的頻率的穩(wěn)定值p作為事件作為事件A出現(xiàn)出現(xiàn)的可能性的度量，即的可能性的度量，

10、即P(A)=p為事件為事件A的統(tǒng)計概率的統(tǒng)計概率統(tǒng)計概率的缺點：統(tǒng)計概率的缺點：（）需要大量的重復(fù)試驗（）需要大量的重復(fù)試驗（）得到的是概率的近似值（）得到的是概率的近似值1.2 樣本空間定義定義1 1 對于隨機(jī)試驗對于隨機(jī)試驗E E，它的每一個可它的每一個可能結(jié)果稱為能結(jié)果稱為樣本點樣本點，由一個樣本點組成的，由一個樣本點組成的單點集稱為單點集稱為基本事件基本事件。所有樣本點構(gòu)成的。所有樣本點構(gòu)成的集合稱為集合稱為E E 的的樣本空間或必然事件樣本空間或必然事件，用 或S表示表示 我們規(guī)定不含任何元素的空集為不可能件我們規(guī)定不含任何元素的空集為不可能件，用用 表示表示。P()=1,P( )=

11、0例例、設(shè)試驗為拋一枚硬幣，觀察是正面還是反、設(shè)試驗為拋一枚硬幣，觀察是正面還是反面，則樣本空間為：面，則樣本空間為：=正面，反面或正面，反面或1,2例例、設(shè)試驗為從裝有三個白球（記為，、設(shè)試驗為從裝有三個白球（記為，號）與兩個黑球（記為，號）的袋中任取號）與兩個黑球（記為，號）的袋中任取兩個球兩個球（）觀察取出的兩個球的顏色，則樣本空間為：（）觀察取出的兩個球的顏色，則樣本空間為： =00, 11, 0100表示表示“取出兩個白球取出兩個白球”，11表示表示“取出兩個黑球取出兩個黑球”，01表示表示“取出一個白球與一個黑球取出一個白球與一個黑球”（）觀察取出的兩個球的號碼，則樣本空間為： =

12、12, 13, 14, 15, 23, 24,25, 34, 35, 45 ij表示“取出第i號與第j號球”注：試驗的樣本空間是根據(jù)試驗的內(nèi)容確定的！隨機(jī)事件隨機(jī)事件 隨機(jī)試驗隨機(jī)試驗 E 的樣本空間的樣本空間 的子集的子集(或某些樣本點的子集），稱為或某些樣本點的子集），稱為 E 的隨機(jī)事件的隨機(jī)事件, 簡稱事件簡稱事件.試驗中試驗中,骰子骰子“出現(xiàn)出現(xiàn)1點點”, “出現(xiàn)出現(xiàn)2點點”, ,“出出現(xiàn)現(xiàn)6點點”,“點數(shù)不大于點數(shù)不大于4”, “點數(shù)為偶數(shù)點數(shù)為偶數(shù)” 等都為隨機(jī)事件等都為隨機(jī)事件. 實例實例 拋擲一枚骰子拋擲一枚骰子, 觀察出現(xiàn)的點數(shù)觀察出現(xiàn)的點數(shù). 例3 寫出擲骰子試驗的樣本點

13、寫出擲骰子試驗的樣本點, , 樣本空間樣本空間, , 基本事件基本事件, , 事件事件A A出現(xiàn)偶數(shù)出現(xiàn)偶數(shù), , 事件事件B B出現(xiàn)奇數(shù)出現(xiàn)奇數(shù) 基本事件基本事件 解：解：用用 表示擲骰子出現(xiàn)的點數(shù)為表示擲骰子出現(xiàn)的點數(shù)為 i; 6, 1,ii,654321 ; 6 , 2 , 1, iiAii ;,642 A.,531 B 小結(jié)隨機(jī)現(xiàn)象的特征隨機(jī)現(xiàn)象的特征:1條件不能完全決定結(jié)果條件不能完全決定結(jié)果.2. 隨機(jī)現(xiàn)象是通過隨機(jī)試驗來研究的隨機(jī)現(xiàn)象是通過隨機(jī)試驗來研究的. (1) 可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行;(2) 每次試驗的可能結(jié)果不止一個每次試驗的可能結(jié)果不止

14、一個, 并且能事并且能事 先明確試驗的所有可能結(jié)果先明確試驗的所有可能結(jié)果;(3) 進(jìn)行一次試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會進(jìn)行一次試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會 出現(xiàn)出現(xiàn). 隨隨機(jī)機(jī)試試驗驗 3. 隨機(jī)試驗隨機(jī)試驗、樣本空間與隨機(jī)事件的關(guān)系樣本空間與隨機(jī)事件的關(guān)系隨機(jī)試驗隨機(jī)試驗、樣本空間與隨機(jī)事件的關(guān)系樣本空間與隨機(jī)事件的關(guān)系 每一個隨機(jī)試驗相應(yīng)地有一個樣本空間每一個隨機(jī)試驗相應(yīng)地有一個樣本空間, 樣樣本空間的子集就是隨機(jī)事件本空間的子集就是隨機(jī)事件.隨機(jī)試驗隨機(jī)試驗樣本空間樣本空間子集子集隨機(jī)事件隨機(jī)事件必然事件不可能事件是兩個特殊的必然事件不可能事件是兩個特殊的 隨機(jī)事件隨機(jī)事件.),( ,

15、 , ,的子集是而的樣本空間為設(shè)試驗21 kABAEk 1. 包含關(guān)系包含關(guān)系若事件若事件 A 出現(xiàn)出現(xiàn), 必然導(dǎo)致必然導(dǎo)致 B 出現(xiàn)出現(xiàn) ,則稱事件則稱事件 B 包含事件包含事件 A,記記作作.BAAB 或或?qū)嵗龑嵗?“長度不合格長度不合格” 必然導(dǎo)致必然導(dǎo)致 “產(chǎn)品不合產(chǎn)品不合格格”所以所以“產(chǎn)品不合格產(chǎn)品不合格” 包含包含“長度不合格長度不合格”.圖示圖示 B 包含包含 A. BA1.3 事件的關(guān)系及運(yùn)算一一. .隨機(jī)事件間的關(guān)系隨機(jī)事件間的關(guān)系若事件若事件A包含事件包含事件B,而且事件而且事件B包含事件包含事件A, 則稱事則稱事件件A與事件與事件B相等相等,記作記作 A=B.2. 事件

16、的和事件的和(并并).|. ,BeAeeBABABABA 或或，顯顯然然記記作作的的與與事事件件稱稱為為事事件件個個事事件件至至少少發(fā)發(fā)生生一一個個”也也是是一一“二二事事件件和和事事件件實例實例 某種產(chǎn)品的合格與否是由該產(chǎn)品的長度與某種產(chǎn)品的合格與否是由該產(chǎn)品的長度與直徑是否合格所決定直徑是否合格所決定,因此因此 “產(chǎn)品不合格產(chǎn)品不合格”是是“長度長度不合格不合格”與與“直徑不合格直徑不合格”的并的并.圖示事件圖示事件 A 與與 B 的并的并. BA;, , , , 至至少少發(fā)發(fā)生生一一個個即即的的和和事事件件個個事事件件為為稱稱nnknkAAAAAAnA21211 3. 事件的交事件的交

17、(積積).ABBA或或積事件也可記作積事件也可記作 ., , ,至至少少發(fā)發(fā)生生一一個個即即的的和和事事件件為為可可列列個個事事件件稱稱21211AAAAAkk .| ,BeAeeBABABABA 且且，顯顯然然記記作作的的與與事事件件事事件件稱稱為為也也是是一一個個事事件件同同時時發(fā)發(fā)生生二二事事件件積積事事件件, ,推廣推廣圖示事件圖示事件A與與B 的積的積事件事件. ABAB實例實例 某種產(chǎn)品的合格與否是由該產(chǎn)品的長度某種產(chǎn)品的合格與否是由該產(chǎn)品的長度 與直徑是否合格所決定與直徑是否合格所決定,因此因此“產(chǎn)品合格產(chǎn)品合格”是是“長度合格長度合格”與與“直徑合格直徑合格”的交或積事件的交或

18、積事件.和事件與積事件的運(yùn)算性和事件與積事件的運(yùn)算性質(zhì)質(zhì),AAA , A,AA ,AAA ,AA . A;, , , ,21211同時發(fā)生即的積事件個事件為稱推廣nnnkkAAAAAAnA., , ,21211同時發(fā)生即的積事件為可列個事件稱AAAAAkk實例實例 拋擲一枚硬幣拋擲一枚硬幣, “出現(xiàn)花面出現(xiàn)花面” 與與 “出現(xiàn)字面出現(xiàn)字面” 是互不相容的兩個事件是互不相容的兩個事件.4. 事件事件的的互不相容互不相容 (互斥互斥) 若事件若事件 A 、B 滿足滿足則稱事件則稱事件 A與與B互不相容互不相容. ABBA“骰子出現(xiàn)骰子出現(xiàn)1點點” “骰子出現(xiàn)骰子出現(xiàn)2點點”圖示圖示 A與與B互互斥

19、斥 AB互斥互斥實例實例 拋擲一枚骰子拋擲一枚骰子, 觀察出現(xiàn)的點數(shù)觀察出現(xiàn)的點數(shù) . 說明說明 當(dāng)當(dāng)A B= 時時,可將可將A B記為記為“直和直和”形式形式A+B. 任意事件任意事件A與不可能事件與不可能事件為互斥為互斥.5. 事件的差事件的差圖示圖示 A 與與 B 的差的差 AB BAB AB BA BA 實例實例 “長度合格但直徑不合格長度合格但直徑不合格”是是“長度合格長度合格” 與與“直徑合格直徑合格”的差的差.A事件事件 “A 出現(xiàn)而出現(xiàn)而 B 不出現(xiàn)不出現(xiàn)”，稱為事件，稱為事件 A 與與 B 的差的差. 記作記作 A- - B(或或 )BA 若事件若事件 A 、B 滿足滿足則稱

20、則稱 A 與與B 為為互逆互逆(或?qū)α⒒驅(qū)α?事件事件. A 的逆記作的逆記作.A實例實例 “骰子出現(xiàn)骰子出現(xiàn)1點點” “骰子不出現(xiàn)骰子不出現(xiàn)1點點”圖示圖示 A 與與 B 的對立的對立. BA . ABBA且A6. 事件的互逆（對立）事件的互逆（對立）對立對立 若事件若事件 A 、B 滿足滿足則稱則稱 A 與與B 為為互逆互逆(或?qū)α⒒驅(qū)α?事件事件. A 的逆記作的逆記作.A實例實例 “骰子出現(xiàn)骰子出現(xiàn)1點點” “骰子不出現(xiàn)骰子不出現(xiàn)1點點”圖示圖示 A 與與 B 的對立的對立. BA . ABBA且A6. 事件的互逆（對立）事件的互逆（對立）對立對立二二.事件間的運(yùn)算規(guī)律事件間的運(yùn)算規(guī)律

21、.,)1(BAABABBA 交換律交換律),()()2(CBACBA 結(jié)合律結(jié)合律ACABCBAACABCABACBA )(,)()()()(分配律分配律3.,:(4)BABABABA 律律對偶則有則有為事件為事件設(shè)設(shè) ,CBA).()(BCACAB ).)()()()(CBCACBCACBA niiniiniiniiAAAA1111, .,2;, 2 , 1,1,21210021完備事件組也稱為的一個劃分為樣本空間則稱若的一組事件為的樣本空間為試驗設(shè)定義nnjinAAAAAAnjiAAEAAAE三 完備事件組1A2A3AnA1nA例例1 設(shè)設(shè)A,B,C 表示三個隨機(jī)事件表示三個隨機(jī)事件, ,

22、試將下列事件試將下列事件用用A,B,C 表示出來表示出來. .(1) A 出現(xiàn)出現(xiàn) , B, C 不出現(xiàn)不出現(xiàn);(5) 三個事件都不出現(xiàn)三個事件都不出現(xiàn);(2) A, B都出現(xiàn)都出現(xiàn), C 不出現(xiàn)不出現(xiàn);(3) 三個事件都出現(xiàn)三個事件都出現(xiàn);(4) 三個事件至少有一個出現(xiàn)三個事件至少有一個出現(xiàn);解解CBA)(1;)(CABorCAB2;)3(ABC;)4(CBA;)5(CBA(6) 不多于一個事件出現(xiàn)不多于一個事件出現(xiàn);CBAor);(CBAor;)6(CBACBACBACBA A)BA(AB等式等式運(yùn)用事件運(yùn)算關(guān)系證明運(yùn)用事件運(yùn)算關(guān)系證明例例2則則由于由于證明證明,BABAABAAB)(AB

23、AAB)(ABBA)(AA逆分配律概率論與集合論之間的對應(yīng)關(guān)系概率論與集合論之間的對應(yīng)關(guān)系記號記號概率論概率論集合論集合論樣本空間樣本空間, ,必然事件必然事件不可能事件不可能事件基本事件基本事件隨機(jī)事件隨機(jī)事件A的對立事件的對立事件A出現(xiàn)必然導(dǎo)致出現(xiàn)必然導(dǎo)致B出現(xiàn)出現(xiàn)事件事件A與事件與事件B相等相等空間空間(全集全集)空集空集元素元素子集子集A的補(bǔ)集的補(bǔ)集A是是B的子集的子集A集合與集合與B集合相等集合相等四、小結(jié)BA 事件事件A與事件與事件B的差的差 A與與B兩集合的差集兩集合的差集 AB事件事件A與與B互不相容互不相容A與與B 兩集合中沒有兩集合中沒有相同的元素相同的元素BA事件事件A與

24、事件與事件B的和的和 A集合與集合與B集合的并集集合的并集AB 事件事件A與與B的積事件的積事件 A集合與集合與B集合的交集集合的交集一一.古典概型古典概型1.4 概率的古典定義、定義、定義如果一個隨機(jī)試驗如果一個隨機(jī)試驗E具有以下特征具有以下特征 （1）、試驗的樣本空間中僅含有有限個樣本點；）、試驗的樣本空間中僅含有有限個樣本點；（ 2）、每個樣本點出現(xiàn)的可能性相同。）、每個樣本點出現(xiàn)的可能性相同。則稱該隨機(jī)試驗為古典概型。則稱該隨機(jī)試驗為古典概型。 設(shè)試驗設(shè)試驗 E 的樣本空間由的樣本空間由n 個樣本點構(gòu)成個樣本點構(gòu)成, A 為為 E 的任意一個事件的任意一個事件,且包含且包含 m 個樣本

25、點個樣本點, 則事則事件件 A 出現(xiàn)的概率記為出現(xiàn)的概率記為: 2. 古典概型中事件概率的計算公式古典概型中事件概率的計算公式.中樣本點總數(shù)中樣本點總數(shù)中樣本點的個數(shù)中樣本點的個數(shù) A An nm mP(A)P(A) 稱此為稱此為概率的古典定義概率的古典定義. 3. 古典概型的基本模型古典概型的基本模型:摸球模摸球模型型(1) 無放回地摸球無放回地摸球問題問題1 設(shè)袋中有設(shè)袋中有M個白球和個白球和 N個黑球個黑球, 現(xiàn)從袋中無現(xiàn)從袋中無放回地依次摸出放回地依次摸出m+n個球個球,求所取球恰好含求所取球恰好含m個白個白球球, ,n個黑球的概率個黑球的概率?樣本點總數(shù)為樣本點總數(shù)為A 所包含所包含

26、的樣本點個數(shù)為的樣本點個數(shù)為解解設(shè)設(shè)A=所取球恰好含所取球恰好含m個白球個白球, ,n個黑球個黑球 nNmMCCnmNMCnmNMnNmMCCCAP/)(所以(2) 有放回地摸球有放回地摸球問題問題2 設(shè)袋中有設(shè)袋中有4只紅球和只紅球和6只黑球只黑球,現(xiàn)從袋中有放現(xiàn)從袋中有放回地摸球回地摸球3次次,求前求前2 次摸到次摸到黑球黑球、第第3 次摸到紅球次摸到紅球的概率的概率.解解,2第三次摸到紅球第三次摸到紅球次摸到黑球次摸到黑球前前設(shè)設(shè) A第第1 1次摸球次摸球10種種第第2次摸球次摸球10種種第第3次摸球次摸球10種種6種種第第1 1次摸到黑球次摸到黑球 6種種第第2次摸到黑球次摸到黑球4種

27、種第第3次摸到紅球次摸到紅球樣本點總數(shù)為樣本點總數(shù)為,101010103 A 所包含所包含樣本點的個數(shù)為樣本點的個數(shù)為, 466 310466)( AP故故.144. 0 4.古典概型的基本模型古典概型的基本模型:球放入杯子模型球放入杯子模型(1)杯子容量不限制杯子容量不限制問題問題1 把把 4 個球放到個球放到 3個杯子中去個杯子中去,求第求第1 1、2個個杯子中各有兩個球的概率杯子中各有兩個球的概率, 其中假設(shè)每個杯子可其中假設(shè)每個杯子可放任意多個球放任意多個球. 33334個球放到個球放到3個杯子的所有放法個杯子的所有放法,333334種種 個個2種種 24個個2種種 22因此第因此第1

28、、2個杯子中各有兩個球的概率為個杯子中各有兩個球的概率為432224 p.272 (2) 每個杯子只能放一個球每個杯子只能放一個球問題問題2 把把4個球放到個球放到10個杯子中去個杯子中去,每個杯子只能每個杯子只能放一個球放一個球, 求第求第1 至第至第4個杯子各放一個球的概率個杯子各放一個球的概率. .解解第第1至第至第4個杯子各放一個球的概率為個杯子各放一個球的概率為41044ppp 789101234 .2101 解解.,TTTTTHTHTHTTTHHHTHHHTHHH 則.,1 TTHTHTHTTA 而而,83)(1 AP得得.,)2(2 TTHTHTHTTTHHHTHHHTHHHA

29、.87)(2 AP因此因此).(,)2().(,)1( .2211APAAPA求求次次出出現(xiàn)現(xiàn)正正面面至至少少有有一一為為設(shè)設(shè)事事件件求求次次出出現(xiàn)現(xiàn)正正面面恰恰有有一一為為設(shè)設(shè)事事件件將將一一枚枚硬硬幣幣拋拋擲擲三三次次., )1(為出現(xiàn)反面為出現(xiàn)反面為出現(xiàn)正面為出現(xiàn)正面設(shè)設(shè)TH5、典型例題1例例在在 N 件產(chǎn)品中抽取件產(chǎn)品中抽取n件件,其中恰有其中恰有k 件次品的取法件次品的取法共有共有,種knDNkDCC于是所求的概率為于是所求的概率為nNknDNkDCCCp/解解在在N件產(chǎn)品中抽取件產(chǎn)品中抽取n件的所有可能取法共有件的所有可能取法共有,種nNC?)(,件次品的概率是多少件次品的概率是多

30、少問其中恰有問其中恰有件件今從中任取今從中任取件次品件次品其中有其中有件產(chǎn)品件產(chǎn)品設(shè)有設(shè)有DkknDN 2例例例例 3（分房問題）（分房問題） 有有 n 個人，每個人都以同樣的概個人，每個人都以同樣的概率率 1/N 被分配在被分配在 間房中的每一間中，試求間房中的每一間中，試求下列各事件的概率：下列各事件的概率：)(NnNn(1)(1)某指定某指定 間房中各有一人間房中各有一人 ;n(2)(2)恰有恰有 間房，其中各有一人；間房，其中各有一人； (3) (3) 某指定一間房中恰有某指定一間房中恰有 人。人。 )(nmmnN 解解 先求樣本空間中所含樣本點的個數(shù)。先求樣本空間中所含樣本點的個數(shù)。

31、 首先，把首先，把 n 個人分到個人分到N間房中去共有間房中去共有 種分法，其種分法，其次，求每種情形下事件所含的樣本點個數(shù)。次，求每種情形下事件所含的樣本點個數(shù)。(b)(b)恰有恰有n n間房中各有一人，所有可能的分法為間房中各有一人，所有可能的分法為 ; !nCnN(a)(a)某指定某指定n n間房中各有一人，所含樣本點的個數(shù)，間房中各有一人，所含樣本點的個數(shù)，即可能的的分法為即可能的的分法為 ：; !n(c)(c)某指定一間房中恰有某指定一間房中恰有m m人，可能的分法為人，可能的分法為 .) 1(mnmnNC進(jìn)而我們可以得到三種情形下事件的概率，其分別為進(jìn)而我們可以得到三種情形下事件的

32、概率，其分別為 :nNn!（2） nnNNnC!（3） .) 1(nmnmnNNC(1) 把有限個樣本點推廣到無限個樣本點把有限個樣本點推廣到無限個樣本點的場合的場合,人們引入了人們引入了幾何概型幾何概型. 由此形成了由此形成了確定概率的另一方法確定概率的另一方法 幾何方法幾何方法. 概率的古典定義具有可計算性的優(yōu)點概率的古典定義具有可計算性的優(yōu)點, ,但但它也有明顯的局限性它也有明顯的局限性. .要求樣本要求樣本點有限點有限,如果樣如果樣本空間中的樣本點有無限個本空間中的樣本點有無限個, 概率的古典定義概率的古典定義就不適用了就不適用了. .二、幾何概型定義定義1.,)(0,驗驗是是一一幾幾

33、何何概概型型的的則則稱稱這這一一隨隨機(jī)機(jī)試試即即有有限限的的幾幾何何度度量量的的且且具具有有非非零零窮窮多多個個所所含含的的樣樣本本點點個個數(shù)數(shù)為為無無本本空空間間樣樣能能的的每每個個樣樣本本點點出出現(xiàn)現(xiàn)是是等等可可若若對對于于一一隨隨機(jī)機(jī)試試驗驗m定義定義2 當(dāng)隨機(jī)試驗的樣本空間是某個區(qū)域當(dāng)隨機(jī)試驗的樣本空間是某個區(qū)域,并且并且任意一點落在度量任意一點落在度量 (長度長度, 面積面積, 體積體積) 相同的子區(qū)相同的子區(qū)域是等可能的域是等可能的,則事件則事件 A 的概率可定義為的概率可定義為)()()(mAmAP 說明說明 當(dāng)古典概型的試驗結(jié)果為連續(xù)無窮多個時當(dāng)古典概型的試驗結(jié)果為連續(xù)無窮多個

34、時,就歸結(jié)為幾何概率就歸結(jié)為幾何概率.)(,)(幾何概率幾何概率規(guī)定的概率稱為規(guī)定的概率稱為量來合理量來合理這樣借助于幾何上的度這樣借助于幾何上的度的子區(qū)域的度量的子區(qū)域的度量是構(gòu)成事件是構(gòu)成事件是樣本空間的度量是樣本空間的度量其中其中AAmm 那末那末.0,0TyTx 兩人會面的充要條件為兩人會面的充要條件為, tyx 例例1 甲、乙兩人相約在甲、乙兩人相約在 0 到到 T 這段時間內(nèi)這段時間內(nèi), 在預(yù)在預(yù)定地點會面定地點會面. 先到的人等候另一個人先到的人等候另一個人, 經(jīng)過時間經(jīng)過時間 t( t1P(A+B) )由于由于 甲，乙甲，乙同時同時射擊，甲擊中敵機(jī)并不影射擊，甲擊中敵機(jī)并不影響

35、乙擊中敵機(jī)的可能性，所以響乙擊中敵機(jī)的可能性，所以 A與與B獨(dú)立獨(dú)立,進(jìn)而進(jìn)而.獨(dú)獨(dú)立立與與 BABAC BA )(1)(CPCP )()(1BPAP )(1)(11BPAP )5 . 01)(6 . 01(1 = 0.81. 三事件三事件兩兩兩兩相互獨(dú)立的概念相互獨(dú)立的概念(二) 多個事件的獨(dú)立性定義定義.,),()()(),()()(),()()(,兩兩相互獨(dú)立兩兩相互獨(dú)立則稱事件則稱事件如果滿足等式如果滿足等式是三個事件是三個事件設(shè)設(shè)CBACPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA 2. 三事件相互獨(dú)立的概念三事件相互獨(dú)立的概念定義.,),()()()(),()()(),()()(

36、),()()(,相互獨(dú)立相互獨(dú)立則稱事件則稱事件如果滿足等式如果滿足等式是三個事件是三個事件設(shè)設(shè)CBACPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA 設(shè)設(shè) A1，A2 ， ，An為為n 個事件個事件，若對于任意若對于任意k(1kn), 及及 1i 1 i 2 i kn 3. n 個事件的獨(dú)立性定義定義 若事件若事件 A1，A2 ， ，An 中任意兩個事件中任意兩個事件相互獨(dú)立，即對于一切相互獨(dú)立，即對于一切 1 i j n, 有有)()()(jijiAPAPAAP .21兩兩兩兩相相互互獨(dú)獨(dú)立立，則則稱稱nAAA.12)11(1032個式子個式子共共nCCCCCnnnnn

37、nnn 定義定義)()()()(2121kkiiiiiiAPAPAPAAAP 有有.21相相互互獨(dú)獨(dú)立立，則則稱稱nAAA注注. 相互獨(dú)立相互獨(dú)立nAAA,21兩兩相互獨(dú)立兩兩相互獨(dú)立nAAA,21.)2(,)2(,. 121個事件也是相互獨(dú)立個事件也是相互獨(dú)立其中任意其中任意則則相互獨(dú)立相互獨(dú)立若事件若事件nkknAAAn )( . ,)(,.運(yùn)運(yùn)算算封封閉閉獨(dú)獨(dú)立立性性關(guān)關(guān)于于個個事事件件仍仍相相互互獨(dú)獨(dú)立立所所得得的的立立事事件件們們的的對對中中任任意意多多個個事事件件換換成成它它則則將將相相互互獨(dú)獨(dú)立立個個事事件件若若nAAAnAAAnnn212122 兩個結(jié)論n 個獨(dú)立事件和的概率公

38、式個獨(dú)立事件和的概率公式:nAAA,21設(shè)設(shè)事件事件 相互獨(dú)立相互獨(dú)立, ,則則）nAAAP211( )(121nAAAP )()()(nAPAPAP211也相互獨(dú)立也相互獨(dú)立nAAA,21即即 n個獨(dú)立事件至少有一個發(fā)生的概率等于個獨(dú)立事件至少有一個發(fā)生的概率等于1減去各自對立事件概率的乘積減去各自對立事件概率的乘積.)(nAAAP21結(jié)論的應(yīng)用結(jié)論的應(yīng)用nAAA,21則則“ 至少有一個發(fā)生至少有一個發(fā)生”的概率為的概率為 P(A1 An) =1- (1-p1 ) (1-pn )()()(121nAPAPAP,1npp nAAA,21若設(shè)若設(shè)n個獨(dú)立事件個獨(dú)立事件發(fā)生的概率發(fā)生的概率分別為分

39、別為類似可以得出：類似可以得出：nAAA,21至少有一個不發(fā)生至少有一個不發(fā)生”的概率為的概率為“)(nAAAP21=1- - p1 pn 事件的獨(dú)立性在事件的獨(dú)立性在可靠性理論可靠性理論中的應(yīng)用：中的應(yīng)用：一個元件的可靠性一個元件的可靠性：該元件正常工作的概率該元件正常工作的概率.一個系統(tǒng)的可靠性一個系統(tǒng)的可靠性：由元件組成的系統(tǒng)正常由元件組成的系統(tǒng)正常工作的概率工作的概率.1.10 獨(dú)立試驗序列1. 定義定義 (獨(dú)立試驗序列獨(dú)立試驗序列) 設(shè)設(shè)Ei (i=1,2,)是一列隨機(jī)試驗是一列隨機(jī)試驗,Ei的樣本空的樣本空間為間為 i ,設(shè)設(shè)Ak 是是Ek 中的任一事件中的任一事件,Ak k ,

40、若若Ak出出現(xiàn)現(xiàn)的概率都不依賴于其它各次試驗的概率都不依賴于其它各次試驗Ei (i k)的結(jié)果的結(jié)果, 則稱則稱Ei 是是相互獨(dú)立相互獨(dú)立的隨機(jī)試驗序列試驗序列,簡稱簡稱獨(dú)立試獨(dú)立試驗驗序列序列.則稱這則稱這n次重復(fù)試驗為次重復(fù)試驗為n重貝努里試驗，簡稱為重貝努里試驗，簡稱為貝努里概型貝努里概型.若若n 次重復(fù)試驗具有下列次重復(fù)試驗具有下列特點：特點：2. n 重貝努利(Bernoulli)試驗1) 每次試驗的可能結(jié)果只有兩個每次試驗的可能結(jié)果只有兩個A 或或,ApAPpAP 1)(,)(且且2) 各次試驗的結(jié)果相互獨(dú)立，各次試驗的結(jié)果相互獨(dú)立，( 在各次試驗中在各次試驗中p是常數(shù)，保持不變）

41、是常數(shù)，保持不變）實例實例1 拋一枚硬幣觀察得到正面或反面拋一枚硬幣觀察得到正面或反面. 若將若將 硬幣拋硬幣拋 n 次次,就是就是n重伯努利試驗重伯努利試驗.實例實例2 拋一顆骰子拋一顆骰子n次次,觀察是否觀察是否 “出現(xiàn)出現(xiàn) 1 點點”, 就就是是 n重伯努利試驗重伯努利試驗.一般地，一般地，對于對于貝努里概型貝努里概型，有如下公式：，有如下公式：定理定理 如果在貝努里試驗中，事件如果在貝努里試驗中，事件A出現(xiàn)的出現(xiàn)的概率為概率為p (0p1), 則在則在n次試驗中，次試驗中，A恰好出現(xiàn)恰好出現(xiàn) k 次的概率為：次的概率為：knkknnppCkP )1()()1;, 2, 1 , 0(pq

42、nk knkknqpC . 1)(0 nknkP且且3. 二項概率公式,發(fā)發(fā)生生的的次次數(shù)數(shù)重重伯伯努努利利試試驗驗中中事事件件表表示示若若AnX所有可能取的值為所有可能取的值為則則 X., 2, 1, 0n推導(dǎo)如下：推導(dǎo)如下：,)0(時時當(dāng)當(dāng)nkkX .次次次試驗中發(fā)生了次試驗中發(fā)生了在在即即knA 次次kAAA, 次次knAAA 次次1 kAAAA A 次次1 knAAA次的方式共有次的方式共有次試驗中發(fā)生次試驗中發(fā)生在在得得knA,種種knC且兩兩互不相容且兩兩互不相容.稱上式為稱上式為二項分布二項分布. 記為記為).,(pnBX次次的的概概率率為為次次試試驗驗中中發(fā)發(fā)生生在在因因此此k

43、nAknkknppC )1(pq 1記記knkknqpC 經(jīng)計算得經(jīng)計算得.)4 , 3 , 2 , 1 , 0(,4,6,4,101道題的概率問能碰對試于是隨意填寫道題不會做有道題生僅會做今有一考其中一個為正確答案可供選擇的答案個每道選擇題有道選擇題設(shè)某考卷上有例mm則則道題這一事實道題這一事實道題中碰對道題中碰對表示表示設(shè)設(shè),4mBm31604341040040.)()()( CBP04804341343343.)()()( CBP解解)4 , 3 , 2 , 1 , 0()43()41()(44 mCBPmmmm例2.,1,次次打打開開門門的的概概率率求求該該人人在在第第的的概概率率被被

44、選選中中即即每每次次以以開開門門他他隨隨機(jī)機(jī)地地選選取取一一把把鑰鑰匙匙打打開開這這個個門門其其中中僅僅有有一一把把能能把把鑰鑰匙匙他他共共有有一一個個人人開開門門knn則則次次打打開開門門表表示示第第令令,kBk,)()(211111 knnBPkk解解三、內(nèi)容小結(jié))()()(,. 1BPAPABPBA 兩事件獨(dú)立兩事件獨(dú)立 ).()()()(),()()(),()()(),()()(,CPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA三個事件相互獨(dú)立三個事件相互獨(dú)立.,. 2相相互互獨(dú)獨(dú)立立與與與與與與相相互互獨(dú)獨(dú)立立重重要要結(jié)結(jié)論論BABABABA則則相相互互獨(dú)獨(dú)立立設(shè)

45、設(shè)事事件件,nAAA213)(nAAAP21）nAAAP211( )()()(nAPAPAP2114 二項分布二項分布 knkknqpC 5 幾何分布幾何分布ppk 1)1( 備用題伯恩斯坦反例伯恩斯坦反例 一個均勻的正四面體一個均勻的正四面體, 其第一面染成紅色其第一面染成紅色,第二面染成白色第二面染成白色 , 第三面染成黑色第三面染成黑色, 而第四面同而第四面同時染上紅、白、黑三種顏色時染上紅、白、黑三種顏色.現(xiàn)以現(xiàn)以 A , B, C 分別分別記投一次四面體出現(xiàn)紅記投一次四面體出現(xiàn)紅, 白白, 黑顏色朝下的事件黑顏色朝下的事件, 問問 A,B,C是否相互獨(dú)立是否相互獨(dú)立?解解由于在四面體中紅由于在四面體中紅, 白白, 黑分別出現(xiàn)兩面黑分別出現(xiàn)兩面, 因此因此,21)()()( CPBPAP又由