第4.3節(jié) 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)——概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(李長青版)

1、第三節(jié)第三節(jié) 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)問題問題 對于二維隨機(jī)變量對于二維隨機(jī)變量(X ,Y ):已知聯(lián)合分布已知聯(lián)合分布邊緣分布邊緣分布 對二維隨機(jī)變量對二維隨機(jī)變量,除每個隨機(jī)變量各自除每個隨機(jī)變量各自的概率特性外的概率特性外, ()()E XEX YEY數(shù)數(shù)反映了隨機(jī)變量反映了隨機(jī)變量 X , Y 之間的某種關(guān)系之間的某種關(guān)系去去反映這種聯(lián)系反映這種聯(lián)系.相互之間可能還有某種聯(lián)系相互之間可能還有某種聯(lián)系, 問題是用一個怎樣的數(shù)問題是用一個怎樣的數(shù)()()E XEX YEY為為 X ,Y 的協(xié)方差的協(xié)方差. cov( , )()()X YE XEX YEY稱稱cov( , )cov(

2、 , )DXX YX YDY為（為（X , Y ）的協(xié)方差矩陣的協(xié)方差矩陣可以證明可以證明 協(xié)方差矩陣為半正定矩陣協(xié)方差矩陣為半正定矩陣協(xié)方差的定義協(xié)方差的定義定義定義 稱稱 記為記為 協(xié)方差的性質(zhì)協(xié)方差的性質(zhì)q cov( , )cov( ,)X YY Xq q q ),cov(),cov(YXabbYaX),cov(),cov(),cov(ZYZXZYXcov(,)X XDX()E XYEXEY,;a b 為常數(shù)q 2|cov(, )|X YDX DY當(dāng)當(dāng)DX 0, DY 0 時，當(dāng)且僅當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)0( )()1P YE Yt XE X時時, 等式成立等式成立. Cauchy-Schwar

3、z不等式不等式 協(xié)方差的數(shù)值雖然在一定程度上反映了協(xié)方差的數(shù)值雖然在一定程度上反映了X和和Y相互間的聯(lián)系相互間的聯(lián)系, 但其值還受但其值還受X和和Y本身取值大小的本身取值大小的影響影響, 比如比如X和和Y同時增大到同時增大到k倍倍, 即即X1= kX, Y1= kY, 這時這時X1和和Y1間的相互聯(lián)系與間的相互聯(lián)系與X和和Y間的相互聯(lián)系是間的相互聯(lián)系是相同的相同的, 然而協(xié)方差卻增大到了然而協(xié)方差卻增大到了k2倍倍, 即即211cov()cov().X ,YkX,Y為了克服協(xié)方差的這一缺點(diǎn)為了克服協(xié)方差的這一缺點(diǎn), , 將將隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)化, ,取取*XEXXDX，*YEYYDY，

4、則則()( )cov(, )cov(,)()( )()( )XE XYE YX YXYED XD YD XD Y若若D X 0, DY 0 ,稱稱為為X ,Y 的相關(guān)系數(shù)的相關(guān)系數(shù))()(),cov(YDXDYXXY若若, 0XY 稱稱 X ,Y 不相關(guān)不相關(guān).無量綱無量綱 的量的量相關(guān)系數(shù)的定義相關(guān)系數(shù)的定義2()()22cov(,)cov(, )()()kXkYkX kYkX YD kXD kYk DXk DYcov(, ).XYX YDXDY由此知由此知, , 相關(guān)系數(shù)確實(shí)克服了協(xié)方差的不足相關(guān)系數(shù)確實(shí)克服了協(xié)方差的不足. .相關(guān)系數(shù)就是相關(guān)系數(shù)就是標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量間的協(xié)方差標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量

5、間的協(xié)方差, 并且有并且有 相關(guān)系數(shù)的意義和性質(zhì)相關(guān)系數(shù)的意義和性質(zhì)q q 1|XY1|XY即即Y 與與X 有線性關(guān)系的概率等有線性關(guān)系的概率等于于1，這種線性關(guān)系為這種線性關(guān)系為程度的量程度的量相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)是表征隨機(jī)變是表征隨機(jī)變量量X與與Y之間線性關(guān)系緊密之間線性關(guān)系緊密0( )()1P YE Yt XE Xq 0XYX , Y 不相關(guān)不相關(guān)0),cov(YX()E XYEX EY()D XYDXDYX ,Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立X , Y 不相關(guān)不相關(guān)X與與Y之間沒有線性關(guān)系并不表示它們之間沒有之間沒有線性關(guān)系并不表示它們之間沒有關(guān)系關(guān)系.時，時，X 與與 Y 之間以概率之間以概率1存在

6、線性關(guān)系；存在線性關(guān)系； 1XY當(dāng)當(dāng)越接近于越接近于0時時, X 與與 Y 之間的線性關(guān)系越弱之間的線性關(guān)系越弱; XY時，時，X 與與 Y 之間不存在線性關(guān)系之間不存在線性關(guān)系(不相關(guān)不相關(guān)). 0XY當(dāng)當(dāng) 若若 ( X ,Y ) 為離散型，為離散型，11cov(, )()( )ijijijX YxE XyE Y p若若 ( X ,Y ) 為連續(xù)型，為連續(xù)型，cov( , )( )( ) ( , )d dX Yx E Xy E Y f x y x y 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的計(jì)算協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的計(jì)算例例1 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的分布律為的分布律為 X Y 10111/81/81/801

7、/801/811/81/81/8試驗(yàn)證和試驗(yàn)證和X是是Y不相關(guān)不相關(guān), 但但X和和Y不是相互獨(dú)立的不是相互獨(dú)立的. 證證 先求出先求出X和和Y的邊緣分布律如下：的邊緣分布律如下：X1013/82/83/8kp1013/82/83/8Ykp323( 1)010888EXEY 3311()iiijjiE XYx y p1111( 1) ( 1)( 1) 11 ( 1)1 108888 ()E XYEX EY可得可得因此因此0XY故故X, Y是不相關(guān)的是不相關(guān)的. 又又220,000 088P XYP XP Y故故X, Y不獨(dú)立不獨(dú)立. 1(), 02,02,( , )80, xyxyf x y 其

8、它.cov()X,Y()D XY，.XY求求和和解解22007( , )d d()d d86xEXxf x yx yxyx y ，22222005( , )d d()d d83xEXx f x yx yxyx y ，22004()( , )d d()d d.83xyE XYxyf x yx yxyx y .例例2 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度函數(shù)的概率密度函數(shù)由期望的計(jì)算公式可得由期望的計(jì)算公式可得由由x,y 在在f (x,y)的表達(dá)式中的對稱性的表達(dá)式中的對稱性, 可知可知76EYEX，225.3EYEX4491cov(, )()33636X YE XYEX EY ，222571

9、1()( )3636DYDXEXEX，5()2cov(, )9D XYDXDYX Y，cov(, )1.11XYX YDXDY 例例3 設(shè)設(shè) U(0,2 ) , X=cos , Y=cos( + ), 是給定的常數(shù)，求是給定的常數(shù)，求 XY 解解其他0,20,21)(ttf201cos0,2EXtdt201cos()0,2EYtdt2011()cos cos()cos22E XYttdtcos21),cov(YX, 0若若1XYXY ,若若1XYXY 1|XYYX,有線性關(guān)系有線性關(guān)系,23,2若若0XYYX,不相關(guān)，不相關(guān)，但但YX,不獨(dú)立不獨(dú)立.雖然雖然 X, Y 沒有線性關(guān)系，但有函數(shù)關(guān)系沒有線性關(guān)系，但有函數(shù)關(guān)系122YX例例4 設(shè)設(shè) ( X ,Y ) N ( 1 , 2; 12, 22 ; ), 求求 XY 解解12cov( , )()() ( , )d dX Yxyf x y x y 222122(1)122()ed d21utttuu t uts