第一節(jié) 誤差的基本概念

1、數(shù)學(xué)學(xué)院 信息與計(jì)算科學(xué)系第一節(jié)第一節(jié) 誤誤 差差定義：定義：數(shù)值計(jì)算方法是計(jì)算數(shù)學(xué)的一個(gè)分支數(shù)值計(jì)算方法是計(jì)算數(shù)學(xué)的一個(gè)分支, 又稱又稱數(shù)值分析或計(jì)算方法數(shù)值分析或計(jì)算方法, 它是研究用數(shù)字計(jì)算機(jī)求解它是研究用數(shù)字計(jì)算機(jī)求解各種數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值方法及其理論的一門(mén)學(xué)科各種數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值方法及其理論的一門(mén)學(xué)科, 是是程序設(shè)計(jì)和對(duì)數(shù)值結(jié)果進(jìn)行分析的依據(jù)和基礎(chǔ)。程序設(shè)計(jì)和對(duì)數(shù)值結(jié)果進(jìn)行分析的依據(jù)和基礎(chǔ)。應(yīng)用計(jì)算機(jī)解決科學(xué)技術(shù)和工程問(wèn)題的步驟：應(yīng)用計(jì)算機(jī)解決科學(xué)技術(shù)和工程問(wèn)題的步驟： (1) 提出實(shí)際問(wèn)題提出實(shí)際問(wèn)題 (2) 建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型 (3) 選用數(shù)值計(jì)算方法選用數(shù)值計(jì)算方法 (4) 編

2、程上機(jī)計(jì)算得出數(shù)據(jù)結(jié)果。編程上機(jī)計(jì)算得出數(shù)據(jù)結(jié)果。數(shù)學(xué)學(xué)院 信息與計(jì)算科學(xué)系一、誤差的來(lái)源一、誤差的來(lái)源1. 模型誤差模型誤差:在建立數(shù)學(xué)模型過(guò)程中在建立數(shù)學(xué)模型過(guò)程中, 不可能將所有因素均考不可能將所有因素均考慮慮, 必然要進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化必然要進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化, 這就帶來(lái)了與實(shí)際這就帶來(lái)了與實(shí)際問(wèn)題的誤差。問(wèn)題的誤差。2. 觀測(cè)誤差觀測(cè)誤差: 測(cè)量已知參數(shù)時(shí)測(cè)量已知參數(shù)時(shí),數(shù)據(jù)帶來(lái)的誤差。數(shù)據(jù)帶來(lái)的誤差。3. 截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差: 在設(shè)計(jì)算法時(shí)在設(shè)計(jì)算法時(shí),近似處理帶來(lái)的誤差。近似處理帶來(lái)的誤差。數(shù)學(xué)學(xué)院 信息與計(jì)算科學(xué)系函數(shù)函數(shù) 用泰勒多項(xiàng)式用泰勒多項(xiàng)式)(xf)1()0(!1)0(! 21)

3、0()0()()(2nnnxfnxfxffxP 近似代替時(shí)，有誤差近似代替時(shí)，有誤差)2()()!1(1)()()(1)1( nnnnxfnxPxfxR 其中其中 在在 與與 之間。這種誤差就是截?cái)嗾`之間。這種誤差就是截?cái)嗾`差。差。 0 x例如：例如：數(shù)學(xué)學(xué)院 信息與計(jì)算科學(xué)系4. 舍入誤差舍入誤差: 計(jì)算機(jī)的字長(zhǎng)是有限的計(jì)算機(jī)的字長(zhǎng)是有限的, 每一步運(yùn)算每一步運(yùn)算 均需四舍五入均需四舍五入, 由此產(chǎn)出的誤差。由此產(chǎn)出的誤差。例如：例如：用用3.14159近似代替近似代替 , 產(chǎn)生的誤差產(chǎn)生的誤差 0000026. 014159. 3 R就是舍入誤差。就是舍入誤差。數(shù)學(xué)學(xué)院 信息與計(jì)算科學(xué)系二

4、、浮點(diǎn)數(shù)二、浮點(diǎn)數(shù)任何一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)均可表示為任何一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)均可表示為UpLraaarwxptp,. 021其中，其中，r叫做這個(gè)數(shù)的基，叫做這個(gè)數(shù)的基，p是階，是一個(gè)整數(shù)，是階，是一個(gè)整數(shù)，取正數(shù)取正數(shù),負(fù)數(shù)或零。負(fù)數(shù)或零。w是尾數(shù)，由是尾數(shù)，由t位小數(shù)構(gòu)成，位小數(shù)構(gòu)成， 若若 ，則該浮點(diǎn)，則該浮點(diǎn)數(shù)為規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)。數(shù)為規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)。tirai, 2, 11001a 對(duì)于一個(gè)特定的機(jī)器，尾數(shù)的位數(shù)對(duì)于一個(gè)特定的機(jī)器，尾數(shù)的位數(shù)t是固定的，是固定的，也稱其精度有也稱其精度有t個(gè)個(gè)r進(jìn)位數(shù)字。進(jìn)位數(shù)字。數(shù)學(xué)學(xué)院 信息與計(jì)算科學(xué)系二、誤差的基本概念二、誤差的基本概念 1. 1. 誤差和誤差限誤差和誤差

5、限 設(shè)設(shè) 是準(zhǔn)確值是準(zhǔn)確值x 的一個(gè)近似值的一個(gè)近似值, ,稱稱 為近似值為近似值 的絕對(duì)誤差的絕對(duì)誤差, , 簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱誤差誤差. . 又簡(jiǎn)記又簡(jiǎn)記 . . xxxxe )( x)( xe e誤差是無(wú)法計(jì)算的誤差是無(wú)法計(jì)算的 ( (因?yàn)闇?zhǔn)確值因?yàn)闇?zhǔn)確值 x 不知道不知道), ), 但可但可以估計(jì)出它的一個(gè)上界。即以估計(jì)出它的一個(gè)上界。即 , ,稱稱 是近似值是近似值 的的絕對(duì)誤差限絕對(duì)誤差限, , 簡(jiǎn)稱誤差限簡(jiǎn)稱誤差限. .)( xxx )( x x誤差是有量綱的，可正可負(fù)。誤差是有量綱的，可正可負(fù)。數(shù)學(xué)學(xué)院 信息與計(jì)算科學(xué)系2. 相對(duì)誤差和相對(duì)誤差限相對(duì)誤差和相對(duì)誤差限實(shí)際計(jì)算中實(shí)際計(jì)算中,

6、 , 由于準(zhǔn)確值由于準(zhǔn)確值 x 總是未知的總是未知的, , 且由于且由于稱稱()()re xxxexxx ()()e xe xxx ()()e xxxxx 2( ()()e xx xe x 2()1()rrexex 為近似值為近似值 的的相對(duì)誤差相對(duì)誤差。簡(jiǎn)記為。簡(jiǎn)記為 。 x re數(shù)學(xué)學(xué)院 信息與計(jì)算科學(xué)系()()re xxxexxx 相對(duì)誤差是無(wú)量綱的相對(duì)誤差是無(wú)量綱的, , 也可正可負(fù)也可正可負(fù), , 它的絕對(duì)值的它的絕對(duì)值的上界稱為該近似值的上界稱為該近似值的相對(duì)誤差限相對(duì)誤差限, , 記作記作)( xr ()()()rrxexxx 簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為 r 即即是是 的平方項(xiàng)級(jí)的平方項(xiàng)級(jí),

7、故當(dāng)故當(dāng) 較小時(shí)較小時(shí), 常取常取)( xer)( xer數(shù)學(xué)學(xué)院 信息與計(jì)算科學(xué)系三、有效數(shù)字三、有效數(shù)字005.0002.0 xx00005.0000008.0 xx 如果近似值如果近似值 的誤差限是某一位的半個(gè)單的誤差限是某一位的半個(gè)單位位, ,該位到該位到 的第一位非零數(shù)字共有的第一位非零數(shù)字共有n 位位, ,我們稱我們稱 有有n 位位有效數(shù)字有效數(shù)字。 x x x = 3.1415926535, 取取 = 3.14 時(shí)，時(shí)，x所以所以 = 3.14 作為作為的近似值的近似值, ,有有3 位有效數(shù)字；位有效數(shù)字； x而取而取 =3.1416 時(shí)時(shí), x所以所以 = 3.1416 作為作

8、為的近似值有的近似值有5 位有效數(shù)字位有效數(shù)字。 x定義：定義：例例數(shù)學(xué)學(xué)院 信息與計(jì)算科學(xué)系mnaaax10. 021 下面給出有效數(shù)字的另一等價(jià)定義下面給出有效數(shù)字的另一等價(jià)定義 用用 表示表示x 的近似值，并將的近似值，并將 表示成表示成 x x若其誤差限若其誤差限nmxx 1021,則稱則稱 具有具有 n 位位有效有效數(shù)字?jǐn)?shù)字, , 這里這里 m 是整數(shù)是整數(shù), a1, a2 , an 為為 09 中的一個(gè)數(shù)中的一個(gè)數(shù)字字, 且且a1 0. x定義：定義：數(shù)學(xué)學(xué)院 信息與計(jì)算科學(xué)系例例 = 3.1415926535 , 取取 = 3.14時(shí)，時(shí)， x 21021005.0002.0 x

9、x即即 m- n = - 2, m=1, n = 3, 所以所以 = 3.14 作為作為 近似值近似值時(shí)時(shí), , 就有就有3 位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。 x 數(shù)學(xué)學(xué)院 信息與計(jì)算科學(xué)系四四 誤差限與有效數(shù)字的關(guān)系誤差限與有效數(shù)字的關(guān)系證明證明mnaaax10. 021 故故111110)1(|10 mmaxa此定理說(shuō)明，相對(duì)誤差是由有效數(shù)字決定的。此定理說(shuō)明，相對(duì)誤差是由有效數(shù)字決定的。定理定理1 1111021)( nraxe有有n 位有效數(shù)字，位有效數(shù)字，。則其相對(duì)誤差限為則其相對(duì)誤差限為mnaaax10.021 01 a設(shè)近似值設(shè)近似值1111102110105 . 0)( nmnmraa

10、xxxxe數(shù)學(xué)學(xué)院 信息與計(jì)算科學(xué)系 已知已知nm 1021定理定理211111(1)10102(1)mnaa 設(shè)近似值設(shè)近似值mnaaax10. 021 的相對(duì)誤差的相對(duì)誤差,10)1(2111*nraxe則它至少有則它至少有n 位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。111102(1)na )( xer)( xexxxr故故 至少有至少有n 位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。 x證明證明數(shù)學(xué)學(xué)院 信息與計(jì)算科學(xué)系例例解解由于由于,5204 所以所以,41 a由定理有由定理有,%1 . 0102111 na即即,81104 n得得4 n要使要使 的近似值的相對(duì)誤差限小于的近似值的相對(duì)誤差限小于0.1% ,要取幾位有效

11、數(shù)字。要取幾位有效數(shù)字。20故只要對(duì)故只要對(duì) 的近似數(shù)取的近似數(shù)取4 位有效數(shù)字位有效數(shù)字,20472. 420 因此因此,可取可取其相對(duì)誤差就可小于其相對(duì)誤差就可小于0.1%,數(shù)學(xué)學(xué)院 信息與計(jì)算科學(xué)系 一、算術(shù)運(yùn)算的誤差一、算術(shù)運(yùn)算的誤差( *)()( *)( *)e xyd xydxdye xe y可見(jiàn)可見(jiàn), 和、差的誤差是誤差之和、差和、差的誤差是誤差之和、差, 但是因?yàn)榈且驗(yàn)? *)( *)( *)xyxy所以和或差的誤差限是誤差限之和，以上的結(jié)論適用所以和或差的誤差限是誤差限之和，以上的結(jié)論適用于任意多個(gè)近似數(shù)的和或差。于任意多個(gè)近似數(shù)的和或差。第二節(jié)第二節(jié) 數(shù)值運(yùn)算中誤差的傳播

12、數(shù)值運(yùn)算中誤差的傳播1. 由于由于 x* 的誤差的誤差 e(x*) = x*- x 可看作是可看作是 x 的微分的微分, 即即dx = x* - x ,則：則：( *)( *)( *)e xye xe y數(shù)學(xué)學(xué)院 信息與計(jì)算科學(xué)系同理可得：乘、除運(yùn)算的誤差同理可得：乘、除運(yùn)算的誤差,以兩數(shù)為例寫(xiě)出以兩數(shù)為例寫(xiě)出112212222| | ()| | ()|,0()xxe xxe xexxx 112212222|() |(),0()xxxxxxxx 121221()()()e x xxe xxe x121221()()()x xxxxx數(shù)學(xué)學(xué)院 信息與計(jì)算科學(xué)系2. x* 的相對(duì)誤差是的相對(duì)誤差是

13、*( *)lnrxxdxexdxxx 它是對(duì)數(shù)函數(shù)的微分。它是對(duì)數(shù)函數(shù)的微分。設(shè)設(shè) u = xy , 則則 lnu=lnx+lny , 因而因而dlnu = dlnx + dlny 這就是說(shuō)這就是說(shuō), 乘積的相對(duì)誤差是各乘數(shù)的相對(duì)誤差之和乘積的相對(duì)誤差是各乘數(shù)的相對(duì)誤差之和,相對(duì)誤差限是各乘數(shù)的相對(duì)誤差限之和。相對(duì)誤差限是各乘數(shù)的相對(duì)誤差限之和。 r (u* ) = r (x* ) + r (y* ) 即即 er (u* ) = er (x* ) + er (y* )數(shù)學(xué)學(xué)院 信息與計(jì)算科學(xué)系即商的相對(duì)誤差是被除數(shù)與除數(shù)的相對(duì)誤差之差即商的相對(duì)誤差是被除數(shù)與除數(shù)的相對(duì)誤差之差, 但但相對(duì)誤差限

14、是各乘數(shù)的相對(duì)誤差限之和相對(duì)誤差限是各乘數(shù)的相對(duì)誤差限之和. 由此可得由此可得:任意多次連乘、連除所得結(jié)果的相對(duì)誤差限等于各任意多次連乘、連除所得結(jié)果的相對(duì)誤差限等于各乘數(shù)和除數(shù)的相對(duì)誤差限之和。乘數(shù)和除數(shù)的相對(duì)誤差限之和。 r (u* ) = r (x* ) + r (y* ) 同樣同樣, 若若 u = x/y, 則則 lnu = lnx lny, 因此因此dlnu = dlnx dlny 即即 er (u* ) = er (x* ) - - er (y* ) 數(shù)學(xué)學(xué)院 信息與計(jì)算科學(xué)系例例1xyuz 解因解因 lnlnlnlnln zyxu所以所以 lnlnlnlnlndzdydxdud

15、從而得到從而得到 lnlnlnlnlndzdydxdxd 設(shè)設(shè) u 的相對(duì)誤差限等于乘數(shù)的相對(duì)誤差限等于乘數(shù)x、y和除數(shù)和除數(shù)z、的相對(duì)誤差的相對(duì)誤差限之和。限之和。求求u的相對(duì)誤差限。的相對(duì)誤差限。數(shù)學(xué)學(xué)院 信息與計(jì)算科學(xué)系 ()( )( )( *) ( *)e f xdf xfx dxfxe x 取絕對(duì)值得取絕對(duì)值得| ( *)| |( )| | ( *)|( )|( *)|( *)|( *)e f xfxe xfxxfxx 其中其中 為近似數(shù)為近似數(shù) x* 的誤差限。的誤差限。二、函數(shù)運(yùn)算誤差二、函數(shù)運(yùn)算誤差設(shè)設(shè) f (x)在在(a,b)內(nèi)連續(xù)可微內(nèi)連續(xù)可微, x 的近似值為的近似值為

16、x*, f (x)的近的近似值為似值為 f (x*), 其誤差為其誤差為e f(x*),誤差限為誤差限為 ()f x ()x 數(shù)學(xué)學(xué)院 信息與計(jì)算科學(xué)系*)(*)(*)(| )(|*)(xxfxxfxf *)(*)(*)(*)()()(*)(xxfxfxxfxfxfr 對(duì)多元函數(shù)對(duì)多元函數(shù)),(21nxxxfy 自變量的近似值為自變量的近似值為yxxxn*,*,*,21的近似值為的近似值為12*(*,*,*),nyf xxx 函數(shù)值函數(shù)值 y*的運(yùn)算誤差為的運(yùn)算誤差為可得出一元函數(shù)運(yùn)算的誤差限和相對(duì)誤差限分別為：可得出一元函數(shù)運(yùn)算的誤差限和相對(duì)誤差限分別為：1212121211( *) (*,

17、*,*)(,)(,)(*,*,*)(*)(*)nnnnnniiiiiie ye f xxxdf x xxf x xxf xxxe xe xxx數(shù)學(xué)學(xué)院 信息與計(jì)算科學(xué)系1212121211( *) (*,*,*)(,)(,)(*,*,*)(*)(*)nnnnnniiiiiie ye f xxxdf x xxf x xxf xxxe xe xxx,*),*,*,(21 iinxfxxxxf記記則上式簡(jiǎn)記為則上式簡(jiǎn)記為*)(*)(*)(11iniiiniixexfxexfye 數(shù)學(xué)學(xué)院 信息與計(jì)算科學(xué)系相對(duì)誤差限相對(duì)誤差限11*( *)*nniiiiffyxx|*|*)(*|*)(*)(11yxx

18、fyxxfyniiniir 于是誤差限于是誤差限*)(*)(*)(11iniiiniixexfxexfye 數(shù)學(xué)學(xué)院 信息與計(jì)算科學(xué)系例例1 計(jì)算多項(xiàng)式的值計(jì)算多項(xiàng)式的值: 每項(xiàng)每項(xiàng) ak xk 有有k 次乘法運(yùn)算次乘法運(yùn)算, 因此計(jì)算因此計(jì)算 Pn (x) 共需共需 1122n nn 次乘法和次乘法和n次加法運(yùn)算。次加法運(yùn)算。 1210nnnnPxa xaxaxaxa如將如將 Pn (x) 寫(xiě)成寫(xiě)成: 一、簡(jiǎn)化計(jì)算步驟一、簡(jiǎn)化計(jì)算步驟, 減少運(yùn)算次數(shù)減少運(yùn)算次數(shù)第三節(jié)第三節(jié) 設(shè)計(jì)算法時(shí)應(yīng)注意的原則設(shè)計(jì)算法時(shí)應(yīng)注意的原則0( )nknkkPxa x 數(shù)學(xué)學(xué)院 信息與計(jì)算科學(xué)系用遞推算法用遞推算

19、法: 01, , 1,2, .nkkn kuauuxakn最終最終 Pn (x)=un 共需共需n 次乘法和次乘法和n次加法運(yùn)算。次加法運(yùn)算。 一般地要注意一般地要注意:能在循環(huán)外計(jì)算能在循環(huán)外計(jì)算, 就不要放在循環(huán)就不要放在循環(huán)內(nèi)計(jì)算。內(nèi)計(jì)算。 1210nnnnPxa xaxaxaxa數(shù)學(xué)學(xué)院 信息與計(jì)算科學(xué)系如用四位有效數(shù)字計(jì)算如用四位有效數(shù)字計(jì)算: 例例21701313.04 130.04結(jié)果只有一位有效數(shù)字；結(jié)果只有一位有效數(shù)字；兩個(gè)相近的數(shù)相減兩個(gè)相近的數(shù)相減,有效數(shù)字會(huì)大大損失。有效數(shù)字會(huì)大大損失。二、二、 注意避免兩個(gè)相近數(shù)的相減注意避免兩個(gè)相近數(shù)的相減170130.038404

20、8如改為：如改為：11170130.0384013.041317013 有四位有效數(shù)字有四位有效數(shù)字, 新算法避免了兩個(gè)相近數(shù)的相減。新算法避免了兩個(gè)相近數(shù)的相減。數(shù)學(xué)學(xué)院 信息與計(jì)算科學(xué)系例例3 計(jì)算計(jì)算 解解 用五位十進(jìn)制計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算用五位十進(jìn)制計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算:0.1被大數(shù)被大數(shù)“吃掉吃掉”了了,從而從而有有三、防止大數(shù)三、防止大數(shù) “吃掉吃掉” 小數(shù)小數(shù) 10001524920.152492i 555524920.10.52492 100.000001 100.52492 1010001524920.1i 數(shù)學(xué)學(xué)院 信息與計(jì)算科學(xué)系如改為如改為 0.1 就沒(méi)有被吃掉。就沒(méi)有被吃掉。 這

21、也是構(gòu)造算法時(shí)要注意的問(wèn)題這也是構(gòu)造算法時(shí)要注意的問(wèn)題, 避免重要的參數(shù)避免重要的參數(shù)被吃掉。被吃掉。100010.15249210052492i 5550.01 100.52492 100.52502 105250510001524920.1i 數(shù)學(xué)學(xué)院 信息與計(jì)算科學(xué)系當(dāng)當(dāng)| x | y | 時(shí)時(shí), 舍入誤差會(huì)擴(kuò)大舍入誤差會(huì)擴(kuò)大2( *)( *)*()*xyyxxyy 四、避免除數(shù)的絕對(duì)值遠(yuǎn)小于被除數(shù)的絕對(duì)值。四、避免除數(shù)的絕對(duì)值遠(yuǎn)小于被除數(shù)的絕對(duì)值。 例例430.5 10 的舍入誤差均為的舍入誤差均為, 而而的舍入誤差為的舍入誤差為:,則則 7311214100.5 1015 1010

22、xxxx 很小的數(shù)作除數(shù)有時(shí)還會(huì)造成計(jì)算機(jī)的溢出而停機(jī)。很小的數(shù)作除數(shù)有時(shí)還會(huì)造成計(jì)算機(jī)的溢出而停機(jī)。710 xy*yx*, yx|yx 數(shù)學(xué)學(xué)院 信息與計(jì)算科學(xué)系五、使用數(shù)值穩(wěn)定的算法五、使用數(shù)值穩(wěn)定的算法用分部積分公式得遞推用分部積分公式得遞推公式公式:近似值近似值 In* 的遞推公式的遞推公式: In* =1-nIn-1* 例例5110,0,1,2,nxnIx edxn 1110001*0.6321xIedxeI In=1-nIn-1 在運(yùn)算過(guò)程中在運(yùn)算過(guò)程中,舍入誤差能控制在某個(gè)范圍內(nèi)的算法舍入誤差能控制在某個(gè)范圍內(nèi)的算法稱為數(shù)值穩(wěn)定的算法稱為數(shù)值穩(wěn)定的算法,否則就稱為不穩(wěn)定的算法否則

23、就稱為不穩(wěn)定的算法. e(In* ) = - n e( In-1* ), 用四位有效數(shù)字計(jì)算用四位有效數(shù)字計(jì)算:誤差誤差e( In* )的遞推公式的遞推公式:數(shù)學(xué)學(xué)院 信息與計(jì)算科學(xué)系于是于是I7* , I8* 與精確值已經(jīng)面目全非。與精確值已經(jīng)面目全非。n精確值精確值 In 近似值近似值In*n精確值精確值 In 近似值近似值In*012340.632120.367870.264240.207270.170890.63210.36780.26420.20740.1704567890.145530.126800.112380.100930.091610.14080.11200.2180-0.72807.5520算法一算法一 In =1-nIn-1 ,100*10.6321IeI 代入得下表代入得下