高量8-角動(dòng)量表象課件

1、18 8 角動(dòng)量算符和角動(dòng)量表象角動(dòng)量算符和角動(dòng)量表象8.1 8.1 幾種角動(dòng)量算符幾種角動(dòng)量算符一、幾種角動(dòng)量一、幾種角動(dòng)量1. 軌道角動(dòng)量軌道角動(dòng)量PRLkkijkjiLiLL,2. 自旋角動(dòng)量自旋角動(dòng)量 自旋角動(dòng)量沒有經(jīng)典對(duì)應(yīng)，同這個(gè)粒子的位置和自旋角動(dòng)量沒有經(jīng)典對(duì)應(yīng)，同這個(gè)粒子的位置和動(dòng)量沒有任何關(guān)系。人們根據(jù)自旋角動(dòng)量與軌道角動(dòng)量沒有任何關(guān)系。人們根據(jù)自旋角動(dòng)量與軌道角動(dòng)量具有相類似的物理性質(zhì)，作出了以下假定：動(dòng)量具有相類似的物理性質(zhì)，作出了以下假定：2（1） 分量滿足相似的對(duì)易關(guān)系分量滿足相似的對(duì)易關(guān)系kkijkjiSiSS,（2） 粒子自旋角動(dòng)量各分量算符與粒子的粒子自旋角動(dòng)量各

2、分量算符與粒子的 位置及動(dòng)量算符均對(duì)易位置及動(dòng)量算符均對(duì)易 這是一個(gè)新的假設(shè)，是五條基本原理推不出這是一個(gè)新的假設(shè)，是五條基本原理推不出來的，可以將其補(bǔ)充到有關(guān)對(duì)易關(guān)系的原理來的，可以將其補(bǔ)充到有關(guān)對(duì)易關(guān)系的原理 3 中。這樣就產(chǎn)生了總角動(dòng)量概念。中。這樣就產(chǎn)生了總角動(dòng)量概念。3. 總角動(dòng)量總角動(dòng)量?jī)蓚€(gè)含義：兩個(gè)含義：21JJJSLJ設(shè)總角動(dòng)量為設(shè)總角動(dòng)量為)2()1(JJJ下面求其對(duì)易關(guān)系。下面求其對(duì)易關(guān)系。3首先根據(jù)原理首先根據(jù)原理3，不論，不論 代表什么角動(dòng)量，代表什么角動(dòng)量，都有都有)2()1(,JJ0,)2()1(JJ即二者的任意分量都對(duì)易。即二者的任意分量都對(duì)易。SLJ以以 為例證

3、明如下：為例證明如下：,jjiijiSLSLJJ,jijiSSLLkkijkkkijkSiLikkkijkSLi)(kkijkJi同樣任意多角動(dòng)量算符和都服從該對(duì)易關(guān)系。同樣任意多角動(dòng)量算符和都服從該對(duì)易關(guān)系。4本征值寫為此形式保證了本征值寫為此形式保證了 是無量綱的數(shù)。是無量綱的數(shù)。m,二、總角動(dòng)量及其二、總角動(dòng)量及其z分量算符的本征值與分量算符的本征值與 本征函數(shù)本征函數(shù)0,2JJ已知已知?jiǎng)t則0,2zJJ這樣這樣 有共同的本征矢量完全組，有共同的本征矢量完全組，zJJ ,2設(shè)為設(shè)為 ，則有，則有m|mmmJmmJz|22 在初等量子力學(xué)中，我們利用升降算符的在初等量子力學(xué)中，我們利用升降算

4、符的定義定義 求得了本征值，即有求得了本征值，即有yxiJJJ5且有且有jjjjmj, 1, 1, 2 ,23, 1 ,21, 0jmmjmJmjjjmJz|) 1(|22有時(shí)也分別寫為有時(shí)也分別寫為|jm, |lm, |sm.通常情況下，通常情況下， 的本征矢量寫成的本征矢量寫成 , 的本征矢量寫為的本征矢量寫為 ，而自旋，而自旋 的的本征矢量寫成本征矢量寫成 。zJJ ,2jjm|zLL ,2llm|zSS ,2ssm|6重要！后面要用到。重要！后面要用到。而升降算符對(duì)態(tài)矢量而升降算符對(duì)態(tài)矢量|jm的作用可以寫為的作用可以寫為1|)(1(|jmmjmjjmJ 由于由于|jm是一組對(duì)易的厄米

5、算符的共同本征是一組對(duì)易的厄米算符的共同本征矢量，必須滿足正交歸一關(guān)系矢量，必須滿足正交歸一關(guān)系mmjjjmmj| 此式對(duì)軌道角動(dòng)量、自旋角動(dòng)量或其它角動(dòng)量此式對(duì)軌道角動(dòng)量、自旋角動(dòng)量或其它角動(dòng)量的本征矢量都成立。的本征矢量都成立。78.2 軌道角動(dòng)量算符和方向算符軌道角動(dòng)量算符和方向算符(單位算符)一、軌道角動(dòng)量算符和方向算符的對(duì)易關(guān)系一、軌道角動(dòng)量算符和方向算符的對(duì)易關(guān)系1. 方向算符的有關(guān)定義方向算符的有關(guān)定義令方向算符令方向算符RRN且分量滿足且分量滿足1222zyxNNN定義定義yxiNNN則有則有NNNN或或NNNz1222yxNN 82. 方向算符方向算符 與軌道角動(dòng)量算符與軌道

6、角動(dòng)量算符 之間的關(guān)系之間的關(guān)系NL利用公式利用公式kkijkjiNiNL,0,0,2,2, 0,zzzzzzzzNLNNLNNLNNLNLNNLNNLNNLNL很容易得出很容易得出 的相關(guān)對(duì)易關(guān)系：的相關(guān)對(duì)易關(guān)系：,zzNL9另外，利用前面所學(xué)的公式另外，利用前面所學(xué)的公式AiLAiAL22)(22,容易得出容易得出NiLNiNL22)(22,二、方向算符對(duì)軌道角動(dòng)量本征矢量的作用二、方向算符對(duì)軌道角動(dòng)量本征矢量的作用1. 對(duì)對(duì)|ll,|l,-l的作用的作用利用利用yxzyxiNNNLLLL,2222及及 的相關(guān)對(duì)易關(guān)系，容易證明的相關(guān)對(duì)易關(guān)系，容易證明,zzNLNNLNLNLNNLzzz,

7、2)(2,2210NNLNLNLNNLzzz,2)(2,22以上兩式兩邊作用到以上兩式兩邊作用到|ll上，有上，有注意：?|llLllNllNlllNLllNllNlllNllllNLz|2|2|) 1(|222或或llNlllNLllNllllNLz|) 1(|)2)(1(|22由此可見，由此可見， 也是也是 與與 的本征矢量，本的本征矢量，本征值分別為征值分別為 及及 , 相應(yīng)的量子相應(yīng)的量子數(shù)為數(shù)為llN |2LzL2)2)(1(ll) 1( l1, 1lmll11故故 可以寫為下列形式：可以寫為下列形式：llN |1, 1|llcmlcllN同樣考慮同樣考慮 和和 ，得，得llNllN

8、z,|,|llNz,|llcllNllcllNllcllNzzzz, 1|,|) 1(, 1|,|, 1|其中其中c都是歸一化常數(shù)，與都是歸一化常數(shù)，與l有關(guān)。有關(guān)。12., 1|321,|) 1(, 1|3222,|, 1|321|1, 1|3222|lllllNllllllNlllllNllllllNzz通過推導(dǎo)，最后可以得到通過推導(dǎo)，最后可以得到132. 對(duì)對(duì)|lm的作用的作用這是我們最關(guān)心的問題，為此證明公式這是我們最關(guān)心的問題，為此證明公式NLkNLkzk1,證證用數(shù)學(xué)歸納法。用數(shù)學(xué)歸納法。（1）當(dāng)）當(dāng)k=1時(shí)，時(shí)， 顯然成立顯然成立 NNLz,（2）當(dāng)）當(dāng)k=n時(shí)成立，即時(shí)成立，即

9、NLnNLnzn1,則則,1znznNLLNLnzznLNLNLL,nnLNNLnL114nnLNNLnL1nnLNNLnNLnn1)1() 1(0,NL即當(dāng)即當(dāng)k=n+1時(shí)也成立。時(shí)也成立。（3）綜合（）綜合（1）（）（2），原式對(duì)任何正整數(shù)），原式對(duì)任何正整數(shù)k 都成立，即都成立，即NLkNLkzk1,利用這個(gè)公式，可以寫出利用這個(gè)公式，可以寫出llNLkllNLllLNkzkkz|115已經(jīng)知道已經(jīng)知道lllllNz, 1|321|利用公式利用公式1|)(1(|jmmjmjjmJ可以算出可以算出)22() 12(2432|lllkllLkklmlmklk,|) 12(在第一式中，在第一式

10、中， 可用同樣方法算出?？捎猛瑯臃椒ㄋ愠觥，F(xiàn)在關(guān)鍵問題是求現(xiàn)在關(guān)鍵問題是求 。llLk, 1|llN |llNLkllNLllLNkzkkz|116為此用為此用 作用于作用于|ll上上 NNLz,llNllLNNLzz| )(得得1,|2, 1|321|llNllllLllNz對(duì)于新出現(xiàn)的對(duì)于新出現(xiàn)的 ，只要再求出一個(gè)式，只要再求出一個(gè)式子包含子包含 就好辦了。就好辦了。1,|llNz1,|,|llNllNz分析發(fā)現(xiàn)，讓分析發(fā)現(xiàn)，讓 作用于作用于上就可以。即上就可以。即NNNz121, 1|ll1, 1|1, 1|1, 1|llNNllllNNzz或或17llNllllllNlz,|1221,

11、 1|1,|121與前面得到的式子與前面得到的式子1,|2, 1|321|lllNlllLllNz聯(lián)立，得聯(lián)立，得1, 1|1211, 1|)32)(12(2|1,|1211, 1|)32)(12(41,|lllllllllNllllllllllNz18對(duì)對(duì)llNLkllNLllLNkzkkz|1llcllNzz, 1|1, 1|1211, 1|)32)(12(2|lllllllllN 現(xiàn)在知道了現(xiàn)在知道了,|lmllLk而且而且這樣就有這樣就有則則 就很容易算出了就很容易算出了(練習(xí)練習(xí))。llNLllNLkzk|,|119mlllmlmllmNz, 1|)32)(12() 1)(1(|ml

12、llmlml, 1|) 12)(12()(下面看下面看 對(duì)對(duì) 的作用：的作用：Nlm|由由 得得,zNLN )|(|lmLNlmNLlmNzz知道了知道了 的作用表達(dá)式，很容易的作用表達(dá)式，很容易得出得出 ：lmNlmLz|,|lmN |201, 1|)32)(12()2)(1(|mlllmlmllmN1, 1|) 12)(12() 1)(mlllmlml上式與下式上式與下式mlllmlmllmNz, 1|)32)(12()1)(1(|mlllmlml, 1|)12)(12()(就是方向算符就是方向算符N對(duì)于軌道角動(dòng)量本征矢量對(duì)于軌道角動(dòng)量本征矢量|lm的作用結(jié)果的作用結(jié)果, 它們?cè)谝院蟮墓?/p>

13、推導(dǎo)中很有用。它們?cè)谝院蟮墓酵茖?dǎo)中很有用。21由此由此可證明可證明 對(duì)體系任意態(tài)矢量對(duì)體系任意態(tài)矢量都成立。都成立。0,RLz8.3 量子數(shù)量子數(shù)l的升降算符的升降算符一、升降算符的尋找一、升降算符的尋找 根據(jù)討論升降算符的經(jīng)驗(yàn)，若根據(jù)討論升降算符的經(jīng)驗(yàn)，若R（不是矢徑）（不是矢徑）是使是使|lm中中l(wèi)改變改變1而而m保持不變的算符，則可令保持不變的算符，則可令, 1|mlclmR這樣就有這樣就有l(wèi)mRLlmRLlmRLzzz| ,lmRmmlcLz|, 1|mlcmmlcm, 1|, 1|022同理同理lmRLlmRLlmRL| ,222mlca, 1|2lmRa|2if,2if) 1(2

14、lalaRaRLRLz22,0,當(dāng)當(dāng)a=-2l 時(shí)，時(shí)，lmRlllmRL|) 1(|22注意到當(dāng)注意到當(dāng)a=2(l+1)時(shí)，利用上式可得時(shí)，利用上式可得lmRalmRLlmRL|222lmRllmlRl|) 1(2|) 1(22lmRll|)2)(1(2即即 之間之間 滿足下列對(duì)易關(guān)系滿足下列對(duì)易關(guān)系RLLz,223lmRlllmRL|) 1(|22lmRlllmRL|)2)(1(|22lala2) 1(2利用上述本征方程的意義，可以將利用上述本征方程的意義，可以將R|lm寫為寫為lamllamllmR2if, 1|) 1(2if, 1|可見可見R對(duì)于對(duì)于|lm的作用有關(guān)于量子數(shù)的作用有關(guān)于

15、量子數(shù)l上升算符上升算符和下降算符的性質(zhì)。和下降算符的性質(zhì)。設(shè)上升算符記為設(shè)上升算符記為R，下降算符記為，下降算符記為Q，則有，則有QlQLQLRlRLRLzz22222, 0,) 1(2, 0,下面看下面看R,Q到底是什么形式。到底是什么形式。24與式與式 比較，形式上多了第一項(xiàng)。比較，形式上多了第一項(xiàng)。RlRL22) 1(2,注意方向算符注意方向算符N與與L2的對(duì)易關(guān)系：的對(duì)易關(guān)系：NiLNiNL22)(22,另外由式另外由式 得得222,ALiLAL222,LNiLNL從這兩式可以看出，若取一個(gè)矢量從這兩式可以看出，若取一個(gè)矢量NcLNbR選擇適當(dāng)?shù)倪x擇適當(dāng)?shù)腷,c，有可能使，有可能使R

16、滿足式滿足式RlRLRLz22) 1(2, 0,經(jīng)過試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)經(jīng)過試驗(yàn)發(fā)現(xiàn) 正好滿足上式。正好滿足上式。NlLNilR) 1()(而而NlLNilQ)(正好滿足正好滿足QlQLQLz222, 0,25比如對(duì)比如對(duì) 分量，因?yàn)榉至浚驗(yàn)?，則有，則有zQNlLNilQ)()(,zxyyxzzzlNLNLNiLQL,zzxyzyxzNLlLNLiLNLi,zzxyzxzyyxzyzxNLlLNLLLNiLNLLLNi)(xxyyyyxxLNiLNiLNiLNii00,zzNL當(dāng)然可以驗(yàn)證，當(dāng)然可以驗(yàn)證， 等不滿足上式對(duì)易式。所等不滿足上式對(duì)易式。所以以 正是我們要尋找的正是我們要尋找的 的量子數(shù)的量

17、子數(shù) 的的上升和下降算符。上升和下降算符。xxQR ,zzQR ,lm|l26二、算符二、算符R,Q各分量對(duì)各分量對(duì)|lm的作用的作用估計(jì)與升降算符有關(guān)。估計(jì)與升降算符有關(guān)。令令)()()(),()()(liQlQlQliRlRlRyxyx很容易證明很容易證明)(2)(,),()(,)() 1(2)(,),()(,2222lQllQLlQlQLlRllRLlRlRLzz例如證明第一式例如證明第一式,)(,yxzziRRLlRL,yzxzRLiRLxyRiiRi)()(yxiRR )(lR27 同我們意料到的一樣，同我們意料到的一樣， 分別是分別是l的上的上升和下降算符，而且升和下降算符，而且

18、分別是分別是m的上升的上升算符，算符， 是是m的下降算符，可用下述公式的下降算符，可用下述公式表示表示)(),(lQlR)(),(lQlR)(),(lQlR1, 1| )(, 1| )(1, 1| )(, 1| )(mldlmlQmldlmlQmlclmlRmlclmlRzzzz以及前面所得到的公式以及前面所得到的公式1, 1|)32)(12()2)(1(|mlllmlmllmN1, 1|) 12)(12() 1)(mlllmlml28mlllmlmllmNz, 1|)32)(12()1)(1(|mlllmlml, 1|)12)(12()(可用計(jì)算出可用計(jì)算出R,Q對(duì)對(duì)|lm的作用結(jié)果。的作用

19、結(jié)果。 特別提示：在求特別提示：在求R,Q對(duì)對(duì)|lm的作用時(shí)，要用的作用時(shí)，要用到下述已知的公式到下述已知的公式（1）R,Q的分量表示；的分量表示；（2） 以及對(duì)以及對(duì)|lm的作用公式；的作用公式；yxiLLL（3） 以及對(duì)以及對(duì)|lm的作用公式；的作用公式；yxiNNN29推導(dǎo)過程相對(duì)復(fù)雜一些，這里只給出結(jié)果：推導(dǎo)過程相對(duì)復(fù)雜一些，這里只給出結(jié)果：mllmlmlllmlRz, 1|32) 1)(1)(12(| )(mllmlmlllmlQz, 1|12)()(12(| )(1, 1|32)2)(1)(12(| )(mllmlmlllmlR1, 1|12) 1)()(12(| )(mllmlm

20、lllmlQ308.4 球諧函數(shù)球諧函數(shù) 下面取位置表象，求軌道角動(dòng)量本征矢量下面取位置表象，求軌道角動(dòng)量本征矢量|lm的具體表達(dá)式。的具體表達(dá)式。一、位置表象中軌道角動(dòng)量算符的表示一、位置表象中軌道角動(dòng)量算符的表示此時(shí)此時(shí)R，即，即 成為相乘算符，成為相乘算符，321,XXX, iP對(duì)對(duì) 有有L)cosctg(sin iPZPYLyzx)sinctgcos( iPXPZLzxy iPYPXLxyz 22222sin1sinsin1L31方向算符方向算符N對(duì)態(tài)函數(shù)的作用是一個(gè)相乘算符對(duì)態(tài)函數(shù)的作用是一個(gè)相乘算符cossinsincossinzyxNNN而而ieN sin 注意：以上這些算符等式

21、，只有左右雙方注意：以上這些算符等式，只有左右雙方作用在任意態(tài)函數(shù)上才成立，而且都是對(duì)作用在任意態(tài)函數(shù)上才成立，而且都是對(duì)部分作用的部分作用的,與與r 無關(guān)；方向算符是相乘算符，無關(guān)；方向算符是相乘算符，作用起來很方便。作用起來很方便。,ctgieLi而而ctgieLi32二、軌道角動(dòng)量本征函數(shù)的計(jì)算二、軌道角動(dòng)量本征函數(shù)的計(jì)算1. 本征函數(shù)所滿足的基本方程本征函數(shù)所滿足的基本方程lmYlm|),(軌道角動(dòng)量本征函數(shù)在位置表象中記為軌道角動(dòng)量本征函數(shù)在位置表象中記為),(2zLL所滿足的方程可記為所滿足的方程可記為),() 1(),(sin1sinsin122222lmlmYllY),(),(

22、lmlmYmYi 通常方法是解上述微分方程得到通常方法是解上述微分方程得到 。但。但實(shí)際上知道了一個(gè)具體的實(shí)際上知道了一個(gè)具體的 ，利用升降算，利用升降算符作用即可得到其它了。符作用即可得到其它了。),(lmY),(lmY332. 本征函數(shù)的求解本征函數(shù)的求解（1）求）求),(00Y取取l=m=0, 所滿足的方程就寫為所滿足的方程就寫為),(2zLL0),(sin1sinsin100222Y0),(00Y容易看出第二式的通解為容易看出第二式的通解為)(),(00gY（只對(duì)（只對(duì) 求導(dǎo)）求導(dǎo)）將此式代入第一式得將此式代入第一式得0)(sinsin1g34此方程的通解為此方程的通解為21)2ln(

23、tg)(ccg因?yàn)橐驗(yàn)?在在 附近有限，必須取附近有限，必須取),(Y, 0. 01c所以所以 ，即，即2)(cg200),(cY利用歸一化條件利用歸一化條件1d| ),(|dsin202000Y很容易得到很容易得到41),(200 cY35ieYNYsin2341),(23),(0011利用方向算符利用方向算符 可依次得出可依次得出NieYNY221122sin425341),(45),(ieYNY332233sin64275341),(67),(illlllellYsin!)!2(!)!12(41)(),(illllellsin)!12(!2141)(36下面舉例證明第一式。下面舉例證明第

24、一式。利用利用1, 1|)32)(12()2)(1(|mlllmlmllmN1, 1|) 12)(12() 1)(mlllmlml有有11|3200|N所以所以00|2311|),(11NY41sin23ieiesin234137與此類似，利用與此類似，利用) 1(, 1|3222,|llllllN可由可由 得出得出),(00YilllllellYsin)!12(41!21),(, 得到了得到了 這兩個(gè)公式之后，只要用這兩個(gè)公式之后，只要用 依依次對(duì)次對(duì) 作用，或用作用，或用 依次對(duì)依次對(duì) 作用，就可得作用，就可得出出l固定的全部固定的全部 。這樣。這樣lmLllYLllY,),(lmYlll

25、lYLllllY) 1)(11,38llYLll,2221) 12(21llYLll,22! 2)!2()!22(1,2,)2)(1(1llllYLllllYllmlmlmlYLhmllmlY)!()!2()!(,)(sin)!()!(412!21) 1(illmlmllleLhmlmlll39類似地，用類似地，用 依次對(duì)依次對(duì) 作用，可得作用，可得LllY,llmlmlmlYLhmllmlY,)!()!2()!()(sin)!()!(412!21illmlmlleLhmlmlll利用教材中所證明的公式（這里不再證明）利用教材中所證明的公式（這里不再證明）)sincosdd)(sin)(sin

26、)(2)(imlmlmillmlmleeL可把可把 寫成兩種形式（前面已經(jīng)用寫成兩種形式（前面已經(jīng)用分別得出）分別得出）),(lmYL40imlllmemlmlllY)!()!(412!2) 1(),(lmlm2sincosddsin1imlmllmemlmlllY)!()!(412!2) 1(),(lmlm2sincosddsin 它們是軌道角動(dòng)量它們是軌道角動(dòng)量 的共同本征函數(shù)的共同本征函數(shù) 的普遍表達(dá)式。的普遍表達(dá)式。),(2zLL),(lmY41由于以上兩式是從由于以上兩式是從l=0出發(fā)得出的，所以式中出發(fā)得出的，所以式中l(wèi)只能取零及所有整數(shù)，故只能取零及所有整數(shù)，故m也只能取整數(shù)，即

27、也只能取整數(shù)，即llllml, 1, 0 , 1, 3 , 2 , 1 , 0 在數(shù)學(xué)上稱為球諧函數(shù)，全部球諧函在數(shù)學(xué)上稱為球諧函數(shù)，全部球諧函數(shù)數(shù) 在單位球面上對(duì)于在單位球面上對(duì)于單值有限的任何函數(shù)單值有限的任何函數(shù) 構(gòu)成完全函數(shù)組。構(gòu)成完全函數(shù)組。),(lmY),;, 2 , 1 , 0(llml),(f前幾個(gè)球諧函數(shù)是前幾個(gè)球諧函數(shù)是424100Ycos4310YieYsin831, 1) 1cos3(4145220YieYsincos23451, 2ieY222, 2sin8345432. 自旋空間：自旋空間：8.6 自旋和自旋波函數(shù)自旋和自旋波函數(shù)一、自旋空間一、自旋空間1. 自旋自

28、旋 粒子的自旋態(tài)是粒子的內(nèi)稟狀態(tài)，與經(jīng)粒子的自旋態(tài)是粒子的內(nèi)稟狀態(tài)，與經(jīng)典的典的“旋旋”是兩個(gè)概念。是兩個(gè)概念。 自旋無法用以前全基于位形空間自旋無法用以前全基于位形空間Hilbert空間的矢量來描述，必須另外建立一個(gè)描空間的矢量來描述，必須另外建立一個(gè)描述自旋態(tài)的矢量空間，這個(gè)空間我們稱之述自旋態(tài)的矢量空間，這個(gè)空間我們稱之為自旋空間。為自旋空間。44 而以前討論的抽象的而以前討論的抽象的Hilbert空間或函數(shù)空空間或函數(shù)空間可以稱之為位置間可以稱之為位置Hilbert空間或位置空間?？臻g或位置空間。完整地描述單粒子態(tài)的完整地描述單粒子態(tài)的Hilbert空間是這兩者空間是這兩者的直積空間。

29、的直積空間。3. 自旋角動(dòng)量算符自旋角動(dòng)量算符S： S是個(gè)矢量厄米算符，其分量服從角動(dòng)量是個(gè)矢量厄米算符，其分量服從角動(dòng)量的對(duì)易關(guān)系：的對(duì)易關(guān)系： kkijkjiSiSS,通常取通常取 作為對(duì)易算符的完備組，其共作為對(duì)易算符的完備組，其共同本征矢量為同本征矢量為 ，即有，即有 ),(2zSSsm|45smmsmSsmsssmSz|1(|22其中其中ssssms, 1, 1,;, 2 ,23, 1 ,21, 04. 自旋量子數(shù)的取值自旋量子數(shù)的取值 自旋與軌道角動(dòng)量量子數(shù)在數(shù)值上有不同自旋與軌道角動(dòng)量量子數(shù)在數(shù)值上有不同的特點(diǎn)：的特點(diǎn)： （1）非復(fù)合粒子）非復(fù)合粒子自旋量子數(shù)自旋量子數(shù)s只能取一

30、個(gè)值，比如只能取一個(gè)值，比如1）電子）電子 s=1/2462）在基本穩(wěn)定的粒子態(tài)中，所有的輕子）在基本穩(wěn)定的粒子態(tài)中，所有的輕子和和 以外的所有重子以外的所有重子s=1/23） s=3/24）介子）介子 s=05）光子）光子 s=1 （2）復(fù)合粒子）復(fù)合粒子1） 粒子基態(tài)粒子基態(tài) s=02）氘核基態(tài)）氘核基態(tài) s=13）Li核基態(tài)核基態(tài) s=3/2復(fù)合粒子自旋量子數(shù)有時(shí)可以發(fā)生變化。復(fù)合粒子自旋量子數(shù)有時(shí)可以發(fā)生變化。47基矢?jìng)€(gè)數(shù)確定維數(shù)，與自由度要區(qū)分開基矢?jìng)€(gè)數(shù)確定維數(shù)，與自由度要區(qū)分開 5. 自旋空間的維數(shù)自旋空間的維數(shù) 對(duì)于對(duì)于s=0的粒子，完全不用討論自旋，或者的粒子，完全不用討論自旋

31、，或者說其自旋空間是一個(gè)說其自旋空間是一個(gè) 1D 空間，其中只有一個(gè)空間，其中只有一個(gè)自旋態(tài)（自旋態(tài)（s=0, m=0）。）。 對(duì)非相對(duì)論量子力學(xué)的主要對(duì)象對(duì)非相對(duì)論量子力學(xué)的主要對(duì)象電子來電子來說，說，s=1/2，m只能取只能取 兩值，自旋空間是兩值，自旋空間是2D的。一般情況下自旋空間維數(shù)是的。一般情況下自旋空間維數(shù)是2s+1維。維。（為什么？）（為什么？）2/148二、自旋算符的對(duì)易及反對(duì)易關(guān)系二、自旋算符的對(duì)易及反對(duì)易關(guān)系討論討論s=1/2的粒子，以電子為例。的粒子，以電子為例。其突出特點(diǎn)是，自旋在任意方向上的分量只其突出特點(diǎn)是，自旋在任意方向上的分量只能取能取 ，即，即2/22222243,4SSSSzyx即角動(dòng)量平方及各分量平方算符是一個(gè)數(shù)算即角動(dòng)量平方及各分量平方算符是一個(gè)數(shù)算符，這可以導(dǎo)致一個(gè)特有的關(guān)系。符，這可以導(dǎo)致一個(gè)特有的關(guān)系。49將此式兩邊左乘和右乘將此式兩邊左乘和右乘 ，得，得xSxzxyxyxzxxyxyxSSiSSSSSSSiSSSSS22兩式相加，得兩式相加，得)(,2xzzxyxSSSSiSS 由由 得得kkijkjiSiSS,zxyyxSiSSSS50即自旋三個(gè)分量的算符彼此是反對(duì)易的。這是即自旋三個(gè)分量的算符彼此是反對(duì)易的。這是自旋自旋1/2粒子所