拋物線經(jīng)典性質(zhì)的總結(jié)

1、拋物線拋物線ly( fl2 2px p 0)y(A2p2px0)x(y 102 2py p 0)上 xlx2 (F y2py )0)LlO/F定義平向與一個定點F和一條定直線l日勺距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線。m |mf點M到直線l的距離圍x0,y Rx 0,y Rx R, y 0x R,y 0對稱性關(guān)于x軸對稱關(guān)于y軸對稱隹百八、八、仁,0)(以0)吟(0U)焦點在對稱軸上頂點0(0,0)離心率e=1準線程x號x_p2y 1y 1準線與焦點位于頂點兩側(cè)且到頂點的距離相等。頂點到準線的距離2焦點到準P線的跑離焦半徑A(xi, yi)AF x1 -2

2、AF Xi 2AF yi pAF yi p焦點弦長1ABi(Xi X2) p(Xi X2) p(yi y) p(yi y2) p焦點弦AB的幾條性質(zhì)A(xi, yi)BM, y2)yA Xi, %以AB為直徑的圓必與準線l相切若AB的傾斜角為，則|AB|2Psin若AB的傾斜角為 ，則|AB 22cos2P2XiX2y1y2P4ii AF BFAB2AF BF AF ?BF AF ?BF p切線程y°y p(x X。)y°yp(x Xo)XoXp(y y。)XoXp(y y。)Word資料1.直線與拋物線的位置關(guān)系直線，：沙=出+於拋物線/，y -Jcx-b/Q = 2內(nèi)

3、消y徨 PP+2鯉-p)工4=0 y 1 rzj y(1)當k=0時，直線l與拋物線的對稱軸平行，有一個交點；(2)當 kw0 時，A >0,直線l與拋物線相交，兩個不同交點；&0,直線l與拋物線相切，一個切點；A<0,直線l與拋物線相離，無公共點。(3)若直線與拋物線只有一個公共點，則直線與拋物線必相切嗎？(不一定)(4)2.關(guān)于直線與拋物線的位置關(guān)系問題常用處理法直線l ： y kx b 拋物線=2尹，忤o)聯(lián)立程法：y kx b 2 222k x 2(kb p)x b 0y 2px設(shè)交點坐標為A(x1，y1)，B(x2, y2),則有 0,以及x1 x2,xx2,還可

4、進一步求出yi y2 kxi b kx? b k(x x2) 2b,22yy2 (kx b)(kx2 b) k x kb(x1 x2)b在涉及弦長，中點，對稱，面積等問題時，常用此法，比如a.相交弦AB的弦長AB| d k2|x1 x2| Ji k2(x1 x2)2 4x1 x2 V1 k2 y-j-或 ABIJ1力 y1y2 J17rV(y1y2)24 yly2V1k 2 ykkVk|ab.中點 M(xo,y0), Xo x-x2 , yo -y1一y2 22點差法：設(shè)交點坐標為A(xi,yi), B(X2,y2),代入拋物線程，得yi2 2pxiy 2 pX2將兩式相減，可得(y1 y2)

5、(y y) 2p(x1 X2)yy2 2pxi x2yi y2a.在涉及斜率問題時，kAB上一yi y2b.在涉及中點軌跡問題時，設(shè)線段AB的中點為M (xo, yo),yi y 2p 2p pxi x2 yi y2 2 yo yo即 kAB 2 , yo同理，對于拋物線x2 2 py( p o),若直線l與拋物線相交于A、B兩點，點M(xo,yo)是弦AB的中點,則有kABxi x22p2xoxo2pp(注意能用這個公式的條件：i)直線與拋物線有兩個不同的交點，2)直線的斜 率存在，且不等于零)一、拋物線的定義及其應(yīng)用例i、設(shè)P是拋物線y2 = 4x上的一個動點.求點P到點A(i,i)的距離

6、與點P到直線x= i的距離之和的最小值;(2)若 B(3,2),求|PB|十|PF|的最小化例2、(2011 高胃設(shè)M(x0, y0)為拋物線C: x2 = 8y上一點，F(xiàn)為拋物線C的焦點，以F為圓心、|FM|為半徑的圓和拋物線C的準線相交，則y0的取值圍是()A. (0,2)B. 0,2 C. (2, +oo) D. 2, +oo)二、拋物線的標準程和幾性質(zhì)例3、拋物線y2 = 2px(p>0)的焦點為F,準線為1,經(jīng)過F的直線與拋物線交于A、 B兩點，交準線于C點，點A在x軸上，AKX1,垂足為K,若|BC| = 2|BF|,且|AF| =4,則AKF的面積是( )A. 4B. 3小

7、C. 4/D. 8例4、過拋物線y2= 2Pxs>0)的焦點F的直線交拋物線于點A、B,交其準線1于點C,若|BC| = 2|BF|,且|AF| = 3則此拋物線的程為（）A. y2= 3xB. y2=9xC. y2=2xD. y2=3x三、拋物線的綜合問題例5、(2011 高岑已知過拋物線y2=2px(p>0)的焦點，斜率為2啦的直線交拋物 線于 A(x1，y1)，B(x2, y2)(x1<x2)兩點，且 |AB|=9.求該拋物線的程；uuu uuu uuu(2)O為坐標原點，C為拋物線上一點，若OC= OA+ QB,求油勺值.例6、(2011 高為13分)已知平面一動點P

8、到點F(1,0)的距離與點P Uy軸的距 離的差等于1.求動點P的軌跡C的程；(2)過點F作兩條斜率存在且互相垂直的直線11, L設(shè)11與軌跡C相交于點A, B, uuu uuu12與軌跡c相交于點d, E,求AD EB的最小值例7、已知點M(1, y)在拋物線C: y2=2px(p>0)上，M點到拋物線C的焦點F1的距離為2,直線1: y= 2x+b與拋物線C父于A, B兩點.(1)求拋物線C的程；若以AB為直徑的圓與x軸相切，求該圓的程.練習題1 .已知拋物線x2=ay的焦點恰好為雙曲線 y2 x2 = 2的上焦點，則 a等于()A. 1B. 4C. 8D. 162.拋物線y= 4x

9、2上的一點M到焦點的距離為1,則點M的縱坐標是 ().17A.16-15B.- 167C -1615 D -16A, B是該拋物線上的兩點，|AF|3 . (2011 高岑已知F是拋物線y2 = x的焦點，十 |BF = 3,則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為 ()3A.4 B 15C47D.44 .已知拋物線y2 = 2px,以過焦點的弦為直徑的圓與拋物線準線的位置關(guān)系是 ()A.相離B.相交C.相切D.不確定5 . (2012 檢測已知F為拋物線y2=8x的焦點，過F且斜率為1的直線交拋物線于 A 、 B 兩點， 則 |FA|FB|的值等于()A. 4應(yīng)B. 8 C. 8噂D. 166 .在丫

10、= 2x2上有一點P,它到A(1,3)的距離與它到焦點的距離之和最小，則點 P的坐標是A. ( 2,1)B. (1,2) C. (2,1)D. (1,2)7 . (2011 高考設(shè)拋物線的頂點在原點，準線程為x=2,則拋物線的程是()A. y2= 8xB, y2=8x C. y2= 4xD. y2 = 4x8 . (2012 永州模擬以拋物線x2=16y的焦點為圓心，且與拋物線的準線相切的 圓的程為-9 .已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為y軸，拋物線上一點Q(-3, m)到焦點的距離是5,則拋物線的程為 10 .已知拋物線y2=4x與直線2x+ y 4 = 0相交于A、B兩點，拋物線的焦點為F

11、,那么 | FAr | 十| FBu | =.11 .過拋物線y2 = 4x的焦點作直線交拋物線于 A(x1 , y1), B(x2, y2)兩點，若x1+x2 = 6,那么 |AB|等于12 .根據(jù)下列條件求拋物線的標準程：(1)拋物線的焦點是雙曲線16x2- 9y2=144的左頂點；過點P(2, -4).213 .已知點A(1,0), B(1, 1),拋物線C： y=4x, O為坐標原點，過點A的uuuu動直線l交拋物線C于M, P兩點，直線MB交拋物線C于另一點Q.若向量OMuuu九與OP的夾角為,求POM的面積.參考答案:一、拋物線的定義及其應(yīng)用例1、(1)如圖，易知拋物線的焦點為 F

12、(1,0),準線是x= 1.由拋物線的定義知：點P到直線x= 1的距離等于點P到焦點F的距離. 于是，問題轉(zhuǎn)化為：在曲線上求一點P,使點P到點A(1,1)的距離與點P到F(1,0) 的距離之和最小.顯然，連結(jié)AF交曲線于P點，則所求的最小值為|AF|,即為。5. (2)如圖,自點B作BQ垂直準線于Q,交拋物線于點P1,則|P1Q|=|P1F|.則有|PB| 十 |PF 引P1 B| 十 |P1Q| = |BQ| = 4.即|PB| 十 |PF的最小值為 4.例2、解析：圓心到拋物線準線的距離為 p,即p=4,根據(jù)已 知只要|FM|>4即 可.根據(jù)拋物線定|FM| = y0 + 2由y0+

13、2>4,解得y0>2 ,故y0的取值圍是(2, + °°).二、拋物線的標準程和幾性質(zhì)例3、設(shè)點A僅1, y。，其中y1>0.由點B作拋物線的準線的垂線，垂足為 B.則有|BF=|BB|;又 |CB| = 2|FB|,因此有 |CB| = 2|BB|, cos/ CBBBB：;1, / CBB |BC| 2PPP7tL=3.即直線AB與x軸的夾角為3.又|AF|=|AK| = xi + 2 = 4,因此y1 = 4sin§ = 243,11因此 AKF的面積等于習AK| y1=萬W X2g3 = 443.例4.分別過點A、B作AAi、BB垂直于l

14、,且垂足分別為Ai、Bi,由已知條件|BC| 二 2|BF|得|Bq = 2|BB|, ./BCB = 30° , 31AAi|= |AF| = 3, . |AC| = 2|AAi|=6,.|CF|=|AC| |AF| = 6 3 = 3, . F 為線段 AC 的中點.故點1 30F到準線的距離為p=2|AA1| = 2,故拋物線的程為y=3x.三、拋物線的綜合問題例5、(1)直線AB的程是丫=2/僅22),與y2=2px聯(lián)立，從而有4x2 5px+ p25p=0,所以：必十先二了，由拋物線止乂得：|AB|= x+ x?+p = 9,所以p = 4,從而拋物線程是y2 = 8x.(

15、2)由 p = 4,4x? 5px+p2=0 可簡化為 x? 5x+ 4=0,從而 x = 1, x2 = 4, y1= 2啦，y2 = 4啦，從而 A(1, 一2啦)，B(4,4V2);設(shè)戕=僅3, y3) = (1, 272)+ 乂4,4啦)=(4 入 + 1,4也入2V2).又 y3= 8x3, 即2點(2入1)2=8(4 計 1).2即(2人1)=4入+ 1.解得人=0,或入=2.例6、(1)設(shè)動點P的坐標為(x, y),由題意有y一x 1 2+y2 |x|=1.化簡得y2= 2x+2|x|.當 x>0 時，y2 = 4x;當 x<0 時，y = 0.所以，動點P的軌跡C的

16、程為y2=4x僅>0)和v= 0(x<0) .由題意知，直線11的斜率存在且不為0,設(shè)為k,則11的程為y=k(x1).由y=k x1y2_4x，得 k2x2 (2k2+4)x+k2=0.(7 分)4設(shè)A(x1，y1)，B(x2, y2),則x1，x2是上述程的兩個頭根，于是 x + x2=2+k2, x1x2=1.(8 分)因為112,所以12的斜率為一1. 設(shè)D(x3, y3), E(x4, y4),則同理可得 k2x3+x4=2+4k, x3x4=1.=(x1+ 1)(x2+ 1)+(x3+ 1)(x4+ 1)k2-12=16.k二x1x2+ (x1 +x2)+ 1 + x3

17、x4+ (x3+ x4)+1(11 分)42211 + (2+”)+ 1 + 1 + (2 + 4k)+1=8 + 4(k +2)>8 + 4X22 1 r 一 一uuu uuu.當且僅當k2 = Q 即k=±1時，AD EB取最小值16.例7、(1)拋物線y2=2px(p>0)的準線為x= 2,由拋物線定義和已知條件可知P P一一一一 C|MF|=1 ( 2)=1+2=2,解得p=2,故所求拋物線C的程為y2=4x.1. y= -3+ b,_2(2)聯(lián)立2消去x并化簡整理得y + 8y 8b = 0.y2=4x依題意應(yīng)有 1 64+32b>0,解得 b>2.

18、設(shè) A(xi , y4, B(x2,幻,則 ydy2_ 、n、 _. _ xi + x2y1 + y2=-8, y1y2= - 8b,設(shè)圓心 Q(x0, y0),則應(yīng)用 x0 = 2 ， y0= 2 = - 4.因為以AB為直徑的圓與x軸相切，所以圓的半徑為r=|y0| = 4.又 |AB| = xi X22+yi y21 + 4、一y二 鄧yi + y2 24yy=勺5 64 +32b8 所以 |AB| = 2r = y64T32b = 8,解得 b=5.48所以 Xi + x2= 2b 2yi + 2b 2y2= 4b+16= _ ,5則圓心Q的坐標為(5，4).故所求圓的程為僅一萬)，(

19、y+ 4)2= 16.練習題:1. C.解析：根據(jù)拋物線程可得其焦點坐標為(0, a),雙曲線的上焦點為9,2),_, a -依題意則有4 = 2解彳3a=8.2 y12. B.解析：拋物線程可化為xx-12x+ 4 = 0.設(shè) A(X1, y。，B(X2, yz),則 |FA|FB|= |(xi2)(xz+2)| = |X1 X2| =yj (x1 + X2)2 - 4x1X2 = U144 - 16 = 8t2.6. B.解析：如圖所示，直線l為拋物線y=2x2的準線，F(xiàn)為其= 4,其準線程為y = 16.設(shè)M(X0, y0),則由拋115物線的止乂，可知16 yo=1? y。： 16.3

20、. C.解析：根據(jù)拋物線定義與梯形中位線定理，得線段 AB中點到y(tǒng)軸的距離、，111 3 1 5為：2(AFI+IbH)-4=2-4=74. C.解析：設(shè)拋物線焦點弦為AB,中點為M,準線l, A1、B分別為A、B在1直線l上的射影，則|AA1|=|AF|, |BB| = |BF|,于是M到l的距離d =2(AA + |BB|)1_1= 2(|AF| + |BF|)= 21AB=半徑，故相切.»，、叱一，、，»，、，t y=x2,2 r 一5. C.斛析：依題思F(2,0),所以直線程為y = x 2由2 &，洎去丫得焦點，PN±l, ANl,由拋物線的定

21、義知，|PF|=|PN|, .IAPI+IPFmIAPI+IPNI>|ANi|,當且僅當A、P、N三點共線時取等號. P點的橫坐標與A點的橫坐 標相同即為1,則可排除A、C、D.答案：B7 . B.解析：由準線程x= 2,可知拋物線為焦點在x軸正，半軸上的標準程， 同時得p=4,所以標準程為 y2=2px = 8x8 .解析：拋物線的焦點為F(0,4),準線為y= 4,則圓心為(0,4),半徑r=8.所 以，圓的程為x?+(y 4)2= 64.2 a9.解析：設(shè)拋物線程為x=ay(aw0),則準線為y= -4/. Q(-3, m)在拋物線a上，；9=am.而點Q到焦點的距離等于點 Q到準線的距離，|m (4)|=5.將m = ?代入，得|*+3| =