第6章 靜電場(chǎng)

1、0qFE6-1 關(guān)于電場(chǎng)強(qiáng)度的定義式關(guān)于電場(chǎng)強(qiáng)度的定義式 ，下列說(shuō)法中，下列說(shuō)法中哪個(gè)是正確的？哪個(gè)是正確的？ A （B）場(chǎng)強(qiáng)）場(chǎng)強(qiáng) 的大小與試探電荷的大小與試探電荷 的大小成反比；的大小成反比；（A）對(duì)場(chǎng)中某點(diǎn)，試探電荷受力）對(duì)場(chǎng)中某點(diǎn)，試探電荷受力 與與 的比值不因的比值不因 而變；而變； E0q0qF0q（C）試探電荷受力）試探電荷受力 的方向就是場(chǎng)強(qiáng)的方向就是場(chǎng)強(qiáng) 的方向；的方向； EF（D）若場(chǎng)中某點(diǎn)不放試探電荷）若場(chǎng)中某點(diǎn)不放試探電荷 ，則，則 ，從而，從而0q0F0E6-2 在電場(chǎng)中某點(diǎn)在電場(chǎng)中某點(diǎn)P 放入試探電荷放入試探電荷q0 , 測(cè)得電場(chǎng)力測(cè)得電場(chǎng)力為為 , 則該點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為

2、則該點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為 , 若放入另一試探電荷若放入另一試探電荷 -q0 ,測(cè)得測(cè)得P點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)為點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)為 ， -q0受的電場(chǎng)力受的電場(chǎng)力 = . F0qFF0qFF解：正如解：正如6-1題中所指出的，一個(gè)電場(chǎng)一旦給定，則對(duì)場(chǎng)中題中所指出的，一個(gè)電場(chǎng)一旦給定，則對(duì)場(chǎng)中某點(diǎn)，其電場(chǎng)強(qiáng)度就唯一地確定了，也即：試探電荷在此點(diǎn)某點(diǎn)，其電場(chǎng)強(qiáng)度就唯一地確定了，也即：試探電荷在此點(diǎn)受的力受的力 與與 的比值不因的比值不因 的改變而改變；的改變而改變； 電場(chǎng)中某點(diǎn)的電場(chǎng)中某點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)的物理意義即為：?jiǎn)挝徽姾稍诖它c(diǎn)處所受的電場(chǎng)力。場(chǎng)強(qiáng)的物理意義即為：?jiǎn)挝徽姾稍诖它c(diǎn)處所受的電場(chǎng)力。0qF0q6-3 兩個(gè)間距為兩個(gè)間距為r

3、的正點(diǎn)電荷的正點(diǎn)電荷q1 與與q2 ，在引入另一點(diǎn)電荷，在引入另一點(diǎn)電荷q3 后，三后，三個(gè)點(diǎn)電荷都處于平衡狀態(tài)，則個(gè)點(diǎn)電荷都處于平衡狀態(tài)，則q3 位于位于q1 與與q2 連線之連線之 間間（填（填“間間”或或“外外”），）， q3 與與q1與的距離與的距離r13 = ； q3的電量為的電量為 q1 q2q3 r12r13r23 解：要想使三個(gè)點(diǎn)電荷解：要想使三個(gè)點(diǎn)電荷都處于平衡狀態(tài)，都處于平衡狀態(tài)，q3 必必須為負(fù)電荷，且須為負(fù)電荷，且q3 必須必須位于位于q1 與與q2 之間的連線之間的連線上，如圖示。上，如圖示。由庫(kù)侖定律有：由庫(kù)侖定律有： 2122101241rqqF213310134

4、1rqqF2233202341rqqF1312FF 122123FFF解得解得221213)(qqqqqrqqqr21113由三個(gè)點(diǎn)電荷都處于由三個(gè)點(diǎn)電荷都處于平衡狀態(tài)有：平衡狀態(tài)有：6-4 電量電量 Q ( Q 0 ) 均勻分布在長(zhǎng)為均勻分布在長(zhǎng)為 2L 的細(xì)棒上，在細(xì)棒的的細(xì)棒上，在細(xì)棒的延長(zhǎng)線上距細(xì)棒中心延長(zhǎng)線上距細(xì)棒中心 O 距離為距離為 x 的的P 點(diǎn)處放一帶電量為點(diǎn)處放一帶電量為 q ( q 0 )的點(diǎn)電荷，求帶電細(xì)棒對(duì)該點(diǎn)電荷的靜電力的點(diǎn)電荷，求帶電細(xì)棒對(duì)該點(diǎn)電荷的靜電力 L2OPxxaadaqdd aLQd )2(204ddrqE20)(8d axLaQ建立如圖所示的坐標(biāo)系在帶

5、電直建立如圖所示的坐標(biāo)系在帶電直線上取電荷元線上取電荷元 它在它在 P 點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為Ed且各且各均均同向同向(向右向右)解：解：EEdLLaxLaQ20)(8d LaLaaxaxLQ20)()(d8LaLaaxLQ180LxLxLQ118022014LxQ qEF )(4220LxqQ點(diǎn)電荷受力：點(diǎn)電荷受力：F的方向：的方向： 沿沿x軸正向，即：軸正向，即：在帶電直線延長(zhǎng)線上遠(yuǎn)離在帶電直線延長(zhǎng)線上遠(yuǎn)離O點(diǎn)向右點(diǎn)向右. 6-5 如圖所示，半徑為的半圓弧上均勻帶電，電荷總量為如圖所示，半徑為的半圓弧上均勻帶電，電荷總量為Q , 圓心在原點(diǎn)，求圓心圓心在原點(diǎn)，求圓

6、心O的電場(chǎng)強(qiáng)度。的電場(chǎng)強(qiáng)度。xQORy解：解：設(shè)設(shè)Q為正為正 電荷分布關(guān)于電荷分布關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，易知，半圓弧上關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，易知，半圓弧上關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的任意一對(duì)點(diǎn)電荷（電荷量可取為相軸對(duì)稱(chēng)的任意一對(duì)點(diǎn)電荷（電荷量可取為相等）在圓心等）在圓心O處的電場(chǎng)沿處的電場(chǎng)沿x方向的分量抵消。方向的分量抵消。d如圖，在半圓弧上任取一弧長(zhǎng)為如圖，在半圓弧上任取一弧長(zhǎng)為 的點(diǎn)電荷，的點(diǎn)電荷，其電荷量為其電荷量為此點(diǎn)電荷在此點(diǎn)電荷在O點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度沿點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度沿y軸的分量為軸的分量為 Rddl dQdlRQdqdRQRdqdEycos4cos420220則：則： 20202022sin4RQdRQdEEy即即 沿沿

7、y軸負(fù)向軸負(fù)向 jRQE20226-6 用不導(dǎo)電的細(xì)塑料棒彎成一個(gè)半徑為用不導(dǎo)電的細(xì)塑料棒彎成一個(gè)半徑為R、帶有缺口的圓環(huán)，、帶有缺口的圓環(huán)，缺口寬度缺口寬度dR，電量為電量為Q的正電荷均勻分布在環(huán)上的正電荷均勻分布在環(huán)上, 求圓心求圓心處場(chǎng)強(qiáng)的方向和大小處場(chǎng)強(qiáng)的方向和大小.解解: (補(bǔ)償法補(bǔ)償法)設(shè)想缺口帶電環(huán)由一個(gè)完整的圓環(huán)（帶電設(shè)想缺口帶電環(huán)由一個(gè)完整的圓環(huán)（帶電 ）和帶電和帶電 的缺口（由于的缺口（由于 dR ，此缺口可視為點(diǎn)電荷）疊加，此缺口可視為點(diǎn)電荷）疊加而成。由于對(duì)稱(chēng)性，完整帶電圓環(huán)在圓心處場(chǎng)強(qiáng)為零。則缺口帶而成。由于對(duì)稱(chēng)性，完整帶電圓環(huán)在圓心處場(chǎng)強(qiáng)為零。則缺口帶電環(huán)在圓心處的

8、場(chǎng)強(qiáng)和缺口處帶電電環(huán)在圓心處的場(chǎng)強(qiáng)和缺口處帶電 的點(diǎn)電荷在圓心處的場(chǎng)的點(diǎn)電荷在圓心處的場(chǎng)強(qiáng)等價(jià)強(qiáng)等價(jià) =E+dq E204RqE204RddRQ2RQ2R2dd方向如圖所示方向如圖所示（由圓心指向缺口）（由圓心指向缺口）QRd3028ORP6-7如圖所示，在一個(gè)很大的均勻帶如圖所示，在一個(gè)很大的均勻帶電（面電荷密度為電（面電荷密度為 ）平面的中部）平面的中部開(kāi)一個(gè)半徑為開(kāi)一個(gè)半徑為 R 的小圓孔，求通過(guò)的小圓孔，求通過(guò)小圓孔中心并與平面垂直的直線上小圓孔中心并與平面垂直的直線上P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。 在大平面上取極坐標(biāo)系則面在大平面上取極坐標(biāo)系則面元元dddrrS dddrrq 204

9、ddlqE0zyEEcosdEEEx2022220)(4ddRxrxxrrrRrxrxrdx2322220)()(42202Rxx 沿沿 x 軸背離軸背離平面平面 E由對(duì)稱(chēng)性可知由對(duì)稱(chēng)性可知: )(4dd220 xrrr（1）疊加法）疊加法解解:ldSdErrxx0（2）補(bǔ)償法）補(bǔ)償法0 +0 =P場(chǎng)強(qiáng)疊加，取豎直向上為正方向場(chǎng)強(qiáng)疊加，取豎直向上為正方向平面E圓孔E圓孔平面EEE圓孔平面EEE220000122xRx22002xRx6-8 如圖所示，一寬度為如圖所示，一寬度為d、長(zhǎng)為無(wú)限大的平面均勻帶電，電、長(zhǎng)為無(wú)限大的平面均勻帶電，電荷面密度為荷面密度為，求與之在同一平面內(nèi)、距離近邊距離為，

10、求與之在同一平面內(nèi)、距離近邊距離為a的的P點(diǎn)點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。的電場(chǎng)強(qiáng)度。dPaOx取如圖所示的取如圖所示的x軸，原點(diǎn)在平面的最左端。軸，原點(diǎn)在平面的最左端。解解:取寬度取寬度dx的一部分（相當(dāng)于一根無(wú)限長(zhǎng)的一部分（相當(dāng)于一根無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直線），其電荷分布的線密度均勻帶電直線），其電荷分布的線密度為：為：此無(wú)限長(zhǎng)直帶電線在此無(wú)限長(zhǎng)直帶電線在 P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為xdxa+d-xdx)(2)(200 xdadxxdadE方向沿方向沿x軸正向軸正向則整個(gè)帶電平面在則整個(gè)帶電平面在P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為)ln(2)(2000adaxdadxdEEd方向沿方向沿

11、x軸正向軸正向6-9 如圖所示，一厚度為如圖所示，一厚度為a的無(wú)限大平板，電荷體密度為的無(wú)限大平板，電荷體密度為，求與板面距離為求與板面距離為b的的P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。解：用疊加法求解，在解：用疊加法求解，在x處取寬為處取寬為dx的的薄層薄層(為一無(wú)限大均勻帶電平面為一無(wú)限大均勻帶電平面)，電荷，電荷面密度為：面密度為：dx0022dxdE該薄層產(chǎn)生的電場(chǎng)為：該薄層產(chǎn)生的電場(chǎng)為：則整個(gè)無(wú)限大平板在則整個(gè)無(wú)限大平板在P點(diǎn)的電場(chǎng)：點(diǎn)的電場(chǎng)：00022adxEaPbaPbaxxdx方向沿方向沿x軸正向軸正向6-10關(guān)于高斯定理的理解有下面幾種說(shuō)法，其中正確的是（關(guān)于高斯定理的理解有下面幾種

12、說(shuō)法，其中正確的是（ C ） (A) 如果高斯面上如果高斯面上 處處為零，則該面內(nèi)必?zé)o電荷處處為零，則該面內(nèi)必?zé)o電荷 E(B) 如果如果 高斯面內(nèi)無(wú)電荷，則高斯面上高斯面內(nèi)無(wú)電荷，則高斯面上 處處為零處處為零 E(D) 如果高斯面上如果高斯面上 處處不為零，則高斯面內(nèi)必有電荷處處不為零，則高斯面內(nèi)必有電荷 E(C) 如果高斯面內(nèi)凈電荷不為零，則通過(guò)高斯面的電通如果高斯面內(nèi)凈電荷不為零，則通過(guò)高斯面的電通 量必不為零量必不為零 (E) 高斯定理僅適用于具有高度對(duì)稱(chēng)性的電場(chǎng)高斯定理僅適用于具有高度對(duì)稱(chēng)性的電場(chǎng) qABqPSq6-11 如圖所示，閉合曲面如圖所示，閉合曲面S內(nèi)有一點(diǎn)電荷內(nèi)有一點(diǎn)電荷q

13、，P為為S面上一點(diǎn)，面上一點(diǎn)，在在S面外面外A點(diǎn)有一點(diǎn)電荷點(diǎn)有一點(diǎn)電荷 , 若將若將 移至移至B點(diǎn)，則點(diǎn)，則 （A）q(A) 穿過(guò)穿過(guò)S面的電通量不變，面的電通量不變，P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度改變；點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度改變；(B) 穿過(guò)穿過(guò)S面的電通量改變，面的電通量改變，P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度不變；點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度不變；(C) 穿過(guò)穿過(guò)S面的電通量和面的電通量和P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度都不變；點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度都不變；(D) 穿過(guò)穿過(guò)S面的電通量和面的電通量和P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度都改變點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度都改變解：穿過(guò)閉合曲面的電通量與面外電荷無(wú)關(guān)，解：穿過(guò)閉合曲面的電通量與面外電荷無(wú)關(guān)，P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度由內(nèi)外電荷決定點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度由內(nèi)外電荷決定. 6-

14、12 (1) 點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷q位于邊長(zhǎng)為位于邊長(zhǎng)為a的正立方體的中心，通過(guò)此立方的正立方體的中心，通過(guò)此立方體的每一面的電通量各是多少？體的每一面的電通量各是多少？(2) 若電荷移至正方體的一個(gè)頂點(diǎn)上，則通過(guò)每個(gè)面的電通量若電荷移至正方體的一個(gè)頂點(diǎn)上，則通過(guò)每個(gè)面的電通量又各是多少？又各是多少？06qE(b) 該頂點(diǎn)可視為邊長(zhǎng)等于該頂點(diǎn)可視為邊長(zhǎng)等于2a 的大立方體的中的大立方體的中心心, 通過(guò)每個(gè)大面的電通量為通過(guò)每個(gè)大面的電通量為06q解解: (a) 因?yàn)橐驗(yàn)?個(gè)全等的正方形組成一個(gè)封閉面?zhèn)€全等的正方形組成一個(gè)封閉面, 所所以以每個(gè)小立方體中不經(jīng)過(guò)該頂點(diǎn)的三個(gè)每個(gè)小立方體中不經(jīng)過(guò)該頂點(diǎn)的三個(gè)

15、小面上的電通量為小面上的電通量為而通過(guò)該頂點(diǎn)的另三個(gè)小面的電通量為而通過(guò)該頂點(diǎn)的另三個(gè)小面的電通量為0. 024q6-13半徑分別為半徑分別為R1、R2的均勻帶電球面同心放置（的均勻帶電球面同心放置（ R1 R2 ），帶），帶電量分別為電量分別為Q1、Q2，求電場(chǎng)分布。，求電場(chǎng)分布。解解: 系統(tǒng)具球?qū)ΨQ(chēng)性系統(tǒng)具球?qū)ΨQ(chēng)性, 取球形高斯面取球形高斯面, 024內(nèi)qErSdEs(1) E1 = 0 20124rQE（2）Q1Q2202134rQQE(3)(E不是不是r的連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù), 在兩個(gè)球面處有躍變?cè)趦蓚€(gè)球面處有躍變) r R1R1 r R26-14半徑半徑R1的無(wú)限長(zhǎng)圓柱形帶電體，電荷體

16、密度為的無(wú)限長(zhǎng)圓柱形帶電體，電荷體密度為，外面有一半，外面有一半徑為徑為R2的無(wú)限長(zhǎng)同軸圓柱面，電荷面密度為的無(wú)限長(zhǎng)同軸圓柱面，電荷面密度為，求場(chǎng)強(qiáng)分布。，求場(chǎng)強(qiáng)分布。解解: 電荷分布有圓柱對(duì)稱(chēng)性電荷分布有圓柱對(duì)稱(chēng)性, 取圓柱形高斯面取圓柱形高斯面 取長(zhǎng)度為取長(zhǎng)度為L(zhǎng)的一段的一段L02內(nèi)qLErSdEs圓柱形高斯面的兩個(gè)端面上無(wú)電通量圓柱形高斯面的兩個(gè)端面上無(wú)電通量022LrrLErerE20（1）r R10212LRrLErerRE2021（2）R1 r R26-15半徑半徑R的球形帶電體，電荷體密度為的球形帶電體，電荷體密度為= Ar（rR, A為常數(shù)），為常數(shù)），總帶電量為總帶電量為Q，求球內(nèi)外各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)分布。，求球內(nèi)外各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)分布。解解: 系統(tǒng)具球?qū)ΨQ(chēng)性系統(tǒng)具球?qū)ΨQ(chēng)性, 取球形高斯面取球形高斯面024內(nèi)qErSdEs(1)(2)在球內(nèi)，即在球內(nèi)，即r R，半徑為，半徑為r的球形高斯面內(nèi)所包圍的電荷為的球形高斯面內(nèi)所包圍的電荷為QRAdrrAdrrqRR4030244內(nèi)rrerQerARE4420204或（題設(shè)條件多余了，（題設(shè)條件多余了，A和和Q有有 的限制）的限制）QRA46-