第二學期高數(shù)(下)期末考試試卷及答案

1、精選其次學期期末高數(shù)（下）考試試卷及答案1一、 填空題(每空 3 分，共 15 分) 1.設，則.2.曲面在點處的切平面方程是.3.交換累次積分的次序：.4.設閉區(qū)域D是由分段光滑的曲線L圍成,則：使得格林公式： 成立的充分條件是：.其中L是D的取正向曲線;5.級數(shù)的收斂域是.二、 單項選擇題 (每小題3分,共15分)1.當，時,函數(shù)的極限是 A.等于0; B. 等于; C. 等于; D. 不存在.2.函數(shù)在點處具有偏導數(shù)，是函數(shù)在該點可微分的 A.充分必要條件; B.充分但非必要條件;C.必要但非充分條件; D. 既非充分又非必要條件.3.設，則 A.; B. ; C. ; D. .4.若級

2、數(shù)在處收斂,則此級數(shù)在處A.確定收斂; B.條件收斂;C.發(fā)散; D.收斂性不確定.5.微分方程的特解應設為 A. ; B. ; C. ; D. .三.（8分）設一平面通過點,而且通過直線,求該平面方程.解： 平行該平面該平面的法向量所求的平面方程為：即：四.（8分）設,其中具有二階連續(xù)偏導數(shù),試求和.解：令，五.（8分）計算對弧長的曲線積分其中是圓周與直線在第一象限所圍區(qū)域的邊界.解： 其中： ： ： ： 而 故： 六、（8分）計算對面積的曲面積分,其中為平面在第一卦限中的部分.解： ,七.（8分）將函數(shù),開放成的冪級數(shù).解：, 而 , , , 八.（8分）求微分方程：的通解.解：, 原方程

3、為： 通解為： 九.冪級數(shù)： 1.試寫出的和函數(shù);（4分）2.利用第1問的結(jié)果求冪級數(shù)的和函數(shù).（8分）解：1、 于是 2、令： 由1知： 且滿足： 通解： 由，得：；故： 十.設函數(shù)在上連續(xù),且滿足條件 其中是由曲線,繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面與平面(參數(shù))所圍成的空間區(qū)域。1、將三重積分寫成累次積分的形式;（3分）2、試求函數(shù)的表達式.（7分）解：1、旋轉(zhuǎn)曲面方程為： 由，得： 故在面的投影區(qū)域為：2、由1得： 記： 則： 兩邊乘以：，再在 上積分得： 解得： 故： 其次學期期末高數(shù)（下）考試試卷及答案2三、 填空題(每空 3 分，共 15 分) 1. 曲線，繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的方程

4、是.2.曲線在點處的法平面方程是.3. 設,其中具有二階連續(xù)導數(shù),且，,則.4. 級數(shù)，當滿足不等式時收斂.5.級數(shù)的收斂域是.四、 單項選擇題 (每小題3分,共15分)1.設與為非零向量,則是 A. 的充要條件; B. 的充要條件; C. 的充要條件; D. 的必要但非充分條件.2.平面的位置是 A.垂直于軸; B.平行于軸;C.平行于面; D. 通過軸.3.設函數(shù)，則下列說法正確的是 A.存在且在點處的兩個偏導數(shù)也存在; B. 存在但在點處的兩個偏導數(shù)不存在; C. 不存在但在點處的兩個偏導數(shù)存在; D. 不存在且在點處的兩個偏導數(shù)也不存在; 4.曲線為圓周 ,則等于A. ; B. ;C.

5、 ; D. .5. 設正項級數(shù)收斂，則必有 A. ; B. ;C. ; D. .三.（8分）在平面上求始終線，使得它與直線 垂直相交。解：方法1：直線的方向向量為 它與平面的交點為所求直線通過這一點，所求直線的方向向量為：故所求的直線方程為：方法2：直線的方向向量為 它與平面的交點為所求直線通過這一點，過交點且與直線垂直的平面方程為：即： 故所求的直線方程為： 或：四.（8分）設是由方程 所確定的隱函數(shù), 求: ，和，解：設，則：，當，時，五.（8分）計算曲線積分其中為從經(jīng)的上半圓到的一弧段。解：由 知與路經(jīng)無關。 取，作新路經(jīng)折線，于是：六、（8分）利用高斯公式計算曲面積分, 其中為球面：的

6、上半部分的上側(cè).解： 作 ： 取下側(cè).則 而 故：七.（8分）將函數(shù),開放成的冪級數(shù).解： 而： 八.（8分）求微分方程：的通解.解： 是特征方程的單根, 所以設 代入原方程得: 故原方程的通解為: 九. （12分）求由曲面和所圍成立體的體積.解： 十. （10分）設是第一象限內(nèi)連接點， 的一段連續(xù)曲線，為該曲線上任意 一點，點為在軸上的投影， 為坐標原點。若梯形的面積與曲邊三角形的面積之和為。試建立所滿足的微分方程，并求的表達式。解：梯形的面積為： 曲邊三角形的面積為： 依據(jù)題意得： 兩邊關于求導得： 即： 故： 由： ，得：，故： 其次學期高數(shù)（下）期末考試試卷及答案3一、 填空題(每空

7、3 分，共 15 分) 1. 已知向量,則以,為邊的平行四邊形的面積等于.2. 曲面在點處的切平面方程是.3. 交換積分次序.4. 對于級數(shù)（a0），當a滿足條件時收斂.5. 函數(shù)開放成的冪級數(shù)為.二、 單項選擇題 (每小題3分,共15分)1. 平面的位置是 （ ）（A）通過軸 （B）通過軸（C）垂直于軸 （D）平行于平面2. 函數(shù)在點處具有偏導數(shù)，,是函數(shù)在該點可微分的 （ ）（A）充要條件 （B）充分但非必要條件（C）必要但非充分條件 （D）既非充分又非必要條件3. 設，則（ ）（A） （B）（C） （D）4. 若級數(shù)在處收斂，則此級數(shù)在處（ ）（A）斂散性不確定 （B）發(fā)散 （C）條件收

8、斂 （D）確定收斂5. 微分方程的通解是（ ）（A） （B）（C） （D）三、(本題滿分8分)設平面通過點，而且通過直線，求該平面方程解: 由于平面通過點及直線上的點， 因而向量平行于該平面。該平面的法向量為: 則平面方程為: 或： 即： 四、(本題滿分8分) 設，其中具有二階連續(xù)偏導數(shù)，試求和解: , 五、(本題滿分8分)計算三重積分，其中解: 六、(本題滿分8分)計算對弧長的曲線積分，其中L是圓周在第一象限的部分解法一: 解法二: （的弧長） 解法三: 令， 七、(本題滿分9分)計算曲面積分，其中是柱面與平面和所圍成的邊界曲面外側(cè)解: , 由高斯公式： 八、(本題滿分9分)求冪級數(shù)的收斂域

9、及和函數(shù)解: 收斂半徑： 易推斷當時，原級數(shù)發(fā)散。 于是收斂域為 九、(本題滿分9分)求微分方程的通解解:特征方程為：特征根為：,的通解為：設原方程的一個特解為：, 原方程的一個特解為：故原方程的一個通解為： 十、(本題滿分11分)設是上半平面內(nèi)的有向分段光滑曲線，其起點為，終點為，記1證明曲線積分與路徑無關；2求的值證明1:由于上半平面是單連通域，在內(nèi)： ，有連續(xù)偏導數(shù)，且： ，。 所以曲線積分與路徑無關。解2: 設，由于曲線積分與路徑無關，故可取折線路徑：。 東北高校高等數(shù)學(下)期末考試試卷2007.7.一選擇題(4分6=24分)1、設為非零向量，則 = (A) (B) (C) (D)

10、.2 3設， 在上連續(xù) = (A) (B) (C) (D) 4若級數(shù)與都發(fā)散，則必有 (A) 發(fā)散 (B) 發(fā)散 (C) 收斂 (D) 收斂 二、填空題(4分6=24分)1直線與平面的交點是_2用鋼板做體積為的有蓋長方體水箱最少用料S=_3二次積分的值是_4設為球面，則=_5小山高度為在處登山，最陡方向是_6設為周期為的周期函數(shù)，它在的表達式為，若的傅立葉級數(shù)的和函數(shù)為，則=_三、（10分）求過點垂直于直線而與平面的平行的直線方程四（10分）將函數(shù)開放成(x-1)的冪級數(shù)并給出收斂域。五（10分）計算三重積分, 其中W是由拋物面x2+y2=2z及平面z=5所圍成的空間閉區(qū)域. 六（10分）設L

11、是由直線上從到一段及圓弧上從再到的有向曲線，計算七（10分）計算曲面積分，其中為球面八（10分）設，具有二階連續(xù)偏導數(shù)，而由方程確定，求。高等數(shù)學參考答案 2007.7一選擇題（本題共4小題，每小題4分，共計16分）1、【解】應選擇D。 =2【解】應選擇A。連續(xù) 處可微分3?！窘狻繎x擇C。在極坐標下=4?！窘狻繎x擇B。二、填空題（本題共6小題，每小題4分，共計24分） 1【解】應填直線化為參數(shù)式 代入平面方程 得 代入?yún)?shù)方程得 故交點為 2【解】應填24設水箱的長為xm, 寬為ym, 則其高應為m. 此水箱所用材料的面積為. 令, , 得x=2, y=2. 即當水箱的長為2m、寬為2m、高為m時, 水箱所用的材料最省. 最少用料為 3【解】應填.=4【解】應填.=5【解】應填.在處登山，最陡方向是在的梯度方向=6【解】應填.由于是間斷點，故，而是連續(xù)點， 于是=.三【解】 已知直線方向向量，已知平面法向量（4分）設所求直線方向向量，則 . .（8分）所求直線方程為 （10分） 四 【解】 由于 （2分） （4分） （6分） （8分）收斂域滿足（9分）解出收斂域為：（10分）五. 【解】積分區(qū)域W關于面對稱，在柱面坐標下積分區(qū)