第四章 地球橢球及其數(shù)學(xué)課件

1、1 、橢球方程：、橢球方程：表面上平行于赤道面的緯圈均為圓表面上平行于赤道面的緯圈均為圓1222222bZaYaX起始子午面0ZXYWENSabQQ平行圈平行圈赤道赤道0 12222YbZaXM0饒饒Z軸旋轉(zhuǎn)，形成緯圈（平軸旋轉(zhuǎn)，形成緯圈（平行圈），其半徑：行圈），其半徑：22YXr經(jīng)度為經(jīng)度為L(zhǎng)的經(jīng)線方程：的經(jīng)線方程：LXYbZaYaXtan 1222222OXYZM1M0MLrSyx2）、緯圈方程：）、緯圈方程：0222222Z 1ZbZaYaXBZYXbZaYaXsinZ 1222222222或：或：OXYZM1M0MLLrRSyx3、地球橢球的幾何、物理元素、地球橢球的幾何、物理元素扁

2、率：扁率：aba 第一偏心率：第一偏心率：aEabae 222第二偏心率：第二偏心率：bEbbae 222長(zhǎng)半軸：長(zhǎng)半軸：短半軸：短半軸：b1）、幾何元素）、幾何元素幾個(gè)關(guān)系式：幾個(gè)關(guān)系式：BeBtbac2222cos,tan, BeVBeW2222cos1sin122222222221 111 1 2eeeeeeeeea1954年北京坐標(biāo)系，克拉索夫斯基橢球元素：年北京坐標(biāo)系，克拉索夫斯基橢球元素：3 .2981 m 6378245a我國(guó)1980年大地坐標(biāo)系采用第16屆 IAGIUGG 橢球，其橢球元素為：257.2981 /10292115.7 10108263/103.986005GM

3、m 63781405822314可求得扁率：sradJsma起始子午面LBPH注：水準(zhǔn)測(cè)量的一般為注：水準(zhǔn)測(cè)量的一般為正常高或正高正常高或正高，GPS測(cè)量的為測(cè)量的為大地高大地高天文起始子午面P起始子午面PY zxxyzo赤道XYOPxyXYOM XuaYOMMbubYuaXsincos 在在XOY子午面內(nèi)，有子午面內(nèi)，有:起始子午面BNWSEnPoXZyMX(北北)Z(天頂天頂)Y(東東)PZMSA222tan,cossinsincossinzyxSXYASZconZZSzAZSyAZSx APNMS切線切線MT的斜率的導(dǎo)數(shù)式：的斜率的導(dǎo)數(shù)式： BBdXdYctg90tan0 由橢圓方程求導(dǎo)

4、得：由橢圓方程求導(dǎo)得：12222 bYaX YXeYaXbdXdY2221 代入第一式得：代入第一式得： BeXYtan12 2XYnB90+ BOTMXy1 BeBeaYBeBaX22222sin1sin1 sin1cos 引入輔助符號(hào)：引入輔助符號(hào)：WaNBeW sin122則有：則有： sin1 cos2BeNYBNX 2XYnB90+ BOTMXyabQ另外另外,如圖可知：如圖可知：BQMYsin 21 eNQM BnMXcos NnM 2NenQ ubyuaxsincos yZLxYLxXsincosuayOMMbxMXYZ (y)MOXYZLMubyMMZLuaLxLMOYLuaL

5、xLMOXsinsincossinsincoscoscoscos uayOMMbxMXYZM0XYZLMubyuaxsincos ubyZLxYLxXsinsincosBeNBQMZLBNLMOYLBNLMOXBNBnMMOsin)1(sinsincossincoscoscoscoscos2 abVWabeWaN 2221 VBbZLWBaYLWBaXsinsincoscoscosXYZM0XYZLnBMQ BHeNBMPQMBQPZLBHNLPOYLBHNLPOXBHNBMPnMBnPPOsin)1(sin)(sinsincos)(sincoscos)(coscoscoscos2 XYZM0

6、XYZLnBPQHP 22221sinsinsintanarctaneNBZQMQPHYXBNeZPOBQnPPPOOnPPPOPPPPPOPPBXYL XYZM0XYZLnBPQHP(X,Y)ZM0ZnPHPBPBQBeYXBceYXZB2222222tan1tantan sin1 cos2BeNyBNx uayOMMbxMynBOMXyxubyuaxsincos WBaBNaxWBeWeaBeabWBeabBeNbycoscoscossin11sin1sin1sin1sin22222 Be tan1tan2 211eba sin1 cos2BeNyBNx ynBOMXyx BeBNBeNx

7、ytan1cossin1tan22 tan1tan11tantan1tan222eeBBe tan1tan1tan22eBe BeW22sin1 32223223)sin1()1()1(sin1)1(sinsin1BeeaWeaBeWBaBdBdxM WaNbacabVWeVWVabeVW ,1,122222BeNVNM222cos1 3223)cos1(BecVcM 332232232)1(VcbVaWVaWVaWWeaM PnNBPnOPrBNrcoscosBWaxrcosWaN BeW22sin1 VceVecWaN2211BecN22cos1BeaWaN22sin1)(1222bacV

8、caVaabVabeVW23222322232)sin1)(1 ()sin1()1 ()1 (BeeaBeeaWeaM212222)sin1 (sin1BeaBeaWaN23223223)cos1()cos1(BecBecVcM212222)cos1(cos1BecBecVcNNAMARA22sincos1因此，任意方向的曲率半徑為：因此，任意方向的曲率半徑為：AMANMNRA22sincosVcN 3VcM 將上式分子分母同除以將上式分子分母同除以M，并顧及，并顧及則有ABeNANRA22222coscos1cos111222111RRN可見(jiàn)，可見(jiàn)，RA與方位角與方位角A和緯度和緯度B有關(guān)。

9、有關(guān)。當(dāng)當(dāng)A為為0， 時(shí)，時(shí)，RA取極小值取極小值M， /2， 3 /2時(shí)，時(shí)，RA取得極大值取得極大值N。當(dāng)當(dāng)A由由00900時(shí)，時(shí)，RA由由MN，當(dāng)，當(dāng)A由由9001800時(shí)，時(shí)，RA由由NM。其變化周期為。其變化周期為1800，并關(guān)于子，并關(guān)于子午圈和卯酉圈對(duì)稱。午圈和卯酉圈對(duì)稱。MNtMNtdtMNANMtdAANMANMMNdAAMANMNdARRA20202022202220arctan212tancos1tan12sincos021021令BeW22sin1 )(1222bacVcaVaabVabeVW23222322232)sin1)(1()sin1()1()1( BeeaBe

10、eaWeaME ! 3! 2! 1B31332122112BdBXdBdBXdBddXXXX BMdBX01 BXX ! 3! 2! 1B31332122112BdBXdBdBXdBddXXX BmdBMddBXdBBmBmdBdMdBXdMdBdX2cos2sin2sin22sin,2223324222 32cos22sinsin2511233121122221BBBBBeeaeBMX 1! 3! 2! 1B31332122112BdBXdBdBXdBddXXXX133312241BdBXdBdBdXXXXmm 1221 21BBBBBBm 2cos8122 BBeBMXmm 對(duì)于小于對(duì)于小

11、于40km的弧長(zhǎng)，可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為的弧長(zhǎng)，可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為： BMXm ! 3)2/(! 2)2/(! 12/B23332222BdBXdBdBXdBddXXmXXmmm! 3)2/(! 2)2/(! 12/B23332221BdBXdBdBXdBddXXmXXmmm ! 3! 2! 1X! 3! 2! 1X3133212211231332122112XdXBdXdXBdXddBBBBXdXBdXdXBdXddBBBXBBos22sinsin123MXBBBeeB mMXB 、3322XdXBddXBdddBBBBBBf8sin1056sin10452. 34sin106

12、43546. 22sin10518829807. 212963 BeBaBNxr22sin1coscos 可見(jiàn)，相同經(jīng)差在不同緯度的平行圈上的弧長(zhǎng)是不同的，在赤道最長(zhǎng)，可見(jiàn)，相同經(jīng)差在不同緯度的平行圈上的弧長(zhǎng)是不同的，在赤道最長(zhǎng)，越靠近兩極越小。越靠近兩極越小。 12221221sin1coscosLLBeBaLLBNS 由子午平面直角坐標(biāo)與大地坐標(biāo)的關(guān)系可知平行圈半徑：由子午平面直角坐標(biāo)與大地坐標(biāo)的關(guān)系可知平行圈半徑：dBBSdS 將相應(yīng)的偏導(dǎo)數(shù)代入有：將相應(yīng)的偏導(dǎo)數(shù)代入有： BLLBMS 12sin XBM 221BBBm 令令，由于，由于則則針對(duì)相同經(jīng)度差，比較不同緯度上弧長(zhǎng)的變化：針對(duì)

13、相同經(jīng)度差，比較不同緯度上弧長(zhǎng)的變化：LL+dLBB+dBMdBNcosBdLd22222sin1cos1cosBeBdBdLeaBdLNMdBd212121222122222222sin1cos1sin1cos1BBBBLLDBeBdBLLeaBeBdBdLeadAWaNWeaM32)1 (2221 eab212121765432122664422122222122sin74sin53sin32sincossin4cossin3cossin2cossin1cosBBBBBBBeBeBeBLLbdBBBeBBeBBeBLLbBeBdBLLbP0)( sin)(2BfBNeBfon0)( sin

14、)(2BfBNeBfon大地線上任何點(diǎn)的密切面就大地線上任何點(diǎn)的密切面就 是該點(diǎn)的法截面；是該點(diǎn)的法截面；、大地線的曲率、大地線的曲率ANNAMAkg2222cos11sincos)tan2(coscossin2112,1122,12122BNsABANse QdSdAPdSdBdL 21 ，dAcBABACbCACABaCBCBAcossinsincoscoscoscossinsincoscoscoscossinsincoscoscos 3三個(gè)微分關(guān)系式可整理為：三個(gè)微分關(guān)系式可整理為：ANBdSdABNAdSdLMAdSdBsintan cossin cos BdBMdrBeBaBNrsi

15、nsin1coscos22 dBAMdscos CArAr 2211sinsin1110coscossinsinsinsin)90sin(ZqqZqqZuuuu 很很小小，則則有有與與即即P1111111tan)cossincot)cossincossin)cossin()sincoscos(sinsin)sincoscos(sinsinsinsinsin)sin(sinsin mmmmummmmmmmAAZAAZqZAAAAAAZuqAAAAZuqZAAuq （則則垂垂線線偏偏差差改改正正為為：P112222211222222sincos22sincos2AKBMHeKABMHehh 2,

16、11121222sincos212ABSeg 1212N 該項(xiàng)改正很小，該項(xiàng)改正很小，100公里約公里約0.03”，只有一等，只有一等控制網(wǎng)才估計(jì)此項(xiàng)改正?？刂凭W(wǎng)才估計(jì)此項(xiàng)改正。 2, 1212212222sin cos212AKBSeKg 則有令,HSA2B1L1h1S1L1S2h2AAuAsincos ABumHHSabS0DLBBBBhH參考橢球面參考橢球面過(guò)過(guò)A點(diǎn)的點(diǎn)的水準(zhǔn)面水準(zhǔn)面過(guò)過(guò)A點(diǎn)的點(diǎn)的橢球面橢球面221uuum 2222220,hLDHLs DuhhHm huDhDuDSmm 210)21()21(2)(2222222220hDuDhDuDDuhhDHhDSmmm )(221

17、221210HHuuhuuhuDSSmu ABumHHSabS0DLBBBBhH參考橢球面參考橢球面過(guò)過(guò)A點(diǎn)的點(diǎn)的水準(zhǔn)面水準(zhǔn)面過(guò)過(guò)A點(diǎn)的點(diǎn)的橢球面橢球面 2121HHHm 22000RHSRHSSSSmmH vhHihH 222111 測(cè)線端點(diǎn)測(cè)線端點(diǎn)A、B的大地高為：的大地高為：i為儀高，為儀高，v為覘標(biāo)高，為覘標(biāo)高，為高程異常。為高程異常。ABDH1H2地面地面橢球面橢球面大地水準(zhǔn)面大地水準(zhǔn)面)(4)()cos1(212sin2121222HRHRHHDRsAAA 5340361arcsinxxxx232242AAmRDRHDDhDS1232242AAmRDRHDDhDS2322241AA

18、mRDRHhDS1可以證明：橢球半徑的誤差對(duì)邊長(zhǎng)歸算結(jié)果影響很小，而高差誤差可以證明：橢球半徑的誤差對(duì)邊長(zhǎng)歸算結(jié)果影響很小，而高差誤差對(duì)邊長(zhǎng)歸算比較敏感。對(duì)邊長(zhǎng)歸算比較敏感。弦長(zhǎng)公式：弦長(zhǎng)公式：1 常常常常HHdhHOBB已知已知Pl點(diǎn)的大地坐標(biāo)點(diǎn)的大地坐標(biāo)(L1，B1)，P1至至P2的大地線長(zhǎng)的大地線長(zhǎng)S及其大地方位角及其大地方位角A12，計(jì)算，計(jì)算P2點(diǎn)的大點(diǎn)的大 地坐標(biāo)地坐標(biāo)(L2，B2)和大地線和大地線S在在P2點(diǎn)的反方位角點(diǎn)的反方位角A21，這類問(wèn)題叫做大地主題正解。這類問(wèn)題叫做大地主題正解。 102180AA如果已知如果已知P1和和P2點(diǎn)的大地坐標(biāo)點(diǎn)的大地坐標(biāo)(L1，B1)和和(L

19、2，B2)，計(jì)算，計(jì)算P1至至P2的大地線長(zhǎng)的大地線長(zhǎng)S及其正、反方及其正、反方位角位角A12，A21，這類問(wèn)題叫做，這類問(wèn)題叫做大地主題反解。大地主題反解。 ：已知已知(L1，B1)， (L2， B2)， 計(jì)算計(jì)算A12，S12 ，A2131332122110213133212211231332122112! 31! 21! 11180! 31! 21! 11! 31! 21! 11SdSAdSdSAdSdSdAAASdSLdSdSLdSdSdLLLSdSBdSdSBdSdSdBBBA1P2(L2,B2)NP1(L1,B1)S由大地線的微分公式，得其一階導(dǎo)數(shù)為：由大地線的微分公式，得其一階導(dǎo)

20、數(shù)為：BBcVANBdSdABNAdSdLMAdSdBsintansintan secBsinA, cV cossin cosA,cV cos 3 dSdAdSBdAdSdBdSBdBdSBddSdAdSdBAdSdBdSdBBdSBd 22223322 同理，可求出同理，可求出B對(duì)對(duì)S的高階導(dǎo)數(shù)以及的高階導(dǎo)數(shù)以及L、A對(duì)對(duì)S的各階導(dǎo)數(shù)。的各階導(dǎo)數(shù)。代入麥克勞林級(jí)數(shù)展開式，即可得正算公式。代入麥克勞林級(jí)數(shù)展開式，即可得正算公式。并將上述符號(hào)及各階導(dǎo)數(shù)代入級(jí)數(shù)展開式即可大地正解公式：并將上述符號(hào)及各階導(dǎo)數(shù)代入級(jí)數(shù)展開式即可大地正解公式：引用符號(hào)引用符號(hào)12 2433312SdSBdSdSdBBB

21、BMM 類似地，有：類似地，有： 2433312SdSLdSdSdLLLLMM 243331221SdSAdSdSdAAAAMM 兩式相減兩式相減（偶數(shù)項(xiàng)全被抵消）（偶數(shù)項(xiàng)全被抵消），得：，得：12與與若能求得以上各式中的各階導(dǎo)數(shù)，便可得到高斯引平均數(shù)正若能求得以上各式中的各階導(dǎo)數(shù)，便可得到高斯引平均數(shù)正算公式。下面來(lái)討論相關(guān)計(jì)算。算公式。下面來(lái)討論相關(guān)計(jì)算。12 8222221SdSBdBBBBBMMmM類似地，有：類似地，有： 88222222SdSAdAASdSLdLLMMmMMm其中：其中： 212121 ,21AAALL Lmm 兩式相加兩式相加（奇數(shù)項(xiàng)全被抵消）（奇數(shù)項(xiàng)全被抵消）除

22、以除以2，得：，得：12與與 2121BBBm 式中式中:12MdSdB 先來(lái)求先來(lái)求 的各階導(dǎo)數(shù)的各階導(dǎo)數(shù) ：已知：已知：BBcVANBdSdABNAdSdLMAdSdBsintansintan secBsinA, cV cossin cosA,cV cos 3 mMmmMmMMMAAABBBfABfdSdB ,由大地線微分方程：由大地線微分方程：dSdB可知可知是大地緯度是大地緯度B和大地方位角和大地方位角A的函數(shù)，那么有：的函數(shù)，那么有：將上式中的系數(shù)在將上式中的系數(shù)在均點(diǎn)均點(diǎn)Bm，Am處再展開為級(jí)數(shù)得：處再展開為級(jí)數(shù)得： 2433312SdSBdSdSdBBBBMM 目的：求目的：求各

23、階系各階系數(shù)數(shù)注意：中點(diǎn)注意：中點(diǎn)M并非均點(diǎn)并非均點(diǎn)mANVdSdBAAtMdSdBBmmmmmmmsin cos322 MmmMmmmMAAdSdBABBdSdBBdSdBdSdBmMmMdSAddSAddSBddSBd 22222222 亦即：亦即：mmmmmmANVMAdSdBcoscos)( 2 對(duì)上式求導(dǎo)，得：對(duì)上式求導(dǎo)，得：由于由于BM與與Bm相差很小，?。合嗖詈苄?，取：將以上各式代入以下：將以上各式代入以下： 8222SdSAdAAMMm 8222SdSBdBBMMmMdSdB mdSdB MmmMmmmMAAdSdBABBdSdBBdSdBdSdB 8222SdSBdBBMMm

24、ANVdSdBAAtMdSdBBmmmmmmmsin cos322 mmmmmmANVMAdSdBcoscos)( 2 8222SdSAdAAMMm 3333mMdSBddSBd 2433312SdSBdSdSdBBBBMM 2433312SdSBdSdSdBBBBMM AAALLLBBB 12211212 1212012101210212121AAALLLBBBmmm121212121112121121212sinsinseccosS B ALAANBSLMA C、迭代計(jì)算公式為：、迭代計(jì)算公式為： 2 2 2 12112111kkmkkmkkmAAALLLBBB直到：直到： 10.00 1

25、0.000 10.000 11L1 kmkmAkmkmkmkmBAALLBB其中其中B（K） ，A（K）可用下式計(jì)算?？捎孟率接?jì)算。D：最后結(jié)果：最后結(jié)果： kkkkkkAAALLLBBB1212212121212212121 2222222222221241cos3 232sin241cosmmmmmmmmmmmmmttAtANSASNVBBB 222222221291cos sin241sincosmmmmmmmmmmtAtANSASBNLLL 222222222222241cos3 232sin24coscosmmmmmmmmmmmmmmttAStASNASVNBAS 222222222

26、91cossin24sincossinmmmmmmmmmmmtAStASNASBNLAS 右端第二項(xiàng)與第一項(xiàng)相比為小量，可以作近似：右端第二項(xiàng)與第一項(xiàng)相比為小量，可以作近似：mmmmmmBNLASVNBAScossin cos2 將將右端第二項(xiàng)中所含右端第二項(xiàng)中所含SsinAm，ScosAm用上式右端代入可得：用上式右端代入可得： 3302121032222322222824332coscosBSLBSBSBtNLBttBNVBNASmmmmmmmmmmmm 303221013322222324sincos9124coscossinLrLBrLrLBBNLBtBNLBNASmmmmmmmmmm

27、m 由此求出由此求出SsinAm，ScosAm，便，便可得平均方位角和大地線長(zhǎng)可得平均方位角和大地線長(zhǎng)度如下：度如下：mmAAS Ssinsin SsinAm，ScosAm 422222222212215972cos 22sin241sinmmmmmmmmmmmmtAtANSASNtAAA 最后得起終點(diǎn)的大地方位角為：最后得起終點(diǎn)的大地方位角為： 2 22112AAAAAAmm cossintan1mmmASASA 12dS ds（1）、）、主方向：主方向：在橢球面上有兩個(gè)正交的方向投影到平面上后在橢球面上有兩個(gè)正交的方向投影到平面上后仍然正交，則這兩個(gè)方向?yàn)橹鞣较?。仍然正交，則這兩個(gè)方向?yàn)橹?/p>

28、方向。 性質(zhì)：性質(zhì)：主方向投影后具有最大和最小長(zhǎng)度比。主方向投影后具有最大和最小長(zhǎng)度比。axPBBPbyPAAPbyaxbyax, ,P橢球面上1AB122 12222 byax yxP ,投影面上rAB單位圓單位圓 22222222sincossin,cos,1bayxrmbbyaaxrrm ,P橢球面上1AB yxP ,投影面上rAB投影后的變形投影后的變形橢圓橢圓投影前的投影前的單位圓單位圓單位圓單位圓yxP,1投影面上投影面上xy某方向（以主方向起始）某方向（以主方向起始） 投影后為投影后為 1，則有：，則有：tgababxytg,P橢球面上橢球面上 )sin(arcsin)sin()

29、sin(coscos)sin(coscos)sin(ababababtgaabtgtgtgaabtgtg由三角公式，得：由三角公式，得：顯然，當(dāng)顯然，當(dāng) = 時(shí)時(shí),亦即在主方向亦即在主方向,沒(méi)有方向變形沒(méi)有方向變形當(dāng)當(dāng) + = 90或或 270 時(shí)，方向變形最大時(shí)，方向變形最大,若若 0與與 0為最大變形方向，則最大變形量可表示為：為最大變形方向，則最大變形量可表示為：abab arcsin00max 顧及：顧及：00000)90( tgabtgctgtgtg tgababxytgabtgbatg 00, 解得最大變形方向?yàn)椋航獾米畲笞冃畏较驗(yàn)椋簝煞较騼煞较?、 所夾角所夾角u的變形稱為角度變

30、形，用的變形稱為角度變形，用u表示。即：表示。即：xyABuoxyABuoabtgbatg 00, 若角度變形最大，則方向變形應(yīng)最大，若角度變形最大，則方向變形應(yīng)最大，即即思考：直觀上理解，角度變形與方向變形有何關(guān)系？思考：直觀上理解，角度變形與方向變形有何關(guān)系？ ababababababuarcsin2arcsinarcsinmax 顯然，當(dāng)顯然，當(dāng) + = 90、 + = 270 或或 + = 270、 + = 90 時(shí)，角度變形最大，最大角度變形可表示為：時(shí)，角度變形最大，最大角度變形可表示為： )sin(arcsin)sin(arcsin)()( ababababuuuu角度變形是方向

31、變形的兩倍角度變形是方向變形的兩倍（4）、面積變形：）、面積變形：p-1 原面單位圓面積為原面單位圓面積為，投影后變形橢圓面積，投影后變形橢圓面積ab,則投影面積則投影面積 比為：比為：得面積變形得面積變形(p-1)。投影前的投影前的單位圓單位圓投影后的投影后的變形橢圓變形橢圓 為控制投影后的長(zhǎng)度變形，采用分帶投影的方法。常用為控制投影后的長(zhǎng)度變形，采用分帶投影的方法。常用3度度帶或帶或6度帶分帶，城市或工程控制網(wǎng)坐標(biāo)采用任意帶分帶。度帶分帶，城市或工程控制網(wǎng)坐標(biāo)采用任意帶分帶。： （1）、）、是正形投影，是正形投影，投影后角度不變；投影后角度不變； （2）、）、中央子午線不變形中央子午線不變

32、形360nL已知已知6度帶的帶號(hào)度帶的帶號(hào)n計(jì)算其中央子午線的經(jīng)度計(jì)算其中央子午線的經(jīng)度L0：)5 . 03int(Ln5 . 06) 3(intLn已知某點(diǎn)的經(jīng)度已知某點(diǎn)的經(jīng)度L計(jì)算其所在計(jì)算其所在6度帶的帶號(hào)度帶的帶號(hào)n：已知已知3度帶的帶號(hào)度帶的帶號(hào)n計(jì)算其中央子午線的經(jīng)度計(jì)算其中央子午線的經(jīng)度L0：30nL 已知某點(diǎn)的經(jīng)度已知某點(diǎn)的經(jīng)度L計(jì)算其所在計(jì)算其所在3度帶的帶號(hào)度帶的帶號(hào)n： 橢球面橢球面高斯投影面高斯投影面大地線大地線平行圈平行圈中央子午線中央子午線赤道赤道中央子午線中央子午線平行圈平行圈大地線大地線橢球面橢球面高斯投影面高斯投影面大地線大地線平行圈平行圈中央子午線中央子午線

33、赤道赤道中央子午線中央子午線平行圈平行圈大地線大地線222222cosdydxdsBdlNMdBdSMdBNcosBdl)(cos )cos(coscos22222222222222222dLdqBNdLBNdBMBNBdLNdBMdS)sin1 ()sin1 (.2)24(lncos0BeBeeBtgdBBNMqBBNMdBdqcosMdBNcosBdl等量緯度的物理意義：相同的等量緯度的物理意義：相同的dq與與dl所對(duì)應(yīng)的橢球面上所對(duì)應(yīng)的橢球面上的弧長(zhǎng)相同的弧長(zhǎng)相同.BNMdBdqcosdllydqqydydllxdqqxdx求微分，得求微分，得dx、dy與與dq與與dl的關(guān)系式：的關(guān)系式

34、：將上式代入將上式代入222dydxds可得：可得：并令：并令：2222)()()()()()(lylxGlyqylxqxFqyqxE2222GdlFdqdlEdqds)(cos2222222222dldqBNGdlFdqdlEdqdSdsm則，長(zhǎng)度比公式為：則，長(zhǎng)度比公式為：代入代入222dydxdsdllydqqydydllxdqqxdx則：即：,tancos)90tan(31320dqAdldldqBdlNMdBPPPPAMdBNcosBdlBNGmBcosBNEmLcos當(dāng)當(dāng)A=0或或180 ，得經(jīng)線方向長(zhǎng)度比：，得經(jīng)線方向長(zhǎng)度比：當(dāng)當(dāng)A = 90或或270 ，得緯線方向長(zhǎng)度比：，得緯

35、線方向長(zhǎng)度比：GlylxqyqxElyqylxqxF2222012122222222 :qxlyqyqxqxlyqyqx即為qxlyqylx323lyqx考慮到導(dǎo)數(shù)的方向考慮到導(dǎo)數(shù)的方向（x隨隨q增加而增加增加而增加, y隨隨l增加而增加）增加而增加），開根得：，開根得：qylx再代入再代入qylxqxlyqxlyqylxGlylxqyqxElyqylxqxF22220122222222222,rlylxrGmrqyqxrEm或ABC 是是A點(diǎn)處子午線收斂角。點(diǎn)處子午線收斂角。BLyyBLxx,BdLmNdLLxACCCmMdBdBByABBBBdLmNdLLyACCAmMdBdBBxABBA

36、cossincoscosBdLmNdLLxACCCmMdBdBByABBBBdLmNdLLyACCAmMdBdBBxABBAcossincoscosLxBNByMmLyBNBxMmcos11sincos11cosBmNLxmMByBmNLymMBxcossincoscos(l,B)(X,Y)P1(-l,B)(X,-Y)P2(l,B)(X,Y)P1(-l,B)(X,-Y)P2231220331342342lmmlyldqdmdqdmqxldqdmldqdmqylmlmlxqylxqxlyBNMBNMMBNdBdXdqdBdBdmdqdmcoscoscos00Xm 0BVcBNdqdmmcosco

37、s01l（x，y）MBNdqdBcosMdBdXBBNdqdBBVcdBddqdBdBdmdqdmmcossin21cos212121112 (l,B)(X,Y)P1(-l,B)(X,-Y)P2yqxlylxqydxdnydxdnxlynnylydxdnydxdndxdnxBynynyB黎曼條件：面必須滿足柯西由高斯平面投影到橢球-34233123144220342xlyBBNMyBBqyqylxBBNMxBBqxqBNMdBdqcoscoscosffffMdXdBdxdndBMdX10 lylxdydxtgdllydydllxdx ,oxydydx平行圈子午線沿平行圈緯度沿平行圈緯度B不變，

38、不變，dq=0 ,求微分得：求微分得： 如圖如圖,兩曲線為子午線與平行圈在平面上的投影兩曲線為子午線與平行圈在平面上的投影, 為收斂角為收斂角.lylxdydxtg 1xtan53tan51tan31tan535131arctanxxxx154253422335215)21 (3yttNtytNtyNtffffffffff保角投影前后角度相同，即保角投影前后角度相同，即baab360360 2RP2 22baabbaabbaabDEBEADP2baedxxxxEDbayEByDA22222babababayyxxRRPyyxxDEBEADP bambamyyyxxyR 21222 考慮到方向值

39、是順時(shí)針?lè)较蛟黾拥模紤]其正負(fù)號(hào)后，考慮到方向值是順時(shí)針?lè)较蛟黾拥模紤]其正負(fù)號(hào)后，方向改化公式可表示如下：方向改化公式可表示如下：acbXYababbabakimmikxxRy22即即aANNNNNNaNNAacabacabacacababacabacab)()(cbcababcacabcbacba1212121211212xxyytgTATOyxA12T12P2P1)1 (cos61 cos)1 (cos6cos22222233tBlBNltlNBNly)2(cos3)1 (cos12442222tBlBlm將前面的偏導(dǎo)數(shù)代入長(zhǎng)度比公式，將前面的偏導(dǎo)數(shù)代入長(zhǎng)度比公式，得：得：開方根得用大地坐標(biāo)表示的長(zhǎng)度比公式如下：開方根得用大地坐標(biāo)表示的長(zhǎng)度比公式如下：)1 (cos61 )1 (cos61 cos222212222tBlNytBlNyBl)45(cos24)1 (cos21244222tBlBlm1因因lcosBy/N，將上式右端中的，將上式右端中的lcosB用用y/N代替可得代替可得：)1 (611 cos2222tNy