孫會(huì)元固體物理基礎(chǔ)第一章14電場(chǎng)中的自由電子ppt課件

1、第四節(jié)第四節(jié) 金屬的電導(dǎo)率和熱導(dǎo)率金屬的電導(dǎo)率和熱導(dǎo)率 本節(jié)主要內(nèi)容：本節(jié)主要內(nèi)容：三、金屬的熱導(dǎo)率三、金屬的熱導(dǎo)率 一、特魯?shù)乱?、特魯?shù)? -洛侖茲近似下金屬的電導(dǎo)率洛侖茲近似下金屬的電導(dǎo)率二、索末菲近似下金屬的電導(dǎo)率二、索末菲近似下金屬的電導(dǎo)率一、特魯?shù)乱弧⑻佤數(shù)? -洛侖茲近似下金屬的電導(dǎo)率洛侖茲近似下金屬的電導(dǎo)率1. 電場(chǎng)下經(jīng)典的動(dòng)力學(xué)方程電場(chǎng)下經(jīng)典的動(dòng)力學(xué)方程 按照特魯?shù)掳凑仗佤數(shù)? -洛侖茲模型，電子遵照碰撞近洛侖茲模型，電子遵照碰撞近似和弛豫時(shí)間近似。碰后的電子無(wú)規(guī)取向似和弛豫時(shí)間近似。碰后的電子無(wú)規(guī)取向, ,所所以電子對(duì)動(dòng)量的奉獻(xiàn)僅源于沒(méi)有發(fā)生碰撞的那以電子對(duì)動(dòng)量的奉獻(xiàn)僅源于沒(méi)

2、有發(fā)生碰撞的那部分電子。部分電子。 無(wú)論是經(jīng)典的特魯?shù)聼o(wú)論是經(jīng)典的特魯?shù)? -洛侖茲自在電子論，洛侖茲自在電子論，還是量子的索末菲自在電子論，在解釋金屬的還是量子的索末菲自在電子論，在解釋金屬的電導(dǎo)和熱導(dǎo)問(wèn)題上都獲得了勝利電導(dǎo)和熱導(dǎo)問(wèn)題上都獲得了勝利, ,并勝利解釋并勝利解釋了維德曼了維德曼夫蘭茲定律。首先我們看一下特魯夫蘭茲定律。首先我們看一下特魯?shù)碌? -洛侖茲自在電子論的結(jié)果。洛侖茲自在電子論的結(jié)果。 定義馳豫時(shí)間定義馳豫時(shí)間，借以概括電子和金屬離子的，借以概括電子和金屬離子的碰撞特征碰撞特征. .馳豫時(shí)間馳豫時(shí)間 , ,相當(dāng)于相繼兩次散射間的平均時(shí)間相當(dāng)于相繼兩次散射間的平均時(shí)間 由弛

3、豫時(shí)間由弛豫時(shí)間的定義，的定義，dt時(shí)間內(nèi)，電子遭到碰時(shí)間內(nèi)，電子遭到碰撞的幾率為撞的幾率為dt/，從而電子沒(méi)有遭到碰撞的幾，從而電子沒(méi)有遭到碰撞的幾率為率為(1-dt/)。 假定假定t時(shí)辰電子的平均動(dòng)量為時(shí)辰電子的平均動(dòng)量為P(t)，經(jīng)過(guò)，經(jīng)過(guò)dt時(shí)時(shí)間沒(méi)有遭到碰撞的電子對(duì)平均動(dòng)量的奉獻(xiàn)為間沒(méi)有遭到碰撞的電子對(duì)平均動(dòng)量的奉獻(xiàn)為P(t+dt)。所以有所以有: 那么沒(méi)有遭到碰撞的電子對(duì)平均動(dòng)量的奉獻(xiàn)那么沒(méi)有遭到碰撞的電子對(duì)平均動(dòng)量的奉獻(xiàn)應(yīng)為應(yīng)為t時(shí)辰電子的平均動(dòng)量和時(shí)辰電子的平均動(dòng)量和dt時(shí)間后動(dòng)量的變時(shí)間后動(dòng)量的變化之和，再乘以未被碰撞的電子的幾率?；停俪艘晕幢慌鲎驳碾娮拥膸茁?。 ()(

4、1) ( )dtp tdtp tF t dt 是對(duì)于一切電子而言的，電場(chǎng)力對(duì)一是對(duì)于一切電子而言的，電場(chǎng)力對(duì)一切電子有作用，但是，有奉獻(xiàn)的只是未發(fā)生碰切電子有作用，但是，有奉獻(xiàn)的只是未發(fā)生碰撞的電子撞的電子.( )F t dt整理得整理得()( )( )( )( )F t dtdtdtp tdtp tpFtt dt取一級(jí)近似取一級(jí)近似()( )( )( )dtF tp tdtdtp tp t()(1) ( )dtp tdtp tF t dt()( )( )dpF tdp tdtp tp tdtt從而有從而有 所以，自在電子在外場(chǎng)下的動(dòng)力學(xué)方程為：所以，自在電子在外場(chǎng)下的動(dòng)力學(xué)方程為：()(dp

5、F tp tdt 設(shè)外場(chǎng)作用下電子的漂移速度設(shè)外場(chǎng)作用下電子的漂移速度(drift (drift velocity)velocity)為為vd(t),vd(t),那么動(dòng)量那么動(dòng)量( )( )edp tm v t從而從而,自在電子在外場(chǎng)下的動(dòng)力學(xué)方程變?yōu)樽栽陔娮釉谕鈭?chǎng)下的動(dòng)力學(xué)方程變?yōu)? )( )( )deeddv tmFvtmdtt阻尼力阻尼力該方程又稱為漂移速度實(shí)際該方程又稱為漂移速度實(shí)際對(duì)于穩(wěn)恒電場(chǎng)下，電子具有恒定的漂移速度對(duì)于穩(wěn)恒電場(chǎng)下，電子具有恒定的漂移速度( )( )( )deeddv tmFvtmdtt),(0ddv tdtFeE 所以：所以：把它們代入自在電子在外場(chǎng)下的動(dòng)力學(xué)方程

6、把它們代入自在電子在外場(chǎng)下的動(dòng)力學(xué)方程得到：得到：0deveEm 整理后得到電子的漂移速度為整理后得到電子的漂移速度為deevEm 相應(yīng)的電流密度相應(yīng)的電流密度2deJnevmEne 又又JE所以所以,電導(dǎo)率為電導(dǎo)率為2enem2.穩(wěn)恒電場(chǎng)情形下金屬的電導(dǎo)率 電阻率電阻率定義為電導(dǎo)率的倒數(shù)，所以電阻率為：定義為電導(dǎo)率的倒數(shù)，所以電阻率為： 21emne由此可得弛豫時(shí)間：由此可得弛豫時(shí)間： 資料的電阻率或電導(dǎo)率可實(shí)驗(yàn)測(cè)出，然后，資料的電阻率或電導(dǎo)率可實(shí)驗(yàn)測(cè)出，然后，代入上式可計(jì)算弛豫時(shí)間代入上式可計(jì)算弛豫時(shí)間. .對(duì)于普通的金屬對(duì)于普通的金屬, , 的量級(jí)約為的量級(jí)約為10-1410-14秒秒.

7、 .22eemmnene 由經(jīng)典的玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)可得電子的平均速率。由經(jīng)典的玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)可得電子的平均速率。21322eBEm vk T由此可得到電子的平均自在程：由此可得到電子的平均自在程：lv室溫下電子的平均速率大約為室溫下電子的平均速率大約為107 cm/s。對(duì)于。對(duì)于普通的金屬普通的金屬, 的量級(jí)約的量級(jí)約10-14s,所以所以l 約約1 nm所以電子的平均速率：所以電子的平均速率：3Bek Tvm經(jīng)典統(tǒng)計(jì)下電子的動(dòng)能：經(jīng)典統(tǒng)計(jì)下電子的動(dòng)能： 由電子的密度我們?nèi)菀椎贸鲭娮拥陌霃接呻娮拥拿芏任覀內(nèi)菀椎贸鲭娮拥陌霃絩s的的大小約為大小約為0.1 nm左右，差不多和經(jīng)典下電子的平左右，差不多和

8、經(jīng)典下電子的平均自在程在一個(gè)量級(jí)，顯示了經(jīng)典模型的局限均自在程在一個(gè)量級(jí)，顯示了經(jīng)典模型的局限性。性。133/4srn3.交變電場(chǎng)情形金屬的電導(dǎo)率交變電場(chǎng)情形金屬的電導(dǎo)率 假設(shè)此時(shí)假設(shè)此時(shí) 00;i ti tddvv eEE e代入電子的動(dòng)力學(xué)方程得代入電子的動(dòng)力學(xué)方程得 ()()()deeddv tmFvtmdttededm vi m veE 整理得整理得(1)deeEvmi由由211edneJneEivEm 得到得到20111einemi0為直流電導(dǎo)率為直流電導(dǎo)率 ededm vi m veE 索末菲近似下，基態(tài)時(shí)金屬中的自在電子費(fèi)索末菲近似下，基態(tài)時(shí)金屬中的自在電子費(fèi)米氣體全部分布在費(fèi)米

9、球內(nèi)。此時(shí)金屬自在電米氣體全部分布在費(fèi)米球內(nèi)。此時(shí)金屬自在電子具有確定的動(dòng)量子具有確定的動(dòng)量epm vk電子速度電子速度二、索末菲近似下金屬的電導(dǎo)率二、索末菲近似下金屬的電導(dǎo)率/evk m 不加外場(chǎng)時(shí)，費(fèi)米球的中心和不加外場(chǎng)時(shí)，費(fèi)米球的中心和k空間的原點(diǎn)重空間的原點(diǎn)重合，整個(gè)費(fèi)米球?qū)υc(diǎn)對(duì)稱。假設(shè)有一個(gè)電子合，整個(gè)費(fèi)米球?qū)υc(diǎn)對(duì)稱。假設(shè)有一個(gè)電子有速度有速度v，就有另一個(gè)電子有速度，就有另一個(gè)電子有速度-v，因此金，因此金屬內(nèi)凈電流為零。屬內(nèi)凈電流為零。在恒定的外場(chǎng)作用下，電子受力為在恒定的外場(chǎng)作用下，電子受力為-eE-eE由牛頓第二定律由牛頓第二定律edvdkeEmdtdt 此式闡明在外電場(chǎng)

10、的作用下，電子動(dòng)量的改動(dòng)表現(xiàn)為k空間相應(yīng)形狀點(diǎn)的挪動(dòng)，即產(chǎn)生了費(fèi)米球的剛性挪動(dòng)。在在k k空間挪動(dòng)的速度為空間挪動(dòng)的速度為dkeEdt 所以所以 eEdkdt 電子之間沒(méi)有發(fā)生碰撞時(shí)，對(duì)上式積分得電子之間沒(méi)有發(fā)生碰撞時(shí)，對(duì)上式積分得( )(0)eEkk tkt 此式闡明，在此式闡明，在K K空間，從空間，從0 0t t 時(shí)辰，費(fèi)米球時(shí)辰，費(fèi)米球中心挪動(dòng)為中心挪動(dòng)為k負(fù)號(hào)表示費(fèi)米球沿與外場(chǎng)相反的方向挪動(dòng)負(fù)號(hào)表示費(fèi)米球沿與外場(chǎng)相反的方向挪動(dòng) 那么，在弛豫時(shí)間那么，在弛豫時(shí)間 內(nèi)費(fèi)米球中心在內(nèi)費(fèi)米球中心在k k空間的空間的位移為位移為: :eEk xkyk0t xkykEt費(fèi)米球在外場(chǎng)作用下產(chǎn)生剛性

11、挪動(dòng)表示圖費(fèi)米球在外場(chǎng)作用下產(chǎn)生剛性挪動(dòng)表示圖從從0 0 時(shí)辰時(shí)辰, ,費(fèi)米球中心逆電場(chǎng)方向挪動(dòng)為費(fèi)米球中心逆電場(chǎng)方向挪動(dòng)為eEk 思索到動(dòng)量的變化關(guān)系：思索到動(dòng)量的變化關(guān)系：epmvk得電子在穩(wěn)恒電場(chǎng)下逆電場(chǎng)方向的速度增量：得電子在穩(wěn)恒電場(chǎng)下逆電場(chǎng)方向的速度增量：/eevk meEm 上式就是電子在穩(wěn)恒電場(chǎng)下獲得的定向漂上式就是電子在穩(wěn)恒電場(chǎng)下獲得的定向漂移速度，對(duì)金屬內(nèi)每一個(gè)電子來(lái)說(shuō)，都有這樣移速度，對(duì)金屬內(nèi)每一個(gè)電子來(lái)說(shuō)，都有這樣的漂移速度，由此可得電流密度：的漂移速度，由此可得電流密度： 2()eneJnevEm /eevk meEm 所以，電導(dǎo)率為所以，電導(dǎo)率為2enem 可見(jiàn)與經(jīng)典

12、模型下的結(jié)果一致。由上式的推導(dǎo)可見(jiàn)與經(jīng)典模型下的結(jié)果一致。由上式的推導(dǎo)過(guò)程可知，費(fèi)米球內(nèi)一切的電子都參與了導(dǎo)電過(guò)程可知，費(fèi)米球內(nèi)一切的電子都參與了導(dǎo)電. 如下圖，在外場(chǎng)作用下，費(fèi)米球從紅色位如下圖，在外場(chǎng)作用下，費(fèi)米球從紅色位置向藍(lán)色位置平移。置向藍(lán)色位置平移。xkykE 但是，假設(shè)我們?cè)敿?xì)分析在外電場(chǎng)的作用但是，假設(shè)我們?cè)敿?xì)分析在外電場(chǎng)的作用下費(fèi)米球的剛性挪動(dòng)過(guò)程，不難發(fā)現(xiàn)只需費(fèi)米下費(fèi)米球的剛性挪動(dòng)過(guò)程，不難發(fā)現(xiàn)只需費(fèi)米面附近的很少一部分電子才對(duì)金屬的電導(dǎo)有奉面附近的很少一部分電子才對(duì)金屬的電導(dǎo)有奉獻(xiàn)獻(xiàn). .xkykE 由于費(fèi)米球的半徑為由于費(fèi)米球的半徑為kF,kF,位移為位移為k,k,電子

13、在球電子在球內(nèi)均勻分布內(nèi)均勻分布所以，藍(lán)色月牙形部分的電子所占的比例約為：所以，藍(lán)色月牙形部分的電子所占的比例約為：1()FFFFFFFkmveEeEeEkkk由于由于I I區(qū)和區(qū)和IIII區(qū)均位于原來(lái)的區(qū)均位于原來(lái)的紅色球內(nèi)紅色球內(nèi), ,且關(guān)于且關(guān)于 ky ky kz kz 面面對(duì)稱。所以它們的傳導(dǎo)作用被對(duì)稱。所以它們的傳導(dǎo)作用被抵消。只剩下費(fèi)米面附近未被抵消。只剩下費(fèi)米面附近未被補(bǔ)償?shù)乃{(lán)色月牙形部分的電子才有傳導(dǎo)電流作用。補(bǔ)償?shù)乃{(lán)色月牙形部分的電子才有傳導(dǎo)電流作用。所以參與導(dǎo)電的電子數(shù)目約為所以參與導(dǎo)電的電子數(shù)目約為()FeFeEnnm v 由于這些電子以費(fèi)米速度逆電場(chǎng)方向運(yùn)動(dòng)，由于這些電

14、子以費(fèi)米速度逆電場(chǎng)方向運(yùn)動(dòng)，那么對(duì)電流的奉獻(xiàn)為那么對(duì)電流的奉獻(xiàn)為2FFeneeJvmnEE 電導(dǎo)率電導(dǎo)率2Fenem和前面得到的電導(dǎo)率方式和前面得到的電導(dǎo)率方式上一樣，只是用上一樣，只是用 F F 替代替代 1()FFFFFFFkmveEeEeEkkk電子所占的比例為：電子所占的比例為： 嚴(yán)厲的實(shí)際計(jì)算支持了后一種的說(shuō)法。這主要是由泡利原理導(dǎo)致的。能量比費(fèi)米能低得多的電子，其附近的形狀已被電子占據(jù)，沒(méi)有空態(tài)可接受其它電子。因此，這部分電子無(wú)法從電場(chǎng)里獲得能量進(jìn)入較高的能級(jí)而對(duì)電導(dǎo)做出奉獻(xiàn)，能被電場(chǎng)激發(fā)的還是費(fèi)米面附近的電子。 兩種電導(dǎo)率方式上雖然一樣，但是兩者導(dǎo)電兩種電導(dǎo)率方式上雖然一樣，但是

15、兩者導(dǎo)電的物理機(jī)理卻不同。第一種方式以為費(fèi)米球內(nèi)的物理機(jī)理卻不同。第一種方式以為費(fèi)米球內(nèi)一切電子都參與了導(dǎo)電一切電子都參與了導(dǎo)電,電子數(shù)目多但速度緩慢；電子數(shù)目多但速度緩慢；第二種那么以為只需費(fèi)米面附近的電子參與了第二種那么以為只需費(fèi)米面附近的電子參與了導(dǎo)電導(dǎo)電,電子數(shù)目少但速度極大，取費(fèi)米速度；所電子數(shù)目少但速度極大，取費(fèi)米速度；所以以,兩者效果一樣，即電流密度一樣。兩者效果一樣，即電流密度一樣。 三、三、 金屬的熱導(dǎo)率金屬的熱導(dǎo)率 金屬樣品中存在溫度梯度金屬樣品中存在溫度梯度T T時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生熱傳導(dǎo)，熱傳導(dǎo)的強(qiáng)弱用熱流強(qiáng)度熱傳導(dǎo)，熱傳導(dǎo)的強(qiáng)弱用熱流強(qiáng)度JQ JQ 來(lái)描畫(huà)來(lái)描畫(huà)1

16、.1.熱傳導(dǎo)熱傳導(dǎo) 由于溫度不均勻，熱量從溫度高的地方向溫度低的地方轉(zhuǎn)移，這種景象叫熱傳導(dǎo) 熱傳導(dǎo)的定義通知我們，產(chǎn)生熱傳導(dǎo)的條熱傳導(dǎo)的定義通知我們，產(chǎn)生熱傳導(dǎo)的條件是溫度不均勻。件是溫度不均勻。 溫度不均勻的數(shù)學(xué)描畫(huà)就是溫度梯度溫度不均勻的數(shù)學(xué)描畫(huà)就是溫度梯度T T高溫高溫低溫低溫2.2.熱流強(qiáng)度熱流強(qiáng)度 單位時(shí)間里經(jīng)過(guò)單位橫截面積的熱量，稱為單位時(shí)間里經(jīng)過(guò)單位橫截面積的熱量，稱為熱流強(qiáng)度熱流強(qiáng)度 當(dāng)溫度梯度當(dāng)溫度梯度T T不太大時(shí)，熱流強(qiáng)度不太大時(shí)，熱流強(qiáng)度JQJQ與與T T成正比。成正比。即即QJT 這就是熱傳導(dǎo)定律這就是熱傳導(dǎo)定律 其中其中 稱為資料的熱導(dǎo)率稱為資料的熱導(dǎo)率, ,負(fù)號(hào)表

17、示熱流方負(fù)號(hào)表示熱流方向與溫度梯度方向相反?？偸菑母邷亓飨虻蜏?。向與溫度梯度方向相反?？偸菑母邷亓飨虻蜏?。 基于熱量由導(dǎo)電電子傳輸這個(gè)想法，同時(shí)基于熱量由導(dǎo)電電子傳輸這個(gè)想法，同時(shí)又把自在電子看成是沒(méi)有相互作用的氣體，所又把自在電子看成是沒(méi)有相互作用的氣體，所以我們直接利用熱學(xué)中氣體分子運(yùn)動(dòng)論的結(jié)果以我們直接利用熱學(xué)中氣體分子運(yùn)動(dòng)論的結(jié)果( (可參考李椿的熱學(xué)可參考李椿的熱學(xué) 人們從實(shí)際中發(fā)現(xiàn)，金屬的熱導(dǎo)率遠(yuǎn)高于絕緣體，由于金屬和絕緣體的主要區(qū)別在于導(dǎo)電電子的有無(wú)，因此，人們斷定金屬中的熱量主要由導(dǎo)電電子傳輸。3.3.金屬的熱導(dǎo)率金屬的熱導(dǎo)率金屬的熱導(dǎo)率為金屬的熱導(dǎo)率為:21133VVc vl

18、c v其中其中 為電子比熱為電子比熱Vc 為電子運(yùn)動(dòng)的平均速度，為電子運(yùn)動(dòng)的平均速度， 為電子的平均自在程，為電子的平均自在程， 為馳豫時(shí)間為馳豫時(shí)間vl 按照索末菲模型，電子的比熱為按照索末菲模型，電子的比熱為212FFBFmvk T22FBFmvkT電子的平均速度取費(fèi)米速度電子的平均速度取費(fèi)米速度22eVBFTCTnkT所以金屬的熱導(dǎo)率為所以金屬的熱導(dǎo)率為:213Vc v22FFBmvTk22222221133 23BVFFeBF FBF Feek nk Tc vnkvTmvm22eVBFTCTnkTFFvv2Fenem電導(dǎo)率：電導(dǎo)率：熱導(dǎo)率：熱導(dǎo)率： 那么存在如下關(guān)系那么存在如下關(guān)系:2 22822132.45 103BBTkmWneKTeTmk n223BFek nTm28212.45 103BkWKTe 上式闡明，在給定溫度下，金屬的熱導(dǎo)率和電導(dǎo)率的比值為常數(shù)，稱為洛倫茲常數(shù)。 由于，在1853年維德曼(Wiedeman)夫蘭茲(Franz)二人，最早從實(shí)驗(yàn)上發(fā)現(xiàn)了該景象，所以常把上述規(guī)律稱為維德曼夫蘭茲定律。2/enem電導(dǎo)率：電導(dǎo)率：所以，經(jīng)典模型下熱導(dǎo)率：所以，經(jīng)典模型下熱導(dǎo)率： 電