arc-8819-3-1中值定理ppt課件

1、第一節(jié) 中值定理o一、羅爾中值定理一、羅爾中值定理o二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理o三、柯西中值定理三、柯西中值定理o四、小結四、小結羅爾(Rolle)定理若函數f(x)（1在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；（2在開區(qū)間(a,b)內可導；（3在區(qū)間端點的函數值相等，即f(a)=f(b).則在(a,b)內至少存在一點(ab)，使f()=0.一、羅爾(Rolle)定理例如,32)(2xxxf).1)(3(xx,3 , 1上連續(xù)在 ,)3 , 1(內可導在 , 0)3() 1(ff且)3 , 1(1 ( , 1取. 0)(f),1(2)(xxf幾何解釋:ab1 2 xyo)(xfy .,水平的在該點處

2、的切線是點上至少有一在曲線弧CABC證.) 1 (mM 若,)(連續(xù)在baxf.mM 和最小值必有最大值.)(Mxf則. 0)( xf由此得),(ba. 0)(f都有.)2(mM 若),()(bfaf.取得最值不可能同時在端點),()(fxf, 0)()(fxf),(afM 設.)(),(Mfba使內至少存在一點則在, 0 x若; 0)()(xfxf則有, 0 x若; 0)()(xfxf則有; 0)()(lim)(0 xfxffx; 0)()(lim)(0 xfxffx,)(存在f ).()(ff. 0)(f只有注意:若羅爾定理的三個條件中有一個不滿足,其結論可能不成立.例如,;2 , 2,x

3、xy,)0(2 , 2的一切條件滿足羅爾定理不存在外上除在f . 0)(2-2 xf使內找不到一點能，但在區(qū)間;0, 0 1 , 0(,1xxxy.1 , 0,xxy又例如,例1.10155的正實根有且僅有一個小于證明方程 xx證, 15)(5xxxf設, 1 , 0)(連續(xù)在則xf，異號且3) 1 (, 1)0(ff由介值定理. 0)(),1 , 0(00 xfx使即為方程的小于1的正實根.,),1 , 0(011xxx設另有. 0)(1xf使,)(10件之間滿足羅爾定理的條在xxxf使得之間在至少存在一個),(10 xx. 0)(f) 1(5)(4xxf但)1 , 0( , 0 x矛盾,.

4、為唯一實根二、拉格朗日(Lagrange)中值定理).()(bfaf去掉了與羅爾定理相比條件中).()()(fabafbf結論亦可寫成拉格朗日(Lagrange)定理若函數f(x)（1在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；（2在開區(qū)間(a,b)內可導.則在(a,b)內至少存在一點(ab)，使得)()()(abfafbf注意：拉格朗日中值公式ab1 2 xxoy)(xfy ABCDNM.,ABCAB線平行于弦在該點處的切一點上至少有在曲線弧分析1:).()(bfaf條件中與羅爾定理相差弦AB方程為).()()()(axabafbfafy,)(ABxf減去弦曲線., 兩端點的函數值相等所得曲線ba幾何解釋:作輔助

5、函數).()()()()()(axabafbfafxfxF,)(滿足羅爾定理的條件xF. 0)(,),(Fba使得內至少存在一點則在0)()()(abafbff即).)()()(abfafbf或證1證2 設F(x)=f(x)-f(b)-f(a)/(b-a)*x 顯然，F(xiàn)(x)在a, b上連續(xù)，(a, b)內可導 且F(a)=F(b) 由Rolle定理，至少存在(a,b)，使得 F()=0 f()=f(b)-f(a)/(b-a)注意:拉氏公式精確地表達了函數在一個區(qū)間上的增量與函數在這區(qū)間內某點處的導數之間的關系.,),(,)(內可導在上連續(xù)，在設babaxf).10()()()(000 xxx

6、fxfxxf則有),(,00baxxx).10()(0 xxxfy即.的精確表達式增量 y拉格朗日中值定理又稱有限增量定理微分中值定理）.拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.推論.)(,)(上是一個常數在區(qū)間那末上的導數恒為零在區(qū)間如果函數IxfIxf例2).11(2arccosarcsinxxx證明證 1 , 1,arccosarcsin)(xxxxf設)11(11)(22xxxf. 0 1 , 1,)(xCxf0arccos0arcsin)0(f又20,2.2C即.2arccosarcsinxx例3.)1ln(1,0 xxxxx 時證明當證),1ln()(xxf設, 0)(上滿足拉氏定理的條

7、件在xxf)0(),0)()0()(xxffxf,11)(, 0)0(xxff由上式得,1)1ln(xxx0又x111, 11111x,11xxxx.)1ln(1xxxx即柯西(Cauchy)定理若函數f(x)及F(x)（1在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；（2在開區(qū)間(a,b)內可導；（3F(x)在(a,b)內每一點處的導數均不為0.則在(a,b)內至少存在一點(ab)，使得三、柯西(Cauchy)中值定理)()()()()()(FfaFbFafbf)(1 F)(2 FXoY )()(xfYxFX)(aFA)(bFBCD)(xFNM.),(),(ABfFCAB處的切線平行于弦在該點點上至少有一在曲線弧證

8、1 作輔助函數).()()()()()()()()(aFxFaFbFafbfafxfx,)(滿足羅爾定理的條件x. 0)(,),(使得內至少存在一點則在ba幾何解釋:, 0)()()()()()(FaFbFafbff即.)()()()()()(FfaFbFafbf,)(xxF當, 1)(,)()(xFabaFbF)()()()()()(FfaFbFafbf).()()(fabafbf證2 設g(x)=f(x)-f(b)-f(a)/F(b)-F(a)*F(x) 顯然，g(x)在a, b上連續(xù)，(a, b)內可導 且g(a)=g(b) 由Rolle定理，至少存在(a,b)，使得 g()=0 f()

9、/F()=f(b)-f(a)/F(b)-F(a)例4).0() 1 (2)(),1 , 0(:,) 1 , 0(, 1 , 0)(fffxf使至少存在一點證明內可導在上連續(xù)在設函數證分析:結論可變形為2)(01)0() 1 (fff.)()(2xxxf,)(2xxg設, 1 , 0)(),(條件上滿足柯西中值定理的在則xgxf有內至少存在一點在,) 1 , 0(2)(01)0() 1 (fff).0() 1 (2)(fff即四、小結Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理xxF)()()(bfaf羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之間的關系；注意定理成立的條件；注意利用

10、中值定理證明等式與不等式的步驟.思考題思考題 試舉例說明拉格朗日中值定理的條件試舉例說明拉格朗日中值定理的條件缺一不可缺一不可.思考題解答思考題解答 1, 310,)(21xxxxf不滿足在閉區(qū)間上連續(xù)的條件；不滿足在閉區(qū)間上連續(xù)的條件；,1)(2baxxxf 且且0 ab不滿足在開區(qū)間內可微的條件；不滿足在開區(qū)間內可微的條件；以上兩個都可說明問題以上兩個都可說明問題.一、一、 填空題：填空題： 1 1、 函數函數4)(xxf 在區(qū)間在區(qū)間1,21,2上滿足拉格朗日中值上滿足拉格朗日中值定理，則定理，則=_=_ _ _. . 2 2、 設設)4)(3)(2)(1()( xxxxxf， 方 程方

11、 程0)( xf有有_個根，它們分別在區(qū)間個根，它們分別在區(qū)間_上上. . 3 3、 羅 爾 定 理 與 拉 格 朗 日 定 理 之 間 的 關 系 是羅 爾 定 理 與 拉 格 朗 日 定 理 之 間 的 關 系 是_._. 4 4、 微分中值定理精確地表達函數在一個區(qū)間上的微分中值定理精確地表達函數在一個區(qū)間上的_與函數在這區(qū)間內某點處的與函數在這區(qū)間內某點處的_之間之間的關系的關系. . 5 5、 如果函數如果函數)(xf在區(qū)間在區(qū)間I上的導數上的導數_ _，那，那么么)(xf在區(qū)間在區(qū)間I上是一個常數上是一個常數. . 練練 習習 題題二、試證明對函數二、試證明對函數rqxpxy 2應

12、用拉氏中值定理應用拉氏中值定理 時所求得的點時所求得的點 總是位于區(qū)間的正中間總是位于區(qū)間的正中間 . .三、證明等式三、證明等式21arctan1arcsin22 xxx )1 , 0( x . .四、設四、設0 ba，1 n，證明，證明 )()(11banababanbnnnn . .五、五、 證明下列不等式：證明下列不等式： 1 1、baba arctanarctan； 2 2、時時當當1 x，exex . .六六、設函數、設函數)(xfy 在在0 x的某鄰域內且有的某鄰域內且有n階導數，階導數， 且且)0()0()0()1( nfff試用柯西中值定理試用柯西中值定理 證明：證明：!)()()(nxfxxfnn ， （， （10 ）. . 七七、設、設)(xf在在 ba, 內上連續(xù)，在內上連續(xù)，在( (ba,) )內可導，若內可導，若 ba 0, ,則在