計算水力學課件

1、Leila for 水文09版權(quán)所有 緒論 明渠一維非恒定流的基本方程 有限差分的基本理論 河道水流計算 河網(wǎng)水流計算本課主要內(nèi)容Leila for 水文09版權(quán)所有v 基本假設(shè)與定律 六條基本假設(shè) 兩大基本定律v 基本方程 連續(xù)方程 動量方程本 章 要 點v 方程的其他形式 Z，Q為因變量 Q，h為因變量 Q，A為因變量 U，h為因變量 U，Z為因變量v 漫洪灘地的處理 動量校正系數(shù) 調(diào)蓄灘地寬度Leila for 水文09版權(quán)所有1.1. 基本假設(shè)與定律基本假設(shè)與定律1 1、定床情況，即假設(shè)河床高程與時間無關(guān)。2 2、斷面代表水位，不考慮橫比降。3 3、淺水問題，滿足靜水壓力分布規(guī)律。4

2、4、水為不可壓液體。5 5、河床底坡很小。6 6、恒定流阻力公式仍然適用?；炯僭O(shè)基本假設(shè)Leila for 水文09版權(quán)所有1.1. 基本假設(shè)與定律基本假設(shè)與定律 質(zhì)量守恒定律質(zhì)量守恒定律： 單位時間內(nèi)通過控制面流進控制體的凈質(zhì)量，等于同時段內(nèi)控制體的質(zhì)量增量?；径桑嘿|(zhì)量守恒定律、動量守恒定律基本定律：質(zhì)量守恒定律、動量守恒定律Leila for 水文09版權(quán)所有1.1. 基本假設(shè)與定律基本假設(shè)與定律 動量守恒定律：動量守恒定律： 單位時間內(nèi)通過控制面流進控制體的凈動量與作用于控制體的外力之矢量和等于同時段內(nèi)控制體的動量增量。基本定律基本定律動量守恒定律動量守恒定律Leila for 水

3、文09版權(quán)所有2.2. 基本方程基本方程lAQqtx圣維南方程組：連續(xù)方程、動量方程圣維南方程組：連續(xù)方程、動量方程一般情況下：一般情況下：Vx=00flxQhQugAgA SSq VtxxLeila for 水文09版權(quán)所有3. 3. 方程的其他形式及問題討論方程的其他形式及問題討論v 方程的其他形式 Z，Q為因變量 Q，h為因變量 Q，A為因變量 U，h為因變量 U，Z為因變量v 漫洪灘地的處理 動量校正系數(shù) 調(diào)蓄灘地寬度不同的研究目的，不同的研究目的，對圣維南方程組的對圣維南方程組的變換形式變換形式問題關(guān)鍵：灘地、主槽一起計算灘地、主槽一起計算Leila for 水文09版權(quán)所有v 動量

4、校正系數(shù)動量校正系數(shù) 漫洪灘地的處理v 調(diào)蓄灘地寬度調(diào)蓄灘地寬度 反應(yīng)河道斷面流速分布均勻性系數(shù)Leila for 水文09版權(quán)所有 4. 4. 定解條件及定解問題定解問題：基本方程、定解條件基本方程、定解條件定解條件：初始條件、邊界條件初始條件、邊界條件定解問題的適定性：解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性。解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性。 定解條件少了： 定解條件多了： 定解條件適當：欠定過定適定Leila for 水文09版權(quán)所有 變量變量 在在 所確定的線上為所確定的線上為 常數(shù)常數(shù)dxdtu 定解條件v 對流方程0uutxdxdt0duudx utxdtdt特征值特征值特征特征線線Leila fo

5、r 水文09版權(quán)所有v擬線性雙曲型偏微分方程組20QAtxQAQStx 定解條件txUUSJ22012cuuJ12ucucLeila for 水文09版權(quán)所有 圣維南方程的定界條件vS-V方程的定解條件12ucuc120012001200急流急流緩緩流流反向急流反向急流Leila for 水文09版權(quán)所有 圣維南方程的定界條件及組合情況 緩 流急 流Leila for 水文09版權(quán)所有 洪水波的分類描述河道一維水流運動的圣維南方程組：運動波慣性波擴散波 動力波 000fZQBtxQhQugAgASgAStxxLeila for 水文09版權(quán)所有 運動波v水位流量之間呈單一關(guān)系v下游擾動不影響上

6、游斷面v波形傳播波峰不變無耗散0fgAS0QhQugAtxgxAS+0fS0SLeila for 水文09版權(quán)所有 慣性波v 忽略摩阻項忽略摩阻項v 假定底坡水平假定底坡水平v 棱柱形河道棱柱形河道00gASQhQugAtgASxxf0QhQugAtxxl 不計摩阻損失，波動在傳播過程中只有能量的轉(zhuǎn)換，不計摩阻損失，波動在傳播過程中只有能量的轉(zhuǎn)換， 無能量損失。無能量損失。Leila for 水文09版權(quán)所有 擴散波v 擴散項的存在所以洪水波的波擴散項的存在所以洪水波的波峰會逐漸坦化。峰會逐漸坦化。00fhgAgASgASxQQutx00fhSSxZZMax繩套形水位流量關(guān)系繩套形水位流量關(guān)系

7、QQMax0011QQShx漲水漲水落水落水Leila for 水文09版權(quán)所有v 水位或流量在短期內(nèi)有大幅度的變化時：水位或流量在短期內(nèi)有大幅度的變化時： 動力波運動波、慣性波和擴散波是動力波的特殊情況l 感潮河道中的水流運動感潮河道中的水流運動l 閘門啟閉引起的水流波動閘門啟閉引起的水流波動v這種情況下，動量方程式中的各項均不能忽略，這種情況下，動量方程式中的各項均不能忽略， 這樣一種波動稱為動力波。這樣一種波動稱為動力波。動力波是所有波動中最復雜的，只能用完全的圣維南方程組描述。Leila for 水文09版權(quán)所有 洪水波的簡化方法洪水波的簡化方法水庫調(diào)洪演算v 一般情況下f (Q)的函

8、數(shù)關(guān)系為非線性，難于用顯式表達，故常用圖解法或試算法求解。 連續(xù)方程式嚴格滿足，并寫成差分形式假定水庫蓄水量與出流量之間存在一定的函數(shù)關(guān)系，即V f (Q)Leila for 水文09版權(quán)所有v基本假定：基本假定：馬斯京根法假定河段槽蓄量假定河段槽蓄量V與與出流量出流量 Q 及入流量及入流量 I之間存在著之間存在著線性關(guān)系線性關(guān)系 式中式中:K和為經(jīng)驗系數(shù)和為經(jīng)驗系數(shù), 且且0 x0.50 x0.5VK x I + (1 x ) Q 洪水波的簡化方法洪水波的簡化方法馬斯京根法連續(xù)方程式嚴格滿足 Leila for 水文09版權(quán)所有l(wèi) 差分、差商、差分方程l 截斷誤差和離散誤差l 相容性、收斂性

9、和穩(wěn)定性l LAX等價定理l 差分方程的數(shù)值效應(yīng)l 逆風效應(yīng)與逆風格式本 章 要 點Leila for 水文09版權(quán)所有 1. 1. 偏導數(shù)的差商近似偏導數(shù)的差商近似 差分、差商的基本概念 uf x 00limlimxxu xxu xduudxxx 解析函數(shù)：導數(shù)定義：差 分：差 商：ux、uxLeila for 水文09版權(quán)所有v 通過對差商近似點（通過對差商近似點（i i，j j）的）的TaylorTaylor展開，可以分析差商對展開，可以分析差商對偏導近似的精度偏導近似的精度 1. 1. 偏導數(shù)的差商近似偏導數(shù)的差商近似Taylor展開法展開法例 邊界處偏導數(shù)的差商近似 對點對點(0,

10、j)(0, j)進行進行TaylorTaylor展開展開 Leila for 水文09版權(quán)所有 1. 1. 偏導數(shù)的差商近似偏導數(shù)的差商近似Taylor展開法展開法Leila for 水文09版權(quán)所有 構(gòu)造構(gòu)造一階一階偏導數(shù)的二階精度的差商近似必須有偏導數(shù)的二階精度的差商近似必須有 2. 2. 偏導數(shù)的差商近似偏導數(shù)的差商近似Taylor展開法展開法1 12 2 + +2 2 = =1 11 12 2 + +4 4 = =0 01220.5 解 得：可 得： 構(gòu)造構(gòu)造二階二階偏導數(shù)的差商近似必須有偏導數(shù)的差商近似必須有1 12 2 + +2 2 = =0 01 12 2 + +4 4 = =

11、2 212 21解 得：可 得：Leila for 水文09版權(quán)所有 偏導數(shù)用其差商近似來代替 偏微分方程轉(zhuǎn)變?yōu)橄鄳?yīng)的代數(shù)方程稱之為差分方程。 3. 3. 差分方程差分方程 對流方程 定解條件00001,( )( , )( )txuuCtxtxu x tf xu x tg t ，0Leila for 水文09版權(quán)所有 3. 3. 差分方程差分方程定解問題定解問題蛙跳格式ijj-1i+1i-1j+1ijj+1i+1FTFS格式FTBS格式i-1jj+1iFTCS格式i-1ii+1jj+1Leila for 水文09版權(quán)所有 3. 3. 差分方程差分方程定解問題定解問題1jiQjiQ11jiQ1j

12、iQjj+1i+1i11111111102jjjjjjjjiiiiiiiiQQQQQQQQutxLeila for 水文09版權(quán)所有v 顯式格式：由第顯式格式：由第j j時間層上的值，可直接算出第時間層上的值，可直接算出第j+1j+1時時間層上的值的格式。間層上的值的格式。v 隱式格式：不能直接從隱式格式：不能直接從j j時間層上值直接解出，需聯(lián)時間層上值直接解出，需聯(lián)立求解立求解j+1j+1層上的值的格式。層上的值的格式。 3. 3. 差分方程差分方程定解問題定解問題對同一個定解問題，可以有多種差分格式，多種步長參數(shù)來近對同一個定解問題，可以有多種差分格式，多種步長參數(shù)來近似，從而也得到若干

13、個差分近似解。那么這些解是否可以都作似，從而也得到若干個差分近似解。那么這些解是否可以都作為原定解問題的近似解？那些解精度高？為什么？為原定解問題的近似解？那些解精度高？為什么？| 相容性、穩(wěn)定性及收斂性分析Leila for 水文09版權(quán)所有 4. 4. 截斷誤差和相容性截斷誤差和相容性 以FTBS格式為例 | 等價方程| 截斷誤差Leila for 水文09版權(quán)所有| 相容性是收斂性的必要條件，穩(wěn)定性與收斂性有一定，穩(wěn)定性與收斂性有一定的聯(lián)系。的聯(lián)系。| LaxLax等價定理闡述等價定理闡述相容性、收斂性和和穩(wěn)定性三者之間三者之間關(guān)系。關(guān)系。 7. Lax7. Lax等價定理等價定理Lax

14、等價定理: 對一個適定的線性微分問題線性微分問題及一個與其相容的差分格式相容的差分格式，如果該格式穩(wěn)定穩(wěn)定則必收斂，不穩(wěn)定必不收斂。換言之，若線性微分問題適定，差分格式相容，則穩(wěn)定性是收斂性的必要和充分的條件。 Leila for 水文09版權(quán)所有 6. 6. 穩(wěn)定性穩(wěn)定性| von Neumann分析 穩(wěn)定性| 數(shù)值試驗Leila for 水文09版權(quán)所有 6. 6. 穩(wěn)定性穩(wěn)定性 von Neumann穩(wěn)定性分析0,0( )uuCtxu xf x111jjjiii 定解問題| 誤差傳播方程| 誤差展開成傅氏級數(shù) | G為放大因子 1ik tGe jjikxkkxC e| FTBS格式穩(wěn)定條

15、件 241sin02k xLeila for 水文09版權(quán)所有 6. 6. 穩(wěn)定性穩(wěn)定性| 蛙跳格式穩(wěn)定條件 | FTBS格式穩(wěn)定條件 | FTCS格式為不穩(wěn)定 格式 | FTFS格式穩(wěn)定條件 01221sin1Gk x 10 11 | 馬斯京根法穩(wěn)定條件 00.500.5Leila for 水文09版權(quán)所有l(wèi) 微分方程是描述物理量在是描述物理量在時間時間和和空間空間上的連續(xù)變化上的連續(xù)變化的規(guī)律。的規(guī)律。l 差分方程來描述離散化后物理量的變化規(guī)律。來描述離散化后物理量的變化規(guī)律。l 離散誤差離散誤差使原系統(tǒng)的物理性質(zhì)和規(guī)律遭到歪曲和破使原系統(tǒng)的物理性質(zhì)和規(guī)律遭到歪曲和破壞的作用稱為壞的作用稱

16、為數(shù)值效應(yīng)或或離散近似的偽物理效應(yīng)。l 必須對這些效應(yīng)有明確的概念，從物理上來考慮數(shù)必須對這些效應(yīng)有明確的概念，從物理上來考慮數(shù)值格式的合理性，減少數(shù)值效應(yīng)的影響。值格式的合理性，減少數(shù)值效應(yīng)的影響。 8. 8. 差分方程數(shù)值效應(yīng)差分方程數(shù)值效應(yīng)Leila for 水文09版權(quán)所有 8. 8. 差分方程數(shù)值效應(yīng)差分方程數(shù)值效應(yīng)數(shù)值耗散與彌散數(shù)值耗散與彌散| FTBS格式| FTFS格式| FTCS格式| 蛙跳格式| 馬斯京根格式222212,2MxQQQOtxtxx Leila for 水文09版權(quán)所有| 物質(zhì)的對流輸運出現(xiàn)了與波速相反方向傳播的不合理現(xiàn)物質(zhì)的對流輸運出現(xiàn)了與波速相反方向傳播的

17、不合理現(xiàn)象，稱為象，稱為“逆風逆風”效應(yīng)，是一偽物理現(xiàn)象的數(shù)值效應(yīng)。效應(yīng)，是一偽物理現(xiàn)象的數(shù)值效應(yīng)。 8. 8. 差分方程數(shù)值效應(yīng)差分方程數(shù)值效應(yīng)“逆風逆風”效應(yīng)效應(yīng)“逆風”效應(yīng)采用何種格式還與波速的方向有關(guān)，例如潮水河道，則可以采用“逆風”格式| FTCS格式：二階精度，無條件不穩(wěn)定的。| FTFS格式：一階精度，當C為負時采用。| FTBS格式：一階精度，當C為正時采用。Leila for 水文09版權(quán)所有 8. 8. 差分方程數(shù)值效應(yīng)差分方程數(shù)值效應(yīng)“逆風逆風”效應(yīng)效應(yīng)“逆風”格式1111102jjjjjjjiiiiiiiuuCuuuutx110jjjjiiiiuuuuCtxF FT T

18、B BS S: :110jjjjiiiiuuuuCtxFTFS :FTFS :1212singjiCLeila for 水文09版權(quán)所有課 程 內(nèi) 容v 蛙跳格式v LAX-Wendroff格式v Abbott隱式格式v Presissmann隱式格式v 四點線性隱格式v 內(nèi)邊界處理Leila for 水文09版權(quán)所有Preissmann Preissmann 隱式格式隱式格式nn+1j+1jxt四點線性隱格式 Leila for 水文09版權(quán)所有四點線性隱格式離散格式離散連續(xù)方程Leila for 水文09版權(quán)所有動量方程 四點線性隱格式離散格式離散Leila for 水文09版權(quán)所有為書寫

19、方便，忽略上標n+1，任一河段差分方程寫成：四點線性隱格式離散追趕法求解Leila for 水文09版權(quán)所有1、水位邊界條件的計算2、流量邊界條件的計算3、水位流量關(guān)系邊界條件的計算000222222LLLLLLQf Zf ZfZZZ追趕法求解Leila for 水文09版權(quán)所有 在河道水流計算中，除了外部邊界條件外，還可能遇到內(nèi)部邊界條件。| 內(nèi)部邊界條件是指：河道的幾何形狀的不連續(xù)或水力特性的不連續(xù)點。例如，集中入流，過水斷面突然放大，堰閘過流等等。| 內(nèi)邊界處，圣維南方程組不再適用，必須根據(jù)其水力特性作特殊處理。內(nèi)部邊界條件通常包含兩個相容條件，即流量的連續(xù)性條件和能量守恒條件(或動量守恒條件)。 內(nèi)邊界的處理內(nèi)邊界的處理Leila for 水文09版權(quán)所有 內(nèi)邊界的處理內(nèi)邊界的處理ii+1Qi+1Qi斷面突變情況QfQiQi+1 xi=0=0面積 Aii+1ZiZi+1ii+1Leila for 水文09版權(quán)所有v對于內(nèi)邊界的處理歸結(jié)于特殊