數(shù)字信號處理

1、數(shù)字信號處理如圖如圖(6.4-1)所示對式所示對式(6.4-1)的時間變量量化，且的時間變量量化，且圖圖(6.4-1)間隔間隔T足夠小，則有足夠小，則有(n 1)TnTty(n 1)0y(t)y(n) y(t)t=nT dy(t)dt y(n) y(n 1) Tt=nT y(t) y(n)+y(n 1) 21對式（對式（6.4-3）兩邊?。﹥蛇吶變換變換同理同理代入式代入式(6.4-1)(6.4-3)t=nT x(t) x(n)+x(n 1) 21y(n) y(n 1) Td0 x(n)+x(n 1) 2=c0 y(n)+y(n 1) 2+(1 z 1)Y(z) +Td0 2c0 21(1+

2、 z 1)Y(z) =(1+ z 1)X(z) Y(z)X(z)H(z)=d0 2(1+ z 1)(1 z 1)+Tc0 21(1+ z 1)=d0 (1 z 1)(1+ z 1)T2+ c0 得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z) 比較兩式，可以直接由模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)比較兩式，可以直接由模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(s)(6.4-5)d0s+c0H(s)=H(z)=d0 1 z 11+ z 1T2+ c0 得到將得到將s平面映射到平面映射到z平面的關(guān)系為平面的關(guān)系為(6.4-6)H(z)=H(s)1 z 11+ z 1T2 s=1 z 11+ z 1T2 s=由由(6.4-6

3、)式解出式解出 式式(6.4-6)與與(6.4-7)的變換都是單值對應(yīng)的，其分子和分的變換都是單值對應(yīng)的，其分子和分母均為自變量的線性函數(shù)，雙線性變換法也因此得名。母均為自變量的線性函數(shù)，雙線性變換法也因此得名。(6.4-7)z =T2s1 T2s1+將將 z=ej (單位圓單位圓) 代入代入 (6.4-6)式，并設(shè)式，并設(shè) s = + j ，有有(6.4-6)1 z 11+ z 1T2 s= + j =1 e j T2 1+e j (ej /2 e j /2)T2 (ej /2 + e j /2)j2j21=T2tan=j 2(6.4-9)比較比較(6.4-8)等式兩邊，得到等式兩邊，得到

4、=0 + j = jT2tan 2(6.4-8) T2tan =2由由(6.4-8)看到雙線性變換法的映射關(guān)系使看到雙線性變換法的映射關(guān)系使s平面的虛軸平面的虛軸映射為映射為z平面的單位圓。平面的單位圓。 而而(6.4-9)式頻率正切變換關(guān)系式頻率正切變換關(guān)系實現(xiàn)了頻率壓縮，使模擬域?qū)崿F(xiàn)了頻率壓縮，使模擬域 從從 的變化，壓縮為的變化，壓縮為數(shù)字域頻率數(shù)字域頻率 從從 變化。變化。將將s= + j 代入代入 (6.4-7)，有，有穩(wěn)定的模擬系統(tǒng)映射為穩(wěn)定的數(shù)字系統(tǒng)。穩(wěn)定的模擬系統(tǒng)映射為穩(wěn)定的數(shù)字系統(tǒng)。 =0 |z|=1 0 |z|1 |z|1 (1+T /2)2 (1 T /2)2z =1 T

5、s/21+Ts/21 T /2 jT /21+T /2 +jT /2=(6.4-10)|z| = (1 T /2)2+(T /2)2 (1+T /2)2+(T /2)2由于雙線性變換法映射關(guān)系是單值對應(yīng)的，克服了脈由于雙線性變換法映射關(guān)系是單值對應(yīng)的，克服了脈與與 關(guān)系是非線性的，使得模擬濾波器與數(shù)字濾波器在關(guān)系是非線性的，使得模擬濾波器與數(shù)字濾波器在沖響應(yīng)不變法頻譜混疊現(xiàn)象。但是沖響應(yīng)不變法頻譜混疊現(xiàn)象。但是 由由(6.4-6)表示的表示的 響應(yīng)與頻率的對應(yīng)關(guān)系上會產(chǎn)生畸變，如圖響應(yīng)與頻率的對應(yīng)關(guān)系上會產(chǎn)生畸變，如圖6.4-2所示。所示。即原來的即原來的 s / p=k 由雙線性變換后由雙線

6、性變換后 s / p k 1)確定確定DF性能要求，確定數(shù)字濾波器各臨界頻率性能要求，確定數(shù)字濾波器各臨界頻率 k。 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)H (s)。這個模擬低通濾波器也稱為模擬。這個模擬低通濾波器也稱為模擬原型原型(歸一化歸一化)濾波器。濾波器。2.雙線性變換法設(shè)計數(shù)字濾波器四個步驟：雙線性變換法設(shè)計數(shù)字濾波器四個步驟：2)由雙線性變換關(guān)系將由雙線性變換關(guān)系將 k變換為模擬域臨界頻率變換為模擬域臨界頻率 k。 3)按按 k 、衰減指標(biāo)求出模擬低通濾波器的、衰減指標(biāo)求出模擬低通濾波器的(歸一化歸一化)(4)由雙線性變換關(guān)系將由雙線性變換關(guān)系將H (s)轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)字濾波器的系統(tǒng)轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)字濾波器的系統(tǒng)函

7、數(shù)函數(shù)H(z)。與脈沖不變法一樣，設(shè)計過程中除了的第一步求數(shù)字臨與脈沖不變法一樣，設(shè)計過程中除了的第一步求數(shù)字臨界頻率界頻率 k時，要用到取樣間隔時，要用到取樣間隔T或取樣頻率或取樣頻率 fs 以外，以外，最最后的結(jié)果與其它各步驟中后的結(jié)果與其它各步驟中T 或或 f s的取值無關(guān)。所以為的取值無關(guān)。所以為了了簡化運算，在實際計算時，除了第一步，通常取簡化運算，在實際計算時，除了第一步，通常取T=1或或T=2。例例6.4-2：例：例6.4-1 H(s)的一階原型低通系統(tǒng)函數(shù)為：的一階原型低通系統(tǒng)函數(shù)為：(1) 將將T=1/2000代入，得代入，得p= 2906 rad/sH(s)= ps+ p,

8、用雙線性變換關(guān)系求數(shù)字濾波器的系統(tǒng)用雙線性變換關(guān)系求數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)函數(shù)H(z)。H(s)=2096s+20961 z 11+ z 140002096+2096=H(z)=H(s)T2s=1 z 11+ z 1 一般一般H(z)系數(shù)系數(shù)1，則，則(2) 令令T = 2代入，得代入，得4000(1 z 1)+2096 (1+z 1)2096 (1+z 1)=6096z 10942096 (1+z)=z 0.15840.421 (1+z)H(z)=p =tan p/2=0.7265H(s)=ps+p0.7265s+0.7265=(1)與與(2)的結(jié)果相同。的結(jié)果相同。一般一般H(z)系數(shù)系數(shù)1

9、，則，則z 0.15840.421 (1+z)H(z)=1 z 11+ z 10.7265+0.7265=H(z)=H(s)T2s=1 z 11+ z 1 (1 z 1)+ 0.7265 (1+z 1)0.7265 (1+z 1)=1.7265 z 0.27350.7265 (1+z)=器，設(shè)計指標(biāo)為器，設(shè)計指標(biāo)為例例6.4-3 用雙線性變換法設(shè)計一巴特沃思數(shù)字低通濾波用雙線性變換法設(shè)計一巴特沃思數(shù)字低通濾波通帶截止頻率通帶截止頻率 p =0.2 ，通帶最大衰減通帶最大衰減 p 1dB；阻帶邊緣頻率阻帶邊緣頻率 s =0.3 ，阻帶最小衰減阻帶最小衰減 s 15dB；10.2 0.3 1 1

10、2|Hd(e j ) |解：與例解：與例6.2-4相同，可用三種方法求解此題。相同，可用三種方法求解此題。(1) 按照設(shè)計的一般步驟作按照設(shè)計的一般步驟作第二步開始。為方便直接取第二步開始。為方便直接取T = 1 ，則由雙線性頻率變，則由雙線性頻率變因為給出的頻率條件已經(jīng)是數(shù)字臨界頻率因為給出的頻率條件已經(jīng)是數(shù)字臨界頻率 k ，應(yīng)從，應(yīng)從換換 =2 tan( /2)，得到預(yù)畸校正頻率分別為，得到預(yù)畸校正頻率分別為 p =2 tan(0.2 /2)= 2 tan(0.1 ) s =2 tan(0.3 /2)= 2 tan(0.15 )，這樣模擬濾波器的設(shè)計指標(biāo)為這樣模擬濾波器的設(shè)計指標(biāo)為通帶截止

11、頻率通帶截止頻率 p =0.65，通帶最大衰減，通帶最大衰減 p 1dB；阻帶邊緣頻率阻帶邊緣頻率 s =1.019，阻帶最小衰減，阻帶最小衰減 s 15dB；10lg|H (j p)|2 1 ，|H (j 2 tan(0.1 )|2 10-0.1 ；lg|H (j p)|2 0.1，10lg|H (j s)|2 15 ，|H (j 2 tan(0.15 )|2 10-1.5。lg|H (j s)| 2 1.5，1）求）求N、 c由巴特沃思濾波器的數(shù)學(xué)模型由巴特沃思濾波器的數(shù)學(xué)模型得到得到由此可得：由此可得：整理整理 1+ 2 tan(0.1 )/ c2N=100.1(6.4-11a)1+ 2

12、 tan(0.15 )/ c2N=101.5(6.4-11b)(6.4-11c) 2 tan(0.1 )/ c2N=100.1 1 =1.2598 1=0.2598(6.4-11d)2 tan(0.15 )/ c2N=101.5 1 =31.6228 1=30.6228|H(j )|2 =1+( / c)2N11+( / c)2N|H(j )|2=1將這個將這個N代入代入(6.4-11c)式，解出式，解出 c0=0.738。但但N必須取整數(shù)，所以取必須取整數(shù)，所以取N=6， 同時取同時取 c=0.76622 c0這與沖激不變法相反，由保證阻帶指標(biāo)，改善通帶指這與沖激不變法相反，由保證阻帶指標(biāo)，

13、改善通帶指標(biāo)。標(biāo)。(6.4-11c)(6.4-14d)=2tan0.15 2tan0.1 2N=0.258930.6228=8.4547 10 3由由N =21 lg(8.4547 10 3)lg(0.3249/0.5095)= 2.0729 0.195421 5.304）求）求Ha (s) N=6，為偶數(shù)，極點間隔為，為偶數(shù)，極點間隔為 /N= /6=30 ，起點起點 /2N=15 ，實軸上無極點；，實軸上無極點；H (s)的系數(shù)均為實數(shù)，的系數(shù)均為實數(shù)，H (s)的復(fù)極點都是共軛的復(fù)極點都是共軛半平面。半平面。c-cj /6 15 成對的，且均在成對的，且均在s左左由此得到：由此得到：s1

14、,6 = c (cos75 jsin75 )= 0.198j0.742s2,5 = c (cos45 jsin45 )= 0.5415j0.5415s3,4 = c (cos15 jsin15 )= 0.742j0.198H(s)=(s sk)k=16( sk)k=16 18637. 34641. 71416. 94641. 78637. 3123456ssssss去歸一化后去歸一化后2024. 00204. 15727. 21123. 43821. 49604. 22024. 023456ssssss也可以查表也可以查表6.2得到得到N=6的歸一化的歸一化Ha (s )為為 H(s )= H

15、(s)= 數(shù)字濾波器振幅頻響（數(shù)字濾波器振幅頻響（dB）如圖所示。）如圖所示。3）求）求H (z)H(z)=H(s)T2s=1 z 11+ z 1 (1 0.9042 z 1 +0.2154 z 2 ) (1 1.0108z1 +0.3585z2) 0.00073794(1+ z 1)6=(1 1.2687z1 +0.705z2) 1 雙線性變換法雙線性變換法例例6.4-4 指標(biāo)同例指標(biāo)同例6.4-3，用雙線性變換法設(shè)計數(shù)字切比，用雙線性變換法設(shè)計數(shù)字切比雪夫濾波器。雪夫濾波器。通帶截止頻率通帶截止頻率 p =0.2 ，通帶最大衰減，通帶最大衰減 p 1dB；阻帶邊緣頻率阻帶邊緣頻率 s =0

16、.3 ，阻帶最小衰減，阻帶最小衰減 s 15dB；解：令解：令T=1，則則 p =2 tan(0.2 /2)= 2 tan(0.1 )=0.65 s =2 tan(0.3 /2)= 2 tan(0.15 )=1.019，1） p = c=0.65 取取 N=4，與脈沖不變法相同。，與脈沖不變法相同。 2） 11(1 1)2=10 0.1 1 =0.508853）cosh 1( s/ c)N cosh 1 1 1( 2)21cosh 1 1101.5 1=cosh 1(tan0.15 /tan.2 )cosh 10.508855.5338=cosh 1(1.0196/0.65)3.0783=1.

17、0207 3.016a =21( 1/N 1/N) = 1 + 1+ 2=1.9652+2.205=4.1702=21( 1/4 1/4)=21(1.429 0.7)=0.3645b =21( 1/N+ 1/N)=21( 1/4+ 1/4)=21(1.429+0.7)=1.0645s1,4= a c cos(2k 1) /2N jb c sin(2k 1) /2N= 0.3645 0.65 cos( /8)j1.0645 0.65 sin( /8)= 0.2189j0.2647= 0.3645 0.65 cos(3 /8)j1.0645 0.65 sin(3 /8)= 0.0907j0.639

18、s2,3= a c cos3 /2N jb c sin3 /2N4）確定模擬低通系統(tǒng)函數(shù)）確定模擬低通系統(tǒng)函數(shù)H(s)可以利用表可以利用表6. 2得到歸一化得到歸一化H(s )，再去歸一化得到，再去歸一化得到H(s)。 23 c4H(s)=(s pk)k=141(s2 +0.1814 +0.4166) (s2 +0.4378 +0.118)= 0.04381系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù) 由模擬低通系統(tǒng)函數(shù)經(jīng)雙線性變換法確定數(shù)字低通由模擬低通系統(tǒng)函數(shù)經(jīng)雙線性變換法確定數(shù)字低通與用沖激不變法設(shè)計數(shù)字切比雪夫濾波器相比，基本與用沖激不變法設(shè)計數(shù)字切比雪夫濾波器相比，基本步驟一樣，只是模擬低通原型步驟一樣，只是模

19、擬低通原型 p = c=0.65。H(z)=H(s)T2s=1 z 11+ z 1 (1 1.4996 1+0.8482z 2) (1 1.5548 1 +0.6493z 2)= 0.001836(1+z 1)4切比雪夫數(shù)字濾波器振幅頻響切比雪夫數(shù)字濾波器振幅頻響(dB)如圖所示。如圖所示。由圖與圖巴特沃思濾波器振幅頻響相比，在由圖與圖巴特沃思濾波器振幅頻響相比，在保證通帶指標(biāo)的前提下，阻帶指標(biāo)改善很多。這是因保證通帶指標(biāo)的前提下，阻帶指標(biāo)改善很多。這是因為切比雪夫數(shù)字濾波器實際階數(shù)為切比雪夫數(shù)字濾波器實際階數(shù)N取取4，比計算所需，比計算所需的理論階數(shù)的理論階數(shù)3.016有較大的富余量。有較大

20、的富余量。6.5 原型變換法原型變換法前面兩節(jié)討論的是由巴特沃思、切比雪夫模擬原型低通前面兩節(jié)討論的是由巴特沃思、切比雪夫模擬原型低通濾波器設(shè)計數(shù)字低通的方法。而實際待求的數(shù)字濾波器濾波器設(shè)計數(shù)字低通的方法。而實際待求的數(shù)字濾波器重討論由模擬低通原型設(shè)計實際數(shù)字濾波器的方法。重討論由模擬低通原型設(shè)計實際數(shù)字濾波器的方法。如圖所示，一般有三種方法可以由模擬低通原型如圖所示，一般有三種方法可以由模擬低通原型設(shè)計所需的數(shù)字濾波器。設(shè)計所需的數(shù)字濾波器。有各種不同的低通、高通、帶通、帶阻濾波器，本節(jié)著有各種不同的低通、高通、帶通、帶阻濾波器，本節(jié)著圖圖6.5.1 原型變換的三種設(shè)計方法示意圖原型變換的

21、三種設(shè)計方法示意圖 HL(j )HL(ej ) 1、sz3、szHd(ej )zZHd(j)2、ss s z圖中圖中HL(j )表示模擬低通原型濾波器，表示模擬低通原型濾波器，Hd(e j )表示所需表示所需設(shè)計的數(shù)字濾波器。設(shè)計的數(shù)字濾波器。由圖可見，由模擬低通原型濾波器出發(fā)，設(shè)計數(shù)字濾波由圖可見，由模擬低通原型濾波器出發(fā)，設(shè)計數(shù)字濾波器的第一種方法是由模擬低通原型濾波器器的第一種方法是由模擬低通原型濾波器HL(j )，用沖，用沖激不變法或雙線性變換法得到數(shù)字低通濾波器的激不變法或雙線性變換法得到數(shù)字低通濾波器的HL(ej ) ；再由數(shù)字低通得到所需的數(shù)字濾波器的再由數(shù)字低通得到所需的數(shù)字濾

22、波器的Hd(e j )。這種方法的第一步，實際就是前面兩節(jié)討論的這種方法的第一步，實際就是前面兩節(jié)討論的s平面與平面與z平面的映射變換。關(guān)鍵是第二步，第二步實質(zhì)是數(shù)字平面的映射變換。關(guān)鍵是第二步，第二步實質(zhì)是數(shù)字域域z平面之間的變換，這種變換也稱平面之間的變換，這種變換也稱z平面變換法。平面變換法。設(shè)計數(shù)字濾波器的第二種方法是由模擬低通原型濾波器設(shè)計數(shù)字濾波器的第二種方法是由模擬低通原型濾波器HL(j )，設(shè)計所需的模擬低通、高通、帶通、帶阻濾波，設(shè)計所需的模擬低通、高通、帶通、帶阻濾波器器Hd(j)，再由，再由Hd(j)經(jīng)沖激不變法或雙線性變換法經(jīng)沖激不變法或雙線性變換法得到所需的數(shù)字濾波器

23、的得到所需的數(shù)字濾波器的Hd(ej )。這種方法的第二步，。這種方法的第二步，是前面兩節(jié)討論的是前面兩節(jié)討論的s平面與平面與z平面的映射變換。關(guān)鍵是第平面的映射變換。關(guān)鍵是第一步，第一步的實質(zhì)是模擬域一步，第一步的實質(zhì)是模擬域s平面之間的變換，這種平面之間的變換，這種變換也稱變換也稱s平面變換法。平面變換法。設(shè)計數(shù)字濾波器的第三種方法是由模擬低通原型濾波器設(shè)計數(shù)字濾波器的第三種方法是由模擬低通原型濾波器沖激不變法頻譜的混疊效應(yīng)，應(yīng)用受到一定限制，所以沖激不變法頻譜的混疊效應(yīng)，應(yīng)用受到一定限制，所以此法適用雙線性變換法。此法適用雙線性變換法。因為這種方法直接由模擬原型濾波器變換到數(shù)字濾波器因為這

24、種方法直接由模擬原型濾波器變換到數(shù)字濾波器所以也稱原型變換法。所以也稱原型變換法。HL(j )，直接設(shè)計所需的數(shù)字濾波器的，直接設(shè)計所需的數(shù)字濾波器的Hd(e j ) 。由于。由于由模擬低通原型設(shè)計任意的由模擬低通原型設(shè)計任意的DF三種可以選擇方法三種可以選擇方法1、模擬低通原型、模擬低通原型數(shù)字低通數(shù)字低通所需數(shù)字濾波器所需數(shù)字濾波器所需數(shù)字濾波器所需數(shù)字濾波器 2、模擬低通原型、模擬低通原型所需模擬所需模擬3、模擬低通原型、模擬低通原型所需數(shù)字濾波器所需數(shù)字濾波器即即 (只適用雙線性變換只適用雙線性變換)HL(j ) Hd(e j )s z即即HL(j ) HL(e j )s z即即 HL(j ) Hd(j)s Hd(e j ) Hd(e j )6.5.1 、 s平面變換法平面變換法模擬域的頻率變換模擬域的頻率變換擬原型低通設(shè)計所需數(shù)字濾波器第二種方法的第一步。擬原型低通設(shè)計所需數(shù)字濾波器第二種方法的第一步。性變換法。所以這種方法的關(guān)鍵就是第一步模擬域的性變換法。所以這種方法的關(guān)鍵就是第一步模擬域的s平面變換法實質(zhì)是模擬域的頻率變換，是由歸一化平面變換法實質(zhì)是模擬域的頻率變換