高三數(shù)學(xué)(理科)押題精練：專題【7】《數(shù)列求和及綜合應(yīng)用》ppt課件

1、專題七 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用數(shù)列求和及綜合應(yīng)用數(shù)列求和及綜合應(yīng)用主 干 知 識 梳 理熱 點(diǎn) 分 類 突 破真 題 與 押 題高考對本節(jié)知識主要以解答題的形式考查以下高考對本節(jié)知識主要以解答題的形式考查以下兩個問題：兩個問題：1.以遞推公式或圖、表形式給出條件，求通項公以遞推公式或圖、表形式給出條件，求通項公式，考查用等差、等比數(shù)列知識分析問題和探式，考查用等差、等比數(shù)列知識分析問題和探究創(chuàng)新的能力，屬中檔題；究創(chuàng)新的能力，屬中檔題；2.通過分組、錯位相減等轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列通過分組、錯位相減等轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的求和問題，考查等差、等比數(shù)列求和公式及的求和問題，考查等差、等比數(shù)列求和公式及

2、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，屬中檔題轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，屬中檔題考情解讀主干知識梳理1.數(shù)列求和的方法技巧數(shù)列求和的方法技巧(1)分組轉(zhuǎn)化法分組轉(zhuǎn)化法有些數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將有些數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將數(shù)列通項拆開或變形，可轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列數(shù)列通項拆開或變形，可轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列或常見的數(shù)列，即先分別求和，然后再合并或常見的數(shù)列，即先分別求和，然后再合并.(2)錯位相減法錯位相減法這是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前這是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，這種項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列方法主要用于求數(shù)列anbn的前的前n項和，其中項和

3、，其中an，bn分分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.(3)倒序相加法倒序相加法這是在推導(dǎo)等差數(shù)列前這是在推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和公式時所用的方法，也就是項和公式時所用的方法，也就是將一個數(shù)列倒過來排列將一個數(shù)列倒過來排列(反序反序)，當(dāng)它與原數(shù)列相加時若有，當(dāng)它與原數(shù)列相加時若有公式可提，并且剩余項的和易于求得，則這樣的數(shù)列可用公式可提，并且剩余項的和易于求得，則這樣的數(shù)列可用倒序相加法求和倒序相加法求和.(4)裂項相消法裂項相消法利用通項變形，將通項分裂成兩項或利用通項變形，將通項分裂成兩項或n項的差，通過相項的差，通過相加過程中的相互抵消，最后只剩下有限項的和加過程中的相互抵消，

4、最后只剩下有限項的和.這種方這種方法，適用于求通項為法，適用于求通項為 的數(shù)列的前的數(shù)列的前n項和，其中項和，其中an若為等差數(shù)列，則若為等差數(shù)列，則 .常見的裂項公式：常見的裂項公式：2.數(shù)列應(yīng)用題的模型數(shù)列應(yīng)用題的模型(1)等差模型：如果增加等差模型：如果增加(或減少或減少)的量是一個固定量時，的量是一個固定量時，該模型是等差模型，增加該模型是等差模型，增加(或減少或減少)的量就是公差的量就是公差.(2)等比模型：如果后一個量與前一個量的比是一個等比模型：如果后一個量與前一個量的比是一個固定的數(shù)時，該模型是等比模型，這個固定的數(shù)就固定的數(shù)時，該模型是等比模型，這個固定的數(shù)就是公比是公比.(

5、3)混合模型：在一個問題中同時涉及等差數(shù)列和等混合模型：在一個問題中同時涉及等差數(shù)列和等比數(shù)列的模型比數(shù)列的模型.(4)生長模型：如果某一個量，每一期以一個固定生長模型：如果某一個量，每一期以一個固定的百分?jǐn)?shù)增加的百分?jǐn)?shù)增加(或減少或減少)，同時又以一個固定的具體，同時又以一個固定的具體量增加量增加(或減少或減少)時，我們稱該模型為生長模型時，我們稱該模型為生長模型.如分如分期付款問題，樹木的生長與砍伐問題等期付款問題，樹木的生長與砍伐問題等.(5)遞推模型：如果容易找到該數(shù)列任意一項遞推模型：如果容易找到該數(shù)列任意一項an與它與它的前一項的前一項an1(或前或前n項項)間的遞推關(guān)系式，我們可

6、以間的遞推關(guān)系式，我們可以用遞推數(shù)列的知識來解決問題用遞推數(shù)列的知識來解決問題. 熱點(diǎn)一 分組轉(zhuǎn)化求和 熱點(diǎn)二 錯位相減法求和 熱點(diǎn)三 裂項相消法求和熱點(diǎn)分類突破 熱點(diǎn)四 數(shù)列的實際應(yīng)用例1等比數(shù)列等比數(shù)列an中，中，a1，a2，a3分別是下表第一、二、分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且三行中的某一個數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個數(shù)不在中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列下表的同一列.熱點(diǎn)一 分組轉(zhuǎn)化求和(1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項公式；的通項公式；思維啟迪 根據(jù)表中數(shù)據(jù)逐個推敲確定根據(jù)表中數(shù)據(jù)逐個推敲確定an的通項公式；的通項公式；解當(dāng)當(dāng)a13時，不合題意；時，不合題意；當(dāng)當(dāng)a12時，當(dāng)

7、且僅當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)a26，a318時，符合題意；時，符合題意；當(dāng)當(dāng)a110時，不合題意時，不合題意.因此因此a12，a26，a318，所以公比，所以公比q3.故故an23n1 (nN*).(2)若數(shù)列若數(shù)列bn滿足：滿足：bnan(1)nln an，求數(shù)列，求數(shù)列bn的前的前n項和項和Sn.思維啟迪 分組求和分組求和.解因為因為bnan(1)nln an23n1(1)nln(23n1)23n1(1)nln 2(n1)ln 323n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，所以所以Sn2(133n1)111(1)n(ln 2ln 3)123(1)nnln 3.當(dāng)當(dāng)n為偶數(shù)時，為偶數(shù)時，當(dāng)

8、當(dāng)n為奇數(shù)時，為奇數(shù)時，在處理一般數(shù)列求和時，一定要注意使用轉(zhuǎn)化思在處理一般數(shù)列求和時，一定要注意使用轉(zhuǎn)化思想想.把一般的數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)把一般的數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列進(jìn)行求和，在求和時要分析清楚哪些項構(gòu)成等列進(jìn)行求和，在求和時要分析清楚哪些項構(gòu)成等差數(shù)列，哪些項構(gòu)成等比數(shù)列，清晰正確地求解差數(shù)列，哪些項構(gòu)成等比數(shù)列，清晰正確地求解.在利用分組求和法求和時，由于數(shù)列的各項是正在利用分組求和法求和時，由于數(shù)列的各項是正負(fù)交替的，所以一般需要對項數(shù)負(fù)交替的，所以一般需要對項數(shù)n進(jìn)行討論，最進(jìn)行討論，最后再驗證是否可以合并為一個公式后再驗證是否可以合并為一個公式.思維升華變式

9、訓(xùn)練1已知數(shù)列已知數(shù)列an中，中，a11，anan1( )n(nN*).(1)求證：數(shù)列求證：數(shù)列a2n與與a2n1(nN*)都是等比數(shù)列；都是等比數(shù)列；證明因為因為anan1( )n，an1an2( )n1，又又a11，a2 ，所以數(shù)列，所以數(shù)列a1，a3，a2n1，是，是以以1為首項，為首項， 為公比的等比數(shù)列；為公比的等比數(shù)列；數(shù)列數(shù)列a2，a4，a2n，是以，是以 為首項，為首項， 為公比的等為公比的等比數(shù)列比數(shù)列.(2)若數(shù)列若數(shù)列an的前的前2n項和為項和為T2n，令，令bn(3T2n)n(n1)，求數(shù)列，求數(shù)列bn的最大項的最大項.bn13(n1)(n2)( )n1，所以所以b1

10、b4bn，所以所以(bn)maxb2b3 .例2設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列an的前的前n項和為項和為Sn，已知，已知a11，Sn12Snn1(nN*)，(1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項公式；的通項公式；熱點(diǎn)二 錯位相減法求和思維啟迪 n1時，時，Sn2Sn1n兩式相減得兩式相減得an的遞推關(guān)系式，然的遞推關(guān)系式，然后構(gòu)造數(shù)列求通項；后構(gòu)造數(shù)列求通項；解Sn12Snn1，當(dāng)當(dāng)n2時，時，Sn2Sn1n，an12an1，an112(an1)，又又S22S12，a1S11，an12n，即，即an2n1(nN*).(2)若若bn ，數(shù)列，數(shù)列bn的前的前n項和為項和為Tn，nN*，證明：證明：Tn0，前，前n項和為項和

11、為Sn，S36，且滿足，且滿足a3a1,2a2，a8成等比數(shù)列成等比數(shù)列.(1)求求an的通項公式；的通項公式；熱點(diǎn)三 裂項相消法求和思維啟迪 利用方程思想可確定利用方程思想可確定a，d，寫出，寫出an；解由由S36，得，得a22.a3a1,2a2，a8成等比數(shù)列，成等比數(shù)列，(2d)(26d)42，解得解得d1或或d ，d0，d1.數(shù)列數(shù)列an的通項公式為的通項公式為ann.(2)設(shè)設(shè)bn ，求數(shù)列，求數(shù)列bn的前的前n項和項和Tn的值的值.思維啟迪 利用裂項相消法求利用裂項相消法求Tn.裂項相消法適合于形如裂項相消法適合于形如 形式的數(shù)列，其形式的數(shù)列，其中中an為等差數(shù)列為等差數(shù)列.思維

12、升華變式訓(xùn)練3已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an是遞增數(shù)列，且滿足是遞增數(shù)列，且滿足a4a715，a3a88.(1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項公式；的通項公式；解根據(jù)題意根據(jù)題意a3a88a4a7，a4a715，所以所以a4，a7是方程是方程x28x150的兩根，且的兩根，且a480，當(dāng)當(dāng)n7時，由于時，由于S6570，因為因為an是遞減數(shù)列，所以是遞減數(shù)列，所以An是遞減數(shù)列是遞減數(shù)列.所以必須在第九年年初對所以必須在第九年年初對M更新更新.解答數(shù)列應(yīng)用題，與函數(shù)應(yīng)用題的求解過程類似，解答數(shù)列應(yīng)用題，與函數(shù)應(yīng)用題的求解過程類似，一般要經(jīng)過三步：一般要經(jīng)過三步：(1)建模，首先要認(rèn)真審題，理解建模，首先

13、要認(rèn)真審題，理解實際背景，理清數(shù)學(xué)關(guān)系，把應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列實際背景，理清數(shù)學(xué)關(guān)系，把應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題；問題；(2)解模，利用所學(xué)的數(shù)列知識，解決數(shù)列模型中的解模，利用所學(xué)的數(shù)列知識，解決數(shù)列模型中的相關(guān)問題；相關(guān)問題；(3)釋模，把已解決的數(shù)列模型中的問題返回到實際釋模，把已解決的數(shù)列模型中的問題返回到實際問題中去，與實際問題相對應(yīng)，確定問題的結(jié)果問題中去，與實際問題相對應(yīng)，確定問題的結(jié)果.思維升華變式訓(xùn)練4設(shè)某商品一次性付款的金額為設(shè)某商品一次性付款的金額為a元，以分期付款的元，以分期付款的形式等額地分成形式等額地分成n次付清，若每期利率次付清，若每期利率r保持不變，保持不變，按復(fù)利

14、計算，則每期期末所付款是按復(fù)利計算，則每期期末所付款是()解析設(shè)每期期末所付款是設(shè)每期期末所付款是x元，元，則各次付款的本利和為則各次付款的本利和為x(1r)n1x(1r)n2x(1r)n3x(1r)xa(1r)n，答案B本講規(guī)律總結(jié)1.數(shù)列綜合問題一般先求數(shù)列的通項公式，這是做數(shù)列綜合問題一般先求數(shù)列的通項公式，這是做好該類題的關(guān)鍵好該類題的關(guān)鍵.若是等差數(shù)列或等比數(shù)列，則直若是等差數(shù)列或等比數(shù)列，則直接運(yùn)用公式求解，否則常用下列方法求解：接運(yùn)用公式求解，否則常用下列方法求解：(2)遞推關(guān)系形如遞推關(guān)系形如an1anf(n)，常用累加法求通項，常用累加法求通項.(3)遞推關(guān)系形如遞推關(guān)系形如

15、 f(n)，常用累乘法求通項，常用累乘法求通項.(4)遞推關(guān)系形如遞推關(guān)系形如“an1panq(p、q是常數(shù)，且是常數(shù)，且p1，q0)”的數(shù)列求通項，常用待定系數(shù)法的數(shù)列求通項，常用待定系數(shù)法.可設(shè)可設(shè)an1p(an)，經(jīng)過比較，求得，經(jīng)過比較，求得，則數(shù)列，則數(shù)列an是一個等比是一個等比數(shù)列數(shù)列.(5)遞推關(guān)系形如遞推關(guān)系形如“an1panqn(q，p為常數(shù)，且為常數(shù)，且p1，q0)”的數(shù)列求通項，此類型可以將關(guān)系式兩邊同除以的數(shù)列求通項，此類型可以將關(guān)系式兩邊同除以qn轉(zhuǎn)化為類型轉(zhuǎn)化為類型(4)，或同除以，或同除以pn1轉(zhuǎn)為用迭加法求解轉(zhuǎn)為用迭加法求解.2.數(shù)列求和中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常

16、見類型：數(shù)列求和中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型：(1)錯位相減法求和時，將問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的錯位相減法求和時，將問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的求和問題求解求和問題求解.(2)并項求和時，將問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和并項求和時，將問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和.(3)分組求和時，將問題轉(zhuǎn)化為能用公式法或錯位分組求和時，將問題轉(zhuǎn)化為能用公式法或錯位相減法或裂項相消法或并項法求和的幾個數(shù)列的和相減法或裂項相消法或并項法求和的幾個數(shù)列的和求解求解.提醒：運(yùn)用錯位相減法求和時，相減后，要注意右邊的運(yùn)用錯位相減法求和時，相減后，要注意右邊的n1項中的前項中的前n項，哪些項構(gòu)成等比數(shù)列，以及兩邊需項，哪些項構(gòu)成等比數(shù)列，以及兩

17、邊需除以代數(shù)式時注意要討論代數(shù)式是否為零除以代數(shù)式時注意要討論代數(shù)式是否為零.3.數(shù)列應(yīng)用題主要考查應(yīng)用所學(xué)知識分析和解析問數(shù)列應(yīng)用題主要考查應(yīng)用所學(xué)知識分析和解析問題的能力題的能力.其中，建立數(shù)列模型是解決這類問題的其中，建立數(shù)列模型是解決這類問題的核心，在解題中的主要思路：核心，在解題中的主要思路：首先構(gòu)造等差數(shù)列首先構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列模型，然后用相應(yīng)的通項公式與求和公或等比數(shù)列模型，然后用相應(yīng)的通項公式與求和公式求解；式求解；通過歸納得到結(jié)論，再用數(shù)列知識求解通過歸納得到結(jié)論，再用數(shù)列知識求解. 真題感悟 押題精練真題與押題真題感悟1.(2013湖南湖南)設(shè)設(shè)Sn為數(shù)列為數(shù)列an的前

18、的前n項和，項和，Sn(1)nan ，nN*，則：，則：(1)a3_；(2)S1S2S100_.真題感悟解析anSnSn1真題感悟根據(jù)以上根據(jù)以上an的關(guān)系式及遞推式可求的關(guān)系式及遞推式可求.真題感悟真題感悟2.(2014課標(biāo)全國課標(biāo)全國)已知數(shù)列已知數(shù)列an滿足滿足a11，an13an1.(1)證明證明an 是等比數(shù)列，并求是等比數(shù)列，并求an的通項公式；的通項公式；證明(1)由由an13an1，真題感悟真題感悟因為當(dāng)因為當(dāng)n1時，時，3n123n1，真題感悟押題精練1.如圖，一個類似楊輝三角的數(shù)陣，則第如圖，一個類似楊輝三角的數(shù)陣，則第n(n2)行行的第的第2個數(shù)為個數(shù)為_.押題精練解析由題意可知：圖中每行的第二個數(shù)分別為由題意可知：圖中每行的第二個數(shù)分別為3,6,11,18，即即a23，a36，a411，a518，a3a23，a4a35，a5a47，anan12n3，累加得：累加得：ana2357(2n3)，ann22n3.答案n22n3押題精練2.秋末冬初，流感盛行，特別是甲型秋末冬初，流感盛行，特別是甲型H1N1流感流感.某醫(yī)某醫(yī)院近院近30天每天入院治療甲流的人數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列天每天入院治療甲流的人數(shù)依次構(gòu)