3.2第二類曲面積分ppt課件

1、E-mail: 5 5 第二類曲面積分對坐標的曲面積分）第二類曲面積分對坐標的曲面積分）有向曲面：通常我們遇到的曲面都是雙側(cè)的有向曲面：通常我們遇到的曲面都是雙側(cè)的 例如例如 由方程由方程zz(x y) 表示的曲面分為上側(cè)表示的曲面分為上側(cè)與與 下側(cè)下側(cè) 設(shè)設(shè)n(cos cos cos)為為曲面上的曲面上的 法向量法向量 在曲面的上側(cè)在曲面的上側(cè)cos0 在曲在曲面的面的 下側(cè)下側(cè)cos0 閉曲面有內(nèi)側(cè)與外側(cè)之閉曲面有內(nèi)側(cè)與外側(cè)之分分 曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)一、對坐標的曲面積分的概念和性質(zhì)一、對坐標的曲面積分的概念和性質(zhì)E-mail: 類似地類似地 如

2、果曲面的方程為如果曲面的方程為yy(z x)則曲則曲面分為左側(cè)與右側(cè)面分為左側(cè)與右側(cè) 在曲面的右側(cè)在曲面的右側(cè)cos0 在在曲面的左側(cè)曲面的左側(cè)cos0 如果曲面的方程為如果曲面的方程為xx(y z) 則曲面分為前側(cè)與后側(cè)則曲面分為前側(cè)與后側(cè) 在曲面的在曲面的前側(cè)前側(cè)cos 0 在曲面的后側(cè)在曲面的后側(cè)cos0nE-mail: 設(shè)設(shè)是有向曲面，在是有向曲面，在上取一小塊曲面上取一小塊曲面S 把把S投影到投影到xOy面上得一投影區(qū)域面上得一投影區(qū)域 這投影區(qū)域這投影區(qū)域的面積記為的面積記為()xy。假定。假定S上各點處的法向量上各點處的法向量與與z軸的夾角軸的夾角的余弦的余弦cos有相同的符號有

3、相同的符號(即即cos都是正的或都是負的都是正的或都是負的) 我們規(guī)定我們規(guī)定S在在xOy面上的面上的投影投影(S)xy為為 .0cos00cos)(0cos)()( 時時當當時時當當時時當當 xyxyxyS其中其中cos0也就是也就是()xy0的情形的情形 類似地可以定義類似地可以定義S在在yOz面及在面及在zOx面上的面上的投影投影(S)yz及及(S)zx E-mail: 實例實例 流向曲面一側(cè)的流量流向曲面一側(cè)的流量. .xyzo E-mail: Av0n AE-mail: E-mail: xyzo iS ),(iii ivin 把把曲曲面面分分成成n小小塊塊is ( (is 同同時時也

4、也代代表表第第i小小塊塊曲曲面面的的面面積積) ), ,在在is 上上任任取取一一點點),(iii , ,1. 分割分割則該點流速為則該點流速為 .iv法向量為法向量為 .inE-mail: 通通過過is 流流向向指指定定側(cè)側(cè)的的流流量量的的近近似似值值為為)., 2 , 1(niSnviii ,),(),(),(),(kRjQiPvviiiiiiiiiiiii E-mail: iiiiiiiiiniiiiiSRQP cos),(cos),(cos),(1 xyiiiixziiiiyzniiiiiSRSQSP)(,()(,()(,(1 3.3.取極限取極限0 .的的精精確確值值取取極極限限得得

5、到到流流量量 2. 求和求和通通過過流流向向指指定定側(cè)側(cè)的的流流量量 niiiiSnv1E-mail: 這樣的極限還會在其它問題中遇到這樣的極限還會在其它問題中遇到 抽去它抽去它們的具體意義們的具體意義 就得出下列對坐標的曲面積分的就得出下列對坐標的曲面積分的概念概念 E-mail: E-mail: E-mail: nixyiiiiSR10)(,(lim 存在存在, ,則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)),(zyxR在有向曲面上在有向曲面上對對坐標坐標yx,的曲面積分的曲面積分( (也稱也稱第二類曲面積分第二類曲面積分) )E-mail: nixyiiiiSRdxdyzyxR10)(,(lim)

6、,( 被積函數(shù)被積函數(shù)積分曲面積分曲面類似可定義類似可定義 niyziiiiSPdydzzyxP10)(,(lim),( nizxiiiiSQdzdxzyxQ10)(,(lim),( E-mail: E-mail: 存在條件存在條件:組合形式組合形式:dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),( 物理意義物理意義: 表示流向表示流向 指定的流量指定的流量dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),( E-mail: 注意：注意：一個規(guī)定：如果是分片光滑的有向曲面一個規(guī)定：如果是分片光滑的有向曲面 我們我們規(guī)規(guī) 定函數(shù)在定函數(shù)在上對坐標的曲面積分等于函數(shù)

7、在各片上對坐標的曲面積分等于函數(shù)在各片光滑曲面上對坐標的曲面積分之和光滑曲面上對坐標的曲面積分之和 E-mail: 對坐標的曲面積分的性質(zhì)對坐標的曲面積分的性質(zhì):12121.PdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdy （曲面可加性） 2.PdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdy （方向性） 設(shè) 是有向曲面， 表示與 取相反側(cè)的 有向曲面，則E-mail: 對坐標的曲面積分的性質(zhì)對坐標的曲面積分的性質(zhì):3.FG(+ G)+GFndSF ndSndS（線性性）若 和 在有向曲面 上的第二類曲面積分 存在， 、 是任意常數(shù)，則E-m

8、ail: n ),(yxfz xyDxyzoxys)( 二、對坐標的曲面積分的計算二、對坐標的曲面積分的計算1 1、逐個投影法【將曲面積分化為二重積分】、逐個投影法【將曲面積分化為二重積分】E-mail: nixyiiiiSRdxdyzyxR10)(,(lim),( ),(,)()(, 0cos,iiixyxyizS 又又取上側(cè)取上側(cè) nixyiiiiinixyiiiizRSR1010)(,(,(lim)(,(lim xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(即即E-mail: ,)()(, 0cos,xyxyiS 取取下下側(cè)側(cè)若若 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),

9、(,),(則有則有給出給出由由如果如果,),(zyxx yzDdydzzyzyxPdydzzyxP,),(),(則有則有給出給出由由如果如果,),(xzyy zxDdzdxzxzyxQdzdxzyxQ),(,),(注意注意: :對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分, ,必須注意曲面所取的側(cè)必須注意曲面所取的側(cè). .E-mail: 逐個投影法思路清晰逐個投影法思路清晰, ,計算量大，一般不多用計算量大，一般不多用2、轉(zhuǎn)換投影法【將曲面積分同應(yīng)到別的坐標面】、轉(zhuǎn)換投影法【將曲面積分同應(yīng)到別的坐標面】Sxoy設(shè)設(shè) 在在平平面面上上的的投投影影滿滿足足“投投影影點點不不重重合合”，xyD區(qū)區(qū)域域較較容容易

10、易求求得得，則則：S( , , )( , , ( , )xyDzP x y z dydzP x y z x ydxdyx S( , , )( , , ( , )xyDzQ x y z dzdxQ x y z x ydxdyy S( , , )( , , )xyDR x y z dxdyR x y z dxdy E-mail: S0,2+, ,2nz 當當有有向向曲曲面面 的的法法向向量量 與與 軸軸正正向向的的交交角角時時以以上上諸諸式式取取當當時時 取取 綜合以上三式綜合以上三式,有有S( , , )( , , )( , , )P x y z dydzQ x y z dzdxR x y z

11、dxdy ( , , ( , ),( , , ( , ),( , , ( , )xyDP x y z x yQ x y z x yR x y z x y ,1zzdxdyxy( , )Szz x y 其其中中，為為曲曲面面 的的顯顯示示表表示示。E-mail: 類似地類似地,投影轉(zhuǎn)換到投影轉(zhuǎn)換到y(tǒng)oz平面時有平面時有:S( , , )( , , )( , , )P x y z dydzQ x y z dzdxR x y z dxdy ( ( , ), , ),( ( , ), , ),( ( , ), , )yzDP x y zy z Q x y zy z R x y zy z 1,xxdyd

12、zyz， ( , ( , ), ),( , ( , ), ),( , ( , ), )zxDP x y x z zQ x y x z z R x y x z z ,1,yydzdxxz cos0 （時時取取正正號號）cos0 （時時取取正正號號）類似地類似地,投影轉(zhuǎn)換到投影轉(zhuǎn)換到zox平面時有平面時有:S( , , )( , , )( , , )P x y z dydzQ x y z dzdxR x y z dxdy E-mail: 1 例例(2),xz dydzzdxdy 計計算算曲曲面面積積分分 其其中中 為為有有向向22(01),zxyz曲曲面面z其其法法向向量量與與 軸軸正正向向夾夾角

13、角為為銳銳角角。解法解法1： 逐個投影法逐個投影法S(2),xz dydz 先先計計算算Syoz將將 分分成成前前后后兩兩塊塊投投影影到到平平面面：2S, ( , ),yzxzyy zD 前前：方方向向向向后后；2S, ( , ),yzxzyy zD 后后：方方向向向向前前； 2( , )|1, 11yzDy zyzy 其其中中，E-mail: 所以所以S(2),xz dydz 22(2)( 2)yzyzDDzyz dydzzyz dydz 24yzDzy dydz 211214ydyzy dz 3122016(1)3ydy 42016cos3tdt S,zdxdy 再再計計算算E-mail:

14、 S,:xoy將將 投投影影到到平平面面上上 投投影影區(qū)區(qū)域域為為 22D( , )|1xyx yxy 于是于是22S()xyDzdxdyxydxdy213002dr dr 故故S(2)22xz dydzzdxdy E-mail: 解法解法2轉(zhuǎn)換投影法轉(zhuǎn)換投影法S,:xoy將將 投投影影到到平平面面上上 投投影影區(qū)區(qū)域域為為 22D( , )|1xyx yxy :S的的方方程程為為22 ( , )xyzxyx yD S(2)xz dydzzdxdy 2222=(2)( 2 )xyDxxyxxydxdy 21222300( 4cos2cos )drrrrdr 2204cos2d 2 E-mail

15、: 2 例例222x dydzy dzdxz dxdy 計計算算曲曲面面積積分分( , , )|0,0,0 x y zxaybzc 其其中中 為為長長方方體體 的的整整個個表表面面的的外外側(cè)側(cè)，解解 1 12 2把把 的的上上下下面面分分別別記記為為和和 3 34 4把把 的的前前后后面面分分別別記記為為和和 5 56 6把把 的的左左右右面面分分別別記記為為和和 1 z c (0 x a 0 y b)的上側(cè)的上側(cè) 2 z 0 (0 x a 0 y b)的下側(cè)的下側(cè) 3 x a (0 y b 0 z c)的前側(cè)的前側(cè) 4 x 0 (0 y b 0 z c)的后側(cè)的后側(cè) 5 y 0 (0 x a

16、 0 z c)的左側(cè)的左側(cè) 6 y b (0 x a 0 z c)的右側(cè)的右側(cè) E-mail: 34yoz 除除，外外，其其余余四四片片曲曲面面在在面面上上的的投投影影為為零零，因因此此34222220yzyzDDx dydzy dydzx dyda dydzdydza bc 類類似似地地可可以以得得到到：2222y dzdxb acz dxdyc ab，于于是是所所求求曲曲面面積積分分為為：()a+b+c abcE-mail: 練習(xí)練習(xí)的正方體（外）表面。的正方體（外）表面。、邊長、邊長中心在中心在求求 :, )()()( aOdxdyxzdzdxzydydzyx 原式原式解解輪輪換換對對稱

17、稱性性 dydzyx)(3 前前(3 后后 左左 右右 上上 下下 dydzyx)(dydzyx)( 后后 前前 (3xzyO )(yOz 下下上上右右左左、 E-mail: 3()()xy dydz后前xdydz 前前前前后后對對稱稱6)(3dydzayzD 化為二重積分化為二重積分|D|ayz3 dydza 前前方方程程2633a E-mail: 3 例例xyzdxdy 計計算算曲曲面面積積分分解解2212221(0,0)1(0,0)zxyxyzxyxy 把把有有向向曲曲面面 分分成成以以下下兩兩個個部部分分：的的上上側(cè)側(cè)，：的的下下側(cè)側(cè)， 1和和 2在在xoy面上的投影區(qū)域都是面上的投影

18、區(qū)域都是 Dxy: x2 y21 (x 0 y 0)其中其中是球面是球面x2y2z21外側(cè)在外側(cè)在x0 y0的部分的部分 E-mail: 22122200212sin cos1215xyDxyxy dxdydrr rdr 1222221(1)xyxyDDxyzdxdyxyzdxdyxyzdxdyxyxy dxdyxyxydxdy E-mail: 解解兩部分兩部分和和分成分成把把21 ;1:2211yxz ,1:2222yxz xyz2 1 取上側(cè)取上側(cè)取下側(cè)取下側(cè)E-mail: （下）（下）上）上）12( xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdy xyDdxdyyxxy221 xyDdxdy

19、yxxy2212 xyDrdrdrr 221cossin2 xyDdxdyyxxy)1()1(22rdrrrd2201021cossin2 152 xoy11 rE-mail: 2 練練習(xí)習(xí)Ixydydzyzdzdxzxdxdy 計計算算曲曲面面積積分分1xyz其其中中 由由平平面面與與三三個個坐坐標標面面圍圍成成得得四四面面體體的的表表面面，取取其其外外側(cè)側(cè)。解解, 1 12 23 34 4由由 可可分分為為, ,四四小小塊塊，其其方方程程分分別別為為： 1 z=0； 2 x=0； 3 y=0； 4 x+y+z=1當當 取外側(cè)時，取外側(cè)時， 1 取下側(cè)；取下側(cè)； 2 取后側(cè)；取后側(cè)； 3 取

20、左側(cè)；取左側(cè)； 4 取正側(cè)取正側(cè)E-mail: 10 xydydzyzdzdxzxdxdy不難驗證：230同理。4444111100001100(1)(1)(1)(1)(1)(1)11112424248yzzxxyDDDyzxIxydydzyzdzdxzxdxdyxydydzyzdzdxzxdxdyyz ydydzzx zdzdxyx xdxdydyyz ydzdzyz zdxdxyx xdy4下求的積分。E-mail: 4 例例2222,xdydzz dxdyxyz 計計算算曲曲面面積積分分222(0).xyRzR R 及及平平面面所所謂謂立立體體表表面面外外側(cè)側(cè) 其其中中 是是由由曲曲面面

21、解：如圖解：如圖222222222222222xdydzxyzxdydzz dxdyxyzxdydzz dxdyxyzxdydzz dxdyxyz 1 12 23 3E-mail: 2222222xdydzz dxdyxdydzxyzxyz 1 11 1而而1xoy 垂垂直直于于面面，所所以以相相應(yīng)應(yīng)的的積積分分為為零零22222222xdydzz dxdyz dxdyxyzxyz222yoz 垂垂直直于于面面，所所以以相相應(yīng)應(yīng)的的積積分分為為零零22222222xdydzz dxdyz dxdyxyzxyz333yoz 垂垂直直于于面面，所所以以相相應(yīng)應(yīng)的的積積分分為為零零E-mail: 222222222xdydzxdydzxdydzxyzxyzxyz11后1前221221:( , ),:( , ),yzyzxRyy zDxRyy zD前后向前向后( , )|,yzDy zRyRRzR 而而222222222xdydzxdydzxdydzxyzxyzxyz11后1前即：2222222222222yzyzyzDDDRy dydzRy dydzRy dydzRzRzRz22222122RRRRdzRy dyRRzE-mail: 23:( , ),:( , ),xyxyzRx yD