數(shù)量積與向量積

1、數(shù)量積與向量積一、兩向量的數(shù)量積1、數(shù)量積的物理背景: 設(shè)一物體在常力F作用下沿直線從點(diǎn)M1移動(dòng)到點(diǎn)M2. 以s表示位移. 由物理學(xué)知道, 力F所作的功為 W = |F| |s| cosq , 其中q 為F與s的夾角. 2、數(shù)量積: 對(duì)于兩個(gè)向量a和b, 它們的模 |a|、|b| 及它們的夾角q 的余弦的乘積稱(chēng)為向量a和b的數(shù)量積, 記作a×b, 即a·b=|a| |b| cosq . 3、數(shù)量積與投影: 由于|b| cosq =|b|cos(a, b), 當(dāng)a¹0時(shí), |b| cos(a, b) 是向量b在向量a的方向上的投影, 于是a·b = |a|

2、 Prj ab. 同理, 當(dāng)b¹0時(shí), a·b = |b| Prj ba. 4、數(shù)量積的性質(zhì): (1) a·a = |a| 2. (2) 對(duì)于兩個(gè)非零向量 a、b, 如果 a·b =0, 則 ab; 反之, 如果ab, 則a·b =0. 如果認(rèn)為零向量與任何向量都垂直, 則ab Û a·b =0. 5、數(shù)量積的運(yùn)算律: (1)交換律: a·b = b·a; (2)分配律: (a+b)×c=a×c+b×c . (3) (la)·b = a·(lb) = l(

3、a·b), (la)·(mb) = lm(a·b), l、m為數(shù). 例1 試用向量證明三角形的余弦定理.6、數(shù)量積的坐標(biāo)表示: 設(shè)a=(ax, ay, az ), b=(bx, by, bz ), 則a·b=axbx+ayby+azbz .7、兩向量夾角的余弦的坐標(biāo)表示: 設(shè)q=(a, b), 則當(dāng)a¹0、b¹0時(shí), 有. 例2 已知三點(diǎn)M (1, 1, 1)、A (2, 2, 1)和B (2, 1, 2), 求ÐAMB . 解 從M到A的向量記為a, 從M到B的向量記為b, 則ÐAMB 就是向量a與b的夾角. a

4、=1, 1, 0, b=1, 0, 1. 因?yàn)閍×b=1´1+1´0+0´1=1, , . 所以. 從而 . 例3 設(shè)液體流過(guò)平面S 上面積為A的一個(gè)區(qū)域, 液體在這區(qū)域上各點(diǎn)處的流速均為（常向量)v. 設(shè)n為垂直于S的單位向量（圖7-25(a)）, 計(jì)算單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)這區(qū)域流向n所指一方的液體的質(zhì)量P(液體的密度為).二、兩向量的向量積1、向量積: 設(shè)向量c是由兩個(gè)向量a與b按下列方式定出: c的模 |c|=|a|b|sin q , 其中q 為a與b間的夾角; c的方向垂直于a與b所決定的平面, c的指向按右手規(guī)則從a轉(zhuǎn)向b來(lái)確定. 那么, 向量c叫做

5、向量a與b的向量積, 記作a´b, 即c = a´b. 根據(jù)向量積的定義, 力矩M等于與F的向量積, 即. 2、向量積的性質(zhì): (1) a´a = 0 ; (2) 對(duì)于兩個(gè)非零向量a、b, 如果a´b = 0, 則a/b; 反之, 如果a/b, 則a´b = 0. 如果認(rèn)為零向量與任何向量都平行, 則a/b Û a´b = 0. 3、向量積的運(yùn)算律: (1) 交換律a´b = -b´a; (2) 分配律: (a+b)´c = a´c + b´c. (3) (la)´

6、b = a´(lb) = l(a´b) (l為數(shù)). 4、向量積的坐標(biāo)表示: 設(shè)a = ax i + ay j + az k, b = bx i + by j + bz k. a´b = ( ax i + ay j + az k) ´ ( bx i + by j + bz k)= ax bx i´i + ax by i´j + ax bz i´k+ay bx j´i + ay by j´j + ay bz j´k+az bx k´i + az by k´j + az bz k

7、´k.= ( ay bz - az by) i + ( az bx - ax bz) j + ( ax by - ay bx) k. 為了邦助記憶, 利用三階行列式符號(hào), 上式可寫(xiě)成 =aybzi+azbx j+axbyk-aybxk-axbz j-azbyi = ( ay bz - az by) i + ( az bx - ax bz) j + ( ax by - ay bx) k. . 例4 設(shè)a=(2, 1, -1), b=(1, -1, 2), 計(jì)算a´b . 解 =2i-j-2k-k-4j-i =i-5j -3k. 例5 已知三角形ABC的頂點(diǎn)分別是A (1, 2

8、, 3)、B (3, 4, 5)、C (2, 4, 7), 求三角形ABC的面積. 解 根據(jù)向量積的定義, 可知三角形ABC的面積. 由于=(2, 2, 2), =(1, 2, 4), 因此 =4i-6j+2k.于是 . 例6 設(shè)剛體以等角速度w 繞l 軸旋轉(zhuǎn), 計(jì)算剛體上一點(diǎn)M的線速度. 解 剛體繞l 軸旋轉(zhuǎn)時(shí), 我們可以用在l 軸上的一個(gè)向量w表示角速度, 它的大小等于角速度的大小, 它的方向由右手規(guī)則定出: 即以右手握住l 軸, 當(dāng)右手的四個(gè)手指的轉(zhuǎn)向與剛體的旋轉(zhuǎn)方向一致時(shí), 大姆指的指向就是w的方向. 設(shè)點(diǎn)M到旋轉(zhuǎn)軸l的距離為a , 再在l軸上任取一點(diǎn)O作向量r =, 并以q 表示w與r的夾角, 那么a = |r| sinq . 設(shè)線