數(shù)學(xué)建模養(yǎng)老金計劃

1、數(shù)學(xué)建模A題 養(yǎng)老金計劃養(yǎng)老金是指人們在年老失去工作能力后可以按期領(lǐng)取的補償金，這里假定養(yǎng)老金計劃從20歲開始至80歲結(jié)束，年利率為10。參加者的責(zé)任是，未退休時（60歲以前）每月初存入一定的金額，其中具體的存款方式為：20歲29歲每月存入元，30歲39歲每月存入元，40歲49歲每月存入元，50歲59歲每月存入元。參加者的權(quán)利是，從退休（60歲）開始，每月初領(lǐng)取退休金，一直領(lǐng)取20年。試建立養(yǎng)老金計劃的數(shù)學(xué)模型，并計算下列不同年齡的計劃參加者的月退休金。1、從20歲開始參加養(yǎng)老金計劃，假設(shè)元；2、從35歲開始參加養(yǎng)老金計劃，假設(shè)元， 元，元；3、從48歲開始參加養(yǎng)老金計劃，假設(shè)元，元。論文題目

2、： 養(yǎng)老金計劃姓名1：*（寫作） 專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 姓名1：*（編程） 專業(yè)： 信息與計算科學(xué)姓名1：*（建模） 專業(yè)： 信息與計算科學(xué) 2010年8月14日摘要：隨著人口老齡化的到來，世界各國都在不斷努力尋求解決老齡化社會問題的途徑，已形成了各具特色的養(yǎng)老保險制度。但是我國養(yǎng)老金制度還存在層次單一，覆蓋面狹窄和管理不協(xié)調(diào)的問題，因此本文就養(yǎng)老金計劃問題進行討論，旨在分析不同年齡階段、投資不同金額的投保人在60歲后的20年里每月初所能領(lǐng)取養(yǎng)老金p。首先依據(jù)題設(shè)，投保人每月都按照自己所處年齡段存入相應(yīng)的金額，可以將其按照月份不同分為12個不同的虛擬賬戶，并且假定將相應(yīng)月份的投保金額存入相應(yīng)的

3、虛擬賬戶中。至每年末，各月份所對應(yīng)虛擬賬戶的存款相同，且利息至次年對應(yīng)月份才能獲得。但是在60歲開始，且在以后的20年里，每月月初將會領(lǐng)到一定數(shù)額（P）的養(yǎng)老金，可認為所領(lǐng)取的養(yǎng)老金是從該月所對應(yīng)的虛擬賬戶扣除。因此我們可以將每年中各月份的存款問題簡化為只關(guān)注其中某一月份進行分析。其次，采用迭代方法建立不同情況下的四種數(shù)學(xué)模型，利用MATLAB編寫對應(yīng)模型的程序，并用二分法求解出符合問題條件下的P值。最終，運用所建立的數(shù)學(xué)模型最終求解出P1=10397.3511元，P2=5264.6136元，P3=4383.79385元。從結(jié)果可以看出，越早參加養(yǎng)老金計劃，在60歲后的20年里每月初也能領(lǐng)取相

4、當(dāng)多的養(yǎng)老金。關(guān)鍵詞：養(yǎng)老金 月初 虛擬賬戶目錄一、問題的提出二、問題的分析三、建模的過程1.模型的假設(shè)2.模型的建立3.模型轉(zhuǎn)換為MATLAB程序4.求解問題5.模型分析四、模型的評價與改進一、問題的提出：養(yǎng)老金是指人們在年老失去工作能力后可以按期領(lǐng)取的補償金，這里假定養(yǎng)老金計劃從20歲開始至80歲結(jié)束，年利率為10。參加者的責(zé)任是，未退休時（60歲以前）每月初存入一定的金額，其中具體的存款方式為：20歲29歲每月存入X1元，30歲39歲每月存入X2元，40歲49歲每月存入X3元，50歲59歲每月存入X4元。參加者的權(quán)利是，從退休（60歲）開始，每月初領(lǐng)取退休金，一直領(lǐng)取20年。求按不同的年

5、齡段不同的投資額，在60歲（退休后）每月月初所取的養(yǎng)老金p是否一樣，并計算P值。二、問題的分析：由問題意可知，參加養(yǎng)老金計劃的人在60歲前（為退休時）存入一定的金額，在退休后（60歲）開始，每月初領(lǐng)取退休金一直領(lǐng)取20年。目的就是建立一種模型，解決計算不同年齡階段參加者最終每月獲取的退休金p值。三、建模過程：1.模型假設(shè)首先，假設(shè)此問題的外部因素不會發(fā)生改變；其次，銀行必須在投資者80歲時，把投資者所投金額以及所有的利息全部返還給投資者；再次，參加計劃的投資者在一開始投資后，到59歲末都必須每月按時、按額投資該月的資金，中間無間斷和拖欠。2.模型建立由問題知，投保人每月都按照自己所處年齡段存入

6、相應(yīng)的金額，我們可以將其按照月份不同分為12個不同的虛擬賬戶，并且假定將相應(yīng)月份的投保金額存入相應(yīng)的虛擬賬戶中。至每年末，各月份所對應(yīng)虛擬賬戶的存款相同，且利息至次年對應(yīng)月份才能獲得。因此我們可以將每年中各月份的存款問題簡化為只關(guān)注其中某一月份進行分析。例：按一月份進行分析。如果在20歲的第一月存入X元的投保資金，則在第二年的第一個月對應(yīng)虛擬賬戶上的累計戶額為上一年一月利息加上本金，以及本年一月所存入的養(yǎng)老金額X。依次類推，在60歲的一月對應(yīng)虛擬賬戶累計金額為40年來所有一月的本金和利息的總和。但是在60歲開始，且在以后的20年里，每月月初將會領(lǐng)到一定數(shù)額（P）的養(yǎng)老金，我們可以認為所領(lǐng)取的養(yǎng)

7、老金是從該月所對應(yīng)的虛擬賬戶扣除。因此對于一月而言，從60歲開始領(lǐng)取P金額后，所剩的資金還會在次年有10%的利息，依次類推到第二十年時，一月的虛擬帳戶將會為零，即虛擬賬戶中所有累計金額全部返回給投保人，此時可以得到一個一次方程，P是未知量，所以方程的解就是P的值。用此方法可以計算出不同年齡階段的投資者投資不同資金時，從60歲開始的后二十年內(nèi)每月月初所領(lǐng)取的養(yǎng)老金P。因此針對上述問題可建立如下四個不同年齡階段的數(shù)學(xué)模型，即（符號說明：20-80歲之前第n歲，一月份辦理業(yè)務(wù)之后賬戶所剩余額；X1為2029歲階段每月存入的金額數(shù)量，X2為3039歲階段每月存入的金額數(shù)量；X3為4049歲階段每月存入

8、的金額數(shù)量；X4為5059歲階段每月存入的金額數(shù)量；p為60歲開始每月領(lǐng)取的退休金）1從2029歲開始參加養(yǎng)老金計劃的數(shù)學(xué)模型為：2. 從3039歲開始參加養(yǎng)老金計劃的數(shù)學(xué)模型為：3. 從3039歲開始參加養(yǎng)老金計劃的數(shù)學(xué)模型為：4. 從3039歲開始參加養(yǎng)老金計劃的數(shù)學(xué)模型為：3.模型轉(zhuǎn)化的MATLAB程序：程序分為pension、pension_X、REM三個函數(shù)，其中pension為求解時輸入?yún)?shù)的函數(shù)，REM為二分法求解線性方程的函數(shù)，REM求解時調(diào)用了pension_X函數(shù)，當(dāng)p值滿足pension_X(p)=0是，p為問題所求的解。函數(shù)pension：function x,k,y=

9、pension(age,twenties,thirties,forties,fifties);% age為開始參加養(yǎng)老金計劃的年齡；%twenties為20-29歲階段每月所需繳納的養(yǎng)老金；%thirties為30-29歲階段每月所需繳納的養(yǎng)老金；%forties為40-49歲階段每月所需繳納的養(yǎng)老金；%fifties為50-59歲階段每月所需繳納的養(yǎng)老金；%x為退休后每月所領(lǐng)取的退休金，即p值；%k為應(yīng)用二分法求解p值時所迭代的次數(shù)；%y為退休金全部領(lǐng)取完后，賬戶所剩余額。format long;global m x1 x2 x3 x4;m=age;x1=twenties;x2=thirti

10、es;x3=forties;x4=fifties;if (m>=20)&(m<=59) a=1000; b=50000; f=pension_X; delta=0.0001; x,k,y=REM(f,a,b,delta);else '此程序不解決這個年齡的問題'end函數(shù)pension_X：function s=pension_X(p);%p為每月領(lǐng)取退休金的金額數(shù)量%s為每次辦理業(yè)務(wù)后的賬戶余額global m x1 x2 x3 x4 s;if (m>=20)&(m<=29) s=x1; for k=m+1:1:29 s=1.1*s+x

11、1; end for k=30:1:39 s=1.1*s+x2; end for k=40:1:49 s=1.1*s+x3; end for k=50:1:59 s=1.1*s+x4; end for k=60:1:79 s=1.1*s-p; endelseif (m>=30)&(m<=39) s=x2; for k=m+1:1:39 s=1.1*s+x2; end for k=40:1:49 s=1.1*s+x3; end for k=50:1:59 s=1.1*s+x4; end for k=60:1:79 s=1.1*s-p; endelseif (m>=40)

12、&(m<=49) s=x3; for k=m+1:1:49 s=1.1*s+x3; end for k=50:1:59 s=1.1*s+x4; end for k=60:1:79 s=1.1*s-p; endelseif (m>=50)&(m<=59) s=x4; for k=m+1:1:59 s=1.1*s+x4; end for k=60:1:79 s=1.1*s-p; endend函數(shù)REM：function x,k,y=REM(f,a,b,delta);%f為引用了pension_x的函數(shù)%a、b為分布在解兩側(cè)的估計值%delta為迭代求解時的精度%x

13、為方程的解，即所需要求的p值%k為迭代次數(shù)%y為已經(jīng)領(lǐng)取結(jié)束時，所有賬戶所剩的總余額ya=feval(f,a);yb=feval(f,b);if ya*yb>0 disp('This equation has no solution');endfor k=1:1:100000 c=(a+b)/2; yc=f(c); if yc=0 a=c;ya=yc; b=c;yb=yc; elseif ya*yc<0 b=c;yb=yc; else a=c;ya=yc; end if (b-a)<delta)&(feval(f,(a+b)/2)>0) brea

14、k; endendx=(a+b)/2;y=12*feval(f,(a+b)/2);4.求解問題：從20歲開始參加養(yǎng)老金計劃，X1=X2=X3=X4=200元； 將所給參數(shù)帶入函數(shù)，即 x,k,y=pension(20,200,200,200,200) 在命令窗口運行得到：x =1.039735106285662e+004k =29y =0.02793443250266可知此人退休后沒人可領(lǐng)取養(yǎng)老金10397.35元從35歲開始參加養(yǎng)老金計劃，X2=200，X3=500，X4=1000元； x,k,y=pension(35,0,200,500,1000) 在命令窗口運行得到： k =29 可知此

15、人退休后沒人可領(lǐng)取養(yǎng)老金5264.61元從48歲開始參加養(yǎng)老金計劃，X3=1000，X4=2000元； x,k,y=pension(48,0, 0,1000,2000) 在命令窗口運行得到： x =4.383793860763035e+003 k =38 y =2.563500311225653e-005可知此人退休后沒人可領(lǐng)取養(yǎng)老金4383.79元5.模型分析此模型的建立是依據(jù)利息按照年進行計算，每月的投資金到了次年的該月才會產(chǎn)生利息，且養(yǎng)老金又是按月來領(lǐng)取的，所以把每一個月單獨地看成一個個體，用這個個體的情況來估計總體的趨勢。五、模型的評價與改進該模型的假設(shè)在理論上是成立的，具有一定的合理性。1.現(xiàn)實存在諸多不確定的因素，例如，政府對每月繳納養(yǎng)老金的金額數(shù)量或者年齡利率有所改變時，可能會影響假設(shè)的不成立或計算結(jié)果不合理。