數(shù)學競賽教案講義5——數(shù)列

1、第五章 數(shù)列一、基礎(chǔ)知識定義1 數(shù)列，按順序給出的一列數(shù)，例如1，2，3，n，. 數(shù)列分有窮數(shù)列和無窮數(shù)列兩種，數(shù)列an的一般形式通常記作a1, a2, a3,，an或a1, a2, a3,，an。其中a1叫做數(shù)列的首項，an是關(guān)于n的具體表達式，稱為數(shù)列的通項。定理1 若Sn表示an的前n項和，則S1=a1, 當n>1時，an=Sn-Sn-1.定義2 等差數(shù)列，如果對任意的正整數(shù)n，都有an+1-an=d（常數(shù)），則an稱為等差數(shù)列，d叫做公差。若三個數(shù)a, b, c成等差數(shù)列，即2b=a+c，則稱b為a和c的等差中項，若公差為d, 則a=b-d, c=b+d.定理2 等差數(shù)列的性質(zhì)：

2、1）通項公式an=a1+(n-1)d；2）前n項和公式：Sn=；3）an-am=(n-m)d，其中n, m為正整數(shù)；4）若n+m=p+q，則an+am=ap+aq；5）對任意正整數(shù)p, q，恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B至少有一個不為零，則an是等差數(shù)列的充要條件是Sn=An2+Bn.定義3 等比數(shù)列，若對任意的正整數(shù)n，都有，則an稱為等比數(shù)列，q叫做公比。定理3 等比數(shù)列的性質(zhì)：1）an=a1qn-1；2）前n項和Sn，當q1時，Sn=；當q=1時，Sn=na1；3）如果a, b, c成等比數(shù)列，即b2=ac(b0)，則b叫做a, c的等比中項；4）若m+n=p+q

3、，則aman=apaq。定義4 極限，給定數(shù)列an和實數(shù)A，若對任意的>0，存在M，對任意的n>M(nN),都有|an-A|<，則稱A為n+時數(shù)列an的極限，記作定義5 無窮遞縮等比數(shù)列，若等比數(shù)列an的公比q滿足|q|<1，則稱之為無窮遞增等比數(shù)列，其前n項和Sn的極限（即其所有項的和）為（由極限的定義可得）。定理3 第一數(shù)學歸納法：給定命題p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）當p(n)時n=k成立時能推出p(n)對n=k+1成立，則由（1），（2）可得命題p(n)對一切自然數(shù)nn0成立。競賽常用定理定理4 第二數(shù)學歸納法：給定命題p(n)，若：（1）p(n0)

4、成立；（2）當p(n)對一切nk的自然數(shù)n都成立時（kn0）可推出p(k+1)成立，則由（1），（2）可得命題p(n)對一切自然數(shù)nn0成立。定理5 對于齊次二階線性遞歸數(shù)列xn=axn-1+bxn-2，設(shè)它的特征方程x2=ax+b的兩個根為,:(1)若，則xn=c1an-1+c2n-1，其中c1, c2由初始條件x1, x2的值確定；(2)若=，則xn=(c1n+c2) n-1，其中c1, c2的值由x1, x2的值確定。二、方法與例題1不完全歸納法。這種方法是從特殊情況出發(fā)去總結(jié)更一般的規(guī)律，當然結(jié)論未必都是正確的，但卻是人類探索未知世界的普遍方式。通常解題方式為：特殊猜想數(shù)學歸納法證明。

5、例1 試給出以下幾個數(shù)列的通項（不要求證明）；1）0，3，8，15，24，35，；2）1，5，19，65，；3）-1，0，3，8，15，。例2 已知數(shù)列an滿足a1=,a1+a2+an=n2an, n1，求通項an.例3 設(shè)0<a<1，數(shù)列an滿足an=1+a, an-1=a+，求證：對任意nN+,有an>1.2迭代法。數(shù)列的通項an或前n項和Sn中的n通常是對任意nN成立，因此可將其中的n換成n+1或n-1等，這種辦法通常稱迭代或遞推。例4 數(shù)列an滿足an+pan-1+qan-2=0, n3，q0，求證：存在常數(shù)c，使得·an+例5 已知a1=0, an+1=5

6、an+，求證：an都是整數(shù)，nN+.3數(shù)列求和法。數(shù)列求和法主要有倒寫相加、裂項求和法、錯項相消法等。例6 已知an=(n=1, 2, )，求S99=a1+a2+a99.例7 求和：+例8 已知數(shù)列an滿足a1=a2=1，an+2=an+1+an, Sn為數(shù)列的前n項和，求證：Sn<2。4特征方程法。例9 已知數(shù)列an滿足a1=3, a2=6, an+2=4n+1-4an，求an.例10 已知數(shù)列an滿足a1=3, a2=6, an+2=2an+1+3an，求通項an.5構(gòu)造等差或等比數(shù)列。例11 正數(shù)列a0,a1,an,滿足=2an-1(n2)且a0=a1=1，求通項。例12 已知數(shù)列

7、xn滿足x1=2, xn+1=,nN+, 求通項。三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題1 數(shù)列xn滿足x1=2, xn+1=Sn+(n+1)，其中Sn為xn前n項和，當n2時，xn=_.2. 數(shù)列xn滿足x1=，xn+1=,則xn的通項xn=_.3. 數(shù)列xn滿足x1=1，xn=+2n-1(n2)，則xn的通項xn=_.4. 等差數(shù)列an滿足3a8=5a13，且a1>0, Sn為前n項之和，則當Sn最大時，n=_.5. 等比數(shù)列an前n項之和記為Sn,若S10=10，S30=70，則S40=_.6. 數(shù)列xn滿足xn+1=xn-xn-1(n2)，x1=a, x2=b, Sn=x1+x2+ xn，則S100=_

8、.7. 數(shù)列an中，Sn=a1+a2+an=n2-4n+1則|a1|+|a2|+|a10|=_.8. 若，并且x1+x2+ xn=8，則x1=_.9. 等差數(shù)列an，bn的前n項和分別為Sn和Tn，若，則=_.10. 若n!=n(n-1)2·1, 則=_.11若an是無窮等比數(shù)列，an為正整數(shù)，且滿足a5+a6=48, log2a2·log2a3+ log2a2·log2a5+ log2a2·log2a6+ log2a5·log2a6=36，求的通項。12已知數(shù)列an是公差不為零的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列，且b1=1, b2=5, b

9、3=17, 求：（1）q的值；（2）數(shù)列bn的前n項和Sn。四、高考水平訓(xùn)練題1已知函數(shù)f(x)=，若數(shù)列an滿足a1=，an+1=f(an)(nN+)，則a2006=_.2已知數(shù)列an滿足a1=1, an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1(n2)，則an的通項an=.3. 若an=n2+, 且an是遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是_.4. 設(shè)正項等比數(shù)列an的首項a1=, 前n項和為Sn, 且210S30-（210+1）S20+S10=0，則an=_.5. 已知，則a的取值范圍是_.6數(shù)列an滿足an+1=3an+n(n N+)，存在_個a1值，使an成等差數(shù)列；存在_個a1值，使an成

10、等比數(shù)列。7已知(n N+)，則在數(shù)列an的前50項中，最大項與最小項分別是_.8有4個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和中16，第二個數(shù)與第三個數(shù)的和是12，則這四個數(shù)分別為_.9. 設(shè)an是由正數(shù)組成的數(shù)列，對于所有自然數(shù)n, an與2的等差中項等于Sn與2的等比中項，則an=_.10. 在公比大于1的等比數(shù)列中，最多連續(xù)有_項是在100與1000之間的整數(shù).11已知數(shù)列an中，an0，求證：數(shù)列an成等差數(shù)列的充要條件是（n2）恒成立。12已知數(shù)列an和bn中有an=an-1bn, bn=(n2), 當a1=p, b1=q(p>0, q>

11、;0)且p+q=1時，（1）求證：an>0, bn>0且an+bn=1（nN）；（2）求證：an+1=；（3）求數(shù)列13是否存在常數(shù)a, b, c，使題設(shè)等式1·22+2·32+n·(n+1)2=(an2+bn+c)對于一切自然數(shù)n都成立？證明你的結(jié)論。五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題1設(shè)等差數(shù)列的首項及公差均為非負整數(shù)，項數(shù)不少于3，且各項和為972，這樣的數(shù)列共有_個。2設(shè)數(shù)列xn滿足x1=1, xn=，則通項xn=_.3. 設(shè)數(shù)列an滿足a1=3, an>0，且，則通項an=_.4. 已知數(shù)列a0, a1, a2, , an, 滿足關(guān)系式(3-an+

12、1)·(6+an)=18，且a0=3，則=_.5. 等比數(shù)列a+log23, a+log43, a+log83的公比為=_.6. 各項均為實數(shù)的等差數(shù)列的公差為4，其首項的平方與其余各項之和不超過100，這樣的數(shù)列至多有_項.7. 數(shù)列an滿足a1=2, a2=6, 且=2，則_.8. 數(shù)列an 稱為等差比數(shù)列，當且僅當此數(shù)列滿足a0=0, an+1-qan構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，q稱為此等差比數(shù)列的差比。那么，由100以內(nèi)的自然數(shù)構(gòu)成等差比數(shù)列而差比大于1時，項數(shù)最多有_項.9設(shè)hN+，數(shù)列an定義為：a0=1, an+1=。問：對于怎樣的h，存在大于0的整數(shù)n，使得an=1？10

13、設(shè)akk1為一非負整數(shù)列，且對任意k1，滿足aka2k+a2k+1，（1）求證：對任意正整數(shù)n，數(shù)列中存在n個連續(xù)項為0；（2）求出一個滿足以上條件，且其存在無限個非零項的數(shù)列。11求證：存在唯一的正整數(shù)數(shù)列a1,a2,使得a1=1, a2>1, an+1(an+1-1)=六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題1設(shè)an為下述自然數(shù)N的個數(shù)：N的各位數(shù)字之和為n且每位數(shù)字只能取1，3或4，求證：a2n是完全平方數(shù)，這里n=1, 2,.2設(shè)a1, a2, an表示整數(shù)1，2，n的任一排列，f(n)是這些排列中滿足如下性質(zhì)的排列數(shù)目：a1=1; |ai-ai+1|2, i=1,2,n-1。試問f(2007)能

14、否被3整除？3設(shè)數(shù)列an和bn滿足a0=1,b0=0，且求證：an (n=0,1,2,)是完全平方數(shù)。4無窮正實數(shù)數(shù)列xn具有以下性質(zhì)：x0=1，xi+1<xi (i=0,1,2,),（1）求證：對具有上述性質(zhì)的任一數(shù)列，總能找到一個n1，使3.999均成立；（2）尋求這樣的一個數(shù)列使不等式<4對任一n均成立。5設(shè)x1,x2,xn是各項都不大于M的正整數(shù)序列且滿足xk=|xk-1-xk-2|(k=3,4,n).試問這樣的序列最多有多少項？6設(shè)a1=a2=，且當n=3,4,5,時，an=,()求數(shù)列an的通項公式；()求證：是整數(shù)的平方。7整數(shù)列u0,u1,u2,u3,滿足u0=1，