數(shù)列、極限、數(shù)學(xué)歸納法

1、數(shù)列、極限、數(shù)學(xué)歸納法考試內(nèi)容 數(shù)列等差數(shù)列及其通項公式等差數(shù)列前n項和公式等比數(shù)列及其通項公式等比數(shù)列前n項和公式 數(shù)列的極限及其四則運算 數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用考試要求 （1）理解數(shù)列的有關(guān)概念了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項 （2）理解等差數(shù)列的概念掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式，并能夠運用這些知識解決一些問題 （3）理解等比數(shù)列的概念掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式，并能夠運用這些知識解決一些問題 （4）了解數(shù)列極限的意義掌握極限的四則運算法則，會求公比的絕對值小于1的無窮等比數(shù)列前n項和的極限 （5）了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，并能用數(shù)學(xué)歸納法證明一

2、些簡單的問題復(fù)習建議本講內(nèi)容包括數(shù)列、極限與數(shù)學(xué)歸納法三個部分1數(shù)列的知識要點：（1）理解數(shù)列的定義、表示法、數(shù)列的分類理解數(shù)列是特殊的函數(shù)，數(shù)列是定義在自然數(shù)集N（或它的有限子集1，2，3，n，）上的函數(shù)f（n），當自變量從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值：f（1），f（2），f（3），f（n），數(shù)列的圖象是由一群孤立的點構(gòu)成的（2）對于數(shù)列的通項公式要掌握：已知數(shù)列的通項公式，就可以求出數(shù)列的各項；根據(jù)數(shù)列的前幾項，寫出數(shù)列的一個通項公式，這是一個難點，在學(xué)習中要注意觀察數(shù)列中各項與其序號的變化情況，分解所給數(shù)列的前幾項，看看這幾項的分解中哪些部分是變化的，哪些是不變的，再探索各項中變化部

3、分與序號的聯(lián)系，從而歸納出構(gòu)成數(shù)列的規(guī)律，寫出通項公式；一個數(shù)列還可以用遞推公式來表示；在數(shù)列an中，前n 項和Sn 與通項公式an 的關(guān)系，是本章內(nèi)容一個重點，要認真掌握之即an特別要注意的是，若a1 適合由anSnSn1（n2）可得到的表達式，則an 不必表達成分段形式，可化統(tǒng)一為一個式子2等差數(shù)列的知識要點：（1）掌握等差數(shù)列定義an1and（常數(shù)）（nN），這是證明一個數(shù)列是等差數(shù)列的依據(jù)，要防止僅由前若干項，如a3a2a2a1d（常數(shù)）就說an是等差數(shù)列這樣的錯誤，判斷一個數(shù)列是否是等差數(shù)列還可由anan22 an1 即an2an1an1an 來判斷（2）等差數(shù)列的通項為ana1（n

4、1）d可整理成anan（a1d），當d0時，an 是關(guān)于n 的一次式，它的圖象是一條直線上，那么n 為自然數(shù)的點的集合（3）對于A 是a、b 的等差中項，可以表示成2 Aab（4）等差數(shù)列的前n 項和公式Sn·nna1d，可以整理成Snn2當d0時是n 的一個常數(shù)項為0的二次式3等比數(shù)列的知識要點：（可類比等差數(shù)列學(xué)習）（1）掌握等比數(shù)列定義q（常數(shù)）（nN），同樣是證明一個數(shù)列是等比數(shù)列的依據(jù)也可由an·an2來判斷（2）等比數(shù)列的通項公式為ana1·qn1（3）對于G 是a、b 的等差中項，則G2ab，G±（4）特別要注意等比數(shù)列前n 項和公式應(yīng)分為

5、q1與q1兩類當q1時，Snna1當q1時，Sn，Sn（5）對于數(shù)列求和主要掌握以下幾種方法： 直接運用公式求和法； 折項分組求和法； 倒序相加求和法； 錯項相減求和法； 折項相消求和法 4數(shù)列極限知識要點：（1）應(yīng)掌握數(shù)列極限的定義：對于數(shù)列an，如果存在一個常數(shù)A，無論預(yù)先指定多么小的正數(shù)e，都能在數(shù)列找到一項an，使得nN時，|anA|e 恒成立，則anA，會用此定義證明簡單數(shù)列的極限（2）應(yīng)掌握極限的運算法則如果anA，bnB，那么(an±bn)A±B；(anbn)A·B；（B0）（3）當|q|1時，無窮等比數(shù)列多項和SSn5數(shù)學(xué)歸納法知識要點：應(yīng)理解數(shù)學(xué)

6、歸納法是一種遞推方法，它稱兩個步驟進行第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的根據(jù)二步缺一不可關(guān)鍵是第二步推證必須合理使用歸納假設(shè)應(yīng)重點掌握猜證法，猜想是用不完全歸納法得出結(jié)論，再用數(shù)學(xué)歸納法給予證明，形成一個完整的創(chuàng)造過程數(shù)列極限數(shù)學(xué)歸納法綜合練習題一、選擇題（1）設(shè)2a3，2b6，2c12，則數(shù)列a，b，c（ ）A是等差數(shù)列而非等比數(shù)列 B是等比數(shù)列而非等差數(shù)列C既是等差數(shù)列又等比數(shù)列 D既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列（2）等比數(shù)列an，首項a11，公比q1若其中a1，a2，a3依次是某等差數(shù)列的第1，2，5項，則它的公比q（ ）A2 B3 C3 D2（3）an是等差數(shù)列，則下列關(guān)系式中正確的是（

7、 ）Aa3·a6a4·a5Ba3·a6a4·a5Ca3·a6a4·a5Da3·a6a4·a5（4）一個等比數(shù)列共有3n項，公比q1，它的前n項的和記為S，第二個n項的和記為P，第三個n項的和記為Q，則S，P，Q間的關(guān)系是（ ）APSQB2PSQCP2SQDPSQ（5）在3和9之間插入兩個數(shù)a，b，使前三個數(shù)成等比數(shù)列，后三個數(shù)成等差數(shù)列，則|ab|的最小值是（ ）AB6 C2 D0（6），當a1時，M的值是P，當0a1時，M的值為Q，則PQ的值是（ ）A1B1 C1a D1a（7）的值是（ ）A0 B1 C1 D不

8、存在（8）若f(n)1(nN)，則代數(shù)式f(2n1)f(2n)（在不合并的情況下）共有A1項 Bn項 C2n項 D2n1項（9）（1）（1）（1）（1）的值是（ ）A0 BC1 D非以上答案（10）等比數(shù)列an，an0，若a3·a92，則a1·a2·a3··a11的值是（ ）A32B32 C64 D非以上答案（11）若數(shù)列an滿足，a15，an1（nN），則其前10項的和S10的值是（ ）A50 B100 C150 D120（12）極限的值是（ ）A6 B6 C3 D3二、填空題（13）等比數(shù)列an，公比q1，a1b(b0)，則_（14）等差數(shù)

9、列an，公差d0，首項a10，若S，則S_（15）平面內(nèi)有n（nN）條直線，它們兩兩相交但無三條直線交于一點，若其中k條（1kn）直線將平面分為f(k)個區(qū)域，則f(k1)f(k)_（16）若f(n)123n（nN），則_三、解答題（17）一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列，它們第一項之和等于3，第三項之和等于1，第5項之和等于5，求等差數(shù)列的公差和等比數(shù)列的公比（18）數(shù)列an的前n項和Sna·2nb(nN)，其中a、b是常數(shù)且a0.（）若an是等比數(shù)列，求a、b應(yīng)滿足的條件；（）當an是等比數(shù)列時，求的值（19）數(shù)列an的前n項的和記為An，數(shù)列bn是首項b19，公差d2的等差數(shù)列，其前

10、n項的和記為Bn，且有bn.（）求數(shù)列an的通項公式；（）比較An與Bn的大小并說明理由（20）等比數(shù)列an，an0（nN），它的前n項的和Sn80，a1，a2，an中，最大的一項是54，且前2n項的和S2n6 560，（）求數(shù)列的通項anf(n)；（）求（21）an是等差數(shù)列且它的公差d0，Sna1a2a3an，（）求證點列：P1（1，S1），P2（2，），P3（3，），Pn(n，)都在直線l1上；（）過點Q1（1，a1），Q2(2，a2)作直線l2，l2與l1的夾角為，求證tan.（22）已知f(n)1，（）若n，mN且nm，求證f(n)f(m);（）用數(shù)學(xué)歸納法證明，當nN時，f(2n)

11、數(shù)列極限數(shù)學(xué)歸納法綜合練習題答案一、（1）A（2）B （3）C （4）C （5）D （6）B （7）C （8）C （9）B （10）A （11）A （12）D二、（13）1 （14） （15）k1 （16）2三、（17）設(shè)等差數(shù)列的首項為a，公差為d；等比數(shù)列的首項為b1，公比為q2×得b1(q42q21)=0，即b1(q21)2=0b10，則q2=1q±1 將q=±1代入方程得a12db1=1 得2d=4，則d=2 （18）（）a1=S1=2abSn=a·2nbSn1=a · 2n1b(n2)an=SnSn1=a·2n1an是等比數(shù)

12、列，首項為a，公比為2a1=a211=2ab即ab=0b=a0 （）Sn=a · 2na，Sn1=a · 2n1a（19）（）bn=b1(n1)d=9(n1)(2)bn=2n11，則An=(n4)bnAn=(n4)(2n11)=2n23n44.a1=A1=2×13×144=45當n2時，an=AnAn1 =(2n23n44)2(n1)23(n1)44 =4n5（）B1=b1=9，a1=45，a1b1Bn=b1b2bn =An=a1a2a3an =45(4)×25(4)×35(4)n5 =45(4)(234n)5(n1) =2n23n4

13、4AnBn=2n23n44(n210n) =n27n44 =(n4)(n11)nN，n+110n4時，AnBn0，AnBnn=4時，AnBn=0，An=Bnn4時，AnBn0，AnBn（20）（）an0，a10且q0，當0q1時，數(shù)列是遞減數(shù)列，a1，a2，a3，an中，a1=54最大.S2n=a1a2anan+1an+2a2n =SnqnSn=80(1qn)=6560 1qn=82，qn=81q1與0q1矛盾q1當q=1時，na1=82，2na1=1606560q1q1，a1，a2，an中最大項anan=a1qn1=54.÷得，1qn=82，qn=81a1qn=81a154q=81a1 與聯(lián)立解得：q=3，a1=2an=2 · 3n1（）Sn=a1a2a3an =（21）（）S1=a1，S2=a1a2=2a1dP1(1，a1)，P2則l1的方程為ya1= 任取3kn，則，則 代入l1的方程，左 右左點（3kn）在直線l1上.點列P1，P2，Pn都在直