數(shù)學建模中常用的思想和方法

1、數(shù)學建模中常用的思想和方法（1）knowledge 2010-08-19 00:42:51 閱讀160 評論0 字號：大中小 在數(shù)學建模中常用的方法：類比法、二分法、量綱分析法、差分法、變分法、圖論法、層次分析法、數(shù)據(jù)擬合法、回歸分析法、數(shù)學規(guī)劃（線性規(guī)劃，非線性規(guī)劃，整數(shù)規(guī)劃，動態(tài)規(guī)劃，目標規(guī)劃）、機理分析、排隊方法、對策方法、決策方法、模糊評判方法、時間序列方法、灰色理論方法、現(xiàn)代優(yōu)化算法（禁忌搜索算法，模擬退火算法，遺傳算法，神經(jīng)網(wǎng)絡）。用這些方法可以解下列一些模型：優(yōu)化模型、微分方程模型、統(tǒng)計模型、概率模型、圖論模型、決策模型。擬合與插值方法（給出一批數(shù)據(jù)點，確定滿足特定要求的曲線或者

2、曲面，從而反映對象整體的變化趨勢）：matlab可以實現(xiàn)一元函數(shù)，包括多項式和非線性函數(shù)的擬合以及多元函數(shù)的擬合，即回歸分析，從而確定函數(shù)； 同時也可以用matlab實現(xiàn)分段線性、多項式、樣條以及多維插值。在優(yōu)化方法中，決策變量、目標函數(shù)（盡量簡單、光滑）、約束條件、求解方法是四個關鍵因素。其中包括無約束規(guī)則（用fminserch、fminbnd實現(xiàn)）線性規(guī)則（用linprog實現(xiàn)）非線性規(guī)則、（ 用fmincon實現(xiàn)）多目標規(guī)劃（有目標加權(quán)、效用函數(shù)）動態(tài)規(guī)劃（倒向和正向）整數(shù)規(guī)劃。回歸分析：對具有相關關系的現(xiàn)象，根據(jù)其關系形態(tài)，選擇一個合適的數(shù)學模型，用來近似地表示變量間的平均變化關系的一

3、種統(tǒng)計方法 （一元線性回歸、多元線性回歸、非線性回歸），回歸分析在一組數(shù)據(jù)的基礎上研究這樣幾個問題：建立因變量與自變量之間的回歸模型（經(jīng)驗公式）；對回歸模型的可信度進行檢驗；判斷每個自變量對因變量的影響是否顯著；判斷回歸模型是否適合這組數(shù)據(jù)；利用回歸模型對進行預報或控制。相對應的有 線性回歸、多元二項式回歸、非線性回歸。逐步回歸分析：從一個自變量開始，視自變量作用的顯著程度，從大到地依次逐個引入回歸方程：當引入的自變量由于后面變量的引入而變得不顯著時，要將其剔除掉；引入一個自變量或從回歸方程中剔除一個自變量，為逐步回歸的一步；對于每一步都要進行值檢驗，以確保每次引入新的顯著性變量前回歸方程中只

4、包含對作用顯著的變量；這個過程反復進行，直至既無不顯著的變量從回歸方程中剔除，又無顯著變量可引入回歸方程時為止。（主要用SAS來實現(xiàn)，也可以用matlab軟件來實現(xiàn)）。聚類分析：所研究的樣本或者變量之間存在程度不同的相似性，要求設法找出一些能夠度量它們之間相似程度的統(tǒng)計量作為分類的依據(jù)，再利用這些量將樣本或者變量進行分類。系統(tǒng)聚類分析將n個樣本或者n個指標看成n類，一類包括一個樣本或者指標，然后將性質(zhì)最接近的兩類合并成為一個新類，依此類推。最終可以按照需要來決定分多少類，每類有多少樣本（指標）。系統(tǒng)聚類方法步驟：1 計算n個樣本兩兩之間的距離2 構(gòu)成n個類，每類只包含一個樣品3 合并距離最近的

5、兩類為一個新類4 計算新類與當前各類的距離（新類與當前類的距離等于當前類與組合類中包含的類的距離最小值），若類的個數(shù)等于1，轉(zhuǎn)5，否則轉(zhuǎn)35 畫聚類圖6 決定類的個數(shù)和類。判別分析：在已知研究對象分成若干類型，并已取得各種類型的一批已知樣品的觀測數(shù)據(jù)，在此基礎上根據(jù)某些準則建立判別式，然后對未知類型的樣品進行判別分類。距離判別法首先根據(jù)已知分類的數(shù)據(jù)，分別計算各類的重心，計算新個體到每類的距離，確定最短的距離（歐氏距離、馬氏距離）Fisher判別法利用已知類別個體的指標構(gòu)造判別式（同類差別較小、不同類差別較大），按照判別式的值判斷新個體的類別Bayes判別法計算新給樣品屬于各總體的條件概率，比

6、較概率的大小，然后將新樣品判歸為來自概率最大的總體 模糊數(shù)學：研究和處理模糊性現(xiàn)象的數(shù)學 （概念與其對立面之間沒有一條明確的分界線）與模糊數(shù)學相關的問題：模糊分類問題已知若干個相互之間不分明的模糊概念，需要判斷某個確定事物用哪一個模糊概念來反映更合理準確；模糊相似選擇按某種性質(zhì)對一組事物或?qū)ο笈判蚴且活惓Ｒ姷膯栴}，但是用來比較的性質(zhì)具有邊界不分明的模糊性；模糊聚類分析根據(jù)研究對象本身的屬性構(gòu)造模糊矩陣，在此基礎上根據(jù)一定的隸屬度來確定其分類關系 ；模糊層次分析法兩兩比較指標的確定；模糊綜合評判綜合評判就是對受到多個因素制約的事物或?qū)ο笞鞒鲆粋€總的評價，如產(chǎn)品質(zhì)量評定、科技成果鑒定、某種作物種植

7、適應性的評價等，都屬于綜合評判問題。由于從多方面對事物進行評價難免帶有模糊性和主觀性，采用模糊數(shù)學的方法進行綜合評判將使結(jié)果盡量客觀從而取得更好的實際效果 。時間序列是按時間順序排列的、隨時間變化且相互關聯(lián)的數(shù)據(jù)序列通過對預測目標自身時間序列的處理，來研究其變化趨勢（長期趨勢變動、季節(jié)變動、循環(huán)變動、不規(guī)則變動） 自回歸模型：一般自回歸模型AR(n)系統(tǒng)在時刻t的響應X(t)僅與其以前時刻的響應X(t-1),，X(t-n)有關，而與其以前時刻進入系統(tǒng)的擾動無關 ；移動平均模型MA(m)系統(tǒng)在時刻t的響應X(t) ，與其以前任何時刻的響應無關，而與其以前時刻進入系統(tǒng)的擾動a(t-1),a(t-m

8、)存在著一定的相關關系 ；自回歸移動平均模型 ARMA(n,m)系統(tǒng)在時刻t的響應X(t)，不僅與其前n個時刻的自身值有關，而且還與其前m個時刻進入系統(tǒng)的擾動存在一定的依存關系 。時間序列建模的基本步驟 7 數(shù)據(jù)的預處理：數(shù)據(jù)的剔取及提取趨勢項8 取n=1，擬合ARMA(2n,2n-1)（即ARMA(2,1)）模型9 n=n+1，擬合ARMA(2n,2n-1)模型10 用F準則檢驗模型的適用性。若檢驗顯著，則轉(zhuǎn)入第2步。若檢驗不顯著，轉(zhuǎn)入第5步。11 檢查遠端時刻的系數(shù)值的值是否很小，其置信區(qū)間是否包含零。若不是，則適用的模型就是ARMA(2n,2n-1) 。若很小，且其置信區(qū)間包含零，則擬合

9、ARMA(2n-1,2n-2) 。12 利用F準則檢驗模型ARMA(2n,2n-1)和ARMA(2n-1,2n-2)，若F值不顯著，轉(zhuǎn)入第7步；若F值顯著，轉(zhuǎn)入第8步。13 舍棄小的MA參數(shù)，擬合m<2n-2的模型ARMA(2n-1,m) ，并用F準則進行檢驗。重復這一過程，直到得出具有最小參數(shù)的適用模型為止14 舍棄小的MA參數(shù)，擬合m<2n-1的模型ARMA(2n,m) ，并用F準則進行檢驗。重復這一過程，直到得出具有最小參數(shù)的適用模型為止。圖論方法：最短路問題：兩個指定頂點之間的最短路徑給出了一個連接若干個城鎮(zhèn)的鐵路網(wǎng)絡，在這個網(wǎng)絡的兩個指定城鎮(zhèn)間，找一條最短鐵路線 （Dij

10、kstra算法 ）每對頂點之間的最短路徑 （Dijkstra算法、Floyd算法 ）。最小生成樹問題：連線問題欲修筑連接多個城市的鐵路設計一個線路圖，使總造價最低（prim算法、Kruskal算法 ）。圖的匹配問題：人員分派問題：n個工作人員去做件n份工作，每人適合做其中一件或幾件，問能否每人都有一份適合的工作？如果不能，最多幾人可以有適合的工作？(匈牙利算法)。遍歷性問題：中國郵遞員問題郵遞員發(fā)送郵件時，要從郵局出發(fā)，經(jīng)過他投遞范圍內(nèi)的每條街道至少一次，然后返回郵局，但郵遞員希望選擇一條行程最短的路線最大流問題。運輸問題：最小費用最大流問題：在運輸問題中，人們總是希望在完成運輸任務的同時，尋求一個使總的運輸費用最小的運輸方案 在數(shù)學建模中常用的算法：1：蒙特卡羅算法；2：數(shù)據(jù)擬合、參數(shù)估計、插值等數(shù)據(jù)處理算法（常用matlab實現(xiàn)）；3：線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、多元規(guī)劃、二