數(shù)與代數(shù)課標(biāo)解讀

1、數(shù)與代數(shù)內(nèi)容分析與教學(xué)建議尊敬的各位領(lǐng)導(dǎo)，各位老師大家好！我是來自東小的數(shù)學(xué)教師賀蕾。首先，感謝各級(jí)領(lǐng)導(dǎo)為我們提供本次交流、學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)。在這里我們?nèi)还ぷ髡境蓡T主要對(duì)“數(shù)與代數(shù)”這部分內(nèi)容，圍繞以下四個(gè)問題，和大家交流我們的認(rèn)識(shí)及理解。在“數(shù)與代數(shù)”這領(lǐng)域中我們要研討的主要問題分別是：1. 如何建立“數(shù)”的概念？ 2. 如何處理運(yùn)算教學(xué)中的算理與算法的關(guān)系？3. 如何在方程教學(xué)中幫助學(xué)生經(jīng)歷從算術(shù)思維向代數(shù)思維過渡？ 4. 如何在正反比例教學(xué)中體現(xiàn)函數(shù)思想？ 我將重點(diǎn)和大家交流數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域中的數(shù)的認(rèn)識(shí)這個(gè)話題，主要圍繞“如何建立“數(shù)”的概念？”和大家談?wù)勎覍?duì)新課標(biāo)的感悟。 希望通過交流能夠引發(fā)

2、大家更多的思考和共鳴。下面我們先進(jìn)入第一個(gè)話題的交流問題一： 如何建立“數(shù)”的概念一、課標(biāo)中“數(shù)的認(rèn)識(shí)”有何變化 。數(shù)的概念是數(shù)的認(rèn)識(shí)這部分內(nèi)容當(dāng)中一個(gè)重要的內(nèi)容，那關(guān)于數(shù)的認(rèn)識(shí)在新課標(biāo)當(dāng)中又有那些變化呢？整體來說新課標(biāo)中對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)的要求變化和調(diào)整不大，主要是在第一學(xué)段增加了“ 知道用算盤可以表示多位數(shù) ” 。這一要求主要還是考慮到咱們中國(guó)文化的因素，以及許多專家學(xué)者和一線教師對(duì)珠算在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用問題所提出的建議。在第二學(xué)段則重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)了要加強(qiáng)對(duì)數(shù)的意義的理解。那教學(xué)中我們?nèi)绾谓?shù)的概念呢？怎樣把握這個(gè)教學(xué)重點(diǎn)呢？老師們?cè)趯?shí)施這部分內(nèi)容當(dāng)中又要注意哪些問題呢？ 二、在建立數(shù)的概念中要注

3、意的問題 學(xué)習(xí)理解數(shù)的意義，建立正確的數(shù)的概念應(yīng)該說是我們認(rèn)識(shí)數(shù)的教學(xué)中重要的任務(wù)之一，我們一般從兩個(gè)角度去理解數(shù)的意義， 一是從數(shù)的組成去理解，通過組成理解數(shù)的大小和多少，加強(qiáng)對(duì)數(shù)的感知。二是聯(lián)系生活實(shí)際來體會(huì) ，通過在具體的現(xiàn)實(shí)情境中，理解數(shù)在生活實(shí)際中的意義，使抽象的數(shù)和具體的量有機(jī)的結(jié)合，進(jìn)一步理解數(shù)的意義。在實(shí)際教學(xué)中 我們要把這兩種方式有機(jī)地結(jié)合起來 ，這樣更有利于學(xué)生體會(huì)數(shù)的意義，建立數(shù)的概念。 那么關(guān)于如何建立數(shù)的概念，在這里我們給大家提五點(diǎn)建議，供老師們參考：因?yàn)檎麛?shù)教學(xué)的重點(diǎn)是在于是學(xué)生從數(shù)量抽象到數(shù)，而抽象就離不開直觀的現(xiàn)實(shí)的情景做支撐，所以第一點(diǎn)要提到的就是：1、注重借

4、助具體情境理解數(shù)的意義 學(xué)生對(duì)數(shù)并不陌生，在入學(xué)之前，學(xué)生已對(duì)具體的數(shù)有了比較豐富的感知，他們會(huì)讀、會(huì)寫，會(huì)說一些具體的數(shù)。我們?cè)诮虒W(xué)中就要關(guān)注從現(xiàn)實(shí)情景抽象出數(shù)的過程，例如從具體的2 頭牛， 2 個(gè)人，2個(gè)小櫻桃等等，抽象為 2 這個(gè)數(shù)。這時(shí)用一個(gè)數(shù)字也是一個(gè)特殊的符號(hào)來表示數(shù)量，已經(jīng)把具體的單位和這個(gè)數(shù)量的具體含義去掉，抽象為數(shù)“ 2 ”。反過來， 2 可以表示任何具有 2 這樣數(shù)量特征的事物，例如 2 只鉛筆， 2 個(gè)人、 2 只小動(dòng)物等等，隨著教學(xué)的深入，還要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)的豐富含義，比如計(jì)數(shù)的數(shù)、數(shù)量的數(shù)、度量的數(shù)和計(jì)算的數(shù)。也就是說在教學(xué)中我們要讓孩子經(jīng)歷從生活具體到數(shù)的抽象的過

5、渡，然后再由抽象到具體的一個(gè)過程。 2、注重借助動(dòng)手操作理解數(shù)的意義我們還可以通過非常熟悉的計(jì)數(shù)器，小棒等等這些教具和學(xué)具，讓孩子通過數(shù)一數(shù)，擺一擺，圈一圈、畫一畫，來感受具體的數(shù)量。 3、注重借助多種模型理解數(shù)的意義 在數(shù)的認(rèn)識(shí)過程中，我們要注意運(yùn)用多種模型幫助學(xué)生理解數(shù)的意義建立數(shù)的概念，比如說：計(jì)數(shù)器、數(shù)位桶，方格圖、數(shù)位順序表等，這樣逐漸建立起抽象的數(shù)和現(xiàn)實(shí)中的數(shù)量之間的關(guān)系，并且能夠知道這個(gè)大小和現(xiàn)實(shí)中的多少之間的關(guān)系，這也是數(shù)感很重要的本質(zhì)問題。下面我們給老師舉個(gè)例子，就以方塊模型為例，比如說： 10個(gè)一是十， 10 個(gè)十是一百， 10 個(gè)一百是一千， 10 個(gè)一千是一萬(wàn)，通過幾何

6、圖形的點(diǎn)、線、面、體，使學(xué)生在頭腦中建立“一、十、百、千”的映像，同時(shí)建立十個(gè)千就是一個(gè)萬(wàn)，在學(xué)生的頭腦中建立一個(gè)清晰的模型“滿十進(jìn)一”，對(duì)于學(xué)生理解基數(shù)單位和位值制是有很大好處的。其實(shí)，在分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)中我們也可以借助多種模型幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的意義。首先，分?jǐn)?shù)面積模型就很好的幫助孩子們理解分?jǐn)?shù)的意義，教材中呈現(xiàn)了部分和整體的關(guān)系表示分?jǐn)?shù)，如一個(gè)圓平均分成四份，一份就是整體的1/4，引導(dǎo)孩子理解分?jǐn)?shù)的意義呈現(xiàn)了許多面積模型；還有一種分?jǐn)?shù)集合模型，分?jǐn)?shù)集合模型與面積模型有著密切的聯(lián)系，它是用子集和全集表示分?jǐn)?shù)。不過從理解上看，集合模型更難，水平上升了一層。難就難在單位一不再是一個(gè)整體，而是把幾個(gè)或更

7、多的物體看成一個(gè)整體，所取的一份也不再是一個(gè)，可能是幾個(gè)或更多。這就需要孩子有更高程度的抽象能力。核心在于把整體看做一個(gè)整體，孩子們的認(rèn)識(shí)更抽象了；在分?jǐn)?shù)教學(xué)當(dāng)中，數(shù)線模型也是孩子們認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的一個(gè)更高水平的體現(xiàn)，從面積模型到有序地排列在一起，就抽象出了數(shù)軸，在數(shù)線上找到分?jǐn)?shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，每個(gè)分?jǐn)?shù)都有了位置感。反過來，每個(gè)分?jǐn)?shù)又能找到相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)；分?jǐn)?shù)墻對(duì)幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)意義上也發(fā)揮著形象直觀的作用，尤其對(duì)分?jǐn)?shù)單位，分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)，簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)加減法，分?jǐn)?shù)墻讀能發(fā)揮很大的作用。這些模型在幫助學(xué)生理解數(shù)的概念起到了很好的作用。剛才說了3點(diǎn)要注意的問題，下面說一說第四點(diǎn)，也就是在數(shù)的概念建立的過程中最重要的

8、一點(diǎn)。4、注重把握核心概念理解數(shù)的意義老師們都不陌生的，一說到數(shù)的認(rèn)識(shí)，位置制，也就是十進(jìn)制計(jì)數(shù)法，包括數(shù)位，計(jì)數(shù)單位等一系列都是孩子們?cè)谡J(rèn)數(shù)過程當(dāng)中老師應(yīng)當(dāng)重點(diǎn)講解的核心概念，所以在這里還是要給老師們提出幾點(diǎn)想法：第一點(diǎn)就是（ 1 ）重視 10 的概念的建立 10的認(rèn)識(shí)應(yīng)當(dāng)說是學(xué)生認(rèn)識(shí)整數(shù)的一個(gè)重要基礎(chǔ)，因此在教學(xué)10的認(rèn)識(shí)時(shí)，我們一定要注意要讓學(xué)生在親自動(dòng)手操作當(dāng)中去感受到由 9 再加 1 變成 10 的過程，在這里小棒的作用是相當(dāng)重要的，可以通過數(shù)、擺、捆、撥、說等活動(dòng)，讓學(xué)生感受 10 個(gè)一是 1 個(gè)十。在后續(xù)教學(xué)當(dāng)中， 比如11-20 各數(shù)的認(rèn)識(shí)中仍然要關(guān)注 10 的概念的建立，讓學(xué)

9、生體會(huì)滿十進(jìn)一的過程。在這里給大家舉個(gè)例子吧：比如在教學(xué)1120的認(rèn)識(shí)時(shí)，為了凸顯10的作用，教師可設(shè)計(jì)擺小棒的活動(dòng)，怎樣擺一眼就能看出是多少根小棒呢？那肯定是10根一捆的容易看出，如果有學(xué)生不認(rèn)可，我們可以做個(gè)小游戲，同樣13根小棒，一種擺法是零散擺的，另一種是10根一捆，再擺3根，2秒鐘看誰(shuí)能快速數(shù)出小棒的根數(shù)，那肯定是10根一捆這種擺法數(shù)得快，由此讓學(xué)生感受了10的作用。我想在我們的教學(xué)當(dāng)中為了幫助學(xué)生了解十進(jìn)制計(jì)數(shù)法和位置制，我們還要重視計(jì)數(shù)單位的建立，這就是第二點(diǎn)建議：（ 2 ）重視計(jì)數(shù)單位： 為幫助學(xué)生了解十進(jìn)制計(jì)數(shù)法和位置制，要重視數(shù)計(jì)數(shù)單位 逐步建立新的計(jì)數(shù)單位，10 個(gè)一是

10、1 個(gè)十，10 個(gè)十是一百，10 個(gè)百是一千，10 個(gè)千是一萬(wàn)，10 個(gè)萬(wàn)是十萬(wàn)，10 個(gè)十萬(wàn)是一百萬(wàn)，10 個(gè)百萬(wàn)是一千萬(wàn)，從而引出新的計(jì)數(shù)單位十萬(wàn)，在一個(gè)單位、一個(gè)單位地?cái)?shù)的活動(dòng)中，學(xué)生充分體會(huì)每數(shù)滿 10 個(gè)單位就產(chǎn)生一個(gè)新的計(jì)數(shù)單位，感受了兩個(gè)相鄰計(jì)數(shù)單位間的進(jìn)率是十。計(jì)數(shù)單位是數(shù)的核心，也是非常重要的一個(gè)概念，要讓孩子親身經(jīng)歷這樣數(shù)的一個(gè)過程，而不是把它作為一個(gè)事實(shí)，讓孩子記住就可以了，經(jīng)歷過程很重要。（3）重視數(shù)位和位置制的理解說到數(shù)位，大家都不陌生，為了表示更大的數(shù)，數(shù)位的概念的建立是必要的，認(rèn)識(shí)個(gè)位，十位，百位，千位，萬(wàn)位等不同數(shù)位，理解不同數(shù)位上的數(shù)字表示的是大小不同的數(shù)，這

11、對(duì)于孩子們理解整數(shù)概念是必須的，讓孩子們必須清楚的了解同樣是這樣一個(gè)數(shù)字，比如3，在個(gè)位上，就表示3個(gè)一，在十位上，就表示3個(gè)十，在百位上就表示3個(gè)百，就把剛才孩子們?cè)跀?shù)數(shù)的 大小的感覺用位置簡(jiǎn)潔明了地表示出來。剛才說到要重視數(shù)位和位置制的理解，那所謂的位置制其實(shí)就是相同的計(jì)數(shù)符號(hào)由于它所處的位置不同，它表示的數(shù)的大小就不同，有了位置值，可以說就是用有限的數(shù)字來表示無(wú)限的數(shù)，應(yīng)該說位置值是記錄歷史上一個(gè)創(chuàng)造，一個(gè)奇跡。馬克思在他的數(shù)學(xué)手稿當(dāng)中就稱十進(jìn)位置值計(jì)數(shù)法為最妙的發(fā)明之一，這也是人類文明的一個(gè)精華。（ 4）重視數(shù)位順序表的使用 隨著認(rèn)識(shí)的數(shù)越來越大教師應(yīng)不斷擴(kuò)充完善數(shù)位順序表，從認(rèn)識(shí) 2

12、0 以內(nèi) 的數(shù)起就讓學(xué)生了解個(gè)位和十位，認(rèn)識(shí)百以內(nèi)數(shù)時(shí)補(bǔ)充認(rèn)識(shí)百位，在認(rèn)識(shí)萬(wàn)以內(nèi)數(shù)的時(shí)候第一次出現(xiàn)了數(shù)位順序表，在認(rèn)識(shí)整數(shù)的最后一個(gè)單元里學(xué)生將認(rèn)識(shí)萬(wàn)級(jí)和億級(jí)的數(shù)以及比億更大的數(shù)。數(shù)位順序表可以分兩次擴(kuò)展，先擴(kuò)展到萬(wàn)級(jí)，再擴(kuò)展到億級(jí)。數(shù)位順序表有助于學(xué)生了解十進(jìn)制計(jì)數(shù)法，理解數(shù)的意義并掌握讀、寫數(shù)的方法。 剛才在數(shù)概念的建立的第4點(diǎn)建議“注重把握核心概念理解數(shù)的意義”中，我講了四個(gè)關(guān)鍵的著力點(diǎn)。關(guān)于如何建立數(shù)的概念，還有最后一點(diǎn)建議： 5、注重在循序漸進(jìn)中理解數(shù)的意義學(xué)生對(duì)數(shù)概念的理解絕不是一蹴而就的，需要一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，其實(shí)教材的編排也體現(xiàn)了這個(gè)原則，比如說自然數(shù)，從10以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)，然

13、后到1120各數(shù)的認(rèn)識(shí)，百以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)，甚至到萬(wàn)以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)，億以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)，到大數(shù)的認(rèn)識(shí)都是遵循這種原則的。再比如小數(shù)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)也是這樣的：從初步認(rèn)識(shí)，到小數(shù)分?jǐn)?shù)意義的理解，那么學(xué)生的認(rèn)識(shí)也是在這種不斷地螺旋上升的過程當(dāng)中來逐漸形成的，因此在教學(xué)當(dāng)中我們要注重把握好每一階段我們所要完成的任務(wù)。 那我們就以分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)的五個(gè)階段來說明，我們共同來看一下：第一階段平均分，二年級(jí)時(shí)就認(rèn)識(shí)，它對(duì)認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)起著至關(guān)重要的作用；第二階段在分?jǐn)?shù)初步認(rèn)識(shí)的教學(xué)當(dāng)中要幫助學(xué)生建立部分與整體關(guān)系的認(rèn)識(shí)，讓孩子去感受分?jǐn)?shù)；第三個(gè)階段是在分?jǐn)?shù)意義和基本性質(zhì)的教學(xué)當(dāng)中要重點(diǎn)使學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的比率和度量這兩個(gè)維度，比率也就是

14、分?jǐn)?shù)，它不僅表示數(shù)，比如1/2米，3/5千米，還表示一種關(guān)系，即部分與整體的關(guān)系，如把一個(gè)原平均分成4份，每份就是它的1/4，還有部分與部分的關(guān)系，如妹妹有3個(gè)蘋果，姐姐有5個(gè)蘋果，那妹妹的蘋果就是姐姐的3/5。這樣就是讓孩子從不同方面加深對(duì)比率維度的理解。度量是可以將分?jǐn)?shù)理解為分?jǐn)?shù)單位的累積，比如3/4里面有3個(gè)1/4，實(shí)際上就是將1/4作為單位來度量3次的結(jié)果，著名的數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說過“數(shù)起源于數(shù)，量起源于量”，所以對(duì)度量的研究可以大大的豐富學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)，那么度量維度的體驗(yàn)也直接作用于分?jǐn)?shù)加減法的學(xué)習(xí)當(dāng)中去；第四個(gè)階段就是在與除法的關(guān)系的教學(xué)當(dāng)中重點(diǎn)發(fā)展學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)運(yùn)作的理解，“運(yùn)作”

15、主要是將分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)化為運(yùn)算的過程；到了第五個(gè)階段就是在分?jǐn)?shù)的運(yùn)算和解決問題的教學(xué)當(dāng)中要鼓勵(lì)學(xué)生綜合運(yùn)用對(duì)分?jǐn)?shù)意義理解的多個(gè)維度。其實(shí)這五個(gè)階段并不是孤立的，更不是線性的排列的。所以我們?cè)诮虒W(xué)當(dāng)中不能僵化的理解為到了這個(gè)階段就必須或者是只能達(dá)成對(duì)某個(gè)維度的學(xué)習(xí)，在這五個(gè)階段要不斷的幫助學(xué)生去完成對(duì)分?jǐn)?shù)的意義的認(rèn)識(shí)，來共同幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)對(duì)分?jǐn)?shù)意義理解的不斷地發(fā)展和整體的建構(gòu)的這樣一個(gè)過程?？傊瑪?shù)的認(rèn)識(shí)是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，需要我們老師在日常的教學(xué)當(dāng)中系統(tǒng)的進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，這樣才能讓學(xué)生真正理解，熟練的運(yùn)用。我感覺就分?jǐn)?shù)這一個(gè)概念，其實(shí)孩子的認(rèn)識(shí)是一個(gè)全面的過程，剛才提到了一個(gè)詞叫整體建構(gòu)，我想作為

16、老師首先應(yīng)該對(duì)每一個(gè)核心的數(shù)的概念有一個(gè)整體的認(rèn)識(shí)，才能夠全面布局，有的放矢，在不同的課時(shí)當(dāng)中達(dá)到不同的目的，也就是吳老師說的專業(yè)的讀教材。那關(guān)于如何建立數(shù)的概念這部分教學(xué)，接下來我結(jié)合剛才的講解給老師們提一些具體可行的教學(xué)建議：三、 建立數(shù)概念教學(xué)的具體建議 （一）在數(shù)認(rèn)識(shí)中體現(xiàn)數(shù)感。 數(shù)感的建立非常重要，教師要設(shè)計(jì)多種活動(dòng)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。 （二） 整體把握內(nèi)容之間的聯(lián)系： 兩個(gè)學(xué)段相關(guān)內(nèi)容的整體把握和遞進(jìn)與銜接。 （三）鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)交流，關(guān)注數(shù)的應(yīng)用 。關(guān)于數(shù)的認(rèn)識(shí)包括從數(shù)的意義、數(shù)的表示、數(shù)和數(shù)之間的關(guān)系、數(shù)的應(yīng)用；其中數(shù)的應(yīng)用不僅僅是一條主線，而且滲透在整個(gè)學(xué)習(xí)中。教學(xué)中要提供機(jī)會(huì)

17、鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用數(shù)來表示日常生活中的一些事物，并進(jìn)行交流。 第一個(gè)問題“如何建立數(shù)的概念”我就和大家交流到這，下面請(qǐng)聶秀琴老師繼續(xù)和大家交流第二個(gè)問題“如何處理運(yùn)算教學(xué)中的算理與算法的關(guān)系？”下面由我和大家交流第二個(gè)話題。 二、如何處理運(yùn)算教學(xué)中算理與算法的關(guān)系 。大家都知道，在我們小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)當(dāng)中，孩子們伴隨對(duì)整數(shù)，分?jǐn)?shù)和小數(shù)的陸續(xù)的認(rèn)識(shí)，還要系統(tǒng)學(xué)習(xí)加減乘除的運(yùn)算法則，甚至還有綜合在一起的綜合運(yùn)算，那有關(guān)數(shù)的運(yùn)算這部分教學(xué)內(nèi)容老師們都不陌生，都是傳統(tǒng)的內(nèi)容，但在我們以往的教學(xué)當(dāng)中，一提到運(yùn)算，似乎就是教會(huì)孩子們?cè)趺此?，孩子們只要算?duì)就好了，要是算的又對(duì)又好就更好了，只要結(jié)果對(duì)就達(dá)到教學(xué)目標(biāo)了

18、。那在我們課標(biāo)的修訂版當(dāng)中對(duì)這部分教學(xué)內(nèi)容又有哪些新的要求呢？當(dāng)我們面臨著算理與算法如何有機(jī)結(jié)合的時(shí)候，還是我們教師師教學(xué)當(dāng)中的一個(gè)難點(diǎn)，那首先我先圍繞課標(biāo)這部分內(nèi)容的變化之處跟大家進(jìn)行交流。一、課標(biāo)對(duì)“數(shù)的運(yùn)算”有什么新要求 新課程標(biāo)準(zhǔn)中明確指出，在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力。 那什么是運(yùn)算能力呢？其實(shí)運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。 培養(yǎng)運(yùn)算能力其實(shí)非常有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，從而尋求合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑解決問題。也就是說學(xué)生不僅要會(huì)算，更要關(guān)注算理的理解。孩子如果掌握算理了，在運(yùn)算的時(shí)候就會(huì)合理的選擇，去運(yùn)用了。同時(shí)在課標(biāo)解讀中也強(qiáng)調(diào)“應(yīng)當(dāng)?shù)瘜?duì)運(yùn)算

19、的熟練程度的要求。注重選擇正確的計(jì)算方法，準(zhǔn)確地得到運(yùn)算結(jié)果，比運(yùn)算的熟練程度更重要，更有價(jià)值。所以我們應(yīng)當(dāng)重視學(xué)生是否理解了運(yùn)算的道理，是否能準(zhǔn)確地得出運(yùn)算的結(jié)果，而不是單純地看運(yùn)算的速度。”這一目標(biāo)的提出就要求教師在數(shù)的運(yùn)算教學(xué)中，不能僅僅關(guān)注于學(xué)生運(yùn)算技能的掌握，更要注重學(xué)生理解算理、掌握算法的學(xué)習(xí)過程，也就是在教學(xué)中要注重將算理與算法有機(jī)的結(jié)合在一起，從而發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力。 這樣看來，雖然速度要求降低了，其實(shí)目標(biāo)要求更多元了，對(duì)孩子綜合能力的要求更高了，也就是更關(guān)注孩子的思維發(fā)展了。其實(shí)學(xué)習(xí)數(shù)的運(yùn)算的過程就是發(fā)展邏輯思維、能力的過程，因?yàn)閷W(xué)生學(xué)習(xí)理解和掌握數(shù)的運(yùn)算的內(nèi)容的時(shí)候，它首先

20、要經(jīng)過從具體到抽象，然后再?gòu)母行缘嚼硇缘倪@樣一個(gè)過程。當(dāng)他掌握了以后又要把這些知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際當(dāng)中去，在應(yīng)用的過程當(dāng)中其實(shí)他又要經(jīng)過一個(gè)由一般到特殊的這種演繹的過程。因此數(shù)的運(yùn)算的學(xué)習(xí)確實(shí)有利于發(fā)展學(xué)生的思維能力。這就需要我們教師在教學(xué)過程當(dāng)中不僅僅要關(guān)注結(jié)果關(guān)注方法，其實(shí)更要關(guān)注的是得到結(jié)果和得到方法的思維過程，這個(gè)思維過程其實(shí)就是學(xué)生理解算理、掌握算法的過程。那小學(xué)生其實(shí)仍然是以直觀形象思維為主的，可是算理算法呢，又十分的抽象，因此如何去結(jié)合學(xué)生的思維特點(diǎn)去處理好運(yùn)算教學(xué)中算理與算法的關(guān)系往往就是我們教學(xué)的難點(diǎn)所在。那我們可以結(jié)合學(xué)生的年齡特點(diǎn)借助生動(dòng)有趣的童話情境、借助直觀模型、借助學(xué)生已

21、有的認(rèn)知基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗(yàn)，處理好運(yùn)算教學(xué)中算理與算法的關(guān)系。 那在這里我結(jié)合具體的課例跟老師們交流三個(gè)策略。二、如何處理運(yùn)算教學(xué)中算理與算法的關(guān)系 策略一、借助生動(dòng)有趣的童話情境，處理好運(yùn)算教學(xué)中算理與算法的關(guān)系。 小學(xué)生，尤其是低年級(jí)的學(xué)生，他們更多的是以形象思維為主，因此創(chuàng)設(shè)生動(dòng)有趣的童話情境，不僅能夠很好地調(diào)動(dòng)他們的學(xué)習(xí)積極性，更能夠借助童話情境幫助他們理解算例、掌握算法。 在這里我和老師們分享我的一個(gè)教學(xué)案例：在教學(xué)20以內(nèi)進(jìn)位加法一課中，我就為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了學(xué)生喜愛的小動(dòng)物上車的童話情境來幫助學(xué)生理解進(jìn)位加的算理。首先孩子們看到了車上一共有10個(gè)座位，有9只小動(dòng)物坐上來了，這時(shí)又來了5只小

22、動(dòng)物，那么現(xiàn)在一共有多少只小動(dòng)物呢？這樣就引出了9+5=？這時(shí)孩子們借助自己喜歡的情景立刻就會(huì)想到把5分成1和4，那這個(gè)“1”自然而然就產(chǎn)生了，孩子們覺得得讓一只小動(dòng)物先坐上去，這樣10個(gè)座位就滿了，就由剛才的9+5通過分析要把5分成1和4，于是孩子就轉(zhuǎn)化成了10+4=14。這樣的一個(gè)情境學(xué)生在輕松、愉悅的童話情境中，順利的理解和掌握了進(jìn)位加的算理與算法。 這10個(gè)座位的設(shè)計(jì)，幫助孩子在解決小動(dòng)物們坐車的問題當(dāng)中就理解了這個(gè)9+5怎么變成10+？，而且是為什么是10+？，很符合小學(xué)生的年齡和心理需求以及他們的思維特點(diǎn)，這樣就使枯燥的數(shù)學(xué)變得生動(dòng)有趣，讓抽象的算理變得直觀形象，使學(xué)生在明理中順利

23、、自然而然的掌握了算法。 低年級(jí)學(xué)生更多的是以形象思維為主，我們可以借助學(xué)生喜歡的童話情景、生活情景來幫助學(xué)生理解算理與算法，那到了中高年級(jí)我們就可以借助一些直觀模型來幫助孩子處理好運(yùn)算教學(xué)當(dāng)中理與法的掌握。策略二、借助直觀模型，處理好運(yùn)算教學(xué)中算理與算法的關(guān)系。 下面還是結(jié)合一個(gè)課例來和老師們交流：皇城根小學(xué)史冬梅老師上的兩位數(shù)乘兩位數(shù)一課中，史老師就很好的結(jié)合三年級(jí)學(xué)生的思維特點(diǎn)，借助直觀模型較好地處理了算理與算法的關(guān)系。史老師在這節(jié)課上沒有將會(huì)寫“豎式”作為最終的教學(xué)目標(biāo)，而是在學(xué)生已經(jīng)能夠初步掌握豎式計(jì)算方法的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生探尋方法背后的道理。并提供給學(xué)生直觀的點(diǎn)子圖作為研究素材，在

24、研究中，學(xué)生們呈現(xiàn)了豐富多彩的成果。雖然學(xué)生們的分法不完全相同，但“先分后合”的思路是一致的，這一點(diǎn)恰恰就是乘法豎式運(yùn)算的基本思路。在這之后，史老師再次將分點(diǎn)子圖與豎式進(jìn)行了對(duì)應(yīng)，引導(dǎo)學(xué)生一步步深入地理解豎式計(jì)算中每一個(gè)細(xì)節(jié)背后的道理。“分點(diǎn)子圖”不僅給學(xué)生創(chuàng)造了積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的寶貴機(jī)會(huì)，同時(shí)又使學(xué)生能夠借助直觀模型，較好的理解了兩位數(shù)乘法算法背后的道理。 其實(shí)在我們以往的教學(xué)中，并不太重視引導(dǎo)學(xué)生探索計(jì)算的過程，或者當(dāng)學(xué)生剛剛探索出方法后，就立即引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)豎式，在學(xué)生對(duì)豎式運(yùn)算的每個(gè)環(huán)節(jié)沒有真正理解的情況下就開始追求計(jì)算方法。這就很可能造成學(xué)生在沒有真正理解道理的情況下，只能靠記憶法則來習(xí)得

25、方法和技能。這顯然對(duì)學(xué)生的發(fā)展是不利的，那史老師這節(jié)課恰恰是為學(xué)生真正地、扎扎實(shí)實(shí)地經(jīng)歷理解的過程提供了鮮活而典型的案例。所以在教學(xué)中教師要舍得拿出時(shí)間讓學(xué)生有機(jī)會(huì)經(jīng)歷，有機(jī)會(huì)感受，有機(jī)會(huì)理解，有機(jī)會(huì)創(chuàng)造。新的課程標(biāo)準(zhǔn)中也明確提出了學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的目標(biāo)，它背后深遠(yuǎn)的意義還需要廣大教師在自己的實(shí)踐中開動(dòng)腦筋，深入挖掘，潛心感悟。 老師們，剛才我們介紹的兩位數(shù)乘法的這個(gè)案例是借助直觀模型來幫幫助孩子們理解算理和算法，那是不是所有的計(jì)算課都要借助直觀模型呢？當(dāng)然不是這樣的。應(yīng)該說直觀模型確實(shí)是在幫助學(xué)生理解算理、掌握算法這方面發(fā)揮了很大的作用，但是我們還要結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容借助學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)、生活經(jīng)

26、驗(yàn)來理解算理與算法的關(guān)系。策略三、借助學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗(yàn)，處理好運(yùn)算教學(xué)中算理與算法的關(guān)系。 我們還是結(jié)合一個(gè)案例來說明：北京小學(xué)于萍老師曾經(jīng)上過的小數(shù)加減法一課，在這節(jié)課中于老師就是借助學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗(yàn)，幫助學(xué)生理解小數(shù)加減法的算理。于老師讓學(xué)生自主進(jìn)行編題，看誰(shuí)能編出新情況，其中就有一名學(xué)生編出了一道 0.8+3.74= ，老師們一看就能敏銳的捕捉到，這是一個(gè)一位小數(shù)加兩位小數(shù)，這種類型將要揭示的“小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊”是本節(jié)課的重點(diǎn)所在，也是小數(shù)加減法處理算法講算理的重要時(shí)機(jī)。為了讓學(xué)生有機(jī)會(huì)調(diào)動(dòng)已有的整數(shù)加減法的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)歷判斷、推理、抽象的思維過程，于老師就讓每個(gè)學(xué)生自

27、己試做，并說明自己這樣做的道理。當(dāng)孩子試做完成后，于老師就問孩子們：整數(shù)加減法都是把末位的數(shù)字對(duì)齊，可這道題為什么不末位對(duì)齊呢？ 有的孩子就說：整數(shù)的末位是個(gè)位，末位對(duì)齊也就是個(gè)位對(duì)齊了。而小數(shù)的末位不一定是相同的，所以不能末位對(duì)齊。此時(shí)老師的這個(gè)問題就引發(fā)了他的辨析和思考。 還有的孩子說：把小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，也就是相同數(shù)位對(duì)齊了。 看來孩子對(duì)方法有了理解了。除此之外還有的孩子說：如果不把小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，而把末位對(duì)齊的話，十分位的 8 就和百分位的 4 對(duì)齊了，相加之后肯定就不對(duì)了。那這時(shí)其實(shí)孩子已經(jīng)對(duì)計(jì)數(shù)單位有了理解了。 正是在這個(gè)問題的引導(dǎo)下孩子們思維得到了碰撞，還有的孩子說：我舉個(gè)例子說吧，比如買

28、兩樣?xùn)|西，一個(gè)是 0.8 元，也就是8角，另一個(gè) 3.74 元，也就是3元7角4分，如果把末位的 8 和 4 相加，就是用 8 角加 4 分，那肯定不對(duì)了。 孩子們一下就明白了為什么這樣算，淺顯的例子說明了深?yuàn)W的道理。所以正是在這樣的探究過程當(dāng)中孩子們從小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊這個(gè)方法探尋到了背后相同數(shù)位對(duì)齊的道理，以至于深入的理解到了計(jì)數(shù)單位在計(jì)算當(dāng)中的作用。那小數(shù)加減法在小學(xué)階段數(shù)與代數(shù)這個(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域當(dāng)中到底占有什么樣的位置？我們又如何把握他與整數(shù)加減法的關(guān)系呢？在這節(jié)課上，我們又如何呈現(xiàn)知識(shí)的本質(zhì)，去抓住核心的概念進(jìn)行教學(xué)呢？我想于老師的教學(xué)實(shí)踐很好的回答了這個(gè)問題。于老師在引導(dǎo)學(xué)生在探究小數(shù)加減法的過

29、程當(dāng)中于老師始終抓住了本節(jié)課知識(shí)的“魂”實(shí)施教學(xué)，她沒有滿足學(xué)生能正確地計(jì)算出結(jié)果，而是步步深入引導(dǎo)學(xué)生逼近數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，來引發(fā)學(xué)生對(duì)小數(shù)加減計(jì)算道理的深刻理解，也就是：小數(shù)加減法與整數(shù)加減法的本質(zhì)意義是一致的，即相同的計(jì)數(shù)單位相加減。像這樣，將“講理”與“明法”有機(jī)的結(jié)合，讓學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上總結(jié)算法，掌握算法，有助于學(xué)生更深入地理解數(shù)學(xué)核心概念，才能夠更好地 實(shí)現(xiàn)“培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力”的目標(biāo)。 在剛才這個(gè)案例當(dāng)中提到了數(shù)學(xué)核心概念，那數(shù)的運(yùn)算當(dāng)中核心概念到底有哪些呢?我想無(wú)論是整數(shù)小數(shù)還是分?jǐn)?shù)的運(yùn)算，其背后最核心的概念就是計(jì)數(shù)單位。整數(shù)和小數(shù)運(yùn)算當(dāng)中的末位對(duì)

30、齊也好，小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊也好，其實(shí)都是在統(tǒng)一計(jì)數(shù)單位，在計(jì)數(shù)單位相同的情況下，其實(shí)我們?cè)谒愕木褪怯?jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)。而分?jǐn)?shù)運(yùn)算同樣也凸顯了這個(gè)特點(diǎn)，比如說同分母分?jǐn)?shù)相加減，為什么分母不變，分子相加減，就是計(jì)數(shù)單位是相同的，那到了異分母分?jǐn)?shù)要先通分，其實(shí)通分的目的也就是要統(tǒng)一計(jì)數(shù)單位。所以說從這一點(diǎn)來看，應(yīng)該說抓住了計(jì)數(shù)單位的教學(xué)，也就是抓住了數(shù)的運(yùn)算的教學(xué)的核心。因此運(yùn)算教學(xué)要講理法融合，只有讓學(xué)生真切的理解了每一種運(yùn)算背后的道理，才能夠讓孩子更好的掌握算法，同時(shí)呢，也只有抓住了這種不變的理，學(xué)生們才能夠可以具備自主探索運(yùn)算方法甚至是創(chuàng)造性的選擇運(yùn)算方法的意識(shí)和能力。新課程標(biāo)準(zhǔn)中對(duì)課程內(nèi)容也有這樣的表述

31、，就是課程內(nèi)容要反映社會(huì)的需要，數(shù)學(xué)的特點(diǎn)要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，我想他不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果形成的過程，以及蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)思想方法的一個(gè)重要的方面，那課程內(nèi)容的選擇要貼近學(xué)生的實(shí)際，要有利于學(xué)生的思考和探索，這種組織要注重過程，處理好過程和結(jié)果的關(guān)系。剛才我們的這個(gè)案例就是要向老師說明就是在以往比較重視結(jié)果的教學(xué)當(dāng)中如何把握好孩子們經(jīng)歷的學(xué)習(xí)過程。剛才在數(shù)的運(yùn)算教學(xué)這個(gè)專題和大家進(jìn)行了交流，在這個(gè)專題的最后圍繞著數(shù)的運(yùn)算給老師們提一些教學(xué)方面的建議：三、 對(duì)“數(shù)的運(yùn)算”教學(xué)的建議 （一）處理好算理直觀與算法抽象的關(guān)系 。這個(gè)理是學(xué)生不容易理解的，教師可以通過現(xiàn)實(shí)情境、直觀的圖、學(xué)生已有

32、的知識(shí)基礎(chǔ)等幫助學(xué)生去理解。 （二）處理好算法多樣化與算法優(yōu)化的關(guān)系 。算法多樣化，要關(guān)注學(xué)生的個(gè)性，可能這個(gè)學(xué)生適合這樣的方法，那個(gè)學(xué)生喜歡另一種方法，但是它們背后的道理是一樣的，老師要想辦法通過不同的方法，讓學(xué)生去理解這個(gè)道理，使學(xué)生能夠更有效的進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。 （三）處理好技能訓(xùn)練與思維訓(xùn)練的關(guān)系 。它不是一種單純的、機(jī)械的、做題量的積累，在這個(gè)過程當(dāng)中，要注重幫助學(xué)生積累經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展思維。 （四）注重計(jì)算與日常生活以及解決問題的聯(lián)系 。學(xué)習(xí)加減乘除的計(jì)算，最終要為解決問題服務(wù)，在解決問題過程中，讓學(xué)生體會(huì)到計(jì)算方法的實(shí)際價(jià)值。 以上就是我對(duì)前兩個(gè)問題的感悟理解，下面請(qǐng)趙麗君老師和大家談?wù)勱P(guān)

33、于方程教學(xué)如何滲透代數(shù)思想三、如何在方程教學(xué)中幫助學(xué)生經(jīng)歷從算術(shù)思維向代數(shù)思維過渡下面我和老師們一起交流第三個(gè)話題：如何在方程教學(xué)中幫助學(xué)生經(jīng)歷從算術(shù)思維向代數(shù)思維過渡 ？有的老師也說這叫如何滲透代數(shù)思想。老師們都非常清楚：數(shù)學(xué)思想方法呢，應(yīng)該說它是人們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和本質(zhì)規(guī)律的認(rèn)識(shí)，也是我們分析、處理與解決數(shù)學(xué)問題的根本途徑。那么代數(shù)思想方法呢，它是數(shù)學(xué)思想方法當(dāng)中最重要的內(nèi)容之一，也是培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力的重要的素材。那么到底什么是這種代數(shù)思想呢？我想在這里簡(jiǎn)單地跟老師們做一個(gè)解讀。代數(shù)思想是運(yùn)用字母來代替具體數(shù)值進(jìn)行思考的一種思維形式。它是一種特殊的抽象思維形式。老師們都知道，算術(shù)是“數(shù)”

34、的運(yùn)算，而代數(shù)則是“式”的運(yùn)算，這也是算術(shù)與代數(shù)的一個(gè)根本的區(qū)別，一個(gè)差異。算術(shù)它應(yīng)該是代數(shù)的基礎(chǔ)，沒有算術(shù)那么孩子們很難去理解代數(shù)中的很多的知識(shí)及一些核心的東西，所以說算術(shù)是代數(shù)的基礎(chǔ)。而方程呢，則是我們代數(shù)的一個(gè)主題。所以有關(guān)方程的教學(xué)也自然而然的就跟代數(shù)思維，和這樣的一個(gè)思維水平緊密的掛起鉤了。算術(shù)思維方法應(yīng)該說它主要是從具體問題的已知數(shù)出發(fā)，通過對(duì)已知數(shù)或計(jì)算產(chǎn)生的中間數(shù)來進(jìn)行的一系列的計(jì)算而達(dá)到問題的解。思考的過程往往是從已知數(shù)出發(fā)，最后達(dá)到未知數(shù)。它建立在數(shù)的運(yùn)算之上的。而方程的思想方法呢，它是從設(shè)立未知數(shù)出發(fā)，根據(jù)未知數(shù)所應(yīng)滿足的條件，把問題表示為含有未知數(shù)的等式，也就是建立我們

35、的數(shù)學(xué)模型。然后利用等式的性質(zhì)對(duì)方程進(jìn)行同解變形，在變化的過程中它始終保持方程兩端對(duì)稱的這種等量關(guān)系。從表示等量關(guān)系、保持等量關(guān)系，一直到求得方程的解，它很好地體現(xiàn)了方程的這種結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)。所以維果茨基說代數(shù)對(duì)算術(shù)就像書面語(yǔ)言對(duì)口頭語(yǔ)言。這一比喻是非常形象的。那么如何在方程教學(xué)中幫助學(xué)生經(jīng)歷從算術(shù)思維向代數(shù)思維的過渡呢 ？在這里想提幾點(diǎn)建議。一是打好算術(shù)的基礎(chǔ)，為學(xué)生從算術(shù)思維向代數(shù)思維的過渡做好積淀。這一點(diǎn)非常好理解就不再展開解讀了。第二點(diǎn)是用字母代表數(shù)應(yīng)該說是從算數(shù)思維邁向代數(shù)思維的起步，所以一定要提前做好孕伏。提到這個(gè)孕伏，我想一定不是等到了五年級(jí)學(xué)習(xí)字母表示數(shù)，學(xué)習(xí)方程的時(shí)候，老師才想到

36、，哦，我要培養(yǎng)孩子們的代數(shù)思維。一定是在前期的很長(zhǎng)的學(xué)習(xí)當(dāng)中，老師就應(yīng)該不斷的有這樣的一種意識(shí)，逐漸地給孩子種下代數(shù)思維的種子，這樣，到了五年級(jí)孩子們才能夠比較好地完成這樣一次認(rèn)識(shí)上的飛躍。從我們的教材來看，其實(shí)也有很多這樣的孕伏的契機(jī)，值得老師們關(guān)注。比如說在一年級(jí)的教材當(dāng)中就有這種用括號(hào)來表示一個(gè)未知的數(shù)，其實(shí)這就是一個(gè)初步的孕伏。到了二年級(jí)也有一些用符號(hào)來表示未知數(shù)的，這是孩子們初步感受的一個(gè)機(jī)會(huì)。我們學(xué)校就有老師圍繞這樣的內(nèi)容展開過一些深入的研究，上過相關(guān)的研究課。再比如說教材當(dāng)中還有一些用實(shí)物圖片來表示未知數(shù)的，在這里其實(shí)這個(gè)天平就已經(jīng)是“方程”這樣具體的這種模型的一種初步的滲透了。

37、到了字母表示數(shù)，其實(shí)就是對(duì)孩子們的這種代數(shù)思維提升的一次重要的挑戰(zhàn)。其實(shí)在教學(xué)當(dāng)中，可能老師們也都有這樣的感受，就是每一個(gè)孩子經(jīng)歷從算術(shù)到代數(shù)的這種認(rèn)識(shí)的轉(zhuǎn)變，都會(huì)是一個(gè)很艱難的一個(gè)過程。而且這個(gè)轉(zhuǎn)變，對(duì)孩子們來說通常都不會(huì)是很快就完成的，需要經(jīng)歷一個(gè)比較漫長(zhǎng)的過程。我想這也體現(xiàn)了孩子們認(rèn)知的一個(gè)客觀的特點(diǎn)，需要我們老師們充分的給予關(guān)注，并且給孩子漫長(zhǎng)的轉(zhuǎn)變過程、提升過程，創(chuàng)造條件，并且給予一些必要的輔導(dǎo)。下面以一些具體的案例和老師們交流一下。用字母表示數(shù)這節(jié)課老師們都非常熟悉。在這節(jié)課當(dāng)中，老師一上來就給孩子們帶來一個(gè)神奇的魔盒，一下子就抓住了孩子們的興趣點(diǎn)。一個(gè)數(shù)進(jìn)去之后進(jìn)行加工，出來了一

38、個(gè)數(shù)，好像看不出什么。換了一個(gè)數(shù)再加工又出來了一個(gè)，先后進(jìn)去幾個(gè)不同的數(shù)，出來的數(shù)有規(guī)律，孩子自然而然地就感受到了這個(gè)魔盒神奇的地方所在，也就感受到了數(shù)的一種統(tǒng)一的變化規(guī)律。在這之后呢，就是數(shù)青蛙的活動(dòng)，這也是很多教材的一種呈現(xiàn)方式。孩子們隨著一只青蛙、兩只青蛙、三只青蛙，以及很多只青蛙數(shù)的過程當(dāng)中就會(huì)感受到：幾只眼睛，幾張嘴，幾條腿，數(shù)起來，用數(shù)總這樣表示下去有困難，自然而然也就產(chǎn)生了希望尋求一種新的方式來表達(dá)這種規(guī)律的認(rèn)知需求。這個(gè)時(shí)候老師把機(jī)會(huì)和空間留給了孩子們，給每個(gè)孩子這樣一個(gè)小條，請(qǐng)你來填一填，根據(jù)你的思路，幾只青蛙，幾張嘴，幾只眼睛，幾條腿。于是孩子們不同的認(rèn)知水平，也可以說我們

39、課堂上豐富的課程資源就在這個(gè)填空的過程當(dāng)中呈現(xiàn)了。有的孩子寫無(wú)數(shù)只，都是無(wú)數(shù)只，只要這樣數(shù)下去。有的孩子就寫a 只青蛙b 張嘴，c 只眼睛 d條腿。是不太一樣，但是也都用字母來表示了。也有的孩子說a 只青蛙 a 張嘴，b 只眼睛c條腿。從這就能看出，孩子已經(jīng)能夠關(guān)注到這個(gè)只數(shù)和嘴數(shù)是相關(guān)的，所以在選用字母的時(shí)候他也一定有自己的思考。也有的孩子說a 只青蛙 a 張嘴，aa 只眼睛aaaa條腿。其實(shí)很兒童化的一種表示方式，已經(jīng)展現(xiàn)出了孩子對(duì)字母以及抽象的這樣的一種理解水平。當(dāng)然也有的孩子能夠達(dá)到這種水平，a 只青蛙 a 張嘴， 2a 只眼睛 4a 條腿。老師在這節(jié)課當(dāng)中呈現(xiàn)了學(xué)生不同的思維層次。第

40、一個(gè)學(xué)生我們看到他還沒有走近用字母來表示數(shù)，而且他只停留在用語(yǔ)言來描述數(shù)量以及它們之間的關(guān)系。而第二個(gè)孩子他已經(jīng)逐漸地開始走近了用字母表示數(shù)，但是他沒有表示出數(shù)量關(guān)系。第三個(gè)孩子走近了“用字母表示數(shù)”，而且有了一定的數(shù)量關(guān)系，但是還不全面。到了第四個(gè)孩子，應(yīng)該說不僅走近了“用字母表示數(shù)”，而且他還明白了數(shù)量之間的這種關(guān)系，但是表示得還不夠準(zhǔn)確，還需要教師的引導(dǎo)。 那么最后一個(gè)孩子，應(yīng)該說他是完全走進(jìn)了“用字母表示數(shù)”，而且能夠準(zhǔn)確地用字母來表示出數(shù)量之間的這種關(guān)系。在這節(jié)課上，最重要的、特別寶貴的就是老師把孩子們這些不同的認(rèn)知水平的素材都拿到課堂上，和孩子們一起探討，一起去交流，在對(duì)比當(dāng)中讓孩

41、子們感覺到這些不同方法，它們哪一種更好，它們表示的意思有什么不同？其實(shí)這個(gè)過程就是在幫助孩子們從算術(shù)思維逐漸地走向代數(shù)思維的一個(gè)重要的過程。第三點(diǎn)建議就是，抓住方程思想的本質(zhì)、核心，體現(xiàn)它的價(jià)值和意義。那到底什么是方程呢？教材為我們呈現(xiàn)的概念是，含有未知數(shù)的等式就叫做方程。那么西南大學(xué)的陳重穆教授呢，也有他的想法。他認(rèn)為：教材這樣的定義要淡化，不要記，更無(wú)需背，更不要考，關(guān)鍵在于理解方程思想的本質(zhì)，它的價(jià)值和意義。比如函數(shù)也是含有未知數(shù)的等式，我們教材當(dāng)中許多的數(shù)量關(guān)系，也都是用關(guān)系式的形式來呈現(xiàn)的，如s=vt，就容易和方程混淆。用字母來表示運(yùn)算定律也存在這樣的問題， 如a+b=b+a，那它是

42、不是方程呢？還有我們老師經(jīng)常有爭(zhēng)議的，孩子們也經(jīng)常會(huì)寫的x=0，到底是不是方程？其實(shí)這些在我們小學(xué)階段，我們是不研究的，因?yàn)樗荒軌驇椭覀儗で笪粗男畔ⅰＤ窃谖覀冃W(xué)要研究的，應(yīng)該說是，為了尋求未知數(shù)，在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立起來的等式關(guān)系。應(yīng)該說方程是一種關(guān)系，它的特征是“等式”的關(guān)系，這種等式的關(guān)系，就把未知數(shù)和已知數(shù)聯(lián)系了起來。我們借助這一關(guān)系，就可以幫助我們?nèi)で笪粗獢?shù)。所以方程的核心是要求未知數(shù)，是把未知當(dāng)成已知來對(duì)待，并且參與到運(yùn)算當(dāng)中，進(jìn)而求出未知數(shù)。而教材的定義呢，應(yīng)該說恰恰沒有很好的體現(xiàn)出這一點(diǎn)。所以我想在教學(xué)當(dāng)中，我們不僅要讓孩子知道含有未知數(shù)的等式是方程，更應(yīng)該抓住方程

43、的本質(zhì)、方程的核心，它的價(jià)值所在。也就是我們的數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)該僅僅的把目光放在形式化的定義上，而是真正的把握好它的核心的內(nèi)涵，和孩子們共同地朝著理解內(nèi)涵的方向去不斷地努力。在實(shí)踐當(dāng)中，我想關(guān)于方程教學(xué)這一部分，孩子們確實(shí)會(huì)經(jīng)常出現(xiàn)很多各種各樣的困難和困惑，老師們也都有自己的想法。比如說，有關(guān)方程很普遍的一個(gè)現(xiàn)象，就是孩子們不能夠很快地理解已知數(shù)和未知數(shù)之間的這種平等的關(guān)系。其實(shí)這種平等的關(guān)系恰恰標(biāo)志著孩子從算術(shù)思維向代數(shù)思維過渡的一個(gè)水平，比如教學(xué)中可能經(jīng)常會(huì)有孩子列出這樣的方程，你非要讓我用含有未知數(shù)的等式寫，那就x=100-20×3，反正也符合要求了，但是很顯然，這是一個(gè)披著代數(shù)思

44、維外衣的一種算術(shù)解法。這僅僅是一個(gè)算術(shù)解法，只不過是換了一個(gè)形式。那針對(duì)這個(gè)困難點(diǎn)，到底我們?cè)撛鯓尤ソ鉀Q呢？在這里我也提供一個(gè)案例供大家分享。解決辦法的第一點(diǎn)，我想能不能利用直觀，使孩子去感受“=”表示相等的關(guān)系。因?yàn)閷?duì)于孩子來說，從一年級(jí)到五年級(jí)之前他們認(rèn)為等號(hào)就是讓他寫出算式的結(jié)果，那對(duì)于等號(hào)表示左右相等關(guān)系的這層意思，應(yīng)該說在孩子認(rèn)識(shí)的前期階段還缺少一些感性的認(rèn)識(shí)。在陳千舉老師上的方程這節(jié)課中。吳正憲老師建議：能不能在教具上做些文章，做一個(gè)可以讓學(xué)生到前面動(dòng)一動(dòng)的天平模型，充分發(fā)揮天平的作用。于是陳老師就很好地借助天平這個(gè)直觀的教具讓孩子充分感受到了等號(hào)表示的這種相等的關(guān)系。在這節(jié)課的前

45、期陳老師是用天平作為直觀的一個(gè)支撐。在后面的練習(xí)當(dāng)中，吳正憲老師又提出建議：天平教具做得好，能不能用的再充分些？于是，陳老師就把原來的問題：“想一想，你能在圖中找到相等的關(guān)系嗎？”進(jìn)行了修改。這樣就更充分發(fā)揮了天平的主作用。針對(duì)圖一他提出的問題是：你能像“天平”那樣觀察圖中誰(shuí)和誰(shuí)相等嗎？這其實(shí)就是讓一個(gè)隱形的天平出現(xiàn)在孩子的腦子當(dāng)中，其實(shí)就是有一個(gè)隱形的天平在支撐著他。對(duì)于圖二他提出的問題是：用相等的式子表示這兩幅圖中蘊(yùn)含的“天平”。這樣的問題實(shí)際上就是讓孩子在思考問題的過程當(dāng)中，借助這個(gè)隱形的天平來感受等號(hào)左右兩邊相等的關(guān)系。這樣，通過老師有效的練習(xí)，就更充分發(fā)揮了天平的主作用，也就可以幫助

46、孩子更好地去理解。解決辦法的第二點(diǎn)，就是將模型與生活建立起聯(lián)系。這節(jié)課，在吳老師的建議下，陳老師還讓學(xué)生結(jié)合方程來講故事。陳老師請(qǐng)一名學(xué)生和自己站在一起，問：我們兩個(gè)往這兒一站，有方程嗎？然后讓孩子去構(gòu)造方程。在這個(gè)過程中，孩子根據(jù)老師和學(xué)生的身高，老師和學(xué)生的年齡，老師和學(xué)生的體重，真的構(gòu)造出了不同的方程。這就是把孩子需要的方程植入到生活的實(shí)際情境當(dāng)中，更近一步的來理解。我和老師們分享的第三個(gè)方法，是把算術(shù)方法和方程方法進(jìn)行有效的比較，在對(duì)比中強(qiáng)化孩子對(duì)方程的認(rèn)識(shí)和理解。這種方法我覺得在實(shí)踐當(dāng)中老師們用的也比較多。在我們有關(guān)方程的教學(xué)當(dāng)中，剛才已經(jīng)和老師們看了一個(gè)孩子們普遍存在的一個(gè)困難，這

47、個(gè)例子剛才已經(jīng)看過了，就不再解讀了。 另外一個(gè)困難，看上去是一個(gè)形式的困難，但實(shí)際上反映出的也是一個(gè)孩子對(duì)方程的理解上的一個(gè)認(rèn)識(shí)的差距，就是孩子在書寫格式上總是容易出現(xiàn)各種各樣的問題。尤其是類似這樣的x+6=10=10-6=4 ，很顯然孩子的這種變換方式，他是停留在這種恒等的變換方式上，并沒有提升到對(duì)同解的變換的這種理解。我想這種形式上的書寫格式上的問題也不容我們忽視，也應(yīng)該透過這種現(xiàn)象去分析孩子在認(rèn)識(shí)以及理解水平上的一些差異，給予孩子一些更深層次的指導(dǎo)，而不是僅僅停留在“這樣寫不對(duì)，你擦了重新寫，要這樣來寫”而已。對(duì)這一問題，我們有沒有更好的解決的辦法呢?我想能不能更好地去發(fā)揮等式的作用呢。

48、因?yàn)楹⒆釉趯W(xué)等式的性質(zhì)之前，如果借助四則運(yùn)算各部分之間的關(guān)系，它同樣也能夠達(dá)到解方程，但是它畢竟還是停留在算術(shù)的思路上，還沒有邁向方程思想，所以這樣的話，利用四則運(yùn)算各部分之間的關(guān)系，可以，但它不利于中小的銜接，也更不利于孩子到中學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)起步。所以這樣的話呢，我們可以借助等式的性質(zhì)，更好地讓孩子去體驗(yàn)、感受方程左右兩邊相等的這種關(guān)系。這樣就從表示等量關(guān)系、保持等量關(guān)系，再到求得方程的解，應(yīng)該說個(gè)過程就體現(xiàn)了方程的結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，也更好、更有利于孩子去理解、感受方程的這種本質(zhì)。這樣這個(gè)心里的天平就從始至終地發(fā)揮著重要的作用。那針對(duì)方程的教學(xué)，也和老師們分享兩個(gè)教學(xué)建議。第一點(diǎn)建議就是準(zhǔn)確地把握內(nèi)

49、容定位，正確地理解其價(jià)值。那這個(gè)定位是不是就指：關(guān)于老師們?cè)诮虒W(xué)當(dāng)中說的，等式的性質(zhì)解方程有的時(shí)候并不好用，我是不是只要用代數(shù)方法，算術(shù)關(guān)系讓孩子們能解出來就行了。對(duì)于這個(gè)問題，我想還是需要我們不斷地提升對(duì)“用等式的性質(zhì)解方程這樣的一個(gè)教學(xué)要求的價(jià)值” 的深入的理解，進(jìn)而更好地來設(shè)計(jì)我們自己的教學(xué)。第二點(diǎn)建議就是有效地開發(fā)教學(xué)內(nèi)容，為學(xué)生代數(shù)思維的形成應(yīng)該做好前期的鋪墊和孕伏。關(guān)于方程教學(xué)的交流，我就交流到這，下面請(qǐng)艾主任和老師們交流第四個(gè)話題“如何在正反比例教學(xué)中體現(xiàn)函數(shù)思想？”。四、如何在正反比例教學(xué)中體現(xiàn)函數(shù)思想。在六年級(jí)的數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中，正比例和反比例一直都是一個(gè)很重要的內(nèi)容，這部分內(nèi)容

50、同樣肩負(fù)了一次讓孩子認(rèn)識(shí)上經(jīng)歷飛躍的一個(gè)重要任務(wù)。可以說，學(xué)生在此之前從大量的對(duì)“常量”的也就是具體數(shù)據(jù)的認(rèn)識(shí)和感受的經(jīng)驗(yàn)當(dāng)中逐步的要過渡到認(rèn)識(shí)“變量”，這也是函數(shù)思想滲透的重要契機(jī)。 但是，函數(shù)在我們小學(xué)教學(xué)當(dāng)中是不出現(xiàn)的，那么怎樣在小學(xué)學(xué)習(xí)正比例和反比例過程中有效地滲透函數(shù)思想呢？在第二學(xué)段中，引入正比例與反比例，它是一類常用的數(shù)量關(guān)系，這老師們都很熟悉，那么這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)是函數(shù)思想在小學(xué)的具體的體現(xiàn)。 在現(xiàn)實(shí)中，其實(shí)有許多數(shù)量關(guān)系可以表示為成正比例的量或成反比例的量，其本質(zhì)是兩個(gè)量按一定的比例關(guān)系發(fā)生變化。 我們先來看一下正反比例的含義：其實(shí)老師們都很熟悉了。如果一個(gè)量增加或者減少，另

51、一個(gè)量按一定的比例增加或減少，這兩個(gè)量是成正比例的量；如果分別用 X 和 Y 表示兩個(gè)變化的量，則可以表示成 Y=aX(這里的a>0); 反之如果一個(gè)量增加或減少，另一個(gè)量按一定的比例減少或增加，兩個(gè)量是成反比例的量；如果也用 X 和 Y 來表示的話，就可以表示成 Y=a/X ，或 XY=a(這里的a>0) 。 通過剛才所說的，我們更加明白了正反比例的關(guān)系，知道了正比例和反比例的關(guān)系本質(zhì)上是函數(shù)關(guān)系，小學(xué)階段并不出現(xiàn)函數(shù)的概念，但要讓學(xué)生感知兩個(gè)量之間的關(guān)系。一是使學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識(shí)和理解更加豐富，二是為第三學(xué)段也就是孩子們進(jìn)入中學(xué)的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步學(xué)習(xí)正反比例函數(shù)以及學(xué)習(xí)一般的函數(shù)

52、知識(shí)做好充分準(zhǔn)備。所以教學(xué)中應(yīng)與實(shí)際情境緊密聯(lián)系，用具體的學(xué)生可以理解的具體的方式呈現(xiàn)這些內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)量關(guān)系的角度，以及兩個(gè)量之間變化的規(guī)律的角度來理解和掌握這個(gè)內(nèi)容。 那例如學(xué)生對(duì)“正反比例”的學(xué)習(xí)，其實(shí)就是從簡(jiǎn)單的“數(shù)量關(guān)系”過渡到對(duì)“變化關(guān)系”的認(rèn)識(shí)和學(xué)習(xí)。以前是“數(shù)量”關(guān)系，他現(xiàn)在得學(xué)會(huì)認(rèn)識(shí)“變化”，與以往的教材和教學(xué)要求相比，在方格紙上畫圖是一個(gè)新的要求，以前就是讓孩子認(rèn)識(shí)正比例及反比例的關(guān)系，現(xiàn)在教材中也出現(xiàn)了“正比例”及“反比例”的圖像，那么這些圖像它的價(jià)值是什么？教師該如何發(fā)揮好“圖像”的作用，更好地去體現(xiàn)和滲透函數(shù)思想呢？ 下面就結(jié)合具體的案例來談一下這個(gè)問題。北京實(shí)驗(yàn)

53、一小郭雯硯老師執(zhí)教的成正比例的量，在這節(jié)課上郭老師就緊緊抓住了“圖像”，作為幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)和理解正比例關(guān)系的重要素材。 我們先看一下郭老師是怎樣講的，在當(dāng)時(shí)課堂上，孩子們通過數(shù)量的研究，不難發(fā)現(xiàn)這樣一組關(guān)系，而且也用字母表示出了這樣一組關(guān)系，在這之后，按以往的教學(xué)，就已經(jīng)達(dá)到目標(biāo)了，就是在這個(gè)時(shí)候，郭老師把“圖像”作為正比例關(guān)系表示的第三種方式隆重地介紹給了學(xué)生，把它作為新朋友介紹給孩子。因?yàn)楹⒆右呀?jīng)有了一些畫折線統(tǒng)計(jì)圖的經(jīng)驗(yàn)，根據(jù)表格當(dāng)中的數(shù)據(jù)在圖上去描點(diǎn)對(duì)于孩子們來講并不難，于是郭老師就把完成或者是尋求圖像到底長(zhǎng)什么樣子的經(jīng)歷放給了孩子們，讓孩子們自己去描點(diǎn)去畫，但是就在畫的過程當(dāng)中，孩子們

54、又找到了新的問題，也就是當(dāng)孩子們把點(diǎn)都連好之后，在0和第一個(gè)數(shù)據(jù)之間該不該連成了孩子們聚焦的一個(gè)新問題，這時(shí)候，也就凸顯了圖像的作用，其實(shí)，想想孩子們對(duì)于找點(diǎn)連線這個(gè)過程并不難，但是這個(gè)沒有出現(xiàn)的這一段數(shù)據(jù)到底有沒有，該不該連就困擾了孩子，其實(shí)孩子有點(diǎn)困惑是在哪呢，就因?yàn)樗趯W(xué)折線統(tǒng)計(jì)圖中，其實(shí)那樣的認(rèn)識(shí)遷移到現(xiàn)在的知識(shí)點(diǎn)是錯(cuò)誤的，是一種負(fù)遷移，可是就是對(duì)這一部分的分析恰恰體現(xiàn)了變量的含義，我們看看郭老師針對(duì)孩子存在困惑的地方也是難點(diǎn)所在，是怎么處理的？當(dāng)時(shí)課堂上郭老師就非常巧妙地利用課件運(yùn)用信息技術(shù)的輔助手段把這個(gè)局部放大，讓孩子們?nèi)ダ斫?，就在路程和時(shí)間的變化當(dāng)中它會(huì)不會(huì)從“0”一下就變化到

55、這個(gè)點(diǎn)，孩子們馬上就明白了，其實(shí)在這個(gè)過程當(dāng)中，應(yīng)該有很多很多點(diǎn)，比如說汽車從0小時(shí)開始，到0.2小時(shí)、0.4小時(shí)，它是要經(jīng)歷這樣一個(gè)過程的，孩子們是有這個(gè)生活經(jīng)驗(yàn)的，這樣孩子們發(fā)現(xiàn)這里面會(huì)有很多點(diǎn)，甚至很密，甚至是連續(xù)的，連成了一條線，就在這個(gè)點(diǎn)越來越密的過程當(dāng)中，孩子們就豐富了對(duì)整個(gè)這一條圖像的完整的認(rèn)識(shí)和理解，在這基礎(chǔ)上形成對(duì)正比例圖像的完整認(rèn)識(shí)，看得出來，郭老師在學(xué)生根據(jù)表格、算式等熟悉的方式表示出正比例關(guān)系之后，巧妙地引出了“圖像”，把它作為新朋友隆重的介紹給孩子們。讓學(xué)生通過初步的猜想和分析，對(duì)圖像有初步的感知，這樣也為后面深入而細(xì)致的研究奠定了基礎(chǔ)。 其實(shí)，正比例教學(xué)就是從“常量”數(shù)學(xué)到“變量”數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的啟蒙階段；那圖像教學(xué)呢能夠直觀地呈現(xiàn)兩個(gè)變量之間的相依的關(guān)系，你變了它也隨著變，使學(xué)生加深對(duì)正比例意義的理解。通過這節(jié)課的教學(xué)，可以有效地滲透函數(shù)思想，促進(jìn)中小的這種認(rèn)識(shí)的銜接，為孩子們今后的學(xué)習(xí)奠定