第四講椅子放穩(wěn)模型

1、 在日常生活中，將一張在日常生活中，將一張四條腿一樣長的椅子放在不四條腿一樣長的椅子放在不平的地面上，平的地面上， 通常只有三只通常只有三只腳著地腳著地,而使椅子不平穩(wěn)。但而使椅子不平穩(wěn)。但我們的祖先為什么把都把椅我們的祖先為什么把都把椅子做成四腳連線呈正方形子做成四腳連線呈正方形 ，矩形或等腰梯形。請你通過矩形或等腰梯形。請你通過建立模型解釋這一現(xiàn)象。建立模型解釋這一現(xiàn)象。 一、問題重述一、問題重述 在日常生活中，將一張四條腿一樣長的椅子放在不平在日常生活中，將一張四條腿一樣長的椅子放在不平的地面上，通常只有三只腳著地，而使椅子不平穩(wěn)。我們的地面上，通常只有三只腳著地，而使椅子不平穩(wěn)。我們通

2、過建立模型分別解決以下問題：通過建立模型分別解決以下問題： 1 1解釋只需適當將椅子解釋只需適當將椅子“挪動挪動”幾次就可使椅子放幾次就可使椅子放穩(wěn)這一現(xiàn)象；穩(wěn)這一現(xiàn)象； 2 2如果椅子的四只腳構(gòu)成一個平行四邊形，通過適如果椅子的四只腳構(gòu)成一個平行四邊形，通過適當?shù)漠數(shù)摹芭矂优矂印蹦軌蚍欧€(wěn)嗎？能夠放穩(wěn)嗎？ 3 3椅子的四只腳滿足什么條件通過挪動就可使椅子椅子的四只腳滿足什么條件通過挪動就可使椅子放穩(wěn)？最后對模型進行了分析和推廣。放穩(wěn)？最后對模型進行了分析和推廣。 二、模型假設二、模型假設 為使問題簡化，便于解決，我們作如下合理假設：為使問題簡化，便于解決，我們作如下合理假設： 1 1椅子四條腿

3、一樣長，椅腳與地面的接觸部分相對椅子四條腿一樣長，椅腳與地面的接觸部分相對椅子所占的地面面積可視為一個點，四腳的連線呈正方形；椅子所占的地面面積可視為一個點，四腳的連線呈正方形； 2 2地面凹凸坡面是連續(xù)變化的，沿任何方向都不會地面凹凸坡面是連續(xù)變化的，沿任何方向都不會出現(xiàn)間斷（如沒有象臺階那樣的情況），即地面可看作數(shù)出現(xiàn)間斷（如沒有象臺階那樣的情況），即地面可看作數(shù)學上的連續(xù)曲面；學上的連續(xù)曲面； 3 3相對椅腳的間距和椅子腿的長度而言，地面是相相對椅腳的間距和椅子腿的長度而言，地面是相對平坦的，即使椅子在任何位置至少有三條腿同時著地；對平坦的，即使椅子在任何位置至少有三條腿同時著地； 4

4、4挪動僅只是繞一個定點的旋轉(zhuǎn)。挪動僅只是繞一個定點的旋轉(zhuǎn)。 假設假設1 1顯然是合理的。否則顯然是合理的。否則即便放在平面上也不會是椅子放即便放在平面上也不會是椅子放穩(wěn)。穩(wěn)。 假設假設2 2相當于給出了椅子能相當于給出了椅子能夠放穩(wěn)的必要條件，因為如果地夠放穩(wěn)的必要條件，因為如果地面高度不連續(xù)（比如在有臺階或面高度不連續(xù)（比如在有臺階或裂縫的地方）是無法使椅子四只裂縫的地方）是無法使椅子四只腳同時著地。腳同時著地。 假設假設3 3是要排除地面上與椅腳間距和椅子腿長度的是要排除地面上與椅腳間距和椅子腿長度的尺寸大小相當?shù)姆秶鷥?nèi)，出現(xiàn)深溝或凸峰（即使連續(xù)變尺寸大小相當?shù)姆秶鷥?nèi)，出現(xiàn)深溝或凸峰（即使

5、連續(xù)變化的），將使椅子三只腳也無法同時著地?；模?，將使椅子三只腳也無法同時著地。 首先，根據(jù)假設首先，根據(jù)假設1 1， 椅腳連線椅腳連線呈正方形呈正方形, ,而正方形以中心為對稱而正方形以中心為對稱, ,即正方形繞中心的旋轉(zhuǎn)可以表示椅即正方形繞中心的旋轉(zhuǎn)可以表示椅子位置的改變，于是可以用旋轉(zhuǎn)角子位置的改變，于是可以用旋轉(zhuǎn)角度這一變量表示椅子的位置。如圖度這一變量表示椅子的位置。如圖1 1，椅腳連線為正方形，椅腳連線為正方形ABCD，在圖，在圖1 1所示的坐標系下對角線所示的坐標系下對角線AC與與ox軸軸重合重合, ,椅子繞中心椅子繞中心o o 旋轉(zhuǎn)角度旋轉(zhuǎn)角度 后后, ,正方形正方形 轉(zhuǎn)至的

6、位置，如圖轉(zhuǎn)至的位置，如圖2 2所示，即對角線所示，即對角線AC與與ox軸的夾角軸的夾角表示了椅子的位置。表示了椅子的位置。DCBAxBADCOD C B A 正方形正方形ABCD繞繞O點旋轉(zhuǎn)點旋轉(zhuǎn) 其次，要把椅子著地用其次，要把椅子著地用數(shù)學符號表示出來。如果用數(shù)學符號表示出來。如果用某個變量表示椅腳與地面的某個變量表示椅腳與地面的豎值距離，那么當這個距離豎值距離，那么當這個距離為零時就是椅腳著地了。椅為零時就是椅腳著地了。椅子在不同的位置時，椅腳與子在不同的位置時，椅腳與地面的距離不盡相同，所以地面的距離不盡相同，所以這個距離是變量這個距離是變量 的函數(shù)。的函數(shù)。 雖然椅子有四只腳，因而有

7、四個距離，即每一個椅雖然椅子有四只腳，因而有四個距離，即每一個椅腳和地面都有一個距離。但由假設腳和地面都有一個距離。但由假設3 3以及正方形關于中心以及正方形關于中心的對成性，只要設兩個距離就可以了。設的對成性，只要設兩個距離就可以了。設A、C兩腳與地兩腳與地面的距離之和為面的距離之和為f( ) ，B、D兩腳與地面的距離之和為兩腳與地面的距離之和為g( ), , 顯然顯然f( ) 、 g( ) 0。由假設。由假設2 2知知f( ) 、 g( )都是都是連續(xù)函數(shù)。在由假設連續(xù)函數(shù)。在由假設3 3知，椅子在任何位置上至少有三只知，椅子在任何位置上至少有三只腳著地，所以對于任意的腳著地，所以對于任意

8、的 ， f( ) 、 g( )中至少有一個中至少有一個為零。當為零。當 = 0 時，不妨設時，不妨設f( ) 0、 g( ) = 0。另一方面，。另一方面，由對稱性知道，旋轉(zhuǎn)由對稱性知道，旋轉(zhuǎn)/2/2的角度后，相當于的角度后，相當于AC和和BD互互換一個位置換一個位置. .故有故有f(/2)=0 ，g(/2)0，這樣，改變椅子這樣，改變椅子位置使四只腳同時著地，就歸結(jié)為證明如下數(shù)學命題。位置使四只腳同時著地，就歸結(jié)為證明如下數(shù)學命題。 命題命題1 1 已知已知f( )和和g( )是是 的連續(xù)函數(shù)，對任意的的連續(xù)函數(shù)，對任意的 ，有，有f( ) g( )=0 ，且且 f(0 )0 、 g(0)=

9、0， 、 ，則存在則存在 ，使得，使得f( 0 )= g( 0 ) =0 .()02f ()02g 00 ,2 可以看到，可以看到， 引入變量引入變量 和和函數(shù)函數(shù) f( ) 、 g( ) ， 就把模型的就把模型的假設條件和椅腳同時著地的結(jié)論假設條件和椅腳同時著地的結(jié)論用簡單而精確的數(shù)學語言表示出用簡單而精確的數(shù)學語言表示出來，從而構(gòu)成了這個實際問題的來，從而構(gòu)成了這個實際問題的數(shù)學模型。數(shù)學模型。 令令h( )= f( )g( )，則，則h(0)0和和h( /2)0 、 g(0) =0 ， f( )=0 、 g( ) 0 ， 則存則存在在 0， , 使得使得f( 0 )= g( 0 ) =0

10、 。 3. 3. 模型的進一步分析與推廣模型的進一步分析與推廣 由于正方形和矩形的任意一個頂點通過適當?shù)男D(zhuǎn)，由于正方形和矩形的任意一個頂點通過適當?shù)男D(zhuǎn)，可到達每一個頂點，即就是說正方形和矩形的四個頂點可到達每一個頂點，即就是說正方形和矩形的四個頂點繞其中心旋轉(zhuǎn)一周所得軌跡是同一個圓周。這也就是正繞其中心旋轉(zhuǎn)一周所得軌跡是同一個圓周。這也就是正方形和矩形的四個頂點共圓，可通過適當?shù)男D(zhuǎn)將椅子方形和矩形的四個頂點共圓，可通過適當?shù)男D(zhuǎn)將椅子放平穩(wěn)。那么，椅子四腳連線所構(gòu)成的四邊形是圓內(nèi)接放平穩(wěn)。那么，椅子四腳連線所構(gòu)成的四邊形是圓內(nèi)接四邊形，是否一定可通過適當?shù)男D(zhuǎn)可將椅子放平穩(wěn)？四邊形，是否

11、一定可通過適當?shù)男D(zhuǎn)可將椅子放平穩(wěn)？反之，通過適當?shù)男D(zhuǎn)可將椅子放平穩(wěn)，椅子四腳連線反之，通過適當?shù)男D(zhuǎn)可將椅子放平穩(wěn)，椅子四腳連線是否一定是圓內(nèi)接四邊形？是否一定是圓內(nèi)接四邊形？ 我們先看一個實例，設地面為一個足夠大的球面部分，我們先看一個實例，設地面為一個足夠大的球面部分，其方程為其方程為：2222(10000)10000 (10000)xyzz 椅子四只腳構(gòu)成一菱形椅子四只腳構(gòu)成一菱形ABCD，對角線的長度分別為，對角線的長度分別為AC=8，BD=6。根據(jù)球面的特點，要使得菱形根據(jù)球面的特點，要使得菱形ABCD的頂?shù)捻旤c至少有三個在球面上，則其三個頂點必在同一個圓上。點至少有三個在球面上

12、，則其三個頂點必在同一個圓上。不妨取菱形不妨取菱形 ABCD 所在的平面與球面的截痕及菱形，在所在的平面與球面的截痕及菱形，在xoy面上投影圖如示圖，其圓周的半徑為面上投影圖如示圖，其圓周的半徑為ABCD256R 258R 25284RAC 22251166(0,1000010000() )D 這說明這說明A、C兩點必兩點必有一點在球面之外。有一點在球面之外。于是于是D點到底面即球面的距離為點到底面即球面的距離為0100007625100006111000022d這說明通過旋轉(zhuǎn)永遠也不可能將椅子放穩(wěn)。即就是說椅子這說明通過旋轉(zhuǎn)永遠也不可能將椅子放穩(wěn)。即就是說椅子四腳連線所構(gòu)成的四邊形不是園內(nèi)接

13、四邊形，通過旋轉(zhuǎn)不四腳連線所構(gòu)成的四邊形不是園內(nèi)接四邊形，通過旋轉(zhuǎn)不可能將椅子放穩(wěn)?？赡軐⒁巫臃欧€(wěn)。 下面我們來討論另一個問題。下面我們來討論另一個問題。 眾所周知，我們?nèi)粘Ｉ钪兴龅降囊巫哟蠖际撬哪_眾所周知，我們?nèi)粘Ｉ钪兴龅降囊巫哟蠖际撬哪_連線呈等腰梯形，那么，對這樣的椅子甚至四腳連線為任連線呈等腰梯形，那么，對這樣的椅子甚至四腳連線為任意園內(nèi)接四邊形的椅子是否也能在不平的平面上放穩(wěn)？為意園內(nèi)接四邊形的椅子是否也能在不平的平面上放穩(wěn)？為解決此問題我們重新建立模型。解決此問題我們重新建立模型。模型假設模型假設 1 1椅子四條腿一樣長，椅腳與地面的接觸部分相對椅子四條腿一樣長，椅腳與地面的

14、接觸部分相對椅子所占的地面面積可視為一個點。椅子所占的地面面積可視為一個點。 2 2地面凹突破面世連續(xù)變化的，沿任何方向都不會地面凹突破面世連續(xù)變化的，沿任何方向都不會出現(xiàn)間斷（沒有向臺階那樣的情況），即地面可看作數(shù)出現(xiàn)間斷（沒有向臺階那樣的情況），即地面可看作數(shù)學上的連續(xù)曲面。學上的連續(xù)曲面。 3 3相對椅腳的間距和椅子腿的長度而言，地面是相相對椅腳的間距和椅子腿的長度而言，地面是相對平坦的，即使椅子在任何位置至少有三條腿同時著地。對平坦的，即使椅子在任何位置至少有三條腿同時著地。 4 4椅子四腳連線所構(gòu)成的四邊形是圓內(nèi)接四邊形，椅子四腳連線所構(gòu)成的四邊形是圓內(nèi)接四邊形，即椅子四腳共圓。即椅

15、子四腳共圓。 5 5挪動僅只是旋轉(zhuǎn)。挪動僅只是旋轉(zhuǎn)。模型建立模型建立 將椅子放在地面任何一個將椅子放在地面任何一個位置，并使至少三只腳同時著位置，并使至少三只腳同時著地。這時以椅子四腳共圓的圓地。這時以椅子四腳共圓的圓心心O O為原點，四腳連線所在的為原點，四腳連線所在的平面為平面為xoy坐標面，并使椅腳坐標面，并使椅腳之一（如椅腳之一（如椅腳A）在）在ox軸的正軸的正半軸上建立平面坐標系圖半軸上建立平面坐標系圖. .ABCDo 由假設由假設4 4，椅子四腳，椅子四腳A、B、C、D共圓，設其半徑為共圓，設其半徑為R，則這四點必在圓周則這四點必在圓周x2+y2=R2上。上。不妨設不妨設OB、OC

16、、OD分別與分別與oxox軸的正向夾角分別為軸的正向夾角分別為 1、 2、 3 . 這三個這三個夾角應滿足條件夾角應滿足條件0 1 2 3 0， 1 、 2 、 3 是滿足不等式是滿足不等式0 1 2 3 2 的任意常的任意常數(shù)，數(shù)， 則一定存在則一定存在 0 0 , 2 ,使當使當 = 0時，時，四點共面。四點共面。DCBA ,( )FA BA CA D 證證 四點共面的充要條件是向量四點共面的充要條件是向量 的混合積的混合積 。不妨設不妨設 111cos()cos,sin()sin,()( )A BRRRR 222cos()cos,sin()sin,()( )A CRRRR 333cos(

17、)cos,sin()sin,()( )A DRRRR 0A BA CA D DCBA ,111222333cos()cossin()sin()( )( )cos()cossin()sin()( )cos()cossin()sin()( )RRRRFRRRRRRRR 即即223321sinsinsin()()( )R 231132sinsinsin()()( )R 212213sinsinsin()()( )R 又因為又因為 ( ) 是以是以2 的連續(xù)函數(shù)，從而對任意的常的連續(xù)函數(shù)，從而對任意的常數(shù)數(shù)a都有都有 2222000()( )( )( )aaa dx dxx dxd 210 ()( )

18、0d 230 ()( )0d 220 ()( )0d 20( )0Fd 再由積分中值定理知，存在一個再由積分中值定理知，存在一個 0 0 , 2 使得使得2001()( )02FFd 0A BA CA D 也就是當也就是當 = 0時時， 四點共面。四點共面。 ,ABCD 即就是即就是 定理定理1 1說明，對四腳共圓的椅子，在不平的地面上，說明，對四腳共圓的椅子，在不平的地面上，總可以經(jīng)適當?shù)男D(zhuǎn)把椅子放穩(wěn)。總可以經(jīng)適當?shù)男D(zhuǎn)把椅子放穩(wěn)。 放穩(wěn)椅子的充要條件放穩(wěn)椅子的充要條件 前面我們對四腳共圓的椅子進行了討論，并建立了前面我們對四腳共圓的椅子進行了討論，并建立了數(shù)學模型。那么四腳不共圓的椅子是

19、否也能在一般不平數(shù)學模型。那么四腳不共圓的椅子是否也能在一般不平面的地面上放穩(wěn)呢？回答是否定的，其反例如下：面的地面上放穩(wěn)呢？回答是否定的，其反例如下： 例：設椅子的四腳不共圓，地面為半徑充分大的球例：設椅子的四腳不共圓，地面為半徑充分大的球面，則這樣的椅子在相應的地面上總放不穩(wěn)。面，則這樣的椅子在相應的地面上總放不穩(wěn)。 證：反證法證：反證法 假設在這樣的地面上存在四點假設在這樣的地面上存在四點A A、B B、C C、D D使椅子的使椅子的四腳在這四點同時著地，則四點必共面，即在同一平面四腳在這四點同時著地，則四點必共面，即在同一平面上。從而，這四點必在此平面與球面的交線上，也就是上。從而，這

20、四點必在此平面與球面的交線上，也就是著四點必共圓。這與椅子四腳不共圓矛盾。這矛盾說明著四點必共圓。這與椅子四腳不共圓矛盾。這矛盾說明假設錯而例中結(jié)論真。假設錯而例中結(jié)論真。 此例說明：當椅子四條腿一樣長但四腳不共圓時，此例說明：當椅子四條腿一樣長但四腳不共圓時，無論怎么放，也不能在球面型的地面上放穩(wěn)。而由前無論怎么放，也不能在球面型的地面上放穩(wěn)。而由前面的數(shù)學模型及討論說明，當椅子四條腿一樣長且四面的數(shù)學模型及討論說明，當椅子四條腿一樣長且四腳共圓時，對任意的連續(xù)平坦地面，無論在何處，都腳共圓時，對任意的連續(xù)平坦地面，無論在何處，都可以經(jīng)過適當?shù)男D(zhuǎn)把椅子放穩(wěn)。這樣我們就證明了可以經(jīng)過適當?shù)男?/p>

21、轉(zhuǎn)把椅子放穩(wěn)。這樣我們就證明了下面結(jié)論：下面結(jié)論： 定理定理2 2 在不平的地面上把椅子放穩(wěn)的充要條件在不平的地面上把椅子放穩(wěn)的充要條件是椅子四腳共圓。是椅子四腳共圓。 模型的應用模型的應用 椅子問題雖然是日常生活中一件非常普通的問題，椅子問題雖然是日常生活中一件非常普通的問題，但在上述的模型中所給出有關椅子的結(jié)論對于實踐具有但在上述的模型中所給出有關椅子的結(jié)論對于實踐具有普遍的指導意義。通常，在制作椅子時，我們事先并不普遍的指導意義。通常，在制作椅子時，我們事先并不知道要把椅子放在什么樣的地面上，因此，我們無法也知道要把椅子放在什么樣的地面上，因此，我們無法也不可能對地面提出任何要求，但為了保證椅子將來能在不可能對地面提出任何要求，但為了保證椅子將來能在任何連續(xù)平坦的地面上放穩(wěn)，我們可對椅子的設計提出任何連續(xù)平坦的地面上放穩(wěn)，我們可對椅子的設計提出一定的要求，這個要求就是