第四講椅子放穩(wěn)模型

1、 在日常生活中，將一張?jiān)谌粘Ｉ钪校瑢⒁粡埶臈l腿一樣長(zhǎng)的椅子放在不四條腿一樣長(zhǎng)的椅子放在不平的地面上，平的地面上， 通常只有三只通常只有三只腳著地腳著地,而使椅子不平穩(wěn)。但而使椅子不平穩(wěn)。但我們的祖先為什么把都把椅我們的祖先為什么把都把椅子做成四腳連線呈正方形子做成四腳連線呈正方形 ，矩形或等腰梯形。請(qǐng)你通過(guò)矩形或等腰梯形。請(qǐng)你通過(guò)建立模型解釋這一現(xiàn)象。建立模型解釋這一現(xiàn)象。 一、問(wèn)題重述一、問(wèn)題重述 在日常生活中，將一張四條腿一樣長(zhǎng)的椅子放在不平在日常生活中，將一張四條腿一樣長(zhǎng)的椅子放在不平的地面上，通常只有三只腳著地，而使椅子不平穩(wěn)。我們的地面上，通常只有三只腳著地，而使椅子不平穩(wěn)。我們通

2、過(guò)建立模型分別解決以下問(wèn)題：通過(guò)建立模型分別解決以下問(wèn)題： 1 1解釋只需適當(dāng)將椅子解釋只需適當(dāng)將椅子“挪動(dòng)挪動(dòng)”幾次就可使椅子放幾次就可使椅子放穩(wěn)這一現(xiàn)象；穩(wěn)這一現(xiàn)象； 2 2如果椅子的四只腳構(gòu)成一個(gè)平行四邊形，通過(guò)適如果椅子的四只腳構(gòu)成一個(gè)平行四邊形，通過(guò)適當(dāng)?shù)漠?dāng)?shù)摹芭矂?dòng)挪動(dòng)”能夠放穩(wěn)嗎？能夠放穩(wěn)嗎？ 3 3椅子的四只腳滿(mǎn)足什么條件通過(guò)挪動(dòng)就可使椅子椅子的四只腳滿(mǎn)足什么條件通過(guò)挪動(dòng)就可使椅子放穩(wěn)？最后對(duì)模型進(jìn)行了分析和推廣。放穩(wěn)？最后對(duì)模型進(jìn)行了分析和推廣。 二、模型假設(shè)二、模型假設(shè) 為使問(wèn)題簡(jiǎn)化，便于解決，我們作如下合理假設(shè)：為使問(wèn)題簡(jiǎn)化，便于解決，我們作如下合理假設(shè)： 1 1椅子四條腿

3、一樣長(zhǎng)，椅腳與地面的接觸部分相對(duì)椅子四條腿一樣長(zhǎng)，椅腳與地面的接觸部分相對(duì)椅子所占的地面面積可視為一個(gè)點(diǎn)，四腳的連線呈正方形；椅子所占的地面面積可視為一個(gè)點(diǎn)，四腳的連線呈正方形； 2 2地面凹凸坡面是連續(xù)變化的，沿任何方向都不會(huì)地面凹凸坡面是連續(xù)變化的，沿任何方向都不會(huì)出現(xiàn)間斷（如沒(méi)有象臺(tái)階那樣的情況），即地面可看作數(shù)出現(xiàn)間斷（如沒(méi)有象臺(tái)階那樣的情況），即地面可看作數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面；學(xué)上的連續(xù)曲面； 3 3相對(duì)椅腳的間距和椅子腿的長(zhǎng)度而言，地面是相相對(duì)椅腳的間距和椅子腿的長(zhǎng)度而言，地面是相對(duì)平坦的，即使椅子在任何位置至少有三條腿同時(shí)著地；對(duì)平坦的，即使椅子在任何位置至少有三條腿同時(shí)著地； 4

4、4挪動(dòng)僅只是繞一個(gè)定點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)。挪動(dòng)僅只是繞一個(gè)定點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)。 假設(shè)假設(shè)1 1顯然是合理的。否則顯然是合理的。否則即便放在平面上也不會(huì)是椅子放即便放在平面上也不會(huì)是椅子放穩(wěn)。穩(wěn)。 假設(shè)假設(shè)2 2相當(dāng)于給出了椅子能相當(dāng)于給出了椅子能夠放穩(wěn)的必要條件，因?yàn)槿绻貕蚍欧€(wěn)的必要條件，因?yàn)槿绻孛娓叨炔贿B續(xù)（比如在有臺(tái)階或面高度不連續(xù)（比如在有臺(tái)階或裂縫的地方）是無(wú)法使椅子四只裂縫的地方）是無(wú)法使椅子四只腳同時(shí)著地。腳同時(shí)著地。 假設(shè)假設(shè)3 3是要排除地面上與椅腳間距和椅子腿長(zhǎng)度的是要排除地面上與椅腳間距和椅子腿長(zhǎng)度的尺寸大小相當(dāng)?shù)姆秶鷥?nèi)，出現(xiàn)深溝或凸峰（即使連續(xù)變尺寸大小相當(dāng)?shù)姆秶鷥?nèi)，出現(xiàn)深溝或凸峰（即使

5、連續(xù)變化的），將使椅子三只腳也無(wú)法同時(shí)著地?；模?，將使椅子三只腳也無(wú)法同時(shí)著地。 首先，根據(jù)假設(shè)首先，根據(jù)假設(shè)1 1， 椅腳連線椅腳連線呈正方形呈正方形, ,而正方形以中心為對(duì)稱(chēng)而正方形以中心為對(duì)稱(chēng), ,即正方形繞中心的旋轉(zhuǎn)可以表示椅即正方形繞中心的旋轉(zhuǎn)可以表示椅子位置的改變，于是可以用旋轉(zhuǎn)角子位置的改變，于是可以用旋轉(zhuǎn)角度這一變量表示椅子的位置。如圖度這一變量表示椅子的位置。如圖1 1，椅腳連線為正方形，椅腳連線為正方形ABCD，在圖，在圖1 1所示的坐標(biāo)系下對(duì)角線所示的坐標(biāo)系下對(duì)角線AC與與ox軸軸重合重合, ,椅子繞中心椅子繞中心o o 旋轉(zhuǎn)角度旋轉(zhuǎn)角度 后后, ,正方形正方形 轉(zhuǎn)至的

6、位置，如圖轉(zhuǎn)至的位置，如圖2 2所示，即對(duì)角線所示，即對(duì)角線AC與與ox軸的夾角軸的夾角表示了椅子的位置。表示了椅子的位置。DCBAxBADCOD C B A 正方形正方形ABCD繞繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 其次，要把椅子著地用其次，要把椅子著地用數(shù)學(xué)符號(hào)表示出來(lái)。如果用數(shù)學(xué)符號(hào)表示出來(lái)。如果用某個(gè)變量表示椅腳與地面的某個(gè)變量表示椅腳與地面的豎值距離，那么當(dāng)這個(gè)距離豎值距離，那么當(dāng)這個(gè)距離為零時(shí)就是椅腳著地了。椅為零時(shí)就是椅腳著地了。椅子在不同的位置時(shí)，椅腳與子在不同的位置時(shí)，椅腳與地面的距離不盡相同，所以地面的距離不盡相同，所以這個(gè)距離是變量這個(gè)距離是變量 的函數(shù)。的函數(shù)。 雖然椅子有四只腳，因而有

7、四個(gè)距離，即每一個(gè)椅雖然椅子有四只腳，因而有四個(gè)距離，即每一個(gè)椅腳和地面都有一個(gè)距離。但由假設(shè)腳和地面都有一個(gè)距離。但由假設(shè)3 3以及正方形關(guān)于中心以及正方形關(guān)于中心的對(duì)成性，只要設(shè)兩個(gè)距離就可以了。設(shè)的對(duì)成性，只要設(shè)兩個(gè)距離就可以了。設(shè)A、C兩腳與地兩腳與地面的距離之和為面的距離之和為f( ) ，B、D兩腳與地面的距離之和為兩腳與地面的距離之和為g( ), , 顯然顯然f( ) 、 g( ) 0。由假設(shè)。由假設(shè)2 2知知f( ) 、 g( )都是都是連續(xù)函數(shù)。在由假設(shè)連續(xù)函數(shù)。在由假設(shè)3 3知，椅子在任何位置上至少有三只知，椅子在任何位置上至少有三只腳著地，所以對(duì)于任意的腳著地，所以對(duì)于任意

8、的 ， f( ) 、 g( )中至少有一個(gè)中至少有一個(gè)為零。當(dāng)為零。當(dāng) = 0 時(shí)，不妨設(shè)時(shí)，不妨設(shè)f( ) 0、 g( ) = 0。另一方面，。另一方面，由對(duì)稱(chēng)性知道，旋轉(zhuǎn)由對(duì)稱(chēng)性知道，旋轉(zhuǎn)/2/2的角度后，相當(dāng)于的角度后，相當(dāng)于AC和和BD互互換一個(gè)位置換一個(gè)位置. .故有故有f(/2)=0 ，g(/2)0，這樣，改變椅子這樣，改變椅子位置使四只腳同時(shí)著地，就歸結(jié)為證明如下數(shù)學(xué)命題。位置使四只腳同時(shí)著地，就歸結(jié)為證明如下數(shù)學(xué)命題。 命題命題1 1 已知已知f( )和和g( )是是 的連續(xù)函數(shù)，對(duì)任意的的連續(xù)函數(shù)，對(duì)任意的 ，有，有f( ) g( )=0 ，且且 f(0 )0 、 g(0)=

9、0， 、 ，則存在則存在 ，使得，使得f( 0 )= g( 0 ) =0 .()02f ()02g 00 ,2 可以看到，可以看到， 引入變量引入變量 和和函數(shù)函數(shù) f( ) 、 g( ) ， 就把模型的就把模型的假設(shè)條件和椅腳同時(shí)著地的結(jié)論假設(shè)條件和椅腳同時(shí)著地的結(jié)論用簡(jiǎn)單而精確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示出用簡(jiǎn)單而精確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示出來(lái)，從而構(gòu)成了這個(gè)實(shí)際問(wèn)題的來(lái)，從而構(gòu)成了這個(gè)實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型。 令令h( )= f( )g( )，則，則h(0)0和和h( /2)0 、 g(0) =0 ， f( )=0 、 g( ) 0 ， 則存則存在在 0， , 使得使得f( 0 )= g( 0 ) =0

10、 。 3. 3. 模型的進(jìn)一步分析與推廣模型的進(jìn)一步分析與推廣 由于正方形和矩形的任意一個(gè)頂點(diǎn)通過(guò)適當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)，由于正方形和矩形的任意一個(gè)頂點(diǎn)通過(guò)適當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)，可到達(dá)每一個(gè)頂點(diǎn)，即就是說(shuō)正方形和矩形的四個(gè)頂點(diǎn)可到達(dá)每一個(gè)頂點(diǎn)，即就是說(shuō)正方形和矩形的四個(gè)頂點(diǎn)繞其中心旋轉(zhuǎn)一周所得軌跡是同一個(gè)圓周。這也就是正繞其中心旋轉(zhuǎn)一周所得軌跡是同一個(gè)圓周。這也就是正方形和矩形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓，可通過(guò)適當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)將椅子方形和矩形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓，可通過(guò)適當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)將椅子放平穩(wěn)。那么，椅子四腳連線所構(gòu)成的四邊形是圓內(nèi)接放平穩(wěn)。那么，椅子四腳連線所構(gòu)成的四邊形是圓內(nèi)接四邊形，是否一定可通過(guò)適當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)可將椅子放平穩(wěn)？四邊形，是否

11、一定可通過(guò)適當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)可將椅子放平穩(wěn)？反之，通過(guò)適當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)可將椅子放平穩(wěn)，椅子四腳連線反之，通過(guò)適當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)可將椅子放平穩(wěn)，椅子四腳連線是否一定是圓內(nèi)接四邊形？是否一定是圓內(nèi)接四邊形？ 我們先看一個(gè)實(shí)例，設(shè)地面為一個(gè)足夠大的球面部分，我們先看一個(gè)實(shí)例，設(shè)地面為一個(gè)足夠大的球面部分，其方程為其方程為：2222(10000)10000 (10000)xyzz 椅子四只腳構(gòu)成一菱形椅子四只腳構(gòu)成一菱形ABCD，對(duì)角線的長(zhǎng)度分別為，對(duì)角線的長(zhǎng)度分別為AC=8，BD=6。根據(jù)球面的特點(diǎn)，要使得菱形根據(jù)球面的特點(diǎn)，要使得菱形ABCD的頂?shù)捻旤c(diǎn)至少有三個(gè)在球面上，則其三個(gè)頂點(diǎn)必在同一個(gè)圓上。點(diǎn)至少有三個(gè)在球面上

12、，則其三個(gè)頂點(diǎn)必在同一個(gè)圓上。不妨取菱形不妨取菱形 ABCD 所在的平面與球面的截痕及菱形，在所在的平面與球面的截痕及菱形，在xoy面上投影圖如示圖，其圓周的半徑為面上投影圖如示圖，其圓周的半徑為ABCD256R 258R 25284RAC 22251166(0,1000010000() )D 這說(shuō)明這說(shuō)明A、C兩點(diǎn)必兩點(diǎn)必有一點(diǎn)在球面之外。有一點(diǎn)在球面之外。于是于是D點(diǎn)到底面即球面的距離為點(diǎn)到底面即球面的距離為0100007625100006111000022d這說(shuō)明通過(guò)旋轉(zhuǎn)永遠(yuǎn)也不可能將椅子放穩(wěn)。即就是說(shuō)椅子這說(shuō)明通過(guò)旋轉(zhuǎn)永遠(yuǎn)也不可能將椅子放穩(wěn)。即就是說(shuō)椅子四腳連線所構(gòu)成的四邊形不是園內(nèi)接

13、四邊形，通過(guò)旋轉(zhuǎn)不四腳連線所構(gòu)成的四邊形不是園內(nèi)接四邊形，通過(guò)旋轉(zhuǎn)不可能將椅子放穩(wěn)。可能將椅子放穩(wěn)。 下面我們來(lái)討論另一個(gè)問(wèn)題。下面我們來(lái)討論另一個(gè)問(wèn)題。 眾所周知，我們?nèi)粘Ｉ钪兴龅降囊巫哟蠖际撬哪_眾所周知，我們?nèi)粘Ｉ钪兴龅降囊巫哟蠖际撬哪_連線呈等腰梯形，那么，對(duì)這樣的椅子甚至四腳連線為任連線呈等腰梯形，那么，對(duì)這樣的椅子甚至四腳連線為任意園內(nèi)接四邊形的椅子是否也能在不平的平面上放穩(wěn)？為意園內(nèi)接四邊形的椅子是否也能在不平的平面上放穩(wěn)？為解決此問(wèn)題我們重新建立模型。解決此問(wèn)題我們重新建立模型。模型假設(shè)模型假設(shè) 1 1椅子四條腿一樣長(zhǎng)，椅腳與地面的接觸部分相對(duì)椅子四條腿一樣長(zhǎng)，椅腳與地面的

14、接觸部分相對(duì)椅子所占的地面面積可視為一個(gè)點(diǎn)。椅子所占的地面面積可視為一個(gè)點(diǎn)。 2 2地面凹突破面世連續(xù)變化的，沿任何方向都不會(huì)地面凹突破面世連續(xù)變化的，沿任何方向都不會(huì)出現(xiàn)間斷（沒(méi)有向臺(tái)階那樣的情況），即地面可看作數(shù)出現(xiàn)間斷（沒(méi)有向臺(tái)階那樣的情況），即地面可看作數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面。學(xué)上的連續(xù)曲面。 3 3相對(duì)椅腳的間距和椅子腿的長(zhǎng)度而言，地面是相相對(duì)椅腳的間距和椅子腿的長(zhǎng)度而言，地面是相對(duì)平坦的，即使椅子在任何位置至少有三條腿同時(shí)著地。對(duì)平坦的，即使椅子在任何位置至少有三條腿同時(shí)著地。 4 4椅子四腳連線所構(gòu)成的四邊形是圓內(nèi)接四邊形，椅子四腳連線所構(gòu)成的四邊形是圓內(nèi)接四邊形，即椅子四腳共圓。即椅

15、子四腳共圓。 5 5挪動(dòng)僅只是旋轉(zhuǎn)。挪動(dòng)僅只是旋轉(zhuǎn)。模型建立模型建立 將椅子放在地面任何一個(gè)將椅子放在地面任何一個(gè)位置，并使至少三只腳同時(shí)著位置，并使至少三只腳同時(shí)著地。這時(shí)以椅子四腳共圓的圓地。這時(shí)以椅子四腳共圓的圓心心O O為原點(diǎn)，四腳連線所在的為原點(diǎn)，四腳連線所在的平面為平面為xoy坐標(biāo)面，并使椅腳坐標(biāo)面，并使椅腳之一（如椅腳之一（如椅腳A）在）在ox軸的正軸的正半軸上建立平面坐標(biāo)系圖半軸上建立平面坐標(biāo)系圖. .ABCDo 由假設(shè)由假設(shè)4 4，椅子四腳，椅子四腳A、B、C、D共圓，設(shè)其半徑為共圓，設(shè)其半徑為R，則這四點(diǎn)必在圓周則這四點(diǎn)必在圓周x2+y2=R2上。上。不妨設(shè)不妨設(shè)OB、OC

16、、OD分別與分別與oxox軸的正向夾角分別為軸的正向夾角分別為 1、 2、 3 . 這三個(gè)這三個(gè)夾角應(yīng)滿(mǎn)足條件夾角應(yīng)滿(mǎn)足條件0 1 2 3 0， 1 、 2 、 3 是滿(mǎn)足不等式是滿(mǎn)足不等式0 1 2 3 2 的任意常的任意常數(shù)，數(shù)， 則一定存在則一定存在 0 0 , 2 ,使當(dāng)使當(dāng) = 0時(shí)，時(shí)，四點(diǎn)共面。四點(diǎn)共面。DCBA ,( )FA BA CA D 證證 四點(diǎn)共面的充要條件是向量四點(diǎn)共面的充要條件是向量 的混合積的混合積 。不妨設(shè)不妨設(shè) 111cos()cos,sin()sin,()( )A BRRRR 222cos()cos,sin()sin,()( )A CRRRR 333cos(

17、)cos,sin()sin,()( )A DRRRR 0A BA CA D DCBA ,111222333cos()cossin()sin()( )( )cos()cossin()sin()( )cos()cossin()sin()( )RRRRFRRRRRRRR 即即223321sinsinsin()()( )R 231132sinsinsin()()( )R 212213sinsinsin()()( )R 又因?yàn)橛忠驗(yàn)?( ) 是以是以2 的連續(xù)函數(shù)，從而對(duì)任意的常的連續(xù)函數(shù)，從而對(duì)任意的常數(shù)數(shù)a都有都有 2222000()( )( )( )aaa dx dxx dxd 210 ()( )

18、0d 230 ()( )0d 220 ()( )0d 20( )0Fd 再由積分中值定理知，存在一個(gè)再由積分中值定理知，存在一個(gè) 0 0 , 2 使得使得2001()( )02FFd 0A BA CA D 也就是當(dāng)也就是當(dāng) = 0時(shí)時(shí)， 四點(diǎn)共面。四點(diǎn)共面。 ,ABCD 即就是即就是 定理定理1 1說(shuō)明，對(duì)四腳共圓的椅子，在不平的地面上，說(shuō)明，對(duì)四腳共圓的椅子，在不平的地面上，總可以經(jīng)適當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)把椅子放穩(wěn)?？偪梢越?jīng)適當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)把椅子放穩(wěn)。 放穩(wěn)椅子的充要條件放穩(wěn)椅子的充要條件 前面我們對(duì)四腳共圓的椅子進(jìn)行了討論，并建立了前面我們對(duì)四腳共圓的椅子進(jìn)行了討論，并建立了數(shù)學(xué)模型。那么四腳不共圓的椅子是

19、否也能在一般不平數(shù)學(xué)模型。那么四腳不共圓的椅子是否也能在一般不平面的地面上放穩(wěn)呢？回答是否定的，其反例如下：面的地面上放穩(wěn)呢？回答是否定的，其反例如下： 例：設(shè)椅子的四腳不共圓，地面為半徑充分大的球例：設(shè)椅子的四腳不共圓，地面為半徑充分大的球面，則這樣的椅子在相應(yīng)的地面上總放不穩(wěn)。面，則這樣的椅子在相應(yīng)的地面上總放不穩(wěn)。 證：反證法證：反證法 假設(shè)在這樣的地面上存在四點(diǎn)假設(shè)在這樣的地面上存在四點(diǎn)A A、B B、C C、D D使椅子的使椅子的四腳在這四點(diǎn)同時(shí)著地，則四點(diǎn)必共面，即在同一平面四腳在這四點(diǎn)同時(shí)著地，則四點(diǎn)必共面，即在同一平面上。從而，這四點(diǎn)必在此平面與球面的交線上，也就是上。從而，這

20、四點(diǎn)必在此平面與球面的交線上，也就是著四點(diǎn)必共圓。這與椅子四腳不共圓矛盾。這矛盾說(shuō)明著四點(diǎn)必共圓。這與椅子四腳不共圓矛盾。這矛盾說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)而例中結(jié)論真。假設(shè)錯(cuò)而例中結(jié)論真。 此例說(shuō)明：當(dāng)椅子四條腿一樣長(zhǎng)但四腳不共圓時(shí)，此例說(shuō)明：當(dāng)椅子四條腿一樣長(zhǎng)但四腳不共圓時(shí)，無(wú)論怎么放，也不能在球面型的地面上放穩(wěn)。而由前無(wú)論怎么放，也不能在球面型的地面上放穩(wěn)。而由前面的數(shù)學(xué)模型及討論說(shuō)明，當(dāng)椅子四條腿一樣長(zhǎng)且四面的數(shù)學(xué)模型及討論說(shuō)明，當(dāng)椅子四條腿一樣長(zhǎng)且四腳共圓時(shí)，對(duì)任意的連續(xù)平坦地面，無(wú)論在何處，都腳共圓時(shí)，對(duì)任意的連續(xù)平坦地面，無(wú)論在何處，都可以經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)把椅子放穩(wěn)。這樣我們就證明了可以經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)男?/p>

21、轉(zhuǎn)把椅子放穩(wěn)。這樣我們就證明了下面結(jié)論：下面結(jié)論： 定理定理2 2 在不平的地面上把椅子放穩(wěn)的充要條件在不平的地面上把椅子放穩(wěn)的充要條件是椅子四腳共圓。是椅子四腳共圓。 模型的應(yīng)用模型的應(yīng)用 椅子問(wèn)題雖然是日常生活中一件非常普通的問(wèn)題，椅子問(wèn)題雖然是日常生活中一件非常普通的問(wèn)題，但在上述的模型中所給出有關(guān)椅子的結(jié)論對(duì)于實(shí)踐具有但在上述的模型中所給出有關(guān)椅子的結(jié)論對(duì)于實(shí)踐具有普遍的指導(dǎo)意義。通常，在制作椅子時(shí)，我們事先并不普遍的指導(dǎo)意義。通常，在制作椅子時(shí)，我們事先并不知道要把椅子放在什么樣的地面上，因此，我們無(wú)法也知道要把椅子放在什么樣的地面上，因此，我們無(wú)法也不可能對(duì)地面提出任何要求，但為了保證椅子將來(lái)能在不可能對(duì)地面提出任何要求，但為了保證椅子將來(lái)能在任何連續(xù)平坦的地面上放穩(wěn)，我們可對(duì)椅子的設(shè)計(jì)提出任何連續(xù)平坦的地面上放穩(wěn)，我們可對(duì)椅子的設(shè)計(jì)提出一定的要求，這個(gè)要求就是