第2章 水動(dòng)力彌散方程課件

1、 第二章 水動(dòng)力彌散方程用來描述地下水系統(tǒng)當(dāng)中溶質(zhì)運(yùn)移規(guī)律的數(shù)學(xué)方程（微分方程）。本章主要內(nèi)容有：2-1. 水動(dòng)力彌散方程的有關(guān)參數(shù)1、流體的密度、濃度； 2、多組分流體的流速； 3、流體的通量。2-2. 溶液中組分的質(zhì)量守恒方程2-3. 組分的的對(duì)流擴(kuò)散（Fick方程）2-4. 多孔介質(zhì)中水動(dòng)力彌散方程2-5. 源匯項(xiàng)2-6. 初始條件與邊界條件2-1 水動(dòng)力彌散方程的有關(guān)參數(shù)2-1-1 流體的密度（）所謂的流體密度指的是單位流體體積的質(zhì)量，常用 表示，量綱ML-3。多組分流體的密度實(shí)際上對(duì)于非均質(zhì)的多組分流體而言，其密度是隨著組成它的各種組分的濃度不同而變化的。假設(shè)某多組份流體共有N種組分

2、其某一組分稱為 ，取該液體中一體積為dv的微元，其質(zhì)量為dm，該液體中在dv微元中組分的質(zhì)量為dm則 組分的質(zhì)量密度：dvdm若將所有N種組分的質(zhì)量密度進(jìn)行求和： dvdmdvdmdvdmNNN1121就等于該溶體的體系密度。某一組分的質(zhì)量的密度：實(shí)際上就是水化學(xué)中學(xué)過的某一組分的濃度。濃度定義為單位體積流體某種溶質(zhì)的質(zhì)量。2-1-2 多組分流體的流速 u組分的質(zhì)點(diǎn)流速u是指在dv內(nèi)組分的各個(gè)分子的統(tǒng)計(jì)平均速度，也就是各個(gè)分子的速度之和除以分子的個(gè)數(shù)。對(duì)每種多組分流體來看溶液中各種組分的速度是不相等的。流體體系的質(zhì)點(diǎn)流速:流體體系中各組分的質(zhì)量平均速度 u一般情況下， 組分的質(zhì)點(diǎn)流速 與流體體

3、系的質(zhì)量平均流速 是不相等的，兩者存在一個(gè)偏差：uuuuuuuu 或u稱為組分質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于質(zhì)量平均速度 的擴(kuò)散速度。u2-1-3 流體的通量流體的質(zhì)量通量流體的質(zhì)量通量 ：流體在單位時(shí)間內(nèi)通過單位面積的流體的質(zhì)量：流體在單位時(shí)間內(nèi)通過單位面積的流體的質(zhì)量uJ組分的質(zhì)量通量組分的質(zhì)量通量 單位時(shí)間內(nèi)通過與流體方向垂直的單位單位時(shí)間內(nèi)通過與流體方向垂直的單位面積上的面積上的組分的質(zhì)量。組分的質(zhì)量。uJ組分相對(duì)與溶體質(zhì)量平均流速組分相對(duì)與溶體質(zhì)量平均流速 的的質(zhì)量擴(kuò)散通量質(zhì)量擴(kuò)散通量 ：對(duì)流體體系來說，顯然有：對(duì)流體體系來說，顯然有：JJJu()JuuuJ10NJ111110NNNNNJuuuuuu這

4、是因?yàn)檫@是因?yàn)?-2 溶液中組分的質(zhì)量守恒方程（連續(xù)介質(zhì)） 在多組分組成的流體體系中任取一點(diǎn)P(x,y,z),以P為中心取一微小的質(zhì)量平衡體（如圖2-1），其側(cè)面分別平行與3個(gè)坐標(biāo)面，邊長分別為 x、y、 z，質(zhì)量守恒原理:在時(shí)間t內(nèi)，組分在這個(gè)單元體中的凈流出（或流出）量（暫不考慮起內(nèi)部有質(zhì)量產(chǎn)生和消失），應(yīng)等于這個(gè)單元中組分的質(zhì)量變化用方程的形式可表示為：zyxtyxuutzxuutzyuuzzyxzzzyxzzyyxyzyyxyzyxxxzyxxx2,2,2,2,2,2質(zhì)量守恒方程（連續(xù)介質(zhì)）zyxuuu,設(shè)設(shè) 分別表示分別表示組分密度、組分密度、x,y,z方向的速度方向的速度分量。分量

5、。其中：其中： 經(jīng)過經(jīng)過t時(shí)間后，質(zhì)量均衡體中時(shí)間后，質(zhì)量均衡體中 的變化量。的變化量。將上式左右兩端同除以將上式左右兩端同除以 得：得：tzyxtzuuyuuxuuzzyxzzzyxzzyyxyzyyxyzyxxxzyxxx2,2,2,2,2,2再對(duì)方程兩端取極限，即令再對(duì)方程兩端取極限，即令0, 0, 0, 0tzyxtzuyuxuzyx即有即有：即即0divut若微小的質(zhì)量均衡體內(nèi)存在著若微小的質(zhì)量均衡體內(nèi)存在著組分的源匯項(xiàng)，則上式可改寫為：組分的源匯項(xiàng)，則上式可改寫為：Iutdiv多組分流體體系中多組分流體體系中組分組分的質(zhì)量守恒方程的質(zhì)量守恒方程 多組分組成的流體中，多組分組成的流體

6、中，單位體積流體在單位時(shí)間內(nèi)，由于化單位時(shí)間內(nèi)，由于化學(xué)反應(yīng)或其它原因所學(xué)反應(yīng)或其它原因所產(chǎn)生產(chǎn)生（或（或消失消失）的）的組分的組分的質(zhì)量質(zhì)量。I 上述質(zhì)量守恒方程中，至少包括上述質(zhì)量守恒方程中，至少包括 4個(gè)未知變個(gè)未知變量量 有時(shí)可以獨(dú)立給出（如抽、注、示蹤劑的速率），但有時(shí)也有時(shí)可以獨(dú)立給出（如抽、注、示蹤劑的速率），但有時(shí)也與與 有關(guān)，如吸附作用、溶解作用，不能簡單的有關(guān)，如吸附作用、溶解作用，不能簡單的 給定，因此上述給定，因此上述方程不能單獨(dú)求解，還必須引入方程不能單獨(dú)求解，還必須引入通量通量與與驅(qū)動(dòng)力驅(qū)動(dòng)力之間的關(guān)系式，即之間的關(guān)系式，即質(zhì)質(zhì)量通量量通量與與組分密度組分密度間的關(guān)

7、系。間的關(guān)系。zyxuuu,I 在多組分組成的溶體體系中，一種組分的運(yùn)移受兩個(gè)因素的驅(qū)動(dòng)在多組分組成的溶體體系中，一種組分的運(yùn)移受兩個(gè)因素的驅(qū)動(dòng)：2-3 組分的對(duì)流擴(kuò)散方程（連續(xù)介質(zhì)）一一是受流體的流動(dòng)的控制是受流體的流動(dòng)的控制，即該組分按平均流速隨這個(gè)流體體系，即該組分按平均流速隨這個(gè)流體體系的運(yùn)移，的運(yùn)移， 即即對(duì)流對(duì)流；二二是該組分的自身分子擴(kuò)散是該組分的自身分子擴(kuò)散，即由，即由濃度梯度濃度梯度引起的相對(duì)于平均流速引起的相對(duì)于平均流速運(yùn)移的運(yùn)移的分子擴(kuò)散分子擴(kuò)散。uutuututIdivdivdivdiv下面在下面在組分質(zhì)量守恒方程基礎(chǔ)上建立組分質(zhì)量守恒方程基礎(chǔ)上建立組分的組分的對(duì)流對(duì)流

8、擴(kuò)散方程擴(kuò)散方程：引入引入組分的質(zhì)量擴(kuò)散通量組分的質(zhì)量擴(kuò)散通量 則上式可寫成：則上式可寫成：JIJutdivdiv 是是組分的質(zhì)量通量組分的質(zhì)量通量 的的對(duì)流對(duì)流分量。分量。 是是組分的質(zhì)量通量組分的質(zhì)量通量 的的擴(kuò)散擴(kuò)散分量。分量。uuJu 對(duì)于上有溶質(zhì)、溶劑兩種組分構(gòu)成的二元體系，對(duì)于上有溶質(zhì)、溶劑兩種組分構(gòu)成的二元體系，組分在等溫組分在等溫條件（忽略熱擴(kuò)散）相對(duì)于質(zhì)量平均速度條件（忽略熱擴(kuò)散）相對(duì)于質(zhì)量平均速度 的擴(kuò)散通量的擴(kuò)散通量 可依可依Fick定律得出：定律得出：uJgradmDJ 表示溶質(zhì)的分子擴(kuò)散系數(shù)：表示溶質(zhì)的分子擴(kuò)散系數(shù)：mDICDuCtCmgraddivdiv二元體系中二

9、元體系中組分的組分的對(duì)流對(duì)流擴(kuò)散方程擴(kuò)散方程 對(duì)于低濃度溶液，濃度對(duì)于低濃度溶液，濃度C的改變并不明顯地影響的改變并不明顯地影響 ，于是，于是 可視為常量，可視為常量， 也可視為常數(shù)。則：也可視為常數(shù)。則：mDCDJmgradICDuCtCmgraddivdiv稀釋的二元體系中稀釋的二元體系中組分的對(duì)流組分的對(duì)流擴(kuò)散方程擴(kuò)散方程 將上述對(duì)流擴(kuò)散方程加上適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件和初始條件。即可用來解決流動(dòng)的地表水中組分的分布及變化規(guī)律（例如地表水體中污染物質(zhì)的遷移）。應(yīng)用條件：1、二元體系二元體系；2、等溫條件等溫條件；3、低濃度低濃度；因此，必須對(duì)上述方程的各變量在典型單元體上取平均值，也就是從微觀水平

10、上的研究過渡到比較粗的宏觀水平上來研究多孔介質(zhì)中所發(fā)生的現(xiàn)象。方程中微觀變量C、 ，都是相對(duì)于流體的質(zhì)點(diǎn)而言的，而實(shí)際工作中都是取它們在典型單元體上的平均值。u2-4 多孔介質(zhì)中水動(dòng)力彌散方程 上述對(duì)流擴(kuò)散方程是對(duì)流體連續(xù)介質(zhì)建立的，若從這種微觀水平上來研究多孔介質(zhì)中的溶質(zhì)輸運(yùn)，則需把多孔介質(zhì)的骨架作為問題的邊界。 將速度將速度 和濃度和濃度 在典型單元體的空隙體積在典型單元體的空隙體積 上取平上取平均均 值值 和和 ：CuVV。uCvoVVVodVuVu1voVVVoCdVVC1速度速度 和濃度和濃度 可分別用平均值可分別用平均值 、 和偏差和偏差 、 之和之和來表示：來表示：uuCCuC顯

11、然顯然0u0CICCDuuCCtCCmgraddivdivuuuCCC于是連續(xù)性水動(dòng)力方程可以寫成：于是連續(xù)性水動(dòng)力方程可以寫成：注意到注意到：在典型單元體上的液相體積中取平均值，得在典型單元體上的液相體積中取平均值，得0uCuC0uCuC并且：并且：梯度的平均梯度的平均等于等于平均的梯度；散度的平均平均的梯度；散度的平均等于等于平均的散度；平均的散度；對(duì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)的平均值對(duì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)的平均值等于等于平均對(duì)時(shí)間求導(dǎo)平均對(duì)時(shí)間求導(dǎo)?？傻茫骸？傻茫篒CDuCuCtCmgraddivdivdivuCuCCuC )( uCuC ICCDuuCCtCCmgraddivdiv)(展開，得展開，得ICDCDuC

12、uCuCuCtCtCmmgraddivgraddivdivdivdivdivCDCDCDmmmgradgradgrad 在溶液連續(xù)體中的分子擴(kuò)散系數(shù)在溶液連續(xù)體中的分子擴(kuò)散系數(shù) 在多孔介質(zhì)典型單元在多孔介質(zhì)典型單元體的空隙體積上取平均之后變?yōu)轶w的空隙體積上取平均之后變?yōu)閙D mD多孔介質(zhì)的分子擴(kuò)散系數(shù)多孔介質(zhì)的分子擴(kuò)散系數(shù)它是一個(gè)張量，一般講，他在數(shù)值上要它是一個(gè)張量，一般講，他在數(shù)值上要小于小于 。mDuC在平均過程中而引入的宏觀水平上的附加變量為在平均過程中而引入的宏觀水平上的附加變量為 機(jī)械彌散變量機(jī)械彌散變量，它是由于速度偏差，它是由于速度偏差 而產(chǎn)生的彌散而產(chǎn)生的彌散通量。如果不存在

13、速度偏差通量。如果不存在速度偏差 ，并忽略分子擴(kuò)散，并忽略分子擴(kuò)散，則溶質(zhì)呈現(xiàn)則溶質(zhì)呈現(xiàn)“活塞式推進(jìn)活塞式推進(jìn)”或遷移?；蜻w移。uuCDuCgrad 機(jī)械彌散系數(shù)（張量）機(jī)械彌散系數(shù)（張量） 實(shí)驗(yàn)表明實(shí)驗(yàn)表明：機(jī)械彌散通量類似介質(zhì)中的分子擴(kuò)散通量，也服從：機(jī)械彌散通量類似介質(zhì)中的分子擴(kuò)散通量，也服從于類似于類似FickFick擴(kuò)散定律的形式：擴(kuò)散定律的形式：DIuCCDtCdivgraddivDDD 水動(dòng)力彌散系數(shù)水動(dòng)力彌散系數(shù)上式稱為水動(dòng)力彌散方程。上式稱為水動(dòng)力彌散方程。CDJDgrad水動(dòng)力彌散通量多孔介質(zhì)的分子擴(kuò)散系數(shù)機(jī)械彌散系數(shù)水動(dòng)力彌散系數(shù)水動(dòng)力彌散系數(shù)ICDDuCtC grad)

14、(divdiv記則建立建立水動(dòng)力彌散方程，水動(dòng)力彌散方程，我們涉及了我們涉及了3 3個(gè)水平，即分子水平、微觀水個(gè)水平，即分子水平、微觀水平和宏觀水平。地下水動(dòng)力學(xué)中，一般僅涉及宏觀水平。但對(duì)于彌平和宏觀水平。地下水動(dòng)力學(xué)中，一般僅涉及宏觀水平。但對(duì)于彌散問題，必須涉及到此散問題，必須涉及到此3 3個(gè)水平。這是因?yàn)椋翰恢v分子水平，就無個(gè)水平。這是因?yàn)椋翰恢v分子水平，就無法理解分子擴(kuò)散、不講微觀水平，就搞不清機(jī)械彌散；法理解分子擴(kuò)散、不講微觀水平，就搞不清機(jī)械彌散；但為了解決問題，我們最終不得不上升到宏觀水平上來。但為了解決問題，我們最終不得不上升到宏觀水平上來。 習(xí)慣上去掉“”，水動(dòng)力彌散方程即

15、表示為：IuCxxCDtCijijdivIuCCDtCdivgraddiv寫成微分的形式：3 , 2 , 1,ji I多組分組成的流體中，多組分組成的流體中，單位體積流體在單位時(shí)間內(nèi)，由于化單位時(shí)間內(nèi)，由于化學(xué)反應(yīng)或其它原因所學(xué)反應(yīng)或其它原因所產(chǎn)生產(chǎn)生（或（或消失消失）的某組分的）的某組分的質(zhì)量質(zhì)量。展開：展開：IuCzuCyuCxzCDyCDxCDzzCDyCDxCDyzCDyCDxCDxtCzyxzzzyzxyzyyyxxzxyxx對(duì)于一維流動(dòng)二維水動(dòng)力彌散：IuCxyCDxCDyyCDxCDxtCxyyyxxyxx對(duì)于一維流動(dòng)一維水動(dòng)力彌散：IuCxxCDxtCxxx2-5 源匯項(xiàng)源匯項(xiàng)

16、源匯項(xiàng) 系指在單位時(shí)間內(nèi)、單位液相體積中由于化學(xué)反應(yīng)、生系指在單位時(shí)間內(nèi)、單位液相體積中由于化學(xué)反應(yīng)、生物化學(xué)作用或抽注水等產(chǎn)生減少物化學(xué)作用或抽注水等產(chǎn)生減少組分的質(zhì)量。組分的質(zhì)量。2-5-1 放射性密度與化學(xué)、生物化學(xué)反應(yīng)放射性密度與化學(xué)、生物化學(xué)反應(yīng)設(shè)其變化規(guī)律為：設(shè)其變化規(guī)律為：teCC0CeCtCt0即：衰變速率與當(dāng)時(shí)濃度成正比CuCxxCDtCijijdiv3 , 2 , 1,ji 若由于化學(xué)反應(yīng)或生物化學(xué)反應(yīng)而使示蹤劑在單位體積溶液中的消耗速率或產(chǎn)生速率與其濃度成正比，也可以用上述式子表示。2-5-2 吸附與解吸 吸附與解吸：在一定條件下，溶液中某些溶質(zhì)在多孔介質(zhì)的固相表面產(chǎn)生吸

17、附、解吸等物理化學(xué)作用。 這些作用的結(jié)果應(yīng)該綜合到源匯項(xiàng)中：如果固相表面吸附示蹤劑，稱為吸附，視為匯；否則，稱為解吸，視為源。(匯 )水吸 附解 吸離 子 交 換固 體(源 )(源 、 匯 )溶解相溶解相與吸附之間的吸附解析作用與吸附之間的吸附解析作用往往是一個(gè)可逆的過程：AAA吸附解析0)1()(tCntnC多孔介質(zhì)多孔介質(zhì)孔隙度孔隙度固體骨固體骨架體積架體積溶解相溶解相A A的密度的密度吸附相吸附相的密度的密度對(duì)于飽水多孔介質(zhì)對(duì)于飽水多孔介質(zhì) n= =常數(shù)常數(shù)（孔隙率），則（孔隙率），則tCntCn)1 (tCnnI)1 (常數(shù)CnnC)1 ()(則則在體積為在體積為1 1的含水層中，如果

18、體系中某種溶質(zhì)的吸附的含水層中，如果體系中某種溶質(zhì)的吸附- -解吸為平衡，解吸為平衡，則有則有 I 表示單位時(shí)間內(nèi)在單位液相體積由于這些作用增加或減少的示蹤劑的質(zhì)量。 （i）對(duì)于非均衡吸附作用：）對(duì)于非均衡吸附作用：0CKCKrf 吸附作用常數(shù)吸附作用常數(shù)解析作用常數(shù)解析作用常數(shù)rK （ii）對(duì)于均衡吸附作用：）對(duì)于均衡吸附作用：CKCKKCdrf平衡常數(shù)平衡常數(shù)tCKnntCnnId)1 ()1 (tCKnnId10CKCKrffKiiiijidCuxxCDxtCKnn 113 , 2 , 1,ji令ddKnnR11則上式可以寫為：則上式可以寫為：diijdijiRuCxxCRDxtC3 ,

19、 2 , 1,ji該方程形式上也不再含有源匯項(xiàng)。只是用只是用 去除以水動(dòng)力彌散系數(shù)去除以水動(dòng)力彌散系數(shù) 和流速和流速 ，由于，由于 ，因，因此吸附作用產(chǎn)生的后果，相對(duì)于此吸附作用產(chǎn)生的后果，相對(duì)于 和和 均減小均減小 ，起到減緩，起到減緩彌散的作用。所以把彌散的作用。所以把 稱為：減緩因子。稱為：減緩因子。DudR1dRDudR1dR將其代入對(duì)流將其代入對(duì)流彌散方程中整理得到：彌散方程中整理得到：2-5-3 抽水與注水抽水與注水 如果有抽水或注水井，含水層中示蹤劑的質(zhì)量就會(huì)發(fā)生變化：如果有抽水或注水井，含水層中示蹤劑的質(zhì)量就會(huì)發(fā)生變化：（i）當(dāng)抽水時(shí)：）當(dāng)抽水時(shí)：若假設(shè)單位時(shí)間內(nèi)從單位體積含水

20、層中的抽水量為若假設(shè)單位時(shí)間內(nèi)從單位體積含水層中的抽水量為W。則。則CnWI孔隙率孔隙率為抽水點(diǎn)處的溶質(zhì)濃度為抽水點(diǎn)處的溶質(zhì)濃度表示失去的溶質(zhì)表示失去的溶質(zhì)則，水動(dòng)力彌散方程可寫為：則，水動(dòng)力彌散方程可寫為：CnWCuxxCDxtCiijiji3 , 2 , 1,ji（ii）單位時(shí)間內(nèi)向單位體積含水層中注入含有示蹤劑的水（示蹤）單位時(shí)間內(nèi)向單位體積含水層中注入含有示蹤劑的水（示蹤劑濃度劑濃度C0）)(0CCnWI水動(dòng)力彌散方程為：水動(dòng)力彌散方程為：)(0CCnWCuxxCDxtCiijiji3 , 2, 1,ji0CnWI0CnWCuxxCDxtCiijiji或或 若含水量若含水量不等于常數(shù)（

21、飽氣帶）。不等于常數(shù)（飽氣帶）。（iii）含水層中注入濃度）含水層中注入濃度C0的放射性示蹤劑，該示蹤劑又與固體顆的放射性示蹤劑，該示蹤劑又與固體顆粒發(fā)生均衡吸附作用，此時(shí)的水動(dòng)力彌散方程可表示為：粒發(fā)生均衡吸附作用，此時(shí)的水動(dòng)力彌散方程可表示為：0CnWCRuCxxCRDxtCdiiidiji3,2, 1,ji則：則：0WCCRuCxxCRDxtCdiiidiji3,2,1,ji研究非飽和帶中的溶質(zhì)運(yùn)移研究非飽和帶中的溶質(zhì)運(yùn)移非飽和水動(dòng)力彌散方程。2-6 初始條件與邊界條件水動(dòng)力彌散方程揭示了溶質(zhì)在地下水中運(yùn)移的一般規(guī)律，對(duì)于一個(gè)具體問題，我們必須知道其初始的狀態(tài)，以及邊界條件，才能達(dá)到地下

22、水中溶質(zhì)的空間分布規(guī)律及其隨時(shí)間的變化。2-6-1 初始條件初始條件 描述綜合初始時(shí)刻，研究區(qū)D內(nèi)各點(diǎn)（x,y,z)處的濃度分布狀態(tài)的條件（數(shù)學(xué)表達(dá)式） 初始條件如),(|00zyxCCtDzyx,初始條件確指原始狀態(tài)；初始時(shí)刻可以任意選定，只要已知那一時(shí)刻研究區(qū)各點(diǎn)的濃度即可。 例如：t=0時(shí)向某區(qū)域注入含示蹤劑的水，若在此之前研究區(qū)D不含該示蹤劑，則C(x,y,z)=0。如：在彌散試驗(yàn)時(shí)，可將示蹤劑注入前濃度分布視為初始狀態(tài)。設(shè)計(jì)地下污水治理方案時(shí)，可將現(xiàn)狀污染物分布視為初始條件。2-6-2 邊界條件 邊界條件指的是研究區(qū)邊界上的溶質(zhì)濃度分布和變化情況或邊界上流入（或流出）研究區(qū)的濃度分布

23、和變化情況。主要有以下三類情況 1、第一類邊界條件：給定濃度邊界，即已知邊界上的濃度分布。 tzyxfCB,110,1tBzyx為B B1上的已知函數(shù)為研究區(qū)D的第一類邊界 2、第二類邊界條件 給定彌散通量邊界 指已知邊界彌散通量隨時(shí)間變化規(guī)律的邊界條件，或者稱之為Neumann邊界條件，tzyxfnCDB,grad220,2tBtzyx水動(dòng)力彌散系數(shù)為研究區(qū)上的第二類邊界為邊界B2上某點(diǎn)（x，y，z）處的外法線方向上的單位向量已知函數(shù)，定義在B2上。 3、第三類邊界條件 給定溶質(zhì)通量邊界 指已知邊界上溶質(zhì)通量隨時(shí)間變化規(guī)律的邊界條件，或稱之為Cauchy邊界條件。zyxfnCDuCB,gra

24、d330,3tBtzyx孔隙平均流速已知函數(shù)為研究區(qū)上的第三類邊界數(shù)學(xué)模型：描述實(shí)際問題的函數(shù)或數(shù)學(xué)方程。數(shù)學(xué)模型：描述實(shí)際問題的函數(shù)或數(shù)學(xué)方程。地下水溶質(zhì)運(yùn)移數(shù)學(xué)模型：微分方程地下水溶質(zhì)運(yùn)移數(shù)學(xué)模型：微分方程+初始條件初始條件+邊界條件。邊界條件。一般可以寫成：一般可以寫成：2-7 數(shù)學(xué)模型IuCxxCDxtCxxx),(|00zyxCCtDzyx,zyxfnCDuCB,grad330,3tBzyx0,tDzyx例例1 1： 無限長多孔介質(zhì)柱體，初始示蹤劑呈階梯函數(shù)分布無限長多孔介質(zhì)柱體，初始示蹤劑呈階梯函數(shù)分布 設(shè)有一無限長均質(zhì)砂柱，以速度設(shè)有一無限長均質(zhì)砂柱，以速度u做穩(wěn)定流動(dòng)，且初始濃

25、度呈階做穩(wěn)定流動(dòng)，且初始濃度呈階梯狀分布（梯狀分布（圖圖48）。）。解：該問題屬于一維穩(wěn)定流動(dòng)一維水動(dòng)力彌散問題，取坐標(biāo)系如圖解：該問題屬于一維穩(wěn)定流動(dòng)一維水動(dòng)力彌散問題，取坐標(biāo)系如圖4-8，則數(shù)學(xué)模型可寫成，則數(shù)學(xué)模型可寫成xCuxCDtCL2200)0 ,(10 xCxCxC0),(0tCtC0),(1tCtC例例2 2： 半無限長多孔介質(zhì)柱體，一端為定濃度邊界半無限長多孔介質(zhì)柱體，一端為定濃度邊界 設(shè)有一半無限長均質(zhì)砂柱，一維穩(wěn)定流動(dòng)，孔隙平均流速為設(shè)有一半無限長均質(zhì)砂柱，一維穩(wěn)定流動(dòng)，孔隙平均流速為u，其一端為定濃度邊界，求其濃度分布。其一端為定濃度邊界，求其濃度分布。 解：取坐標(biāo)系如

26、圖解：取坐標(biāo)系如圖410所示。該問題的數(shù)學(xué)模型可描述如下所示。該問題的數(shù)學(xué)模型可描述如下 xCuxCDtCL220)0 ,(xC0), 0(CtC0),( tC例3： 一維穩(wěn)定流動(dòng)二維水動(dòng)力彌散問題 在均質(zhì)各向同性、等厚的承壓含水層中存在著一維穩(wěn)定流在均質(zhì)各向同性、等厚的承壓含水層中存在著一維穩(wěn)定流動(dòng)，孔隙平均流速為動(dòng)，孔隙平均流速為u，取，取x坐標(biāo)軸平行地下水流向（圖坐標(biāo)軸平行地下水流向（圖411）。）。這時(shí)，對(duì)于水動(dòng)力彌散系數(shù)而言卻是均質(zhì)各向異性的，在這時(shí)，對(duì)于水動(dòng)力彌散系數(shù)而言卻是均質(zhì)各向異性的，在x方向方向?yàn)榭v向彌散系數(shù)為縱向彌散系數(shù)DL，而在，而在y方向?yàn)闄M向彌散系數(shù)方向?yàn)闄M向彌散系

27、數(shù)DT。 xCuyCDxCDtCxTL22220)0 ,(yxC0), 0(CtyC0),(tyC0),( txC 習(xí)題： 1.設(shè)計(jì)Fick試驗(yàn)儀，驗(yàn)證Fick定律，計(jì)算多孔介質(zhì)分子擴(kuò)散系數(shù)及水動(dòng)力彌散系數(shù)。2.寫出一維砂柱溶質(zhì)運(yùn)移數(shù)學(xué)模型 例一、如下圖多孔介質(zhì)A的邊界外為另一種介質(zhì)B則在A-B的邊界上，溶質(zhì)通量應(yīng)該保持BLxALxxCDCunxCDCun21n為孔隙率為孔隙率例二、如右圖多孔介質(zhì)為無孔隙介質(zhì)，則通過該邊界的流量和溶質(zhì)的質(zhì)量都為0。000BxLxxCuxCDu0LD例三、多孔介質(zhì)外圍為Cr的河水。0BdrLxdrLxxCDuCxCDCunxCDuCxCDCun若忽略分子擴(kuò)散：若忽略分子擴(kuò)散：0BrLxuCxCDCu當(dāng)是湖泊，水流靜止：當(dāng)是湖泊，水流靜止：0BLxxCDCu例四、多求介質(zhì)邊界為空氣，此時(shí)兩側(cè)的濃度相等：0BxC濃度不變，變化率為0。方向?qū)?shù)：方向?qū)?shù)：coscoscoszuyuxulu梯度：梯度：sMusMulu)()(lim定義：若在數(shù)量場中的一點(diǎn)定義：若在數(shù)量場中的一點(diǎn)M處，存在這樣的矢量處，存在這樣的矢量G，其方，其方向?yàn)楹瘮?shù)向?yàn)楹瘮?shù)u(M)在點(diǎn)在點(diǎn)M處變化率最大的方向，其模也正好是處變化率最大的方向，其模也正好是這個(gè)最大變化率的數(shù)位