規(guī)律探究專題

1、規(guī)律探究專題教案教學(xué)目標(biāo)通過規(guī)律的探索，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析、比較、概括、推理、判斷的能力，并積累數(shù)學(xué)探究經(jīng)驗，提高學(xué)生的合情推理能力和靈活解決問題的能力。重點:在規(guī)律探索的活動中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考水平，并形成基本的解題策略。難點：形成基本的良好效的解題策略。教學(xué)過程：（一）綜述“規(guī)律探究類問題”是中考中的一棵常青樹，一直受到命題者的青睞。這類試題要求學(xué)生有一定的數(shù)感與符號感，學(xué)生通過觀察、分析、比較、概括、推理、判斷等探索活動，得到圖形或數(shù)式內(nèi)在規(guī)律的一般通式。不僅有利于促進數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法的鞏固和提高，也有利于自主探索，創(chuàng)新精神的培養(yǎng)因此規(guī)律探究類問題一直成為命題的熱點。1規(guī)律探索型問題

2、的特點：基礎(chǔ)知識廣形式靈活善變思維量大解法多樣化解題策略：特殊到一般到特殊過程2基本題型：數(shù)式規(guī)律、圖形規(guī)律、數(shù)形結(jié)合規(guī)律等。多以填空題和選擇題出現(xiàn)，近幾年，解答題的規(guī)律探究題型開始增多。（二）例題分析提煉方法一數(shù)式規(guī)律例1觀察下列各式，你會發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？15、35、63、99、143、佃5,請你猜想到的規(guī)律用只含一個字母的代數(shù)式表示出來：.分析：3X5=15,5X7=35,7X9=63,9X11=99,11X13=143,.25811例2一組按規(guī)律排列的式子：丄，g,-豈，b7（abz0）,aaaa其中第7個式子是，第n個式子是（n為正整數(shù)）本題難點是，變化的部分太多，有三處發(fā)生變化：分子、

3、分母、分式的符號。學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)各部分的變化規(guī)律，但是如何用一個統(tǒng)一的式子表示出分式的符號的變化規(guī)律是難點.分析:分子的指數(shù)依次排列為：2、5、8112=2+3X05=2+3X18=2+3X211=2+3X3分子是變化規(guī)律是：23（n-1）=3n-1例3（2010江蘇鹽城）填在下面各正方形中的四個數(shù)之間都有相同的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律，m的值是（D）A.38B.52C.66D.74310036*8-4=44,分析：觀察圖表可知2*4-0=8,4*6-2=22,8*10-6=74例4中央電視臺開心辭典”欄目有這么一道題：觀察下列一組數(shù)列的排列規(guī)律1,2,3,4,3,2,1,2,3,4,3,2,1，那么

4、第2006個數(shù)字是（）A1B.2C.3D.4點撥:認真觀察數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)：這組數(shù)的排列規(guī)律是1,2,3,4,3,2為一個循環(huán)，用2006除以6商為334余數(shù)為2,對應(yīng)數(shù)列中的2,故選B。例5如圖所示的運算程序中，若開始輸入的x值為48,我們發(fā)現(xiàn)第一次輸出的結(jié)果為24,第二次輸出的結(jié)果為12,，則第2010次輸出的結(jié)果為(B)(A)6(B)3(C)3(D)320032006輸I出次數(shù)123456輸1出數(shù)值2412636分析：(2010-2)+2=1004若輸出第2011次呢？輸出數(shù)值是幾？9162536例6一個巴爾末的中學(xué)教師成功地從光譜數(shù)據(jù)，-，,5122132中得到巴爾末公式，從而打開了光譜奧

5、秘的大門，請你按照這種規(guī)律，寫出第n(n>1)個數(shù)據(jù)是.解法一：分子是從3開始的連續(xù)的自然數(shù)的平方；分子都比分母大24所以第n個數(shù)據(jù)是(n2)。(n+2)-4解法二：觀察發(fā)現(xiàn)分母可以依次看作1*5、2*6、3*7、4*8故分母的規(guī)律是n(n+4).第n個數(shù)據(jù)是(n2)n(n+4)例7觀察下列各式：1X3=12+2X1；2X4=22+2X2;3X5=32+2X3;請你將猜想到的規(guī)律用正整數(shù)n表示出來n(n+2)=n2+2_n.方法總結(jié)：橫向熟悉代數(shù)式、算式的結(jié)構(gòu)；縱向觀察、對比，研究各式之間的關(guān)系，尋求變與不變規(guī)律；按要求寫出算式或結(jié)果。例8(07年重慶市中考題)將正整數(shù)按如圖所示的規(guī)律排

6、列下去。若用有序?qū)崝?shù)對表示第n排，從左到右第m個數(shù)，如（4,3）表示實數(shù)9,貝（7,2）表示的實數(shù)是。1第一排3第二排6第三排910第四排分析：觀察數(shù)字排列可知：每排數(shù)字是連續(xù)的自然數(shù)，每排數(shù)字的個數(shù)等于排數(shù)即（7,2）表示的數(shù)即1+2+3+4+5+6+2=23，所以（7,2）表示的實數(shù)為23。反思：第n排的第m個數(shù)對應(yīng)的是什么實數(shù)呢？由特殊到一般的方法可得：1+2+3+（n1）+m=初（n-1）'m,（n,m）表示的實數(shù)為2n（n-1）m（三）小結(jié)與反思1規(guī)律探究題的解題策略是什么？由特殊經(jīng)合情推理到一般再由一般驗證特殊的探究過程。2你獲得了哪些解題經(jīng)驗和方法？注意觀察數(shù)與式中變與不

7、變的規(guī)律；連續(xù)自然數(shù)的求和方法:（首項+末項）乘以項數(shù)除以2;用列表法找規(guī)律等。二、圖形規(guī)律例1用同樣大小的黑色棋子按圖所示的方式擺圖形，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第n個圖形需棋子枚(用含n的代數(shù)式表示)方法一：除第一個圖形有4枚棋子外，每多一個圖形，多3枚棋子.4+3(n1)=3n+1第2個圖第3個圖第i個圖方法二:每個圖形，可看成是序列數(shù)與3n+1方法三:(n+1)+2n=3n+1方法總結(jié)：認真觀察研究圖案(形)提取數(shù)式信息仿照數(shù)式規(guī)律得到結(jié)論啲倍數(shù)又1多1枚棋子2+2X123+2X234+2X3。n(n+1)+2n例2拿出一張長方形的紙對折，可以得到一條折痕，繼續(xù)對折，對折時每次折痕與上次

8、的折痕保持平行，連續(xù)折6次后，可以得到幾條折痕？如果對折10次呢？對折n次呢？由一般到特殊可得：當(dāng)n=6時，折痕條數(shù)為26-1；n=10時，折痕條數(shù)為210-1；對折n次，折痕條數(shù)為2n-1。例3如圖，將一張正方形紙片剪成四個小正方形，得到4個小正方形，稱為第一次操作；然后，將其中的一個正方形再剪成四個小正方形，共得到7個小正方形，稱為第二次操作；再將其中的一個正方形再剪成四個小正方形，共得到10個小正方形，稱為第三次操作；，根據(jù)以上操作，若要得到2011個小正方形，則需要操作的次數(shù)是(670)分析：4+3(n-1)=2011n=670例4如圖，小明作出了邊長為1的第1個正A1B1C1，算出了

9、正A1B1C1的面積。然后分別取A1B1C1的三邊中點A2、B2、C2，作出了第2個正A2B2C2，算出了正A2B2C2的面積。用同樣的方法，作出了第3個正A3B3C3，算出了正A3B3C3的面積，由此可得，第10個正A10B10C10的面積是（）.分析：依次所作的等邊三角形與前一個等邊三角形相似，且1相似比是2,面積比為。第一個三角形的面積為工4，所以第n個三角形的面積為1_4BiAi3A3B3C2A2Ci10個正A10B10C103/19二T)(丁)44面積是例5如圖，菱形ABCD中，AB=2，/C=60°，菱形ABCD在直線I上向右作無滑動的翻滾，每繞著一個頂點旋轉(zhuǎn)60

10、6;叫一次操作，則經(jīng)過36次這樣的操作菱形中心0所經(jīng)過的路徑總長為（結(jié)果保留弧002二1203弧0203=菱形中心C所經(jīng)過的路徑=(空心12180180=(834)二例6將正方體骰子（相對面上的點數(shù)分別為1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如圖6-1.在圖6-2中，將子向右翻滾90°,然后在桌面上按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°則完成一次變換.若骰子的初始位置為圖6-1所示的狀態(tài)，那么按上述規(guī)則連續(xù)完成10次變換后，骰子朝上一面的點數(shù)是（B）A.6B.5C.3D.2小結(jié)與反思這節(jié)課你有哪些收獲？收獲一：形數(shù)結(jié)合收獲二：循環(huán)規(guī)律題的特點和解法收獲三：必要的動手操作，增強直觀性。三

11、、數(shù)形結(jié)合類規(guī)律例1古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)，例如：他們研究過圖1中的1，3,6，10，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖2中的1,4,9,16,，這樣的數(shù)為正方形數(shù).下列數(shù)中既是三角數(shù)又是正方形數(shù)的是（）（A）15（B）25（C）55（D）1225IH49Ifib之|分析：圖一的規(guī)律是1+2+3+n=圖二的規(guī)律是m2,故可排除A和C選項。由n（n+1）=2m2,所以2X25=50不能分解為兩個連續(xù)整數(shù)的積，故D選項正確。例2電子跳蚤游戲盤是如圖所示的厶ABC,AB=6,AC=7,BC=8.如果跳蚤開始時在BC邊的P0處，BP0=2.跳蚤第一步從P

12、0跳到AC邊的P1（第一次落點）處，且CP1=CP0;第二步從P1跳到AB邊的P2（第一次落點）處，且AP2=AP1;第三步從P2跳到BC邊的P3（第三次落點）處，且BP3=BP2;；跳蚤按上述規(guī)則一致跳下去，第n次落點為Pn（n為正整數(shù)），則點P2007與P2010之間的距離為（）B.2C.3Pi分析：AB=6,A(=7,BC=8.BP0=2CR二CR=6AR二AP=1PoBF2=BF3=52007-6=334余3到Ps點2010-6=350到P點p0pS=5-2=3點P2007與P201(之間的距離為3.選B例3如圖，是用棋子擺成的圖案，擺第1個圖案需要7枚棋子，擺第2個圖案需要佃枚棋子，

13、擺第3個圖案需要37枚棋子，按照這樣的方式擺下去，則擺第6個圖案需要127枚棋子，擺第n2個圖案需要3n23n1枚棋子.解法一：(數(shù)字探究法)圖形對應(yīng)的點的個數(shù)是7、19、37、可以33看作7=23-13,19=33-23,37=43-33(n1)-n解法二：(割補法)第n個圖形的點數(shù)和為(n1)2n2n(n1)=3n23n1例4在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的位置如圖所示，點A的坐標(biāo)為（1，0），點D的坐標(biāo)為（0,2）,延長CB交x軸于點A1，作正方形A1B1C1C；延長C伯1交x軸于點A2，作正方形A2B2C2C1按這樣的規(guī)律進行下去，第2010個正方形的面積為例5在反比例函數(shù)的10y

14、xox圖象上,有一系列點A1、A2、A3、An、An+1，若的橫坐標(biāo)為2,且以后每點的橫坐標(biāo)與它前一個點的橫坐標(biāo)的差都為2.現(xiàn)分別過點A1、A2、A3、An、An+1作x軸與y軸的垂線段，構(gòu)成若干個矩形如圖所示，將圖中陰影部分的面積從左到右依次記為S1、S2、S3、Sn,則S1=,則S1+S2+S3+Sn=用n的代數(shù)式表示）例6如圖2,在平面直角坐標(biāo)系中，有若干個整數(shù)點，其順序按圖中方向排列，如（1,0），（2,0），（2,1），（3,2），（3,1），（3,0）,，根據(jù)這個規(guī)律探索可得第100個點的坐標(biāo)為.例7已知點P的坐標(biāo)為（m,0）,在x軸上存在點Q（不與P點重合），以PQ為邊作正方形PQMN，使點M落在反比例函數(shù)y=的圖像上.小明對上述問題進行了探究，發(fā)現(xiàn)不論m取何值，符合上述條件的正方形只有兩個，且一個正方形的頂點M在第四象限，另一個正方M1在第二象限形的頂點（第23題圖）（1）如圖所示，若反比例函數(shù)解析式為尸,P點坐標(biāo)為（1,0）,圖中已畫出一符合條件的一個正方形PQMN，請你在圖中畫出符合條件的另一個正方形PQ1M1