復(fù)變函數(shù)及積分變換第四章

1、第四章第四章 解析函數(shù)的級數(shù)表示解析函數(shù)的級數(shù)表示1 1 復(fù)數(shù)列的極限復(fù)數(shù)列的極限2 2 復(fù)數(shù)項級數(shù)復(fù)數(shù)項級數(shù)4.14.1 復(fù)數(shù)項級數(shù)復(fù)數(shù)項級數(shù)4.1.1 4.1.1 復(fù)數(shù)列的極限復(fù)數(shù)列的極限稱稱 為復(fù)數(shù)列為復(fù)數(shù)列, 簡稱簡稱 (1,2,3,)nnnain 為數(shù)列為數(shù)列, 記為記為 .na定義定義4.1設(shè)設(shè) 是數(shù)列，是數(shù)列， 是常數(shù)是常數(shù). naai 如果如果 e e 0, 存在正整數(shù)存在正整數(shù)N, 使得當(dāng)使得當(dāng)nN 時時, 不等式不等式 naae e成立成立, 則稱當(dāng)則稱當(dāng)n時時, 收斂于收斂于 na, a或稱或稱 是是 的極限的極限, 記作記作a nalim,nnaa 或或 .naan 復(fù)

2、數(shù)列收斂與實數(shù)列收斂的關(guān)系復(fù)數(shù)列收斂與實數(shù)列收斂的關(guān)系lim,lim.nnnnaabbaabb=定理定理4.1 limnnaa 的充分必要條件是的充分必要條件是 該結(jié)論說明該結(jié)論說明: : 判別復(fù)數(shù)列的斂散性可轉(zhuǎn)化為判別判別復(fù)數(shù)列的斂散性可轉(zhuǎn)化為判別兩兩個實數(shù)列的斂散性個實數(shù)列的斂散性. .4.1.2 4.1.2 復(fù)數(shù)項級數(shù)復(fù)數(shù)項級數(shù)121nnnaaaa = = =+ + + + + L LL L為復(fù)數(shù)項級數(shù)為復(fù)數(shù)項級數(shù). .稱稱121nnknkSaaaa= =+=+ L L為該級數(shù)的前為該級數(shù)的前 n 項項部分和部分和.設(shè)設(shè) 是復(fù)數(shù)列是復(fù)數(shù)列, 則稱則稱 nnnai 級數(shù)收斂與發(fā)散的概念級數(shù)

3、收斂與發(fā)散的概念定義定義4.2如果級數(shù)如果級數(shù) 121nnnaaaa = = =+ + + + + L LL L的部分和數(shù)列的部分和數(shù)列 收斂于復(fù)數(shù)收斂于復(fù)數(shù) S, 則稱則稱級數(shù)收斂級數(shù)收斂, nS這時稱這時稱S為為級數(shù)的和級數(shù)的和, 并記做并記做 1.nnaS 如果如果 不收斂，則稱不收斂，則稱級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散. nS復(fù)數(shù)項級數(shù)與實數(shù)項級數(shù)收斂的關(guān)系復(fù)數(shù)項級數(shù)與實數(shù)項級數(shù)收斂的關(guān)系定理定理4.2 級數(shù)級數(shù) 收斂的充要收斂的充要11()nnnnnai條件是條件是 都收斂都收斂, 并且并且 11, nnnn111.nnnnnnai 說明說明 復(fù)數(shù)項級數(shù)的收斂問題復(fù)數(shù)項級數(shù)的收斂問題兩個實數(shù)項級數(shù)

4、的收斂問題兩個實數(shù)項級數(shù)的收斂問題級數(shù)收斂的必要條件級數(shù)收斂的必要條件lim0.nna 定理定理4.3如果級數(shù)如果級數(shù) 收斂收斂, 則則 1nna 證明由定理證明由定理4.2及實數(shù)項級數(shù)收斂的必要及實數(shù)項級數(shù)收斂的必要條件條件 知知 lim0, lim0nnnn lim0.nna 重要結(jié)論重要結(jié)論: : 發(fā)散發(fā)散. .1lim0nnnnaa 于是在判別級數(shù)的斂散性時于是在判別級數(shù)的斂散性時, 可先考察可先考察lim0.nna ?定義定義4.3設(shè)設(shè) 是復(fù)數(shù)項級數(shù)是復(fù)數(shù)項級數(shù), 如果正項如果正項1nna 級數(shù)級數(shù) 收斂收斂, 則稱級數(shù)則稱級數(shù) 絕對收斂絕對收斂. 若若1nna 1nna 絕對收斂級

5、數(shù)的性質(zhì)絕對收斂級數(shù)的性質(zhì)定理定理4.4若級數(shù)若級數(shù) 絕對收斂絕對收斂, 則它收斂則它收斂, 1nna 并且成立并且成立11.nnnnaa 1nna 絕對收斂絕對收斂 和和 都絕對收斂都絕對收斂. 1nn 1nn 發(fā)散，而發(fā)散，而 收斂，則稱級數(shù)收斂，則稱級數(shù)條件收斂條件收斂. .1nna 1nna 推論推論解解.)1(111)1(1121發(fā)發(fā)散散收收斂斂，發(fā)發(fā)散散， nnnninnn絕絕對對收收斂斂。收收斂斂， 000!)8(!8!8)2(nnnnnnninni.)2)1(21)1()3(111收收斂斂收收斂斂，收收斂斂， nnnnnnninn例例4.1否否絕絕對對收收斂斂？下下列列級級數(shù)數(shù)

6、是是否否收收斂斂？是是 011)2)1()3(!)8()2()1(1)1(nnnnnninninin.)1(1原原級級數(shù)數(shù)非非絕絕對對收收斂斂收收斂斂，條條件件又又 nnn1 1 冪級數(shù)的概念冪級數(shù)的概念2 2 冪級數(shù)的斂散性冪級數(shù)的斂散性3 3 冪級數(shù)的性質(zhì)冪級數(shù)的性質(zhì)4.2 4.2 冪冪 級級 數(shù)數(shù)為復(fù)變函數(shù)項級數(shù)為復(fù)變函數(shù)項級數(shù). . 010( )( )( )( )nnnfzfzf zfz 011( )( )( )( )nnSzfzf zfz為該級數(shù)前為該級數(shù)前n項的項的部分和部分和. .設(shè)設(shè) 是定義在區(qū)域是定義在區(qū)域D上的復(fù)變函數(shù)列上的復(fù)變函數(shù)列, ( )nfz稱稱4.2.1 4.2.

7、1 冪級數(shù)的概念冪級數(shù)的概念01( )( )( )( )nS zfzfzfz稱為該級數(shù)在區(qū)域稱為該級數(shù)在區(qū)域D上的上的和函數(shù)和函數(shù).如果對如果對 級數(shù)級數(shù) 收斂收斂, 即即 0,zD 01()nnfz 00lim()(),nnSzS z 則稱級數(shù)則稱級數(shù) 在在 點收斂點收斂, 且且 是級數(shù)和是級數(shù)和. 0( )nnfz 0z0()S z如果級數(shù)如果級數(shù) 在在D內(nèi)處處收斂內(nèi)處處收斂, 則稱其在則稱其在 0( )nnfz 區(qū)域區(qū)域D內(nèi)收斂內(nèi)收斂. 此時級數(shù)的和是函數(shù)此時級數(shù)的和是函數(shù)20010200()()()nnna zzaa zza zz 20120,nnnnna zaa za za z 這類

8、函數(shù)項級數(shù)稱為這類函數(shù)項級數(shù)稱為冪級數(shù)冪級數(shù).當(dāng)當(dāng) 或或 時時,0( )()nnnfzazz ( )nnnfza z 或或 的特殊情形的特殊情形00z 函數(shù)項級數(shù)的形式為函數(shù)項級數(shù)的形式為0(),nnazz定理定理4.5 (Abel定理定理)若級數(shù)若級數(shù) 在在 0nnna z 10z 處收斂，則當(dāng)處收斂，則當(dāng) 時時, 級數(shù)級數(shù) 絕對收斂絕對收斂; 0nnna z 1zz 若級數(shù)若級數(shù) 在在 處發(fā)散，則當(dāng)處發(fā)散，則當(dāng) 時時, 級數(shù)級數(shù) 0nnna z 2z2zz 0nnna z 發(fā)散發(fā)散. 4.2.2 4.2.2 冪級數(shù)的斂散性冪級數(shù)的斂散性收斂圓與收斂半徑收斂圓與收斂半徑(1) 對所有的正實數(shù)

9、都收斂對所有的正實數(shù)都收斂.級數(shù)在復(fù)平面內(nèi)絕對收斂級數(shù)在復(fù)平面內(nèi)絕對收斂. .(2) 對所有的正實數(shù)都發(fā)散對所有的正實數(shù)都發(fā)散.級數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點外處處發(fā)散級數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點外處處發(fā)散. .(3) 既存在使級數(shù)發(fā)散的正實數(shù)既存在使級數(shù)發(fā)散的正實數(shù), 也存在使級數(shù)收也存在使級數(shù)收斂的正實數(shù)斂的正實數(shù).設(shè)設(shè) 時時, 級數(shù)收斂級數(shù)收斂; 時時, 級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散. 如圖如圖:z z 由由 , 冪級數(shù)冪級數(shù) 收斂情況有三種收斂情況有三種:0nnna z xyo . .R收斂圓收斂圓收斂半徑收斂半徑冪級數(shù)冪級數(shù)0nnna z = = 的收斂范圍是以原點為中心的圓域的收斂范圍是以原點為中心的圓域.1

10、1 . 冪級數(shù)冪級數(shù)00()nnnazz 的收斂范圍是的收斂范圍是因此，因此，事實上事實上, 冪級數(shù)在收斂圓周上斂散性的討冪級數(shù)在收斂圓周上斂散性的討問題：問題：冪級數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何冪級數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何?以以 為中心的圓域為中心的圓域.0zz 收斂半徑根據(jù)前面所述的三種情形收斂半徑根據(jù)前面所述的三種情形, 分別分別, 0, . R 規(guī)定為規(guī)定為論比較復(fù)雜論比較復(fù)雜, 沒有一般的結(jié)論沒有一般的結(jié)論, 要對具體級數(shù)要對具體級數(shù)進行具體分析進行具體分析.解解2111(1).1nnnzSzzzzz 1 z1lim1nnSz 級數(shù)級數(shù) 0nnz收斂收斂,1 z0lim nnz級數(shù)級數(shù)

11、 0nnz發(fā)散發(fā)散.絕對收斂絕對收斂, 且有且有在在 內(nèi)內(nèi), 級數(shù)級數(shù)1z 0nnz例例4.24.2 求級數(shù)求級數(shù) 的和函數(shù)與收斂半徑的和函數(shù)與收斂半徑.0nnz 所以收斂半徑所以收斂半徑1,R 01.1nnzz 收斂半徑的計算方法收斂半徑的計算方法( (一一) )(3) 當(dāng)當(dāng) 時時, 收斂半徑收斂半徑 1.Rr r= =0 1lim,nnnaa ;R (1) 當(dāng)當(dāng) 時時, 收斂半徑收斂半徑 0 0;R (2) 當(dāng)當(dāng) 時時, 收斂半徑收斂半徑 定理定理4.6 (比值法比值法)設(shè)級數(shù)設(shè)級數(shù) 如果如果0.nnna z 則則收斂半徑的計算方法收斂半徑的計算方法( (二二) )(3) 當(dāng)當(dāng) 時時, 收

12、斂半徑收斂半徑 1.Rr r= =0 lim,nnna ;R (1) 當(dāng)當(dāng) 時時, 收斂半徑收斂半徑 0 0;R (2) 當(dāng)當(dāng) 時時, 收斂半徑收斂半徑 定理定理4.7 (根值法根值法)設(shè)級數(shù)設(shè)級數(shù) 如果如果0.nnna z 則則由于冪級數(shù)在收斂圓的內(nèi)部絕對收斂，因此由于冪級數(shù)在收斂圓的內(nèi)部絕對收斂，因此可得出下面幾個性質(zhì)可得出下面幾個性質(zhì). 性質(zhì)性質(zhì)4.1(1) 設(shè)級數(shù)設(shè)級數(shù) 和和 的收斂的收斂0nnna z 0nnnb z 半徑分別為半徑分別為 和和 1R2,R則在則在 內(nèi)內(nèi), 12min(,)zRR R000(),nnnnnnnnnnab za zb z 0110000.nnnnnnnn

13、nnna zb za ba ba bz 4.2.3 4.2.3 冪級數(shù)的性質(zhì)冪級數(shù)的性質(zhì)(2) 設(shè)級數(shù)設(shè)級數(shù) 的收斂半徑為的收斂半徑為 r.0( )nnnf za z 如果在如果在 內(nèi)內(nèi), 函數(shù)函數(shù) 解析解析, 并且并且Rz )(zg,)(rzg 則當(dāng)則當(dāng) 時時,Rz 0 ( ) ( ) .nnnf g zag z 說明說明: : 上述運算常應(yīng)用于將函數(shù)展開成冪級數(shù)上述運算常應(yīng)用于將函數(shù)展開成冪級數(shù).前面關(guān)于級數(shù)前面關(guān)于級數(shù) 的性質(zhì)的性質(zhì), 如果將如果將 換成換成0nnna z z0zz 之后之后, 對于級數(shù)對于級數(shù) 當(dāng)然也成立當(dāng)然也成立. 00()nnnazz bz 1例例4.34.3 把函

14、數(shù)把函數(shù) 表示成形如表示成形如0()nnnaza = =- - 的冪級數(shù)的冪級數(shù), 其中其中a與與b是不相等的復(fù)常數(shù)是不相等的復(fù)常數(shù) . bz1)()(1abaz 11.1zababa 代數(shù)變形代數(shù)變形 , 使其分母中出現(xiàn)使其分母中出現(xiàn))(az 湊出湊出)(11zg 把函數(shù)把函數(shù) 寫成如下的形式寫成如下的形式:bz 1211.1nzazazazababababa 2231111()()()()zazazbbababa 11().()nnzaba 當(dāng)當(dāng) 即即 時時,1,zaba zaRba 所以所以定理定理4.8設(shè)冪級數(shù)設(shè)冪級數(shù) 收斂半徑收斂半徑00()nnnazz 為為R, 并且在并且在 內(nèi)內(nèi)

15、, 0zzR 00( )() ,nnnf zazz 則則 是是 內(nèi)的解析函數(shù)內(nèi)的解析函數(shù), 且在收斂圓且在收斂圓 ( )f z0zzR 0zzR 內(nèi)內(nèi), 可以逐項求導(dǎo)和逐項積分可以逐項求導(dǎo)和逐項積分, 即即 (1) 當(dāng)當(dāng) 時時, 0zzR 101( );nnnfznazz (2) 設(shè)設(shè)C是是 內(nèi)的一條分段光滑曲線內(nèi)的一條分段光滑曲線,0zzR 則則 00( )dd .nnCCnf zzazzz 特別地特別地, 如果如果C是圓內(nèi)部的以是圓內(nèi)部的以z0為起點、為起點、z為為 終點的分段光滑曲線終點的分段光滑曲線, 則則 0100( )d.1znnznaf zzzzn 1 1 Taylor級數(shù)展開定

16、理級數(shù)展開定理2 2 將函數(shù)展開成將函數(shù)展開成Taylor級數(shù)級數(shù)4.3 4.3 Taylor級數(shù)級數(shù)實函數(shù)在一點的鄰域內(nèi)展開成實函數(shù)在一點的鄰域內(nèi)展開成Taylor級數(shù)是級數(shù)是非常重要的問題，它是表示函數(shù)、研究函數(shù)性質(zhì)非常重要的問題，它是表示函數(shù)、研究函數(shù)性質(zhì)以及進行數(shù)值計算的一種工具以及進行數(shù)值計算的一種工具. 對于復(fù)變函數(shù)對于復(fù)變函數(shù), 我們已經(jīng)知道冪級數(shù)在收斂我們已經(jīng)知道冪級數(shù)在收斂圓域內(nèi)收斂于解析函數(shù)圓域內(nèi)收斂于解析函數(shù). 在本節(jié)我們將證明解析在本節(jié)我們將證明解析函數(shù)在解析點的某鄰域內(nèi)一定能夠展開成冪級數(shù)函數(shù)在解析點的某鄰域內(nèi)一定能夠展開成冪級數(shù)Taylor級數(shù)級數(shù). 這是解析函數(shù)的

17、重要特征這是解析函數(shù)的重要特征. 4.3.1 4.3.1 Taylor級數(shù)展開定理級數(shù)展開定理R為為 到到D邊界的距離邊界的距離0z定理定理4.9 (Taylor展開定理展開定理) 設(shè)設(shè) 在區(qū)域在區(qū)域D)(zf內(nèi)解析內(nèi)解析, ,0z為為D內(nèi)的一點內(nèi)的一點,)()(00 nnnzzczf 0, 1, 2,.n D0z.R(D是全平面時是全平面時, R=+ ), 則則 在在 內(nèi)可內(nèi)可0zzR ( )f z展開為冪級數(shù)展開為冪級數(shù) 其中其中( )01()!nncfzn 系數(shù)系數(shù)cn按上述表示的冪級數(shù)稱為按上述表示的冪級數(shù)稱為( )f z在在 點的點的Taylor級數(shù)級數(shù). 0zTaylor展開式的惟

18、一性定理展開式的惟一性定理定理定理4.10設(shè)設(shè) ( )f z是是 D上的解析函數(shù)上的解析函數(shù), 0z是是 D內(nèi)的點，且在內(nèi)的點，且在 0zzR 內(nèi)可展成冪級數(shù)內(nèi)可展成冪級數(shù)00( )() ,nnnf zczz 則這個冪級數(shù)是則這個冪級數(shù)是 ( )f z在在0z點的點的Taylor級數(shù)，即級數(shù)，即( )0() (0,1, 2,).!nnfzcnn 注注 這個定理為把函數(shù)展開成這個定理為把函數(shù)展開成Taylor級數(shù)的間接級數(shù)的間接方法奠定了基礎(chǔ)方法奠定了基礎(chǔ).4.3.2 4.3.2 將函數(shù)展開成將函數(shù)展開成Taylor級數(shù)級數(shù)將函數(shù)展開為將函數(shù)展開為Taylor級數(shù)的方法級數(shù)的方法: :1. 直接

19、方法直接方法; 2. 間接方法間接方法.1. 直接方法直接方法 ( )01()0,1,2,!nncfznn 由由Taylor展開定理計算級數(shù)的系數(shù)展開定理計算級數(shù)的系數(shù)然后將函數(shù)然后將函數(shù) f (z)在在z0 展開成冪級數(shù)展開成冪級數(shù).例例4.4 求求( )zf ze 在在0z 的的Taylor展開式展開式.( )( )00(0)()1,nznzzzfee 所以它在所以它在 0z 處的處的Taylor級數(shù)為級數(shù)為( )00(0)!nnznnnfzeznn 21,2!nzzzn并且收斂半徑并且收斂半徑.R 因為因為( )zf ze 在復(fù)平面上解析，且在復(fù)平面上解析，且 2. 間接方法間接方法 借

20、助于一些已知函數(shù)的展開式借助于一些已知函數(shù)的展開式 , 結(jié)合解析結(jié)合解析函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì), 冪級數(shù)運算性質(zhì)冪級數(shù)運算性質(zhì) (逐項求導(dǎo)逐項求導(dǎo), 逐項逐項積分等積分等)和其它的數(shù)學(xué)技巧和其它的數(shù)學(xué)技巧 (代換等代換等) , 求函數(shù)的求函數(shù)的Taylor展開式展開式.間接法的優(yōu)點間接法的優(yōu)點: : 不需要求各階導(dǎo)數(shù)與收斂半徑不需要求各階導(dǎo)數(shù)與收斂半徑 , 因而比直因而比直接展開更為簡潔接展開更為簡潔 , 使用范圍也更為廣泛使用范圍也更為廣泛 .例例4.5利用利用00111cos( )(),22!iziznnnneeziziznn 22420( 1)cos1( 1),(2 )!2!4!(2 )!

21、nnnnnzzzzznn 并且收斂半徑并且收斂半徑.R 同理同理210( 1)sin(21)!nnnzzn 3521( 1) .3!5!(21)!nnzzzzzn 本例利用直接方法也很簡單本例利用直接方法也很簡單以及以及可解得可解得 和和 211( 1) 1 ,1nnzzzzz 例例4.6求求 21( )(1)f zz 在在0z 點鄰域內(nèi)點鄰域內(nèi) 的的Taylor級數(shù)級數(shù). 解解11z 是是( )f z的惟一奇點的惟一奇點, 且且 101,z 故收斂半徑故收斂半徑1.R 在在 中，用中，用z替換替換 -z, 則則 逐項求導(dǎo)，得逐項求導(dǎo)，得 221123( 1) (1) 1 .(1)nnzznz

22、zz 例例 4.7將將 221( )1f zz 展開為展開為z的冪級數(shù)的冪級數(shù). 201( 1) (1) 1 ,(1)nnnn 令令 則則 2,z 22 201( 1) (1)(1)nnnnzz 242123( 1) (1) 1 .nnzznzz 根據(jù)例根據(jù)例4.6， 例例4.8 求對數(shù)函數(shù)的主值求對數(shù)函數(shù)的主值 ln(1) z 在在z=0點點的的Taylor級數(shù)級數(shù). 負實軸向左的射線的區(qū)域內(nèi)解析負實軸向左的射線的區(qū)域內(nèi)解析. 1 Ro1 1xy因為因為 1ln(1),1zz 并且由并且由 有有 211( 1) 1 ,1nnzzzzz 函數(shù)函數(shù) ln(1) z 在復(fù)平面中割去從點在復(fù)平面中割

23、去從點-1沿沿 所以所以 ln(1) z 根據(jù)根據(jù) ，把上式逐項積分，得，把上式逐項積分，得10( 1)ln(1)1nnnzzn 231( 1) 1 .23nnzzzzzn 21( 1) 1 .nnzzzz 1 Ro1 1xy例例4.9求冪函數(shù)求冪函數(shù) (1) z ( 為復(fù)數(shù)為復(fù)數(shù))的主值的主值 ln(1)( ), (0)1zf zef 在在z=0點的點的Taylor展開式展開式. 實軸向左的射線的區(qū)域內(nèi)解析實軸向左的射線的區(qū)域內(nèi)解析. 1 Ro1 1xy因此在因此在 內(nèi)內(nèi), 1z 可展開為可展開為z的冪級數(shù)的冪級數(shù). ( )f z根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則, 按照直接方法展開如

24、下按照直接方法展開如下: 顯然顯然, ( )f z在復(fù)平面中割去從點在復(fù)平面中割去從點-1沿負沿負ln(1)(1)ln(1)1( ),1zzfzeez (2)ln(1)( )(1),zfze ( )()ln(1)( )(1)(1),nnzfzne 令令z=0, 有有 (0)1,(0),(0)(1),fff ( )(0)(1)(1), nfn 于是于是(1) z (1)(1)!nnzn 23(1)(1)(2)12!3!zzz 1 .z 1111( )111,111(1)2212zf zzzzz 例例4.10將函數(shù)將函數(shù) ( )1zf zz 在在01z 處展開處展開 成成Taylor級數(shù)，并指出該

25、級數(shù)的收斂范圍級數(shù)，并指出該級數(shù)的收斂范圍. 10011(1)( )1( 1)1( 1).222nnnnnnnzzf z 當(dāng)當(dāng) 即即 時時,11,2z 12z 附附: 常見函數(shù)的常見函數(shù)的Taylor展開式展開式20(1)1,2!nnznzzzeznn 201(2)1,1nnnzzzzz 201(3)1( 1)( 1),1nnnnnzzzzz 3521(4)sin( 1),3!5!(21)!nnzzzzzn )1( z)1( z)( z)( z242(5)cos1( 1),2!4!(2 )!nnzzzzn )( z231(6) ln(1)( 1),231nnzzzzzn 011)1(nnnnz

26、)1( z23(1)(1)(2)(7)(1)12!3!zzzz ,!)1()1( nznn )1( z1 1 Laurent級數(shù)的概念級數(shù)的概念2 2 函數(shù)的函數(shù)的Laurent級數(shù)展開級數(shù)展開3 3 典型例題典型例題4.4 4.4 Laurent級數(shù)級數(shù)4.4.1 4.4.1 Laurent 級數(shù)的概念級數(shù)的概念如果函數(shù)如果函數(shù)f (z)在在z0點解析點解析, 則在則在z0的某鄰域內(nèi)的某鄰域內(nèi), 可可展開為展開為Taylor級數(shù)級數(shù), 其各項由其各項由z-z0的非負冪組成的非負冪組成. 如果如果f (z)在圓環(huán)域在圓環(huán)域 102RzzR 內(nèi)解析內(nèi)解析, 則則 f (z)在這在這個圓環(huán)域內(nèi)不一

27、定都能展開為個圓環(huán)域內(nèi)不一定都能展開為z-z0的冪級數(shù)的冪級數(shù). 本節(jié)將引進一種在圓環(huán)域收斂的雙邊冪級數(shù)本節(jié)將引進一種在圓環(huán)域收斂的雙邊冪級數(shù),即即Laurent級數(shù)級數(shù). 它將在后面討論孤立奇點與留數(shù)它將在后面討論孤立奇點與留數(shù)及及Z變換理論中起重要作用變換理論中起重要作用.0() .nnnczz 負冪項部分負冪項部分正冪項部分正冪項部分主要部分主要部分解析部分解析部分nnnnzzc)(0 nnnzzc )(01這種雙邊冪級數(shù)的形式為這種雙邊冪級數(shù)的形式為同時收斂同時收斂 Laurent級數(shù)級數(shù) nnnzzc)(00 收斂收斂nnnzzc)(00 nnnzzc )(0110)( zz 令令n

28、nnc 1收斂半徑收斂半徑R收斂收斂時時,R 101RRzz 收斂域收斂域收斂半徑收斂半徑R220Rzz 收斂域收斂域:)1( 21RR 若若兩收斂域無公共部分兩收斂域無公共部分;:)2(21RR 兩收斂域有公共部分兩收斂域有公共部分.201RzzR 結(jié)論結(jié)論: :的的收收斂斂區(qū)區(qū)域域為為雙雙邊邊冪冪級級數(shù)數(shù)nnnzzc)(0 .201RzzR 圓圓環(huán)環(huán)域域1R2R.0z常見的特殊圓環(huán)域常見的特殊圓環(huán)域: :2R.0z200Rzz 1R.0z 01zzR 00zz.0z 冪級數(shù)的收斂冪級數(shù)的收斂域域是圓域是圓域, ,且和函數(shù)在且和函數(shù)在收斂收斂域域 內(nèi)解析內(nèi)解析. .(2) (2) 在圓域內(nèi)的

29、解析函數(shù)一定能展開成冪級數(shù)在圓域內(nèi)的解析函數(shù)一定能展開成冪級數(shù). .對于對于Laurent級數(shù)，已經(jīng)知道：級數(shù)，已經(jīng)知道： Laurent級數(shù)的收斂級數(shù)的收斂域域是圓環(huán)域，且和函數(shù)是圓環(huán)域，且和函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)解析在圓環(huán)域內(nèi)解析. . 問題問題: : 在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否可以展開在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否可以展開成成Laurent級數(shù)級數(shù)? ?對于通常的冪級數(shù)，討論了下面兩個問題對于通常的冪級數(shù)，討論了下面兩個問題: :4.4.2 4.4.2 函數(shù)的函數(shù)的Laurent 級數(shù)展開級數(shù)展開定理定理4.12(Laurent展開定理展開定理) 設(shè)設(shè) 120,RR 函數(shù)函數(shù)f (z)在圓環(huán)域在圓環(huán)域

30、102RzzR 內(nèi)解析內(nèi)解析, 則函數(shù)則函數(shù)f (z) 在此環(huán)域內(nèi)可展開為在此環(huán)域內(nèi)可展開為Laurent級數(shù)級數(shù) 0102( )() ,nnnf zczzRzzR 其中其中101( )d (0, 1, 2,),2()nnCf zcz nizz C是圓是圓周周 的正向的正向. 012 ()zzR RRR 注注 函數(shù)函數(shù)f (z)展開成展開成Laurent級數(shù)的系數(shù)級數(shù)的系數(shù) 101( )d2()nnCf zczizz 與展開成與展開成Taylor級數(shù)的系數(shù)在形式上完全相同級數(shù)的系數(shù)在形式上完全相同, 但但 這里的函數(shù)這里的函數(shù)f (z)在圓環(huán)域在圓環(huán)域 102RzzR 內(nèi)解析內(nèi)解析, 在在01

31、zzR 內(nèi)不一定解析內(nèi)不一定解析, 所以不能化為所以不能化為z0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù) ( )01().!nfzn特別地特別地, 如果函數(shù)如果函數(shù) f (z)在在02zzR 內(nèi)內(nèi)解析解析, 那么根據(jù)那么根據(jù)柯西柯西-古薩定理古薩定理, 01, 2,ncn 所以所以Laurent級數(shù)包含了級數(shù)包含了Taylor級數(shù)級數(shù).Laurent展開式的惟一性定理展開式的惟一性定理定理定理4.13 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f (z)在圓環(huán)域在圓環(huán)域102RzzR 內(nèi)解析內(nèi)解析, 并且可以展開成雙邊冪級數(shù)并且可以展開成雙邊冪級數(shù)0() ,nnnczz 則則 其中其中C101( )d (0, 1, 2,),2()nnCf zcz

32、 nizz 的正向的正向. 012 ()zzR RRR 是圓周是圓周注注 函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)Laurent展開式是惟一的展開式是惟一的. 因此因此為函數(shù)展開成為函數(shù)展開成Laurent級數(shù)的間接方法奠定了基礎(chǔ)級數(shù)的間接方法奠定了基礎(chǔ).將函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)展開成將函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)展開成Laurent級數(shù)級數(shù), 理論理論(1) 直接方法直接方法 直接直接計算展開式系數(shù)計算展開式系數(shù)然后寫出然后寫出Laurent展開式展開式.)()(0nnnzzczf 這種方法只有理論意義這種方法只有理論意義, 而沒有實用價值而沒有實用價值. 就是就是 上應(yīng)該有兩種方法上應(yīng)該有兩種方法: 直接方法與間接方法直接

33、方法與間接方法.101( )d (0, 1, 2,),2()nnCf zcz nizz 說說, 只有在進行理論推導(dǎo)時只有在進行理論推導(dǎo)時, 才使用這種表示方法才使用這種表示方法. 根據(jù)解析函數(shù)根據(jù)解析函數(shù) Laurent 級數(shù)展開式的惟一性級數(shù)展開式的惟一性,可運用代數(shù)運算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去將可運用代數(shù)運算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去將函數(shù)展開成函數(shù)展開成Laurent 級數(shù)級數(shù).(2) 間接方法間接方法這是將函數(shù)展開成這是將函數(shù)展開成Laurent 級數(shù)的級數(shù)的常用方法常用方法. . 給定函數(shù)給定函數(shù))(zf與復(fù)平面內(nèi)的一點與復(fù)平面內(nèi)的一點0z以后以后, 函函數(shù)在各個不同的圓環(huán)域中有不

34、同的數(shù)在各個不同的圓環(huán)域中有不同的Laurent展開式展開式(包括包括Taylor展開式作為特例展開式作為特例). 這與這與Laurent展開式展開式的惟一性并不矛盾的惟一性并不矛盾, 在同一圓環(huán)域內(nèi)的展開式惟一在同一圓環(huán)域內(nèi)的展開式惟一.(1) 01;z (2) 12;z(3) 2;z 內(nèi)展開成內(nèi)展開成Laurent級數(shù)級數(shù).例例4.114.11 將函數(shù)將函數(shù)1 ( )(1)(2)f zzz 在圓環(huán)域在圓環(huán)域(4) 011z處都解析處都解析, 并且可分解為并且可分解為 11( ).12f zzz4.4.3 4.4.3 典型例題典型例題函數(shù)函數(shù)f (z)在在z=1和和z=2處不解析處不解析,

35、在其它點在其它點oxy1(1) 在在 內(nèi)內(nèi), 有有 則則 1z 1,2z 211,1nzzzz 22311111.2222212nnzzzzzz 22231( )(1)222zzf zzz 2137.248zz于是在于是在 內(nèi)，內(nèi)， 01z 12oxyzzz111111 21111,zzz 1 z11,z 2 z1.2z 2112121zz2211.2222nnzzz (2) 在在 內(nèi)內(nèi), 有有 12z 2221111 ( )11222zzf zzzz 2oxy2 z11,z 于是在于是在 內(nèi)內(nèi), 12z 1211111.22nnnnzzzzzz (3) 在在 內(nèi)內(nèi), 有有 2z 2 z21.z 23111111,111zzzzzz 21111241.221zzzzzz 于是在于是在 內(nèi)內(nèi), 2z 2323124111( )f z