基本均值不等式不等式知識(shí)點(diǎn)基礎(chǔ)練習(xí)

1、日期：2012-時(shí)間:VIP免費(fèi)歡迎下載學(xué)生姓名：任課教師：試卷審查教師：測試科目：涉及章節(jié)：教師評(píng)語：不等是知識(shí)點(diǎn)知識(shí)梳理1 .基本形式:a,bwR,則a2+b2>2ab;a>0,b>0,貝Ua+b之2序,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立.2求最值：當(dāng)ab為定值時(shí)，a+b,a2+b2有最小值；當(dāng)a為或a2+b2為定值時(shí),ab有最大值（a0b0）.3 .拓展：若a>0,b>0時(shí),wmbab、他三丁，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立.1122ab重難點(diǎn)突破1 .重點(diǎn)：理解基本不等式等號(hào)成立條件，掌握用基本不等式證明不2等式會(huì)用基本不等式解決簡單的最大（?。┲祮栴}.2 .難點(diǎn)：利用基

2、本不等式扁wW求最大值、最小值23 .重難點(diǎn)：正確運(yùn)用基本不等式證明不等式，會(huì)用基本不等式求某些函數(shù)的最值二方法技巧講解（1）靈活運(yùn)用基本不等式處理不等關(guān)系問題1.已知正數(shù)x、y滿足x+2y=1,求工+的最小值.xy點(diǎn)撥：:x、y為正數(shù)，且x+2y=1,VIP免費(fèi)歡迎下載-1+1=(x+2y)(1+1)xyxy=3+21+->3+2V2,xy當(dāng)且僅當(dāng)2=x，即當(dāng)x=J21,y=1W!時(shí)等號(hào)成立xy2.1+1的最小值為3+27!.xy(2)注意取等號(hào)的條件11問題2.已知兩正數(shù)x,y滿足x+y=1,則z=(x+)(y+)的最小值為。xy點(diǎn)撥：111錯(cuò)斛1、因?yàn)閷?duì)a>0,恒有a+>

3、;2，從而z=(x+)(y+一)之4,所以z的取小值是4。axy錯(cuò)解2、2x2y2-2xyz二xy22(xyxy)-2-2xyxy2=2(J21),所以2(72-1)01一1一專日因分析：斛一等3成乂的條件是x=且y=，即x=1且y=1,與x+y=1相矛盾。xy立的條件是2=xy,即xy=J2,與0<xy三1相矛盾。xy42解析：z=(x-)(y-)=xy-=xy-y刈xy-2xyxyxyxyxyxyxyo1211.0<t=xyM()=，由f(t)=t+在.0,一上單倜遞減，故當(dāng)t=時(shí)f=24t.44值史,所以當(dāng)x=y=1時(shí)z有最小值受。424熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析考點(diǎn)1利用基本不等式求

4、最值(或取值范圍)題型1.當(dāng)積ab為定值時(shí)，求和a+b最小值的最小值是解二等號(hào)成,令t=xy,貝Ut+-有最小tVIP免費(fèi)歡迎下載28例1.已知x>0,y>0且滿足£+_8=1，求x+y的最小值.xy例2.已知x>0,y>0,且3x+4y=12,求lgx+lgy的最大值及此時(shí)x、y的值.例3.若正數(shù)a,b滿足ab=a+b+3,則ab的取值范圍是考點(diǎn)2利用基本不等式證明題型：用綜合法證明簡單的不等式例4已知a,b,cwR,求證：a2+b2+c22ab+bc+ca.VIP免費(fèi)歡迎下載強(qiáng)化訓(xùn)練11 .右x>-1,則x=時(shí),x+有最小值，最小值為.x1112 .

5、(2010華附)已知x,ywK,且x+4y=1,則一十一的最小值為xy3 .已知一動(dòng)直線l與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形的面積的數(shù)值比直線l的縱、橫截距之和大1,求這三角形面積的最小值.4 .已知a,b為正數(shù)，求證：-a十'L>Va+而、b、a15 .設(shè)x>0,y>0且xwy,求證（x3+y33<僅2+y2126 .已知函數(shù)f(x)=-一+一，若f(x)+2x>0在(0,+8)上恒成立，求a的取值范圍。ax7 .(2010梅縣)某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元，每生產(chǎn)x千件，需另投入成本為C(x).當(dāng)年1 2廠量不足80千件時(shí)，C(x)=-x2+1

6、0x(萬兀)；當(dāng)年產(chǎn)量不小于80千件3I10000時(shí),C(x)=51x+"-1450(萬兀).每件商品售價(jià)為0.05萬兀.通過市場分析，該廠生廠的商品能全x部售完.(1)寫出年利潤L(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式；(2)年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？VIP免費(fèi)歡迎下載2 8例1【解題思路】利用十=1,構(gòu)造均值不等式xy282y8x2y8x斛析：x+y=(x+y)1=(x+y)，(一+)=2+8+-+,x>0,y>0,'->0,>0xyxyxy2y8xoo28x+y210+2炳=18，當(dāng)且僅當(dāng)=一時(shí)等號(hào)成立，即y2=4

7、x2,y=2x,又一+=1,xyxyx=6,y=12.當(dāng)x=6,y=12時(shí)，x+y有最小值18.例2解析:x>0,y>0,3x+4y=12,1/1®+4y)2,xy=，3x-4yw=3,1212<2)：.lgx+lgy=lgxy<lg3.x0,y0x=2由3乂+4丫=12解得3y=3x-4y2當(dāng)x=2,y=3時(shí)，lgx+lgy取得最大值lg3.2例3解法一由a、bCR+,由重要不等式得a+b>2Tab,則ab=a+b+3>2ab+3,即ab24'茁一3>0=(<'ab-3)h/ab+1)>0nVOL>3,ab

8、>9.解法二a、b為正數(shù)，ab=a+b+3>333ab>0,兩邊立方得a3b3>34ab=a2b2>34,<ab>0,ab>9.解法三原條件式變?yōu)閍b-3=a+b,a、b均為正數(shù)，故式兩邊都為正數(shù)，兩邊平方得a2b2-6ab+9=a2+b2+2ab,a2+b2>2ab,.a2b2-6ab+9>4ab,即a2b2-10ab+9>0,(ab-1)(ab-9)>0,由式可知ab>3,ab>9.解法四把a(bǔ)、bCR+看作一元二次方程的兩個(gè)根，此方程為x2+(3-ab)x+ab=0,貝必=(3-ab)2-4ab>0,

9、VIP免費(fèi)歡迎下載即(ab)2-10ab+9>0,.(ab-9)(ab-1)>0,ab-1=a+b+2>0成立，ab>9.例4【解題思路】因?yàn)槭禽啌Q對(duì)稱不等式，可考慮由局部證整體2.22222解析a+b>2ab,b+c之2bc,a+c之2ac,相加整理得a2b2c2uabbcca.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立.強(qiáng)化訓(xùn)練11 .右x>-1,則x=時(shí)，x+有最小值，最小值為.x11.111解析：xA1,x+1A0,->0,x+=x+1+1>2(x+1)1x1x1x1,x11c,1、=21=1,當(dāng)且僅當(dāng)x+1=即x=0時(shí)(x+)min=1.x1x111

10、2.(2010華附)已知x,yWK,且x+4y=1,則一+_的最小值為xy解析：:x,ywR*,.11=x+4y+x+4y=5+fy+>9,當(dāng)且僅當(dāng)x=J,y時(shí)取等號(hào).xyxyxy363.已知一動(dòng)直線l與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形的面積的數(shù)值比直線l的縱、橫截距之和大1,求這三角形面積的最小值.解析：設(shè)直線l的方程+=1(a>0,b>0),則二ab=a+b+1,<a+b>2ab,ab21ab>2<ab+1,即(,茄)24病-2>0,解得Jab>2+6,21ab>1(2+,6)2,當(dāng)a=b=2+J6時(shí)，三角形面積的最小值為5+2J62

11、24解析1：a>0,b>0,冬+后>21?=2心，b,b兩式相加，得2d+2而,VIP免費(fèi)歡迎下載解析2.+上一)ja+Jb)=a+b+*+二a十b+2JabbJb后jbba=(品+而)2.113322-5證明：由x>0,y>0且xwy,要證明(x+yF<(x+yF只需(x3十y3fc(x2+y2)即2x3y3<3x2y2(x2+y2)只需2xy:二x2y21 26斛析：因?yàn)閒(x)+2x00在(0,+8)上恒成立，即十十2x之0ax1.1、 11一22(x十一)2(x十一)的取小值為4一44axxa1斛得a:二0或a_412_122507解析：(1)當(dāng)0<x<80時(shí)，L(x)=0.05M1000xx2-10x-250=x2+40x331000010000當(dāng)x之80時(shí)，L(x)=0.051000x-51x-+1450250=1200(x+)12cccc“-x240x-250,0二x：80.3L(x)二100001200-(x),x-80x950(萬元);(2)當(dāng)0<x<80時(shí),L(x)=；(x