基本初等函數(shù)講義全

1、、一次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式一般式：f(x)ax2bxc(a0)頂點(diǎn)式：f(x)a(xh)2k(a0)兩根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)(2)求二次函數(shù)解析式的方法已知三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，宜用一般式.已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或與對(duì)稱軸有關(guān)或與最大(小)值有關(guān)時(shí)，常使用頂點(diǎn)式.若已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且橫線坐標(biāo)已知時(shí)，選用兩本g式求f(x)更方便.(3)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)r2,一fxaxbxca0a0a0圖像:bX二!2aX=12a定義域,對(duì)稱軸bx2a頂點(diǎn)坐標(biāo)b4acb22a'4a值域4acb24a'4acb2'4a單調(diào)區(qū)間,遞減2a,遞增2a,遞增

2、2a,遞減2a.二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)的圖象是一條拋物線，對(duì)稱軸方程為2bb4acb、x，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(,)2a2a4a)上遞增,當(dāng)a0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，函數(shù)在(，且上遞減，在2a2a上遞增，在2a24acb、I/；當(dāng)a4a)上遞減，當(dāng)x0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，函數(shù)在(，2a.,2b4acb時(shí)，fmax(x)2a4a三、哥函數(shù)(1)幕函數(shù)的定義般地，函數(shù)yX叫做幕函數(shù)，其中x為自變量，是常數(shù).(2)幕函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)：所有的幕函數(shù)在(0,)都有定義，并且圖象都通過(guò)點(diǎn)(1,1).四、指數(shù)函數(shù)(1)根式的概念如果xna,aR,xR,n1,且nN,那么x叫做a的n次方根.(2)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕

3、的概念m正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義是：anam"(a0,m,nN，且n1),0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕等于0.拈)m(a0,m,nN,且m/m如.、一一1一正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)號(hào)的意義是：an(-)nan1).0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕沒(méi)有意義.rs,_a(a0,r,sR)(3)運(yùn)算性質(zhì)arasars(a0,r,sR)(ar)s(ab)rarbr(a0,b0,rR)(4)指數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)定義函數(shù)yax(a0且a1)叫做指數(shù)函數(shù)圖象a10a1v'y1xJya/(0.1)xxJyay1iy(0.1)OxOx定義域R值域(0,)過(guò)定點(diǎn)圖象過(guò)定點(diǎn)(0,1),即當(dāng)x0時(shí)，y1.奇偶性非奇非偶單調(diào)性在R上

4、是增函數(shù)在R上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況ax1(x0)xa1(x0)ax1(x0)ax1(x0)xa1(x0)ax1(x0)a變化對(duì)圖象的影響在第一象限內(nèi)，a越大圖象越圖；在第二象限內(nèi)，a越大圖象越低.五、對(duì)數(shù)函數(shù)(1)對(duì)數(shù)的定義若axN(a。，且a1),則x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作xlogaN,其中a叫做底數(shù)，N叫做真數(shù).負(fù)數(shù)和零沒(méi)有對(duì)數(shù).對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：xlogaNaxN(a0,a1,N0).(2)幾個(gè)重要的對(duì)數(shù)恒等式loga10,logaa1,logaabb.(3)常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)常用對(duì)數(shù)：lgN,即10g10N;自然對(duì)數(shù)：lnN,即logeN(其中e2.71828).(4)對(duì)數(shù)

5、的運(yùn)算性質(zhì)如果a0,a1,M0,N0,那么減法alogaNN加法：logaMlogaNloga(MN)MlogaMlogaNloga-N數(shù)乘：nlogaMlogaMn(nR)logbMnnlogaM(b0,nR)換底公式ablogaN10gbN(b0,且b1)logba(5)對(duì)數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱對(duì)數(shù)函數(shù)定義函數(shù)ylogax(a0且a1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)圖象a10a1iy1x1ylogaxiyx1ylogax(1,0)O/(1,0)xOJ定義域(0,)值域R過(guò)定點(diǎn)圖象過(guò)定點(diǎn)(1,0)，即當(dāng)x1時(shí)，y0.奇偶性非奇非偶單調(diào)性在(0,)上是增函數(shù)在(0,)上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況logax0(x1)log

6、ax0(x1)logax0(0x1)logax0(x1)logax0(x1)logax0(0x1)a變化對(duì)圖象的影響在第一象限內(nèi)，a越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，a越大圖象越靠高.(6)反函數(shù)的概念設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)锳,值域?yàn)镃,從式子yf(x)中解出x,得式子x(y),如果對(duì)于y在C中的任何一個(gè)值，通過(guò)式子x(y),x在A中都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，那么式子x(y)表示x是y的函數(shù)，函數(shù)x(y)叫做函數(shù)yf(x)的反函數(shù)，記作xf1(y),習(xí)慣上改寫(xiě)成yf1(x).(7)反函數(shù)的求法確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；從原函數(shù)式y(tǒng)f(x)中反解出xf1(y);將xf1(y)改寫(xiě)成yf

7、1(x),并注明反函數(shù)的定義域.(8)反函數(shù)的性質(zhì)原函數(shù)yf(x)與反函數(shù)yf1(x)的圖象關(guān)于直線yx對(duì)稱.函數(shù)yf(x)的定義域、值域分別是其反函數(shù)yf1(x)的值域、定義域.若P(a,b)在原函數(shù)yf(x)的圖象上，則P'(b,a)在反函數(shù)yf1(x)的圖象上.一般地，函數(shù)yf(x)要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù).例題一、求二次函數(shù)的解析式例1.拋物線yx24x4的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()A.(2,0)B.(2,-2)C.(2,-8)D.(-2,-8)例2.已知拋物線的頂點(diǎn)為(1,2),且通過(guò)(1,10),則這條拋物線的表達(dá)式為()22A.y3x12B.y3x1222C.y3x12D.y3x

8、122c八例3.拋物線y=x2mxm2的頂點(diǎn)在第三象限，試確定m的取值范圍是(A.m<1或m>2B,m<0或m>1C.1<m<0D,m<1例4.已知二次函數(shù)fx同時(shí)滿足條件：(1) f1xf1x;(2) fx的最大值為15;(3) fx0的兩根立方和等于17求fx的解析式二、二次函數(shù)在特定區(qū)間上的最值問(wèn)題例5.當(dāng)2x2時(shí)，求函數(shù)yx22x3的最大值和最小化例6.當(dāng)x0時(shí)，求函數(shù)yx(2x)的取值范圍.例7.當(dāng)txt1時(shí)，求函數(shù)y1x225x3的最小值（其中t為常數(shù)）.2三、幕函數(shù)例8.下列函數(shù)在,0上為減函數(shù)的是例9.下列幕函數(shù)中定義域?yàn)?的是3x2例

9、10.討論函數(shù)2y=x5的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性，并畫(huà)出圖象的示意圖.例10.已知函數(shù)y=315-2x-X2.(1)求函數(shù)的定義域、值域；(2)判斷函數(shù)的奇偶性；(3)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.四、指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算1例11.計(jì)算(2)2土的結(jié)果是()A、應(yīng)B、2A、16a84B、aC、a2D、a2b例13.若3a8,3b5,則33=五、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)例14.M(y|y2',py|y>/,則MHP(A.y|y1B.y|y1C.y|y0D.y|y0例15.求下列函數(shù)的定義域與值域:(1)y2x4(2)y(|),x例16.函數(shù)yax23a0且a1的圖像必經(jīng)過(guò)點(diǎn)A.(0,1)B.(1,1)C

10、.(2,3)D.(2,4)x例17求函數(shù)y=*的定義域和值域,并討論函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性五、對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算a例18.已知32,那么10g38210g36用a表小是（22A、a2b、5a2c、3a(1a)d、3aa例19.2loga(M2N)logaMlogaN,則業(yè)的值為()NA、1B、4C、1D、4或141例20.已知10g7log3(log2x)0,那么x2等于()A、B、2.312.2D、13、3例21.loga21,則a的取值范圍是()D、0,3.222A、0,2U1,B、-,C、2,1333五、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)例22.下列函數(shù)中，在0,2上為增函數(shù)的是A、ylogi(x1)2B、ylo

11、g2x22.對(duì)拋物線y=2(x2)3與y=2(x2)+4的說(shuō)法不正確的是(1C、y10g21x2D、ylog1(x4x5)2例23.函數(shù)y1g1的圖像關(guān)于(A、x軸對(duì)稱B、y軸對(duì)稱C、原點(diǎn)對(duì)稱D、直線yx對(duì)稱例23.函數(shù)f(x)1gVx21x是(奇、偶)函數(shù)課下作業(yè)1.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c,如果a>b>cj1a+b+c=0,則它的圖象可能是圖所示的()A.拋物線的形狀相同C.拋物線對(duì)稱軸相同B.拋物線的頂點(diǎn)相同D.拋物線的開(kāi)口方向相反3 .二次函數(shù)y=/2x1圖像的頂點(diǎn)在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限.一-24 .如圖所小，滿足a>0,b&l

12、t;0的函數(shù)y=axbx的圖像是(5.如果拋物線y=xA. 0B.6xC的頂點(diǎn)在x軸上，那么c的值為(C. 36.一次函數(shù)y=ax+b與二次函數(shù)y=ax2+bx+c在同一坐標(biāo)系中的圖象大致是(b7.在下列圖象中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c與函數(shù)y=(a)x的圖象可能是(8.若函數(shù)f(x)=(a-1)x2+(a2-1)x+1是偶函數(shù)，則在區(qū)間0,十)上”)是()A.減函數(shù)B.增函數(shù)C.常函數(shù)D,可能是減函數(shù)，也可能是常函數(shù)9.已知函數(shù)y=x2-2x+3在閉區(qū)間0,m上有最大值3,最小值2,則m的取值范圍是()A.1,+8)B.0,2C.1,2D.(j,210、使x2>x3成立的x的取值范

13、圍是()A、x<1且xw。B、0Vx<1C、x>111、若四個(gè)幕函數(shù)y=a、，bx,y=x,y=D、x<1cd4_-,一-_，,._x,y=x在同一坐標(biāo)系中的圖象如右圖,則a、b、c、d的大小關(guān)系是A、B、C、d>c>b>aa>b>c>dd>c>a>bD、a>b>d>c12.若幕函數(shù)fxA.m>113.若點(diǎn)A是a,bA.14.若函數(shù)27在（0,+8比是減函數(shù)，則B.m<1C.m=l）D.不能確定在幕函數(shù)y的圖象上，那么下列結(jié)論中不能成立的aB.baD.bf(x)=log1(x26x+5)

14、在(a,+00）上是減函數(shù)，則a的取值范圍是oooo13)B.(3,D.5,+0°)+0°)15、設(shè)集合Sy|yR,ty|y2x1,xR,貝USIT是A、B、Tc、SD、有限集1610g2x(x>1)A、2,B、,2C、2,3,40.917,y20.48,y31.512A、y3y1y1y2y318、在by2B、y3C、y2D、10g(a2)(5a)中A、a5或a2b、2a城3a5C、2a5d、3a4219、計(jì)算(lg2)()A、0B、120、已知a10g32,那么()A、5a2b、a221、 已知幕函數(shù)f(x)過(guò)點(diǎn)()A、1B、1(1g5)221g2?1g5與C、2D

15、、310g38210g36用a表示是22C、3a(1a)d、3aa12,孝)，則f(4)的值為C、2D、8二、填空題1 .拋物線y=8x2(m1)x+m7的頂點(diǎn)在x軸上，則m=322 .函數(shù)yx的定義域?yàn)?m13 .設(shè)f,如果fx是正比例函數(shù)，則m=，如果fx是反比例函數(shù)，則m=，如果f(x)是幕函數(shù)，則m=.14若(x1)4有意義，貝Ux.5 .當(dāng)3x5y時(shí)，J25y230xy9x2.26 .若5x5x25y，貝y的最小值為.rLf*c122mn7、右loga2m,1oga3n,a。8、函數(shù)ylog(x-i)(3-x)的定義域是9、lg25lg2gg50(lg2)2。2xx2.10 .不等式61的解集是.x2811 .不等式132x的解集是312 .若10X3,10y4,則10xylog3x,(x0)113、已知函數(shù)f(x)2xa0，則ff(9)的值為2j(X0)914、函數(shù)f(