完整版全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽金牌教練高中奧數(shù)輔導(dǎo)：映射及映射法

1、第二講映射及映射法知識、方法、技能1.映射的定義設(shè)A,B是兩個集合，如果按照某種對應(yīng)法則f，對于集合A中的任何一個元素，在集合B中都有惟一的元素和它對應(yīng)，這樣的對應(yīng)叫做從集合A到集合B的映射，記作f:AB.(1)映射是特殊的對應(yīng)，映射中的集合A,B可以是數(shù)集，也可以是點集或其他集合，這兩個集合有先后次序，從A到B的映射與從B到A的映射是截然不同的.(2)原象和象是不能互換的，互換后就不是原來的映射了(3)映射包括集合A和集合B,以及集合A到B的對應(yīng)法則f,三者缺一不可.(4)對于一個從集合A到集合B的映射來說，A中的每一個元素必有惟一的，但B中的每一個元素都不一定都有原象.如有，也不一定只有一

2、個.2 .一一映射一般地，設(shè)A、B是兩個集合，f：aB.是集合A到集合B的映射，如果在這個映射下，對于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象，而且B中每一個元素都有原象，那么個這個映射叫做A到B上的映射.3 .逆映射如果f是A與B之間的-一對應(yīng)，那么可得B到A的一個映射g:任名bB,規(guī)定g(b)a,其中a是b在f下的原象，稱這個映射g是f的逆映射，并將g記為r1.顯然有(19t=f,gP如果f是A與B之間的對應(yīng)，則T1是B與A之間的對應(yīng)，并且f1的逆映射是f.事實上，T1是B到A的映射，對于B中的不同元素bi和b2,由于它們在f下的原象不同，所以bi和b2在f1下的像不同，所以廠1是1-1的

3、？任2aA,設(shè)f(a)b,則f1(b)a.這說明A中每個元素a在1都有原象？因此，f1是映射上的.這樣即得1是B到A上的1-1映射，即r1是B與A之間一一對應(yīng)從而廠1有逆映射h:aB.由于任給a代設(shè)h(a)b,其中b是a在f1下的原象，即flb)=a,所以，f(a尸b,從而h(a)bf(a),得hf,這即是f1的逆映射是f.賽題精講I映射關(guān)映射的高中數(shù)學(xué)競賽題是常見題型之一，請看下述試題例1：設(shè)集合Mx|0x11,xZ,集合F（a,b,c,d）|a,b,c,dM,映射f：乙使得(a,b,c,d)abcd已知(u,v,x,y)39,(u,y,x,v)f66,求x,y,u,v的值.【思路分析】應(yīng)從

4、（a,b,c,d）abcd入手，列方程組來解之【略解】由f的定義和已知數(shù)據(jù)，得uvxy39,uyxv66(u,v,x,yM).(yv)(ux)105,(yv)(ux)27.將兩式相加,相減并分別分解因式，得0,yv0,在x,y,u,vx|0x11,xZ的條件下，011,105111對應(yīng)可知同理，由對應(yīng)地，(u(yv22,即10yx)17,(ux)211,11v22,但(yv)|105，可見(yv)115,(yv)221,1ux22A口，3ux22又有(ux)13,(ux)2(I)由（I）v)115,7,9,3；9,(yv)2(n)x=1,y=9,u=8,3.于是有以下兩種可能:v21,x5,x

5、9,v3.v=6；由（n）解出y=12,它已超出集合M中兀素的范圍.因此，（n）無解.(x,y)|彳v,ux,yv,ux的可能值是關(guān)鍵,【評述】在解此類問題時，估計取值范圍的討論十分重要.其中，對它們的例2:已知集合A,3和集合(x,y)|-0.求一個A與B的(b)A區(qū)域拓展成B區(qū)域，弁要沒有“折疊”與“漏洞”.先用的集合？所要求的對應(yīng)實際上可使-2-1).A(co,s)|B(co,s)|令fcoss變，輻角之間是一次函數(shù),丫到x自身的滿射，記X的非【略解】從已知集合A,B看出，它們分別是坐標(biāo)平面上兩直線所夾角形區(qū)域內(nèi)的點的集合(如圖I-1集合A為直線y3x所夾角內(nèi)點的集合，集合B則是第一、三

6、象限內(nèi)點c，,s3(-).在這個映射下，極徑?jīng)]有改62,因而和之間是對應(yīng)，其中(0,.).所以，映射f是A與B的一一對應(yīng)極坐標(biāo)表示集合A和B:逆映射極易寫，從略.【評述】本題中將下角坐標(biāo)問題化為極坐標(biāo)問題，頗具特色.應(yīng)注意理解掌握.n映射法應(yīng)用映射知識往往能巧妙地解決有關(guān)集合的一些問題例3:設(shè)X=1,2,，100,對X的任一非空子集M,M中的最大數(shù)與最小數(shù)的和稱為M的特征，記為m(M).求X的所有非空子集的特征的平均數(shù)【略解】設(shè)AX,令f:AA,A101a|aAX.于是f:AA是X的非空子集的全體(子集組成的集)(m(A)由于A中的最大數(shù)與A,中的最小數(shù)的和為101,A中最小數(shù)與A中的最大數(shù)的

7、和也1為101，故m(A)m(A)202,從而特征平均數(shù)為202n101.對于映射f：A2n如果A,B都是有限集合,它們的元素個數(shù)分別記為card(A),card(B).空子集為A1,A2,，An(其中n=21001),則特征的平均數(shù)為說，如果f是單射，則有card(A)card(B);如果f是滿射，則有card(A)card(B);如?即果f是雙射，則有card(A)card(B).這在計算集合A的元素的個數(shù)時，有著重要的應(yīng)用當(dāng)card(A)比較難求時，我們就找另一個集合B,建立-對應(yīng)f:ab,把b的個數(shù)數(shù)清,?青看下述兩例4就有card(A)card(B)應(yīng)是我們解某些題時常用的方法例4:

8、把ABC的各邊n等分，過各分點分別作各邊的平行線，得到一些由三角形的邊和這些平行線所組成的平行四邊形，試計算這些平等四邊形的個數(shù).【略解】如圖I12-2所示，我們由對稱性，先考慮邊不行于BC的小平行四邊形甘巴AB邊和AC邊各延長一等分，分別到BC,連接BC將AB的n條平行線分別延長，與BC相交，連同BC共有n+2個分點，從B至C依次記為1,2,，n+2碼中所示的小平行四邊形所在四條線分別交BC于i,j,k,G己A=邊不平行于BC的小平行四邊形,B(i,j,k,l)|1ijkIn2.BC邊于四點的過程定義為一個映射：把小平行四邊形的四條邊延長且交下面我們證明f是A與B的一一對應(yīng)，事實上，不同的小

9、平行四邊形至少有一條邊不相同，那么交于BC的四點亦不全同？所以，四點組(i,j,k,l)亦不相同，從而f是A到B的11的映射？任給一個四點組(i,j,k,l),1ijkIn2，過i,j點作AB的平行線，過k,I作AC的平行線，必交出一個邊不平行于BC的小平行四邊形，所以，映射f是A到B的滿射？總之f是A與B的對應(yīng)，于是有card(A)card(B)C:?*加上邊不平行于AB和AC的兩類小平行四邊形，得到所有平行四邊形的總數(shù)是3C：2例5:在一個6X6的棋盤上，已經(jīng)擺好了一些1X2的骨牌，每一個骨牌都恰好覆蓋兩上相鄰的格子，證明：如果還有14個格子沒有被覆蓋，則至少能再放進一個骨牌rn,由遞增易

10、知有f(m)f(n)mn我們證明自然數(shù)集N可以分析為若干條f鏈，弁且對任意自然數(shù)mn,成立(從而f(n1)f(n),弁且每兩條鏈無公共元素)歷法是用歸納法構(gòu)造鏈(參見單增著數(shù)學(xué)競賽研究教程江蘇教育出版社)設(shè)已有若干條f鏈，滿足，而k+1是第一個不在已有鏈中出現(xiàn)的數(shù)，定義f(k1)f(k)這鏈中其余的數(shù)由逐一確定對于mn,如果m、n同屬于新鏈，顯然成立，設(shè)于新鏈，在m-k+1時,f(m)f(n)m、f(k)1f(n)中恰有一個屬于新鏈？若m屬n,則f(f(m)f(n)f(m)mf(n)mf(m)n由易知2mf(m)即對新鏈上一切m,成立.若n屬于新鏈，在n=k+1時,f(m)f(n)f(m)f(

11、k)mk1mn.1設(shè)對于n,成立,在mn時，m不為原有鏈的鏈?zhǔn)譵f(x)，則在mf(n)時,f(m)f(f(n)sm(f(n)n)mf(n)(sn).f:NN即為所求.【解法2】令f(n)(n1)n,其中G.51),x表示x的整數(shù)部分.顯然f(n)嚴(yán)格遞增，弁且f(1)2.又由于(1)?f(f(n)f(n)(f(n)1)f(n)(n1)2f(n)(n1)(n1)(n1)(n1)而在sn,f(n)f(s)ns0,與mf(n)矛盾，所以sn,f(m)f(f(n)mf(n)?即對新鏈上一切，成立.因而添入一條新鏈后，仍成立這樣繼續(xù)添加，直到所有自然數(shù)均在鏈中出現(xiàn)，所得函數(shù)(x)xx為x的分?jǐn)?shù)部分)f

12、(n)n1(n1)f(n)n.因此，(n1)n就是滿足要求的函數(shù).針對性訓(xùn)練題31設(shè)A=B=R,取映射f:AB,使集合B中的元素yx和集合A中的元素x對應(yīng),這個映射是否是A到B上的映射？2,已知Ax|0x90,Bx|0x1,映射f:xsin2x,求30,45的象以及33,1的原象？43.從A到B的映射是f:xy3x1,從B到C的映射是g:yz12y1，試寫出從A到C的映射h.4?設(shè)Aa1,a2,a3,B寫出一個f:AB,使得f是單射，弁求A到B的單射的個數(shù);寫出一個f:AB,使得f不是單射，弁求所有這種映射的個數(shù);A到B的映射能否是滿射?5?設(shè)集合A=1,2,則從A到A的映射f中滿足f(f(x)f(X)的映