小學(xué)奧數(shù)講義4年級-1格點(diǎn)面積-難版

1、第16講格點(diǎn)面積%*知識梳理生活中我們常借助一些工具來迅速簡便的解決一些問題，如為了能捕到魚，人們制作了魚鉤和網(wǎng)。同樣在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，為了更好的解決問題聰明的人類也創(chuàng)造了一些“工具”。這一講我們主要介紹利用格點(diǎn)求幾何圖形的面積。先來介紹什么是“格點(diǎn)”。見下圖：這是一張由水平線和垂直線組成的方格紙，我們把水平線和垂直線的交點(diǎn)稱為“格點(diǎn)”，水平線和垂直線圍成的每個小正方形稱為“面積單位”。圖中帶陰影的小方格就是一個面積單位。借助格點(diǎn)圖，我們可以很快的比較或計(jì)算圖形的面積大小。利用格點(diǎn)求圖形的面積通常有兩種思路，一是直接將圖形分成若干個面積單位，然后通過計(jì)算有多少個面積單位來求圖形面積；二是將某些圖

2、形轉(zhuǎn)化成長方形的面積來求。當(dāng)然還可以將這兩種方法結(jié)合起來，求出某些較復(fù)雜圖形的面積。正方形格點(diǎn)陣中多邊形面積=圖形一周的格點(diǎn)數(shù)+2+（中間格點(diǎn)數(shù)一1）三角形格點(diǎn)陣中多邊形的面積=多邊形內(nèi)包含的格點(diǎn)數(shù)X2+多邊形周界上的格點(diǎn)數(shù)一2?？吹湫屠}【解析】根據(jù)格點(diǎn)多邊形的定義可知，圖形的邊必須是直線段，頂點(diǎn)要在格點(diǎn)上！所以只有是格點(diǎn)多邊形.【例2】計(jì)算下圖中各圖形的面積：【解析】先仔細(xì)觀察圖中的每個圖形，選擇方法。顯然第一、三、六圖可以直接數(shù)出包含多少個面積單位即可。而二、四、五圖顯然不適合用數(shù)單位面積的方法來求面積，可以采用虛線把這些圖形擴(kuò)展或割補(bǔ)成長方形，通過求長方形面積來求這些圖形面積。(1)圖

3、中長方形包括3X2=6(個)面積單位，所以它的面積為6。(2)將圖中平行四邊形割補(bǔ)成一個長方形，長方形的面積為3X2=6,而平行四邊形的面積等于長方形面積，所以平行四邊形的面積為3X2=6。(3)將圖中三角形用虛線分成3塊，它包含有1個面積單位和2個面積單位的一半，合起來有2個面積單位，所以它的面積為2。(4)圖中將三角形擴(kuò)展成一個長方形，長方形的面積為3X2=6,而三角形面積為長方形面積的一半，則三角形面積為3。(5)將圖中梯形的互相平行的一組對邊延長，補(bǔ)出一個和原來梯形方向顛倒，但面積一樣的梯形，形成一個大的長方形。長方形的面積為(2+4)X3=18,而梯形的面積為長方形的面積的一半。所以

4、梯形的面積為：(2+4)X3+2=9。(6)將圖中梯形用虛線分成3塊，它包含有5個面積單位和2個面積單位的一半，合起來有6個面積單位，所以它的面積為6?！纠?】相鄰四點(diǎn)連成的小正方形面積為1平方厘米。分別連接各點(diǎn)，組成下面12個圖形，你發(fā)現(xiàn)有什么排列的規(guī)律？算出各圖形的面積。點(diǎn)子數(shù)與面積三者之間的關(guān)系?！窘馕觥孔屑?xì)觀察圖形：橫看，從左往右圖形一周的格點(diǎn)數(shù)逐漸增多，中間的格點(diǎn)數(shù)不變；豎看，從上往下圖形一周的格點(diǎn)數(shù)不變，中間的格點(diǎn)數(shù)逐漸增多。圖形一周的格點(diǎn)數(shù)、中間的格點(diǎn)數(shù)與面積究竟有什么關(guān)系呢？我們可以將圖形按中間沒有個點(diǎn)、中間有一個格點(diǎn)和中間有兩個格點(diǎn)進(jìn)行分組列表分析。找出圖形外面一周的點(diǎn)子數(shù)、

5、中間的米）中間有一個格點(diǎn)時，面積=一周格點(diǎn)數(shù)+2+（11）第（3）組圖形編號()：1一周格點(diǎn)數(shù)46184中間格點(diǎn)數(shù):222面積（平方厘米）3i458中間有兩個格點(diǎn)時，面積=一周格點(diǎn)數(shù)+2+（21）解答過程：（1）中間格點(diǎn)數(shù)相同時，圖形的面積隨著一周的格點(diǎn)數(shù)增加而增加；當(dāng)一周的格點(diǎn)數(shù)相同時，圖形的面積同樣隨著中間的格點(diǎn)數(shù)增加而增加。（2）各圖形的面積見表格。各圖形面積的大小與一周的格點(diǎn)數(shù)、中間的格點(diǎn)數(shù)都有關(guān)系，格點(diǎn)圖形的面積計(jì)算公式是：圖形面積=圖形一周的格點(diǎn)數(shù)+2+（中間格點(diǎn)數(shù)一1）【例4】計(jì)算下面這個格點(diǎn)多邊形的面積。【解析】這是一個不規(guī)則的多邊形，不能直接求出它的面積。可用長方形的面積減去

6、4個直角三角形的面積，如圖1所示；另外還可將該四邊形分割成幾塊，如圖2。3X4(2X1+2+2X1+2+2X2+2+3X1+2):方法二：1X2+2+1X3+2+1X1+2+3X1+2+1X2=6.5圖1圖2=6.5（面積單位）（面積單位）方法一：【小試牛刀】如圖（a）,計(jì)算這個格點(diǎn)多邊形的面積.【解析】方法一（擴(kuò)展法）.這是個三角形，雖然有三角形面積公式可用，但判斷它的底和高卻十分困難，只能另想別的辦法：這個三角形是處在長是6、寬是4的矩形內(nèi)，除此之外還有其他三個直角三角形，如下右圖（b）,這三個直角三角形面積很容易求出，再用矩形面積減去這三個直角三角形面積，就是所要求的三角形面積.矩形面積

7、是6M4=24；直角三角形I的面積是：6M2+2=6；直角三角形口的面積是：4M2-2=4；直角三角形出面積是4M2;2=4；所求三角形的面積是24_（6+4+4）=10（面積單位）方法二（割補(bǔ)法）.將原三角形分割成兩個我們方便計(jì)算面積的三角形，如（c）圖.此二角形的面積是：5M2+2+5父2+2=10（面積單位）,【例5】下圖是一個漂亮禮盒的平面圖，請你求出它的面積：【解析】這是一個組合圖形，面積可分成幾個部分來求。本圖可分為兩個三角形和一個長方形三部分。每一部分面積的求法，因圖而異。如兩個三角形需要擴(kuò)展成長方形再求面積，而長方形只要直接數(shù)單位面積即可。左邊三角形面積=4X41X2+24X3

8、+24X2+2=5;右邊三角形面積=4X41X3+2X24X4+21X1=4;長方形的面積為6X2=12;所以禮盒面積為：5+4+12=21此題還可以直接用公式，請你自己試一試?！拘≡嚺５丁咳鐖D，每一個小方格的面積都是1平方厘米，那么用粗線圍成的圖形的面積是多少平方厘米？【解析】16-9.5=6.5平方厘米.【例6】在下圖中有21個點(diǎn)，每相鄰三點(diǎn)構(gòu)成一個單位面積的等邊三角形，計(jì)算三角形ABC的面積。BBBB圖1 1圖2 2圖3 3【解析】此題是一個三角形格點(diǎn)圖。每三個相鄰的格點(diǎn)構(gòu)成一個正三角形，為一個面積單位。三角形格點(diǎn)圖形面積的計(jì)算類似于正方形格點(diǎn)圖形面積的計(jì)算，可以直接數(shù)圖形所包含的面積單

9、位，也可將之轉(zhuǎn)化為幾個易求的三角形，在通過加減運(yùn)算得到。此題中三角形ABC的面積不能通過直接數(shù)格點(diǎn)面積來求，可以把它擴(kuò)展成三一個大三角形，再減；也可以把它分成幾個小的三角形，然后再加。方法一：給三角形ABC添力口I、n及出部分小的三角形，則得到由25個單位三角形構(gòu)成的大三角形，現(xiàn)在只要分別求出I、n及出三個小三角形的面積即可。三角形I是一個平行四邊形的面積的一半，如圖4中的虛線平行四邊形。這個平行四邊形包含6個面積單位，所以他的面積為6,三角形I的面積為：6+2=3B B圖4同理，三角形n及出的面積分別為4和8,所以三角形ABC的面積為：25-3-4-8=10（面積單位）說明：關(guān)于三角形格點(diǎn)多

10、邊形的面積也有類似于正方形格點(diǎn)多邊形的面積計(jì)算公式?？梢园凑绽?的方法歸納總結(jié)，就可以得到三角形格點(diǎn)多邊形面積的計(jì)算公式：三角形格點(diǎn)多邊形的面積=多邊形內(nèi)包含的格點(diǎn)數(shù)X2+多邊形周界上的格點(diǎn)數(shù)一2。【小試牛刀】如圖，每相鄰三個點(diǎn)所形成的三角形都是面積為1的等邊三角形，計(jì)算口ABC的面積.【解析】因?yàn)镹=5；L=3：所以S=2MN十L-2=2父5+32=11（面積單位）【例7】在下圖中有45個正方形格點(diǎn)，過圖中三點(diǎn)連一個三角形，并且至少有一條邊水平或垂直。問共有多少個這樣的格點(diǎn)三角形？【解析】如果要在圖中找一個面積為8的格點(diǎn)三角形很容易，但是要求出有多少個這樣的格點(diǎn)三角形就有些困難，不過功夫不負(fù)

11、有心人，一定能找到方法。注意到待計(jì)數(shù)的格點(diǎn)三角形的底與高的乘積為16,所以可以分類計(jì)數(shù)。因?yàn)?6=4X4=2X8=8X2,所以可以分為以下幾類來計(jì)數(shù)：（1）每個4X4的正方形中有4個直角三角形符合要求，總數(shù)為4X5=20（個）；（2）每個2X8的長方形中也有4個直角三角形符合要求，總數(shù)為4X3=12（個）；（3）符合要求的不是直角三角形的三角形有：4X4,狀的有：5X7=35（個）；狀的有：35個；口狀的有：5X3=15（個）；V 狀的有：15個；8X2,狀的有：3X7=21（個）；守狀的有：21個；2X8,0狀的有：3X3=9（個）；狀的有：9個；共有：（35+15+21+9）X2=160（

12、個）所以符合要求的三角形一共有：20+12+160=192（個）【例8】把同一個三角形的三條邊分別5等分、7等分（如圖1,圖2）,然后適當(dāng)連接A這些等分點(diǎn)，便得到了若干個面積相等的小三角形.已知圖1中陰影部分面積是294平方分米，那么圖2中陰影部分的面積是平方分米.【解析】圖1中陰影部分占整個三角形面積的12，圖2中陰影部分占整個三角形面積的2516，故圖2中陰影部分的面積為294+1216=200（平方分米）.x492549【小試牛刀】如圖涂陰影部分的小正六角星形面積是16平方厘米，問：大正六角星形面積是多少平方厘米？【解析】如圖，涂陰影部分的小正六角星形可分成12個與三角形PM睚等（能完全

13、重疊地放在一起）的小三角形.而圖中的大正六角星形除去小正六角星形后.有6X4=24個與三角形PM歪等的小三角形，所以大正六角星形的面是小正六角星形的3倍，即48平方厘米.【例9】在下圖中含有多少個格點(diǎn)正方形？【解析】這個問題可分類討論：面積為1個單位面積的格點(diǎn)正方形面積為2個單位面積的格點(diǎn)正方形面積為4個單位面積的格點(diǎn)正方形共有3X3=9個;共有2X2=4個;共有2X2=4個;面積為5個單位面積的格點(diǎn)正方形共有2個;面積為9個單位面積的格點(diǎn)正方形只有1個。所以圖中共有格點(diǎn)正方形9+4+4+2+1=20（個）。【解析】（1）直接計(jì)數(shù)，圖1中包含5個面積單位，所以它的面積為5;（2）直接計(jì)數(shù)，圖2

14、中包含6個面積單位，所以它的面積為6;（3）將圖3分為上下兩部分，上面的長方形包含有6個面積單位，下面的平行四邊形可以轉(zhuǎn)化為一個1X2的長方形，所以面積為2。圖3的面積為6+2=8（面積單位）；（4）圖中包含2個面積單位和4個單位面積的一半，所以圖4的面積為4;（5）將圖5按下圖分割為上下兩部分，上面的包含3.5個面積單位，下面的面積為X1+2=1.5（面積單位），所以圖5的面積為5;（6）直接計(jì)數(shù)，圖6中包含7個面積單位，所以它的面積為7。2 .下圖中喇叭、小貓、小狗的面積各是多少？【解析】（1）喇叭圖中包含2個面積單位和2個面積單位的一半，所以它的面積為3;課后作業(yè)1.計(jì)算下圖中各多邊形的

15、面積（點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離都是1厘米）10,尾巴部分匚（2）將小貓圖分為左右兩部分，頭與身子部分的面積為（可直接計(jì)數(shù)）是一個平行四邊形，它的面積與一個單位面積相同，所以小貓圖的面積為（3）小狗圖面積的求法與小貓圖形面積的求法相同，它的面積為6。說明：此題還有其他的分割方法，請你自己想一想。3 .求下圖中梯形的面積。【解析】這個梯形圖的一周共有6個格點(diǎn)，中間共有16個格點(diǎn)，運(yùn)用正方形格點(diǎn)圖形的面積公式的：6+2+161=18（面積單位）4 .下圖中三角形的面積【解析】方法一：這個三角形圖的一周共有6個格點(diǎn)，中間共有13個格點(diǎn)，運(yùn)用正方形格點(diǎn)圖形的面積公式的：6+2+131=15（面積單位）。方法二：

16、將三角形擴(kuò)展成一個6X6的正方形時，增加了三個直角三角形，因?yàn)橹苯侨切蔚拿娣e簡單易求，所以我們將求三角形ABC的面積轉(zhuǎn)化為求正方形的面積和直角三角形的面積，然后求差即可。正方形的面積為36,左上角的直角三角形的面積為2X6+2=6（面積單位），右下角的直角三角形的面積為3X6+2=9（面積單位），右上角的直角三角形的面積為4X3+2=6（面積單位），由此可得三角形ABC的面積：36-6-9-6=15（面積單位）5.下面圖中有21個點(diǎn)，其中相鄰的三點(diǎn)所形成的等邊三角形的面積為1,試計(jì)算四邊形的面積。11?！窘馕觥糠椒ㄒ唬哼@個四邊形圖的一周共有4個格點(diǎn)，中間共有5個格點(diǎn)，運(yùn)用三角形格點(diǎn)圖形的面積

17、公式的：5X2+4-2=12（面積單位）方法二：加一條輔助線，將四邊形分成下圖中的2個三角形，左上的三角形面積為4X1=4,右下的三角形面積為4X2=8,所以四邊形的面積為4+8=12。6.計(jì)算下面三角形格點(diǎn)多邊形的面積【解析】這個六邊形圖的一周共有7個格點(diǎn)，中間共有8個格點(diǎn)，運(yùn)用三角形格點(diǎn)圖形的面積公式：8X2+72=21（面積單位）。7.計(jì)算下面三角形格點(diǎn)中多邊形的面積?！窘馕觥糠椒ㄒ唬哼@個多邊形圖的一周共有10個格點(diǎn)，中間共有9個格點(diǎn)，運(yùn)用三角形格點(diǎn)圖形的面積公式的：9X2+102=26（面積單位）。方法二：加輔助線將這個多邊形分成如下圖所示的三個三角形和一個平行四邊形。左下角的三角形為

18、一個面積為10的平行四邊形面積的一半是5,右上角的三角形的面積為3 （請你自己找出它所在的平行四邊形），中間的等邊三角形的面積為4X4=16,小平行四邊形的面積為2,因此多邊形的面積為：5+3+16+2=26（面積單位）8 .下圖中有16個格點(diǎn)，以圖中三點(diǎn)為頂點(diǎn)連一個三角形，并且至少有一條邊水平或垂直。問共有多少個這樣的格點(diǎn)三角形，面積分別是多少？【解析】 以這16個格點(diǎn)中任意三點(diǎn)為頂點(diǎn)連成的三角形面積最多為整個圖形面積的一半,即任一三角形的面積至多為3X3+2=4.5（面積單位）。面積為4.5的直角三角形有4個；面積為4.5的非直角三角形有2X4=8（個）；面積為3X2+2=3的直角三角形有4X4=16（個）；面積為3X2+2=3的非直角三角形有6X4=24（個）；面積為2X2+2=2的直角三角形有4X4=16（個）；面積為2X2+2=2的非直角三角形有8X4=32（個）；面積為3X1+2=1。5的直角三角形有4X6=24（個）；面積為3X1+2=1。5的非直角三角形有4X6=24（個）；