煙臺(tái)大學(xué)主頁(yè)ppt課件

1、煙臺(tái)大學(xué)主頁(yè)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 院系設(shè)置數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院新版網(wǎng)站課程建設(shè)省級(jí)精品課高等數(shù)學(xué)視頻錄像四、二次曲面四、二次曲面第三節(jié)一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面 三、柱面三、柱面機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 曲面及其方程 第七章 一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念求到兩定點(diǎn)A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距離的點(diǎn)的222)3()2() 1(zyx07262zyx化簡(jiǎn)得即就是說(shuō)就是說(shuō): : 動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段 AB AB 的垂直平分的垂直平分面面. .引例引例: :顯然在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程, 不在此平面上

2、的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程.222)4() 1()2(zyx解解: :設(shè)軌跡上的動(dòng)點(diǎn)為設(shè)軌跡上的動(dòng)點(diǎn)為, ),(zyxM,BMAM 則軌跡方程. 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 定義定義1. 0),(zyxFSzyxo如果曲面 S 與方程 F( x, y, z ) = 0 有下述關(guān)系:(1) 曲面 S 上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程;那么 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的圖形.兩個(gè)基本問(wèn)題兩個(gè)基本問(wèn)題 : :(1) 已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí),(2) 不在曲面 S 上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程,求曲面方程.(2) 已

3、知方程時(shí) , 研究它所表示的幾何形狀( 必要時(shí)需作圖 ). 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 故所求方程為例例1. 求動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)求動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)),(zyxM),(0000zyxM方程. 特別,當(dāng)M0在原點(diǎn)時(shí),球面方程為解解: 設(shè)軌跡上動(dòng)點(diǎn)為設(shè)軌跡上動(dòng)點(diǎn)為RMM0即依題意距離為 R 的軌跡xyzoM0M222yxRz表示上(下)球面 .Rzzyyxx202020)()()(2202020)()()(Rzzyyxx2222Rzyx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 例例2. 2. 研究方程研究方程042222yxzyx解解: : 配方得配方得5, )0, 2, 1(0M此方程表示:說(shuō)明說(shuō)明: :

4、如下形式的三元二次方程 ( A 0 )都可通過(guò)配方研究它的圖形.其圖形可能是的曲面. 表示怎樣半徑為的球面.0)(222GFzEyDxzyxA球心為 一個(gè)球面, 或點(diǎn) , 或虛軌跡.5)2() 1(222zyx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 定義定義2. 2. 一條平面曲線一條平面曲線二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面 繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸軸 . .例如例如 :機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 建立yoz面上曲線C 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程:故旋轉(zhuǎn)曲面方程為, ),(zyxM當(dāng)繞 z 軸旋轉(zhuǎn)時(shí),0),(11zyf,),

5、 0(111CzyM若點(diǎn)給定 yoz 面上曲線 C: ), 0(111zyM),(zyxM1221,yyxzz則有0),(22zyxf則有該點(diǎn)轉(zhuǎn)到0),(zyfozyxC機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 當(dāng)曲線 C 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，方程為0),(:zyfCoyxz0),(22zxyf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 例例3. 試建立頂點(diǎn)在原點(diǎn)試建立頂點(diǎn)在原點(diǎn), 旋轉(zhuǎn)軸為旋轉(zhuǎn)軸為z 軸軸, 半頂角為半頂角為的圓錐面方程. 解解: : 在在yozyoz面上直線面上直線L L 的方程的方程為為cotyz 繞z 軸旋轉(zhuǎn)時(shí),圓錐面的方程為cot22yxz)(2222yxazcota令xyz兩邊平方

6、L), 0(zyM機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 xy例例4. 求坐標(biāo)面求坐標(biāo)面 xoz 上的雙曲線上的雙曲線12222czax分別繞 x軸和 z 軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程. 解解: :繞繞 x x 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)122222czyax繞 z 軸旋轉(zhuǎn)122222czayx這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為z機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 xyz三、柱面三、柱面引例引例. . 分析方程分析方程表示怎樣的曲面 .的坐標(biāo)也滿足方程222Ryx解解: :在在 xoy xoy 面上，面上，表示圓C, 222Ryx222Ryx沿曲線C平行于 z 軸的一切直線所形成的曲面稱

7、為圓故在空間222Ryx過(guò)此點(diǎn)作柱面柱面. .對(duì)任意 z ,平行 z 軸的直線 l ,表示圓柱面oC在圓C上任取一點(diǎn) , )0 ,(1yxMlM1M),(zyxM點(diǎn)其上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 xyzxyzol定義定義3. 平行定直線并沿定曲線 C 移動(dòng)的直線 l 形成的軌跡叫做柱面. 表示拋物柱面,母線平行于 z 軸;準(zhǔn)線為xoy 面上的拋物線. z 軸的橢圓柱面.xy2212222byaxz 軸的平面.0 yx表示母線平行于 C(且 z 軸在平面上)表示母線平行于C 叫做準(zhǔn)線, l 叫做母線.xyzoo機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 xzy2l一般地

8、,在三維空間柱面,柱面,平行于 x 軸;平行于 y 軸;平行于 z 軸;準(zhǔn)線 xoz 面上的曲線 l3.母線柱面,準(zhǔn)線 xoy 面上的曲線 l1.母線準(zhǔn)線 yoz 面上的曲線 l2. 母線表示方程0),(yxF表示方程0),(zyG表示方程0),(xzHxyz3l機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 xyz1l四、二次曲面四、二次曲面三元二次方程 適當(dāng)選取直角坐標(biāo)系可得它們的標(biāo)準(zhǔn)方程,下面僅 就幾種常見(jiàn)標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)進(jìn)行介紹 .研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法 其基本類型有: 橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面. FzxEyxDxyCzByAx2220JIzHyGx(二次項(xiàng)系數(shù)不

9、全為 0 )機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 zyx1. 1. 橢球面橢球面),(1222222為正數(shù)cbaczbyax(1)范圍：czbyax,(2)與坐標(biāo)面的交線：橢圓,012222zbyax,012222xczby 012222yczax機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 1222222czbyax與)(11czzz的交線為橢圓：1zz (4) 當(dāng) ab 時(shí)為旋轉(zhuǎn)橢球面;同樣)(11byyy的截痕）（axxx11及也為橢圓.當(dāng)abc 時(shí)為球面.(3) 截痕:1)()(212221222222zcyzcxcbcacba,(為正數(shù))機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 z2. 拋物面拋物面z

10、qypx2222(1) 橢圓拋物面( p , q 同號(hào))(2) 雙曲拋物面鞍形曲面）zqypx2222zyx特別,當(dāng) p = q 時(shí)為繞 z 軸的旋轉(zhuǎn)拋物面.( p , q 同號(hào))zyx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 3. 雙曲面雙曲面(1)(1)單葉雙曲面單葉雙曲面by 1) 1上的截痕為平面1zz 橢圓.時(shí), 截痕為22122221byczax(實(shí)軸平行于x 軸；虛軸平行于z 軸）1yy zxy),(1222222為正數(shù)cbaczbyax1yy 平面 上的截痕情況:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 雙曲線: 虛軸平行于x 軸）by 1)2時(shí), 截痕為0czax)(bby或by 1)3

11、時(shí), 截痕為22122221byczax(實(shí)軸平行于z 軸;1yy zxyzxy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 相交直線: 雙曲線: 0(2) 雙葉雙曲面雙葉雙曲面),(1222222為正數(shù)cbaczbyax上的截痕為平面1yy 雙曲線上的截痕為平面1xx 上的截痕為平面)(11czzz橢圓注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別: 雙曲線zxyo222222czbyax單葉雙曲面11雙葉雙曲面P18 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 4. 橢圓錐面橢圓錐面),(22222為正數(shù)bazbyax上的截痕為在平面tz 橢圓在平面 x0 或 y0 上的截痕為過(guò)原點(diǎn)的兩直線 .zxyo1)()(2222t byt axtz ,可以證明, 橢圓上任一點(diǎn)與原點(diǎn)的連線均在曲面上.(橢圓錐面也可由圓錐面經(jīng) x 或 y 方向的伸縮變換得到, 見(jiàn)書(shū) P316 )xyz機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 空間曲面空間曲面三元方程0),(zyxF 球面2202020)()()(Rzzyyxx 旋轉(zhuǎn)曲面如, 曲線00),(xzyf繞 z 軸的旋轉(zhuǎn)曲面:0),(22zyxf 柱面如,曲面0),(yxF表示母線平行 z 軸的柱面.又