清華微積分第九講洛必達(dá)法則ppt課件

1、 P95 習(xí)題習(xí)題4.2 7(4) (5) (6) (10) (11) (12). 8(2) (4) (5) (8) (11) (12). 9(錯(cuò)錯(cuò)) . 作業(yè)作業(yè) 預(yù)習(xí)預(yù)習(xí): P96111第九講第九講 洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則一、未定型極限一、未定型極限二、二、 型未定式的型未定式的 洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則”“00三、三、 型未定式的型未定式的 洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則”“ 四、其它未定型極限四、其它未定型極限回憶極限的四則運(yùn)算法則回憶極限的四則運(yùn)算法則: :0 )(lim,)(lim BBxgAxf且且如如果果BAxgxf )()(lim則則不不存存在在則則如如果果)()(lim, 0, 0 xgx

2、fAB 0 AB如如果果四則運(yùn)算法則不能用！四則運(yùn)算法則不能用！一、未定型極限一、未定型極限稱稱為為未未定定型型極極限限)()(limxgxfx型型”“000)(lim, 0)(lim) 1 ( xgxf如如果果 )(lim,)(lim) 2(xgxf如如果果稱稱為為未未定定型型極極限限)()(limxgxfx型型”“ ”未未定定型型“ )()(limxgxfx”未未定定型型“ 0)()(limxgxfx”未未定定型型“”“”“00)(01)(lim xgxxf且且滿滿足足條條件件：內(nèi)內(nèi)有有定定義義鄰鄰域域的的某某空空心心在在點(diǎn)點(diǎn)和和設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù),),()()(0 aUaxgxf則則有有或或

3、),()()(lim)3( Axgxfax)()()(lim)()(lim 或或Axgxfxgxfaxax;0)(,)()(,),()2(0 xgxgxfaU且且存存在在和和內(nèi)內(nèi)在在 ; 0)(lim, 0)(lim)1( xgxfaxax定理定理1：二、二、 型未定式的洛必達(dá)法則型未定式的洛必達(dá)法則”“00Axgxfax )()(lim首首先先證證明明： 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)axaxxfxF0)()( 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)axaxxgxG0)()(.,),xaxaa閉閉區(qū)區(qū)間間考考慮慮內(nèi)內(nèi)任任取取一一點(diǎn)點(diǎn)在在區(qū)區(qū)間間 證證利用柯西定理證明利用柯西定理證明. 引入輔助函數(shù)引入輔助函數(shù)使使得得內(nèi)內(nèi)至至少

4、少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)于于是是在在件件上上滿滿足足柯柯西西定定理理?xiàng)l條在在和和,),(,)()( xaxaxGxFa ax )()()()()()()(xaGFaGxGaFxF 于于是是有有時(shí)時(shí)又又當(dāng)當(dāng)因因?yàn)闉?,()(),()(,0)(,0)(xgxGxfxFaxaGaF )()()()()()()()()(xagfGFxGxFxgxf 得得取取極極限限在在上上式式兩兩邊邊則則令令, aax Agfxgxfaax )()(lim)()(lim Axgxfax )()(lim同同理理可可證證Axgxfxgxfaxax )()(lim)()(lim于于是是證證明明了了的的證證明明 )()(lim)(

5、)(limxgxfxgxfaxax只需證只需證Gxgxf )()(就有就有,0, 0, 0GGaxG 只只要要Gxgxf )()(就就有有 )()(limxgxfax,|0, 0, 0GGaxG 只只要要)()()()()()()()()()( gfaGxGaFxFxGxFxgxf 利用柯西定理，有利用柯西定理，有之之間間與與介介于于ax Ggf )()( 于于是是有有時(shí)時(shí)又又當(dāng)當(dāng)因因?yàn)闉?,()(),()(,0)(,0)(xgxGxfxFaxaGaF Gxgxf )()(就有就有,0, 0, 0,GGaxG 只只要要于于是是證畢證畢且且滿滿足足條條件件：不不妨妨設(shè)設(shè)定定義義內(nèi)內(nèi)有有在在和和設(shè)

6、設(shè)函函數(shù)數(shù)),0(),()()( ccxgxf; 0)(lim, 0)(lim) 1 ( xgxfxx則則有有或或 ),()()(lim)3( Axgxfx)()()(lim)()(lim 或或Axgxfxgxfxx;0)(,)()(,),()2( xgxgxfc且且存存在在和和內(nèi)內(nèi)在在定理定理2：且且滿滿足足條條件件：內(nèi)內(nèi)有有定定義義鄰鄰域域的的某某空空心心在在點(diǎn)點(diǎn)和和設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù),),()()(0 aUaxgxf則則有有或或 ),()()(lim)3( Axgxfax)()()(lim)()(lim 或或Axgxfxgxfaxax;0)(,)()(,),()2(0 xgxgxfaU且且存存

7、在在和和內(nèi)內(nèi)在在 ;)(lim,)(lim)1( xgxfaxax定理定理3：三、三、 型未定式的洛必達(dá)法則型未定式的洛必達(dá)法則”“ ”“”“ 0) 1 (”“”“”“0001)2( ”型型”或或“化化為為“ 00”型型”或或“化化為為“取取對(duì)對(duì)數(shù)數(shù) 00,四、其他未定型極限四、其他未定型極限xeexxxcos12lim 10 求求極極限限例例xeexeexxxxxxsinlimcos12lim00 ”型型“00 xeexxxcoslim0 2 解解xxx12arctanlim2 求求極極限限例例”型型這這是是“00 xxx12arctanlim 11lim22 xxx22111limxxx

8、解解)(lim3Nnexxnx 求求極極限限例例”“ xnxexlimxnxenx1lim xnxexnn2)1(lim 0lim xxen！.,無無窮窮小小量量更更高高階階的的是是比比的的無無窮窮大大量量更更高高階階是是比比時(shí)時(shí)：當(dāng)當(dāng)小小結(jié)結(jié)nxnxxexex 解解)0(lnlim4 xxx求求極極限限例例 xxxlnlim11lim xxx01lim xx.ln)0(,更更高高階階的的無無窮窮大大量量是是比比時(shí)時(shí)：當(dāng)當(dāng)小小結(jié)結(jié)xxx 解解依依次次升升高高下下列列無無窮窮大大量量的的階階時(shí)時(shí)：當(dāng)當(dāng)小小結(jié)結(jié), x,lnx),0( x) 1( aax)1(lim5220 xctgxx 求求極極限

9、限例例xxxxxxctgxxx222220220sincossinlim)1(lim xxxxxxxxxxxsincossinlimsincossinlim200 解解等價(jià)代換等價(jià)代換30cossinlim2xxxxx 20203sinlim23sincoscoslim2xxxxxxxxxx 323lim2220 xxxxxxln120)(sinlim6 求求極極限限例例”型型“00得得取取對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)令令,)(sinln12xxy )ln(sinln12limlnlim00 xxyxx 解解2coslimsinlim200 xxxxxxxxx1sincos0lim2 2ln120)(sinlim

10、 exxxxxxln1)ln(sinlim20 ”“ )11ln(lim72xxxx 求極限求極限例例”“ xxxxxxxx112)1ln(1lim)11ln(lim tx 1令令20)1ln(limtttt ttt21lim110 21)1(21lim0 tt解解xxnxxxnnaaaaaa121021)(lim,8 求求極極限限為為正正常常數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)例例xnaaanaaaxnxxxxxnxxxln)ln(lim)ln(lim2101210 xnxxnxnxxxaaaaaaaaa 2122110lnlnlnlim解解nnnxaaanaaa121210)ln(lnlnlnlim nnxxnxxx

11、aaanaaa211210)(lim 故故然然后后再再用用洛洛必必達(dá)達(dá)法法則則。類類型型之之一一兩兩種種其其他他未未定定型型要要先先化化成成這這法法則則型型才才可可直直接接使使用用洛洛必必達(dá)達(dá)或或：注注意意,001 AxgxfAxgxf )()(lim,)()(lim2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)：洛洛必必達(dá)達(dá)法法則則只只說說明明注注意意.)()(lim,)()(lim使使用用洛洛必必達(dá)達(dá)法法則則只只能能說說明明這這時(shí)時(shí)不不能能不不存存在在并并不不能能斷斷定定不不存存在在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xgxfxgxf 不不存存在在！而而)cos1(limsinlimxxxxxx 1)sin1(limsinlim xxxxxxx例例如如

12、11coslim0 xxx顯然有顯然有例例01sinlim)1()(coslim1coslim000 xxxxxxxx這顯然是一個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)果這顯然是一個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)果! !注意注意3：只有未定式極限才能使用羅必達(dá)：只有未定式極限才能使用羅必達(dá) 法則；非未定式極限使用極限運(yùn)算法則法則；非未定式極限使用極限運(yùn)算法則 處置處置. 有些未定式極限有些未定式極限,使用多次羅必達(dá)使用多次羅必達(dá) 法則之后法則之后,已經(jīng)成為非未定式極限已經(jīng)成為非未定式極限, 就不就不 能再使用羅必達(dá)法則了能再使用羅必達(dá)法則了.?)1sin1(lim9220 xxx例例解解)1sin1(lim220 xxx xxxxx22220sinsinlim