高中數(shù)學(xué)第2章§3解三角形的實際應(yīng)用舉例課件北師大版必修

1、3解三角形的實際應(yīng)用舉例解三角形的實際應(yīng)用舉例學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)1運用正弦定理、余弦定理等知識解決一些運用正弦定理、余弦定理等知識解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題2通過對實際問題的探索，會利用數(shù)學(xué)建模通過對實際問題的探索，會利用數(shù)學(xué)建模思想把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，增強(qiáng)解決實思想把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，增強(qiáng)解決實際問題的能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識際問題的能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識課堂互動講練課堂互動講練知能優(yōu)化訓(xùn)練知能優(yōu)化訓(xùn)練3解解三三角角形形的的實實際際應(yīng)應(yīng)用用舉舉例例課前自主學(xué)案課前自主學(xué)案課前自主學(xué)案課前自主學(xué)案溫故夯基溫故夯基2Rb2c22bccosAa2c

2、22accosBa2b22abcosC3解決實際問題的一般步驟解決實際問題的一般步驟分析、建模、求解、檢驗分析、建模、求解、檢驗即：即：知新益能知新益能上方上方下方下方1.仰角和俯角仰角和俯角與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角目標(biāo)視線目標(biāo)視線的夾角目標(biāo)視線在水平視線在水平視線_時叫仰角，時叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線目標(biāo)視線在水平視線_時叫俯角，如圖所示時叫俯角，如圖所示2方位角方位角指從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角指從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角,如如B點的方位角為點的方位角為(如圖如圖1所示所示)3方位角的其他表示方位角

3、的其他表示方向角方向角(1)正南方向：指從原點正南方向：指從原點O出發(fā)的經(jīng)過目標(biāo)的射出發(fā)的經(jīng)過目標(biāo)的射線與正南的方向線重合，即目標(biāo)在正南的方向線與正南的方向線重合，即目標(biāo)在正南的方向線上依此可類推正北方向、正東方向和正西線上依此可類推正北方向、正東方向和正西方向方向(2)東南方向：指經(jīng)過目標(biāo)的射線是正東和正東南方向：指經(jīng)過目標(biāo)的射線是正東和正南的夾角平分線南的夾角平分線(如圖如圖2所示所示)問題探究問題探究怎樣將實際問題抽象成解三角形問題？怎樣將實際問題抽象成解三角形問題？提示：提示：將距離問題抽象成三角形中的邊長問題將距離問題抽象成三角形中的邊長問題,將方向等含有角度的問題抽象成三角形中的角

4、將方向等含有角度的問題抽象成三角形中的角的問題例如，測量某條河寬時，把河寬看成的問題例如，測量某條河寬時，把河寬看成一條線段，通過構(gòu)造三角形，把這條線段看成一條線段，通過構(gòu)造三角形，把這條線段看成某三角形的一邊，通過解三角形來解決；再比某三角形的一邊，通過解三角形來解決；再比如，測量山或建筑物等的高度，把它們的高度如，測量山或建筑物等的高度，把它們的高度看成一條線段長，通過構(gòu)造直角三角形，把這看成一條線段長，通過構(gòu)造直角三角形，把這條線段看成直角三角形的直角邊或斜邊，通過條線段看成直角三角形的直角邊或斜邊，通過解直角三角形來解決解直角三角形來解決要注意：要注意：(1)如果所解的三角形中，已知三

5、邊如果所解的三角形中，已知三邊或已知兩邊及一角或兩角及一邊時，直接利或已知兩邊及一角或兩角及一邊時，直接利用正弦定理或余弦定理求解，如果條件不滿用正弦定理或余弦定理求解，如果條件不滿足，那么將缺少的元素即邊或角放到其他三足，那么將缺少的元素即邊或角放到其他三角形中，再通過解三角形得到角形中，再通過解三角形得到(2)解三角形解三角形應(yīng)用題時，由于具體問題中給出的數(shù)據(jù)通常應(yīng)用題時，由于具體問題中給出的數(shù)據(jù)通常為有效近似值，故運算過程一般較為復(fù)雜，為有效近似值，故運算過程一般較為復(fù)雜，可以借助于計算器計算，當(dāng)然還應(yīng)達(dá)到算法可以借助于計算器計算，當(dāng)然還應(yīng)達(dá)到算法簡練、算式工整、計算準(zhǔn)確等要求簡練、算式

6、工整、計算準(zhǔn)確等要求 (3)如果如果將正弦定理、余弦定理看成是幾個將正弦定理、余弦定理看成是幾個“方程方程”，那么解三角形應(yīng)用題的實質(zhì)就是把未知量按方那么解三角形應(yīng)用題的實質(zhì)就是把未知量按方程的思想進(jìn)行處理，解題時應(yīng)根據(jù)已知量與未程的思想進(jìn)行處理，解題時應(yīng)根據(jù)已知量與未知量，合理選擇一個比較容易解的方程，從而知量，合理選擇一個比較容易解的方程，從而使解題過程簡潔使解題過程簡潔(4)準(zhǔn)確理解題意，分清已知準(zhǔn)確理解題意，分清已知與所求，尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞和術(shù)與所求，尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞和術(shù)語，這是解決問題的前提和基礎(chǔ)語，這是解決問題的前提和基礎(chǔ)課堂互動講練課堂互動講練測量距離問題

7、測量距離問題考點突破考點突破測量不可到達(dá)的兩點的距離時，若其中一點可測量不可到達(dá)的兩點的距離時，若其中一點可以到達(dá)，利用一個三角形即可解決，一般用正以到達(dá)，利用一個三角形即可解決，一般用正弦定理；若兩點均不可到達(dá)，則需要用兩個三弦定理；若兩點均不可到達(dá)，則需要用兩個三角形才能解決，一般正、余弦定理都要用到角形才能解決，一般正、余弦定理都要用到 (2009年高考遼寧卷年高考遼寧卷)如如圖所示，圖所示，A、B、C、D都在同都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi)，一個與水平面垂直的平面內(nèi)，B、D為兩島上的兩座燈塔的為兩島上的兩座燈塔的塔頂測量船于水面塔頂測量船于水面A處測處測得得B點和點和D點的仰角分別為點

8、的仰角分別為75，30，于水，于水面面C處測得處測得B點和點和D點的仰角均為點的仰角均為60， AC0.1 km.試探究圖中試探究圖中B、D間距離與另外間距離與另外哪兩點哪兩點【思路點撥】【思路點撥】根據(jù)圖中的已知條件求出一根據(jù)圖中的已知條件求出一些點與點之間的距離，結(jié)合圖形和計算出的些點與點之間的距離，結(jié)合圖形和計算出的距離作出判斷，然后把距離作出判斷，然后把B、D間距離的計算轉(zhuǎn)間距離的計算轉(zhuǎn)化為找到的與化為找到的與B、D間距離相等的另外兩點之間距離相等的另外兩點之間的距離間的距離【名師點評】【名師點評】 要計算距離就必須把這個距要計算距離就必須把這個距離歸結(jié)到一個三角形中，通過正弦定理或余

9、弦離歸結(jié)到一個三角形中，通過正弦定理或余弦定理進(jìn)行計算，但無論是正弦定理還是余弦定定理進(jìn)行計算，但無論是正弦定理還是余弦定理都得至少知道三角形的一個邊長，即在解決理都得至少知道三角形的一個邊長，即在解決問題時，必須把我們已知道長度的那個邊和需問題時，必須把我們已知道長度的那個邊和需要計算的那個邊納入到同一個三角形中，或是要計算的那個邊納入到同一個三角形中，或是通過間接的途徑納入到同一個三角形中，這是通過間接的途徑納入到同一個三角形中，這是我們分析這類問題的一個基本出發(fā)點我們分析這類問題的一個基本出發(fā)點答：救援船到達(dá)答：救援船到達(dá)D點需要點需要1小時小時測量底部不可到達(dá)的建筑物的高度問題，由測量

10、底部不可到達(dá)的建筑物的高度問題，由于底部不可到達(dá)，這類問題不能直接用解直于底部不可到達(dá)，這類問題不能直接用解直角三角形的方法解決，常用正弦定理和余弦角三角形的方法解決，常用正弦定理和余弦定理，計算出建筑物頂部或底部到一個可到定理，計算出建筑物頂部或底部到一個可到達(dá)的點之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角達(dá)的點之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題形的問題測量高度問題測量高度問題 甲、乙兩樓相距甲、乙兩樓相距200 m，從乙樓底望甲，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫闃琼數(shù)难鼋菫?0，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母?，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫榻菫?0，則甲、乙兩樓的高分別是多少？，則甲、乙兩樓的高分別是多少？【思路點撥

11、】【思路點撥】先根據(jù)題意，畫出圖形，然先根據(jù)題意，畫出圖形，然后利用解三角形知識求解后利用解三角形知識求解【名師點評】【名師點評】解決此類問題應(yīng)注意：解決此類問題應(yīng)注意：(1)在測量高度時，要理解仰角、俯角的概念，在測量高度時，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一鉛垂面內(nèi)視線與水平線仰角和俯角都是在同一鉛垂面內(nèi)視線與水平線的夾角的夾角(2)準(zhǔn)確理解題意，分清已知與所求，畫出示意準(zhǔn)確理解題意，分清已知與所求，畫出示意圖圖(3)運用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形運用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形,逐步求解問題的答案，注意方程思想的運用逐步求解問題的答案，注意方程思想的運用測量角度問

12、題測量角度問題要測量角的大小，可利用測角儀或測距離的要測量角的大小，可利用測角儀或測距離的鋼卷尺等工具，但對于不能直接測得的角的鋼卷尺等工具，但對于不能直接測得的角的大小問題還要結(jié)合正弦定理、余弦定理解三大小問題還要結(jié)合正弦定理、余弦定理解三角形在解決角度測量問題的有關(guān)題目時，角形在解決角度測量問題的有關(guān)題目時，要搞清方位角、俯角與仰角等的含義，合理要搞清方位角、俯角與仰角等的含義，合理構(gòu)造三角形求解，即把實際問題數(shù)學(xué)化構(gòu)造三角形求解，即把實際問題數(shù)學(xué)化 (2010年高考福建卷年高考福建卷)某港口某港口O要將一件要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船

13、上,在小艇出發(fā)時，輪船位于港口在小艇出發(fā)時，輪船位于港口O北偏西北偏西30且且與該港口相距與該港口相距20海里的海里的A處，并正以處，并正以30海里海里/小小時的航行速度沿正東方向勻速行駛假設(shè)該時的航行速度沿正東方向勻速行駛假設(shè)該小艇沿直線方向以小艇沿直線方向以v海里海里/小時的航行速度勻速小時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過行駛，經(jīng)過t小時與輪船相遇小時與輪船相遇(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？航行速度的大小應(yīng)為多少？(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里海里/小時，試設(shè)計航行方案小時，試設(shè)

14、計航行方案(即確定航行方向和航即確定航行方向和航行速度的大小行速度的大小)，使得小艇能以最短時間與輪，使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由船相遇，并說明理由【思路點撥】【思路點撥】正確畫出示意圖，將距離用速正確畫出示意圖，將距離用速度和時間表示出來，將實際問題轉(zhuǎn)化為解三角度和時間表示出來，將實際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題，利用正弦定理求解形問題，利用正弦定理求解【名師點評】【名師點評】首先應(yīng)明確方位角的含義，首先應(yīng)明確方位角的含義，在解應(yīng)用題時，分析題意，分清已知與所求，在解應(yīng)用題時，分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意正確畫出示意圖，這是最關(guān)鍵、再根據(jù)題意正確畫出示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要

15、的一步，通過這一步可將實際問題轉(zhuǎn)最重要的一步，通過這一步可將實際問題轉(zhuǎn)化成可用數(shù)學(xué)方法解決的問題，解題中也要化成可用數(shù)學(xué)方法解決的問題，解題中也要注意體會正、余弦定理注意體會正、余弦定理“聯(lián)袂聯(lián)袂”使用的優(yōu)點使用的優(yōu)點.方法感悟方法感悟1解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟是：解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟是：準(zhǔn)確理解題意，分清已知與所求；準(zhǔn)確理解題意，分清已知與所求；依題意畫出示意圖；依題意畫出示意圖；分析與問題有關(guān)的三角形；分析與問題有關(guān)的三角形；運用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形運用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形,逐步求解問題的答案；逐步求解問題的答案；注意方程思想的運用；注意方程思想的運用；要把立體幾何知識與平面幾何知識綜合運用要把立體幾何知識與平面幾何知識綜合運用.2在選擇關(guān)系式時，一是要力求簡便；二是在選擇關(guān)系式時，一是要力求簡便；二是盡可能使用題中原有的已知數(shù)據(jù)，盡量減少計盡可能使用題中原有的已知數(shù)據(jù)，盡量減少計算