概率論第一章

1、1 隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的觀察，稱為隨機(jī)試驗(yàn)。簡(jiǎn)稱試驗(yàn)。對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的觀察，稱為隨機(jī)試驗(yàn)。簡(jiǎn)稱試驗(yàn)。隨機(jī)試驗(yàn)的特點(diǎn)隨機(jī)試驗(yàn)的特點(diǎn)(p2 )1.可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行； 2.試驗(yàn)結(jié)果可能不止一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果可能不止一個(gè),但能明確所有的可能結(jié)果但能明確所有的可能結(jié)果;3.試驗(yàn)前無(wú)法確定是哪個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)。試驗(yàn)前無(wú)法確定是哪個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)。隨機(jī)試驗(yàn)可表為隨機(jī)試驗(yàn)可表為E 定義定義隨機(jī)試驗(yàn)的例子E1: 拋一枚硬幣，分別用拋一枚硬幣，分別用“H” 和和“T” 表示出正面和反表示出正面和反面面, 觀察正反面出現(xiàn)的情況觀察正反面出現(xiàn)的情況;E2: 將一枚硬幣連拋三次，將一枚硬幣連拋三次，

2、觀察觀察正反面出現(xiàn)的情況；正反面出現(xiàn)的情況；E3:將一枚硬幣連拋三次，觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)將一枚硬幣連拋三次，觀察正面出現(xiàn)的次數(shù);E4:擲一顆骰子，觀察可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；擲一顆骰子，觀察可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；E5: 記錄某網(wǎng)站一分鐘內(nèi)受到的點(diǎn)擊次數(shù)；記錄某網(wǎng)站一分鐘內(nèi)受到的點(diǎn)擊次數(shù)；E6:在一批燈泡中任取一只，測(cè)其壽命在一批燈泡中任取一只，測(cè)其壽命;E7:任選一人，記錄他的身高和體重任選一人，記錄他的身高和體重 。2 樣本空間、隨機(jī)事件樣本空間、隨機(jī)事件(P2)1、樣本空間樣本空間：試驗(yàn)的：試驗(yàn)的所有可能結(jié)果所組成的集合稱所有可能結(jié)果所組成的集合稱 為樣本空間，記為為樣本空間，記為S=或或= ； 2、樣

3、本點(diǎn)樣本點(diǎn): 試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果或樣本空間的每個(gè)元素試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果或樣本空間的每個(gè)元素 稱為一個(gè)樣本點(diǎn)稱為一個(gè)樣本點(diǎn),記為記為. 定義定義EX EX 給出給出E1-E7的樣本空間的樣本空間例例1E4: 擲一顆骰子，考擲一顆骰子，考察察可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。 S =1,2,3,4,5,6; A=“擲出偶數(shù)點(diǎn)擲出偶數(shù)點(diǎn)” B=“擲出大于擲出大于4的點(diǎn)的點(diǎn)” =2，4，6 =5，6 C=“擲出奇數(shù)點(diǎn)擲出奇數(shù)點(diǎn)”=1，3，5樣本空間的子集稱為樣本空間的子集稱為隨機(jī)事件。隨機(jī)事件。記作記作A A、B B、C C等。等。 定義定義事件的發(fā)生事件的發(fā)生:子集中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)。子集中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)。

4、每次試驗(yàn)必有一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)每次試驗(yàn)必有一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)幾個(gè)特殊事件幾個(gè)特殊事件: 基本事件：一個(gè)樣本點(diǎn)組成的子集基本事件：一個(gè)樣本點(diǎn)組成的子集(p3) 必然事件必然事件S S 、 不可能事件不可能事件 、事件間的關(guān)系事件間的關(guān)系1.包含關(guān)系包含關(guān)系(p3) A B A A B B “A “A發(fā)生必導(dǎo)致發(fā)生必導(dǎo)致B B發(fā)生發(fā)生”。(p4)2n個(gè)事件個(gè)事件A1, A2, An至少有一個(gè)發(fā)生至少有一個(gè)發(fā)生 發(fā)生發(fā)生iniA13. 積事件積事件(p4) :A BAB 3n個(gè)事件個(gè)事件A1, A2, An同時(shí)發(fā)生同時(shí)發(fā)生 A1A2An發(fā)生發(fā)生A A與與B B同時(shí)發(fā)生同時(shí)發(fā)生 AB AB發(fā)生發(fā)生4.差事件差

5、事件(p4) ：AB稱為稱為A與與B的差事件。的差事件。何時(shí)何時(shí)A-B= ? 何時(shí)何時(shí)A-B=A？A AB B發(fā)生發(fā)生事件事件A A發(fā)生而發(fā)生而B B不發(fā)生不發(fā)生5. 互互斥的事件斥的事件(p4) ：AB ，表示事件，表示事件A與與B不可能同時(shí)發(fā)生。不可能同時(shí)發(fā)生。6. 互逆的互逆的事件事件(p4) :若若A B S, 且且AB ，稱，稱A與與B互為逆事件互為逆事件. 表示表示A,B不可能同時(shí)發(fā)生，不可能同時(shí)發(fā)生，但必有一個(gè)發(fā)生。但必有一個(gè)發(fā)生。BABAAA易見(jiàn)，的對(duì)立事件記作事件的運(yùn)算事件的運(yùn)算(p5)1、交換律：、交換律：A BB A，ABBA2、結(jié)合律：、結(jié)合律：(A B) CA (B

6、C)， (AB)CA(BC)3、分配律：、分配律：(A B)C(AC) (BC)， (AB) C(A C)(B C)4、對(duì)偶、對(duì)偶(De Morgan)律：律： .,kkkkkkkkAAAABAABBABA可推廣例例2甲、乙、丙三人各向目標(biāo)射擊一發(fā)子彈，以甲、乙、丙三人各向目標(biāo)射擊一發(fā)子彈，以A A、B B、C C分別表示甲、乙、丙命中目標(biāo)，試用分別表示甲、乙、丙命中目標(biāo)，試用A A、B B、C C的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件：的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件：:654321“三人均未命中目標(biāo)”“三人均未命中目標(biāo)”“三人均命中目標(biāo)”“三人均命中目標(biāo)”“最多有一人命中目標(biāo)“最多有一人命中目標(biāo)“恰有兩人命中目標(biāo)”

7、“恰有兩人命中目標(biāo)”“恰有一人命中目標(biāo)”“恰有一人命中目標(biāo)”“至少有一人命中目標(biāo)“至少有一人命中目標(biāo)AAAAAA3 頻率與概率頻率與概率(P6)某人向目標(biāo)射擊，某人向目標(biāo)射擊，以以A A表示事件表示事件“命中目標(biāo)命中目標(biāo)”，P P（A A）= =？(p5) 在相同條件下在相同條件下, 進(jìn)行進(jìn)行n次試驗(yàn)，在這次試驗(yàn)，在這n次試驗(yàn)次試驗(yàn)中事件中事件A發(fā)生的次數(shù)發(fā)生的次數(shù)nA，稱稱nA為事件為事件A發(fā)生的發(fā)生的頻數(shù)頻數(shù)稱稱fn(Afn(A) ) nA /n. /n.為事件為事件A發(fā)生發(fā)生的的頻率頻率 定義定義頻率的性質(zhì)頻率的性質(zhì)(p6)(1)0 fn(A) 1； 非負(fù)性非負(fù)性(2) fn(S)1；

8、歸一性歸一性(3)若若A,B互斥，互斥，則則 fn(AB) fn(A) +fn(B). 可加性可加性 (4) 當(dāng)當(dāng)n充分大時(shí)，充分大時(shí)， fn(Afn(A) )穩(wěn)定于穩(wěn)定于p(Ap(A) ) 。 穩(wěn)定性穩(wěn)定性某一常數(shù)某一常數(shù)歷史上曾有人做過(guò)試驗(yàn)歷史上曾有人做過(guò)試驗(yàn),試圖證明拋擲勻質(zhì)硬幣時(shí)，試圖證明拋擲勻質(zhì)硬幣時(shí)，正反面的機(jī)會(huì)均等。正反面的機(jī)會(huì)均等。 實(shí)驗(yàn)者實(shí)驗(yàn)者 n nH fn(H)De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069K. Pearson 12000 6019 0.5016K. Pearson 24000 12012 0.5005

9、 當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n增大時(shí)，增大時(shí)， fn(A) 逐漸逐漸 趨向一個(gè)穩(wěn)定值?？蓪⒋朔€(wěn)定值記作趨向一個(gè)穩(wěn)定值。可將此穩(wěn)定值記作P(A)，作為事件作為事件A的概率的概率. 此為此為概率的統(tǒng)計(jì)定義概率的統(tǒng)計(jì)定義.概率是頻率的穩(wěn)定值概率是頻率的穩(wěn)定值;頻率是概率的反映頻率是概率的反映, 用頻率去解釋概率用頻率去解釋概率.例如例如: P(A)=0.8,: P(A)=0.8,則應(yīng)理解為在觀察則應(yīng)理解為在觀察A A而做的而做的20002000次次試驗(yàn)中試驗(yàn)中, ,事件事件A A的出現(xiàn)次數(shù)應(yīng)在的出現(xiàn)次數(shù)應(yīng)在16001600次左右次左右. .兩者的關(guān)系兩者的關(guān)系 定義定義概率的公理化定義概率的公理化定義(p

10、8)1933年，前蘇聯(lián)科學(xué)家柯?tīng)柲Ω缏宸?，給出了年，前蘇聯(lián)科學(xué)家柯?tīng)柲Ω缏宸?，給出了概率的公理化定義概率的公理化定義若對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)若對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)E所對(duì)應(yīng)的樣本空間所對(duì)應(yīng)的樣本空間S中的每一事件中的每一事件A，均賦予一實(shí)數(shù)均賦予一實(shí)數(shù)P(A)，集合函數(shù)集合函數(shù)P(A)滿足條件：滿足條件：(1) 非負(fù)性：非負(fù)性： P(A) 0；(2) 歸一性：歸一性： P(S)1； (3) 可列可加性可列可加性：設(shè)設(shè)A1，A2，, 是兩兩互不相是兩兩互不相容的事件，即容的事件，即AiAj ，(i j), i , j1, 2, , 有有 P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+. 則稱則稱P(A)為事件為事件A的

11、的概率概率。( p8)稱為概率的公理化定義稱為概率的公理化定義 定義定義概率的性質(zhì)概率的性質(zhì) P(8-9)(2) 有限有限可加性可加性：設(shè)設(shè)A1，A2，An , 是是n個(gè)兩兩互個(gè)兩兩互不相容的事件，即不相容的事件，即AiAj ，(i j), i , j1, 2, , n ,則則有有 P( A1 A2 An) P(A1) P(A2)+ +P(An); (4) 事件差：事件差： A、B是兩個(gè)事件，則是兩個(gè)事件，則P(A-B)=P(A)-P(AB)(3) 單調(diào)不減性單調(diào)不減性：若事件：若事件A B，則，則 P(A)P(B) 0)(P(1)1)(,APSA(5) 加法公式加法公式：對(duì)任意兩事件：對(duì)任意

12、兩事件A、B，有，有 P(A B)P(A)P(B)P(AB) 該公式該公式可推廣到可推廣到任意任意n個(gè)個(gè)事件事件A1，A2，An的的情形情形. P(A);-1)AP( (6)互補(bǔ)性互補(bǔ)性例例1例例2小王參加小王參加“智力大沖浪智力大沖浪”游戲，他能答出甲，游戲，他能答出甲，乙兩類問(wèn)題的概率分別為乙兩類問(wèn)題的概率分別為0.7和和0.2，兩類問(wèn)題，兩類問(wèn)題都能答出的概率為都能答出的概率為0.1，求小王，求小王（1）能答出甲類而答不出乙類問(wèn)題的概率）能答出甲類而答不出乙類問(wèn)題的概率.（2）至少有一類問(wèn)題能答出的概率）至少有一類問(wèn)題能答出的概率.（3）兩類問(wèn)題都答不出的概率）兩類問(wèn)題都答不出的概率.思

13、考：已知思考：已知 P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/6,P(AC)=P(BC)=1/6,則則A A，B B，C C不全發(fā)生的不全發(fā)生的概率為多少概率為多少. .通過(guò)做此題，你發(fā)現(xiàn)什么問(wèn)題？4 古典概型古典概型(P10)事件事件A A發(fā)生的可能性的大小稱為事件發(fā)生的可能性的大小稱為事件A A的概的概率。記為率。記為 P(A).P(A).P（A A）如何計(jì)算？）如何計(jì)算？擲一顆骰子，出現(xiàn)擲一顆骰子，出現(xiàn)6 6點(diǎn)的概率為多少？點(diǎn)的概率為多少？向目標(biāo)射擊，命中目標(biāo)的概率有多大？向目標(biāo)射擊，命中目標(biāo)的

14、概率有多大？ 定義定義(p10)若某試驗(yàn)若某試驗(yàn)E滿足滿足（1）有限性：樣本空間）有限性：樣本空間Se1, e 2 , , e n ;（2）等可能性：（公認(rèn)）等可能性：（公認(rèn)）P(e1)=P(e2)=P(en). 則稱則稱E為古典概型為古典概型, 也稱為也稱為等可能等可能概型。概型。例例盒中有盒中有3只白球只白球, 2只紅球只紅球, 從中任意摸一球從中任意摸一球, 觀察其顏色觀察其顏色,S=白、紅白、紅，此試驗(yàn)是否為古典概型？，此試驗(yàn)是否為古典概型？ 定義定義設(shè)事件設(shè)事件A中所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為中所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為N(A) ，以，以N(S)記樣本空間記樣本空間S中樣本點(diǎn)總數(shù)，則有中樣本點(diǎn)總數(shù)，則有)

15、S()()(NANAP例例1:1:有三個(gè)子女的家庭有三個(gè)子女的家庭, ,則至少有一個(gè)男孩的概率是則至少有一個(gè)男孩的概率是多少多少? ?解解: :設(shè)設(shè)A A表示表示“至少有一個(gè)男孩至少有一個(gè)男孩”, ,H H表示男孩，表示男孩，T T表示女孩。表示女孩。則則 S=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT S=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT A=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT A=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT87)()()(SNANAP古典概型的幾類基本問(wèn)題古典概型的幾類基本問(wèn)題復(fù)習(xí)：排列與組合

16、的基本概念復(fù)習(xí)：排列與組合的基本概念乘法定理乘法定理：設(shè)完成一件事需分兩步：第一步有：設(shè)完成一件事需分兩步：第一步有n n1 1種方法種方法, ,第二步有第二步有n n2 2種方法，則完成這件事共種方法，則完成這件事共有有n n1 1n n2 2種方法種方法. .ABC加法定理：加法定理：設(shè)完成一件事可有兩種途徑，第設(shè)完成一件事可有兩種途徑，第一種途徑有一種途徑有n n1 1種方法，第二種途徑有種方法，第二種途徑有n n2 2種方種方法，則完成這件事共有法，則完成這件事共有n n1 1+n+n2 2種方法。種方法。AB重復(fù)排列重復(fù)排列( (放回抽樣放回抽樣) )：從含有：從含有n n個(gè)元素的集

17、合中個(gè)元素的集合中隨機(jī)抽取隨機(jī)抽取k k次，每次取一個(gè)，記錄其結(jié)果后放回，次，每次取一個(gè)，記錄其結(jié)果后放回，將記錄結(jié)果排成一列將記錄結(jié)果排成一列. .共有nk種排列方式.n n n n n nn n無(wú)重復(fù)排列（不放回抽樣）無(wú)重復(fù)排列（不放回抽樣）：從含有：從含有n n個(gè)元素的集合中個(gè)元素的集合中隨機(jī)抽取隨機(jī)抽取k k次，每次取一個(gè)，取后不放回，將所取元素次，每次取一個(gè)，取后不放回，將所取元素排成一列排成一列. .共有共有A An nk k=n(n-1)=n(n-1)(n-k+1)(n-k+1)種排列方式種排列方式. .當(dāng)當(dāng) k=n 時(shí)，時(shí)，Ank=n!， 稱為全排列。稱為全排列。n n n-1

18、n-1 n-2n-2n-k+1n-k+1組合（不放回抽樣）：組合（不放回抽樣）：從含有從含有n n個(gè)元素的集合中個(gè)元素的集合中隨機(jī)抽取隨機(jī)抽取k k個(gè)，共有個(gè)，共有種取法.!()!kknnnAnCkkk nk 例例1:設(shè)盒中設(shè)盒中有有4個(gè)白球，個(gè)白球，2個(gè)紅球，現(xiàn)從盒中個(gè)紅球，現(xiàn)從盒中任任抽抽2個(gè)個(gè)球，分別在放回抽樣與不放回抽樣的球，分別在放回抽樣與不放回抽樣的情況下求情況下求(1)取到兩只白球的概率。取到兩只白球的概率。(2)取到兩只同色球的概率。取到兩只同色球的概率。(3)取到至少一只白球的概率。取到至少一只白球的概率。取到一只白球，一只紅球的概率？取到一只白球，一只紅球的概率？(1) 摸

19、球問(wèn)題摸球問(wèn)題(2) 分球入盒問(wèn)題分球入盒問(wèn)題例例2 2：將：將3 3個(gè)球隨機(jī)的放入個(gè)球隨機(jī)的放入4 4個(gè)盒子中去，每盒裝球個(gè)盒子中去，每盒裝球數(shù)目不限，問(wèn)：每盒至多有一球的概率是多少？數(shù)目不限，問(wèn)：每盒至多有一球的概率是多少？一般地，把一般地，把n n個(gè)個(gè)球隨機(jī)地分配到球隨機(jī)地分配到m m個(gè)盒子中去個(gè)盒子中去(n(n m)m)，則每盒至多則每盒至多有一有一球的概率是：球的概率是：nnmmAp 97.036515050365AP有有50人，人，問(wèn)至少有兩人問(wèn)至少有兩人生日生日相同的概率有多大？相同的概率有多大？(3) 抽簽問(wèn)題抽簽問(wèn)題例例3：袋中有：袋中有 a 只白球，只白球，b 只紅球，依次

20、將球一只只摸出，不只紅球，依次將球一只只摸出，不放回，求第放回，求第 k 次摸出白球的概率？次摸出白球的概率？解：解： 設(shè)想設(shè)想 a+b 只球進(jìn)行編號(hào)，將只球進(jìn)行編號(hào)，將 a+b 只球順次排列在只球順次排列在 a+b 個(gè)個(gè) 位置上。位置上。 令令 A=“第第 k 次摸到白球次摸到白球” 則則 N(S) = (a+b)! N(A) = Ca1 (a+b-1)! 所以所以 P(A) = a (a+b-1)!/(a+b)! = a/(a+b)(4) 分組問(wèn)題分組問(wèn)題例例4：30名學(xué)生中有名學(xué)生中有3名運(yùn)動(dòng)員，將這名運(yùn)動(dòng)員，將這30名學(xué)生平均名學(xué)生平均分成分成3組，求：組，求：（1）每組有一名運(yùn)動(dòng)員的

21、概率；）每組有一名運(yùn)動(dòng)員的概率；（2）3名運(yùn)動(dòng)員集中在一個(gè)組的概率。名運(yùn)動(dòng)員集中在一個(gè)組的概率。!10!10!10!30)(101010201030CCCSN20350)(! 9! 9! 9!27! 3)(SNAP)(3)(10101020727SNCCCBP解解: 設(shè)設(shè) A=“每組有一名運(yùn)動(dòng)員每組有一名運(yùn)動(dòng)員”; B=“ 3名運(yùn)動(dòng)員集名運(yùn)動(dòng)員集中在一組中在一組”, 則：則：1!.!mnnn一般地，把一般地，把n個(gè)個(gè)球隨機(jī)地分成球隨機(jī)地分成m組組(nm),要求第要求第 i i 組恰組恰有有ni個(gè)球個(gè)球(i=1,m)，共有分法：，共有分法：(5) 隨機(jī)取數(shù)問(wèn)題隨機(jī)取數(shù)問(wèn)題例例5：從：從1，2，3

22、，4，5諸數(shù)中，任取諸數(shù)中，任取3個(gè)排成自左向右的次序，個(gè)排成自左向右的次序，求：求： （1） “所得三位數(shù)是偶數(shù)所得三位數(shù)是偶數(shù)”的概率？的概率？ （2） “所得三位數(shù)不小于所得三位數(shù)不小于200”的概率？的概率？2A解：解： 60)(35 ASN24)() 1 (24121ACAN5/260/24)(1AP48)()2(24142ACAN1A5/460/48)(2AP5 條件概率與獨(dú)立性條件概率與獨(dú)立性(P14)袋中有袋中有十十只球，其中只球，其中九九只白球，只白球，一一只紅球，只紅球，有十有十人依次從袋中各取一球人依次從袋中各取一球(不放回不放回)，問(wèn)，問(wèn)第一個(gè)人取得紅球的概率是多少？第

23、一個(gè)人取得紅球的概率是多少？ 第第二二 個(gè)人取得紅球的概率是多少？個(gè)人取得紅球的概率是多少？若已知第一個(gè)人取到的是白球，則第二個(gè)人取到紅球的概率是多少？若已知第一個(gè)人取到的是紅球，則第二個(gè)人取到紅球的概率又是多少？在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率稱為A發(fā)生條件下B發(fā)生的條件概率，記作P(B|A)一、條件概率一、條件概率例例1 1 設(shè)袋中設(shè)袋中有有3 3個(gè)白球，個(gè)白球，2 2個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中任意個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中任意抽抽取兩次，每次取一取兩次，每次取一個(gè)個(gè)，取后不放回，已知第一次取，取后不放回，已知第一次取到紅球，求第二次也取到紅球的概率。到紅球，求第二次也取到紅球的概率。 解：解：設(shè)設(shè)

24、AA第一次取到紅球第一次取到紅球, , B B第二次取到紅球第二次取到紅球P(B|A)=14S=AAB顯然，若事件顯然，若事件A、B是古典概型的樣本空間是古典概型的樣本空間S中的中的兩個(gè)事件，其中兩個(gè)事件，其中A含有含有nA個(gè)樣本點(diǎn)個(gè)樣本點(diǎn), AB含有含有nAB個(gè)個(gè)樣本點(diǎn)，則樣本點(diǎn)，則稱為稱為事件事件A發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率發(fā)生的條件概率(p14)一般地，設(shè)一般地，設(shè)A、B是是S中的兩個(gè)事件中的兩個(gè)事件， P(A) 0，則則P(B|A)=P(AB)P(A)(5.1)P(B|A)=nn=nnn=P(AB)P(A)n“條件概率條件概率”是是“概率概率”嗎？嗎？條件概率的性

25、質(zhì)條件概率的性質(zhì):(P(A) 0)(1) P(B|A) 0(2) P(S|A)=1(3) 對(duì)一列兩兩互不相容的事件，對(duì)一列兩兩互不相容的事件， A1, A2 , , 有有P( A1 A2 |A) P(A1|A) P(A2|A)+ 例例2 2 設(shè)設(shè)A,B,CA,B,C是樣本空間是樣本空間S S中的三個(gè)事件中的三個(gè)事件, ,且且P(C)0,P(C)0,試用概率的運(yùn)算性質(zhì)證明試用概率的運(yùn)算性質(zhì)證明: :P(AB|C)=P(A|C)+P(B|C)-P(AB|C)P(AB|C)=P(A|C)+P(B|C)-P(AB|C)()()(| )( )( )(:)()()()()()( )( )( )( )( |

26、 )(#| )(| )P A BCP ACBCP A B CP CP CP ACP BCP ABCP ACP BCP ABCP CP CP CP CP A CP B CP AB C證例例3 3 （P15P15）已知一個(gè)家庭有三個(gè)小孩，且其）已知一個(gè)家庭有三個(gè)小孩，且其中至少有一個(gè)是女孩，求至少有一個(gè)男孩的概中至少有一個(gè)是女孩，求至少有一個(gè)男孩的概率。率。解解：設(shè)：設(shè)A A三個(gè)小孩至少有一個(gè)女孩。三個(gè)小孩至少有一個(gè)女孩。 B B三個(gè)小孩至少有一個(gè)男孩。三個(gè)小孩至少有一個(gè)男孩。P(A)P(AB)P(B|A)=P(AB)P(A)=6/7二、乘法公式二、乘法公式(P15)設(shè)設(shè)A、B為兩事件，為兩事件，

27、P(A)0,則則 P(AB)P(A)P(B|A). (5.2)式式(5.2)就稱為事件就稱為事件A、B的概率的概率乘法公式乘法公式。 式式(5.2)還可推廣到三個(gè)事件的情形：還可推廣到三個(gè)事件的情形： P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般地，有下列公式：一般地，有下列公式： P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1)P(An|A1An1). (5.4) 例例4 4 盒中有盒中有3 3個(gè)紅球，個(gè)紅球，2 2個(gè)白球，每次從盒中任取一只個(gè)白球，每次從盒中任取一只，觀察其顏色后放回，并再放入一只與所取之球顏色，觀察其顏色后放回，并再放入一只與所取之球顏色相同的球，若從盒中連續(xù)取球相

28、同的球，若從盒中連續(xù)取球4 4次次, ,試求第試求第1 1、2 2次取得次取得白球、第白球、第3 3、4 4次取得紅球的概率。次取得紅球的概率。解：設(shè)解：設(shè)A Ai i為第為第i i次取球時(shí)取到白球，次取球時(shí)取到白球，i=1,2,3,4,i=1,2,3,4,則則253637481234()P A A A A312(|)P AA A4123(|)P AA A A312(|)P AA A4123(|)P AA A A1()P A21|()AP A1()P A 21|()AP A1234()P A A A A312(|)P AA A4123(|)370P AA A A1()P A21|()AP A解

29、解：令令 Ai = “第第 i 次抽到合格品次抽到合格品.” i = 1, 2, 3 則所求的事件為：則所求的事件為：321AAA123121312()() (|) (|)P A A AP A P AA P AA A1099010099980083. 0例例5 5一批零件共一批零件共100100件，其中有件，其中有1010件次品，依次做件次品，依次做不放回的抽取三次，求第三次才抽到合格品的概率？不放回的抽取三次，求第三次才抽到合格品的概率？三、獨(dú)立性三、獨(dú)立性(P16)一枚硬幣連拋兩次，一枚硬幣連拋兩次， A1表示第一次出現(xiàn)正面，表示第一次出現(xiàn)正面， A2第二次出現(xiàn)正面。第二次出現(xiàn)正面。求求2

30、21121()(|)()(|)P AP AAP AP AA1221211(|)()2()1/4()2/4A AP AAP App A12212112(|)()()1/ 42/ 4()A AP AAP App A結(jié)論：結(jié)論：A1發(fā)生與否對(duì)發(fā)生與否對(duì)A2不產(chǎn)生影響。不產(chǎn)生影響。21()()1122P AP A解：解：設(shè)設(shè)A、B是兩事件，若是兩事件，若 P(AB)P(A)P(B)則稱事件則稱事件A與與B相互獨(dú)立相互獨(dú)立, 簡(jiǎn)稱獨(dú)立簡(jiǎn)稱獨(dú)立(p16)。1 1、兩個(gè)事件的獨(dú)立性、兩個(gè)事件的獨(dú)立性兩事件兩事件A,B相互獨(dú)立的性質(zhì)相互獨(dú)立的性質(zhì)（1 1）兩事件相互獨(dú)立具有對(duì)稱性。）兩事件相互獨(dú)立具有對(duì)稱性。

31、（2 2）若若P(A) P(A) 0 0，P(B|A)P(B|A)P(B)P(B) 若若P(P(B) ) 0 0，P(A|B)P(A|B)P(A)P(A)（3 3）若若P(A) P(A) 0 0，P(P(B) ) 0 0， “ “A A，B B兩事件獨(dú)立兩事件獨(dú)立”與與“A A，B B兩事件互斥兩事件互斥” 不能同時(shí)成立（自己正明）不能同時(shí)成立（自己正明） 定理：以下四種情形等價(jià)：定理：以下四種情形等價(jià)：(1)事件事件A、B相互獨(dú)立；相互獨(dú)立；(2)事件事件A、B相互獨(dú)立；相互獨(dú)立；(3)事件事件A、B相互獨(dú)立；相互獨(dú)立；(4)事件事件A、B相互獨(dú)立。相互獨(dú)立。證明證明: :(1)(1)(2)

32、 (2) 因?yàn)橐驗(yàn)槭录录嗀、B相互獨(dú)立相互獨(dú)立,故故P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(B)-P(AB)=P(B)-P(A)P(B)=P(B)1-P(A)=P(B)P(A)故故A與與B相互獨(dú)立相互獨(dú)立. 若三個(gè)事件若三個(gè)事件A、B、C滿足：滿足： (1) P(AB)=P(A)P(B), (2)P(AC)=P(A)P(C), (3)P(BC)=P(B)P(C),(4)P(ABC)P(A)P(B)P(C), 則稱則稱事件事件A、B、C相互獨(dú)立。相互獨(dú)立。注：注：(1)(2)(3)說(shuō)明說(shuō)明A,B,C兩兩獨(dú)立，由兩兩獨(dú)立，由(1)(2)(3)(1)(2)(3)不能推出不能推出(4)2 2、多

33、個(gè)事件的獨(dú)立、多個(gè)事件的獨(dú)立一般地，設(shè)一般地，設(shè)A1，A2，An是是n個(gè)事件，如個(gè)事件，如果對(duì)任意果對(duì)任意k (1 k n), 任意的任意的1 i1 i2 ik n，具有等式，具有等式 P(A i1 A i2 A ik)P(A i1)P(A i2)P(A ik)則稱則稱n個(gè)事件個(gè)事件A1，A2，An相互獨(dú)立。相互獨(dú)立。 (p17)例例1：電路由元件：電路由元件A與兩個(gè)并聯(lián)的元件與兩個(gè)并聯(lián)的元件B,C串聯(lián)而成，串聯(lián)而成，若若A,B,C損壞與否是相互獨(dú)立的，且它們損壞的概率損壞與否是相互獨(dú)立的，且它們損壞的概率依次為依次為.，.，.，則電路斷路的概率是多，則電路斷路的概率是多少？少？解：設(shè)解：設(shè)A

34、,B,C分別表元件分別表元件A,B,C損壞。因損壞。因A,B,C獨(dú)立，獨(dú)立，()( )()()P ABCP AP BCP ABC( )( )( )( )( )( )P AP BP CP AP BP C0.30.20.10.30.20.10.314則則思考：思考：某型號(hào)火炮命中率為某型號(hào)火炮命中率為0.8，現(xiàn)有，現(xiàn)有一敵機(jī)入侵，欲以一敵機(jī)入侵，欲以99.9%的概率的概率擊中它，則需要配備此型號(hào)的擊中它，則需要配備此型號(hào)的火炮多少門？火炮多少門？6 全概率公式與貝葉斯公式全概率公式與貝葉斯公式(P18)袋中有十只球，其中九只白球，一只紅球，袋中有十只球，其中九只白球，一只紅球，十人依次從袋中各取一

35、球十人依次從袋中各取一球( (不放回不放回) )，問(wèn)，問(wèn)第二個(gè)人取得紅球的概率是多少？第二個(gè)人取得紅球的概率是多少？A1A2AnB 定義定義 (p19)事件組事件組A1，A2，An (n可為可為 )，稱為，稱為樣本空間樣本空間S的一個(gè)劃分的一個(gè)劃分，若滿足：，若滿足：.,.,2,1,),(,)(;)(1njijiAAiiSAijinii 例：例：S=紫金學(xué)院全體本科生紫金學(xué)院全體本科生 Ai=“紫金學(xué)院紫金學(xué)院本科本科i i年級(jí)學(xué)生年級(jí)學(xué)生” i i=1,2,3,4 B=“紫金學(xué)院紫金學(xué)院本科生中男學(xué)生本科生中男學(xué)生” C= “紫金學(xué)院紫金學(xué)院本科生中女學(xué)生本科生中女學(xué)生”.組成樣本空間一個(gè)劃

36、分AA與S,A:例 概率論意義概率論意義：若：若A1，A2，An是是S的一個(gè)劃分，的一個(gè)劃分，則，則， A1，A2，An任意兩個(gè)不可能同時(shí)發(fā)生但任意兩個(gè)不可能同時(shí)發(fā)生但必有一個(gè)發(fā)生。必有一個(gè)發(fā)生。定理定理1 (p19) 設(shè)設(shè)A1，, An是是S的一個(gè)劃分，且的一個(gè)劃分，且P(Ai)0，(i1，n)，則對(duì)任何事件則對(duì)任何事件B有有 niiiABPAPBP1)|()()(上式稱為上式稱為全概率公式全概率公式。例例1 在某次世界女排錦標(biāo)賽中，中、日、美、古巴在某次世界女排錦標(biāo)賽中，中、日、美、古巴4個(gè)隊(duì)爭(zhēng)奪決賽權(quán)，半決賽方式是中國(guó)對(duì)古巴，日本個(gè)隊(duì)爭(zhēng)奪決賽權(quán)，半決賽方式是中國(guó)對(duì)古巴，日本對(duì)美國(guó)，并且中

37、國(guó)隊(duì)已經(jīng)戰(zhàn)勝古巴隊(duì)，現(xiàn)根據(jù)以往對(duì)美國(guó)，并且中國(guó)隊(duì)已經(jīng)戰(zhàn)勝古巴隊(duì)，現(xiàn)根據(jù)以往的戰(zhàn)績(jī)，假定中國(guó)隊(duì)?wèi)?zhàn)勝日本隊(duì)和美國(guó)隊(duì)的概率分的戰(zhàn)績(jī)，假定中國(guó)隊(duì)?wèi)?zhàn)勝日本隊(duì)和美國(guó)隊(duì)的概率分別為別為0.9與與0.4，而日本隊(duì)?wèi)?zhàn)勝美國(guó)隊(duì)的概率為，而日本隊(duì)?wèi)?zhàn)勝美國(guó)隊(duì)的概率為0.5，試，試問(wèn)中國(guó)隊(duì)取得冠軍的可能性有多大？問(wèn)中國(guó)隊(duì)取得冠軍的可能性有多大？解：設(shè)解：設(shè)A A1 1日本隊(duì)勝美國(guó)隊(duì)；日本隊(duì)勝美國(guó)隊(duì)； A A2 2美國(guó)隊(duì)勝日本隊(duì)；美國(guó)隊(duì)勝日本隊(duì)； B中國(guó)隊(duì)取得冠軍；中國(guó)隊(duì)取得冠軍；1122( )() ( |)() ( |)P BP A P B AP A P B A0.5 0.90.5 0.40.65若已知中國(guó)隊(duì)獲得了冠軍

38、，問(wèn)中國(guó)隊(duì)是與美國(guó)隊(duì)若已知中國(guó)隊(duì)獲得了冠軍，問(wèn)中國(guó)隊(duì)是與美國(guó)隊(duì)決賽而獲勝的概率是多少？決賽而獲勝的概率是多少？308. 065. 04 . 05 . 065. 0)|()()()()|(2222ABPAPBPBAPBAP解解: :定理定理2 2 設(shè)設(shè)A A1 1，, A, An n是是S S的一個(gè)劃分，且的一個(gè)劃分，且P(AP(Ai i)0)0，(i (i1 1，n)n)，則對(duì)任何事件，則對(duì)任何事件B, P(B)0,B, P(B)0,有有 ),.,1( ,)|()()|()()|(1njABPAPABPAPBAPniiijjj上式稱為上式稱為貝葉斯公式貝葉斯公式。例例2：某工廠的產(chǎn)品以某工廠的產(chǎn)品以100件為一批，假定每一批產(chǎn)件為一批，假定每一批產(chǎn)品品中的次品最多不超過(guò)中的次品最多不超過(guò)4件，并具有如下概率：件，并具有如下概率：一批產(chǎn)品中次品數(shù)一批產(chǎn)品中次品數(shù)概率概率041230.10.20.40.20.1現(xiàn)從每批中抽取現(xiàn)從每批中抽取10件檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)