函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)00

1、a b( , )在在某某個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi), ,fx ( )0f xa b( )( , )在在內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)遞遞增增fx ( )0f xa b( )( , )在在內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)遞遞減減f(x)=0，復(fù)習(xí)提問：復(fù)習(xí)提問：( )( , )f xa b在在內(nèi)內(nèi)是是常常函函數(shù)數(shù)當(dāng)遇到三次或三次以上的當(dāng)遇到三次或三次以上的,或圖象很難畫出的函數(shù)求單或圖象很難畫出的函數(shù)求單調(diào)性問題時(shí)，應(yīng)考慮導(dǎo)數(shù)法。調(diào)性問題時(shí)，應(yīng)考慮導(dǎo)數(shù)法。2.2.什么情況下，用什么情況下，用“導(dǎo)數(shù)法導(dǎo)數(shù)法” ” 求函數(shù)單調(diào)性、單求函數(shù)單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間較簡(jiǎn)便？調(diào)區(qū)間較簡(jiǎn)便？3. 3. 總結(jié)用總結(jié)用“導(dǎo)數(shù)法導(dǎo)數(shù)法” ” 求單調(diào)區(qū)間的步驟求單調(diào)區(qū)間

2、的步驟: :（1 1）求出函數(shù)的定義域；）求出函數(shù)的定義域；（若定義域?yàn)椋ㄈ舳x域?yàn)镽,R,則可省去）則可省去）（2 2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)；）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)；（3 3）求解不等式）求解不等式f (x)0f (x)0，求得其解集，與定義域取，求得其解集，與定義域取交集，寫出交集，寫出單調(diào)遞增區(qū)間；單調(diào)遞增區(qū)間； 求解不等式求解不等式f (x)0f (x)0，求得其解集，與定義域取，求得其解集，與定義域取交集交集 ，寫出，寫出單調(diào)遞減區(qū)間。單調(diào)遞減區(qū)間。注：注：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間不以單調(diào)區(qū)間不以“并集并集”出現(xiàn)。出現(xiàn)。 例例1. 已知導(dǎo)函數(shù)已知導(dǎo)函數(shù) 的下列信息的下列信息:當(dāng)當(dāng)1 x 4 , 或或 x 4

3、 , 或或 x 1時(shí)時(shí), 可知可知 在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減;)(xf,0)( xf 當(dāng)當(dāng)1 x 4 時(shí)時(shí), 可知可知 在此在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;,0)( xf)(xf導(dǎo)函數(shù)看正負(fù)，原函數(shù)畫增減導(dǎo)函數(shù)看正負(fù)，原函數(shù)畫增減Oabcx yfx xyOabcy=f(x)y. 跟蹤訓(xùn)練1 函數(shù) yf(x)的圖象如圖所示，試畫出導(dǎo)函數(shù)f(x)圖象的大致形狀 . 課本93頁練習(xí)2題xyo12( )yf x xyo12( )yf x xyo1 2( )yf x xyo12( )yf x (A)(B)(C)(D)Cxyo( )yfx 21 12.設(shè)設(shè) 是函數(shù)是函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)，

4、 的圖象如的圖象如右圖所示右圖所示,則則 的圖象最有可能的是的圖象最有可能的是( )( )f x( )fx( )yfx ( )yf x 一般地一般地, , 如果一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)如果一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值較大的絕對(duì)值較大, , 那么函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化得那么函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化得快快, , 這時(shí)這時(shí), , 函數(shù)的圖象就比較函數(shù)的圖象就比較“陡峭陡峭”( (向上向上或向下或向下) ); ; 反之反之, , 函數(shù)的圖象就函數(shù)的圖象就“平緩平緩”一些一些. . 如圖如圖, ,函數(shù)函數(shù) 在在 或或 內(nèi)的圖內(nèi)的圖象象“陡峭陡峭”, ,在在 或或 內(nèi)的圖象內(nèi)的圖象平緩平緩. .)(xfy)

5、, 0(b)0 ,(a),( b),(a證明證明: 762)(23xxxf.126)(2xxxf例例2.求證求證: 函數(shù)函數(shù) 在在 內(nèi)內(nèi)是減函數(shù)是減函數(shù).762)(23xxxf)2 , 0( 由由 , 解得解得 , 所以函數(shù)所以函數(shù) 的遞減區(qū)間是的遞減區(qū)間是 , 即函數(shù)即函數(shù) 在在 內(nèi)是減內(nèi)是減函數(shù)函數(shù).0)( xf20 x)(xf)2 , 0()2 , 0()(xf應(yīng)用一：用導(dǎo)數(shù)完成應(yīng)用一：用導(dǎo)數(shù)完成不等式證明問題不等式證明問題解析設(shè)f(x)sinx x f(x)cosx 1 0對(duì)x(0， )恒成立函數(shù)f(x)sinx x在(0， )上是單調(diào)減函數(shù)又f(0)0f(x)0對(duì)x(0， )恒成立即

6、：sinx1，即a2時(shí)，f(x)在(，1)和(a1，)上單調(diào)遞增，在(1，a1)上單調(diào)遞減，由題意知：(1,4)(1，a1)且(6，)(a1，)，o所以4a16，即5a7.o解法二：(間接法：根的分布)o如圖所示，f(x)(x1)x(a1)若在(1,4)內(nèi)f(x)0，(6，)內(nèi)f(x)0，且f(x)0有一根為1，則另一根在4,6上o解法三：(間接法：轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題)of(x)x2axa1.因?yàn)閒(x)在(1,4)內(nèi)單調(diào)遞減，所以f(x)0在(1,4)上恒成立即a(x1)x21在(1,4)上恒成立，所以ax1，因?yàn)?x17，所以a7時(shí)，f(x)0在(6，)上恒成立由題意知5a7.o點(diǎn)評(píng)

7、本題是含參數(shù)單調(diào)性問題，是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)上的數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想. 41)(axxxf( )(1,),114 0 (1,),4 ().12(1 ,),f xxaaxxxxxx 在上是增函數(shù)在上恒成立即恒成立當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立14()2.xx 所以所以. 2a注意等號(hào)解解：練習(xí)練習(xí):已知函數(shù)已知函數(shù) 上是增函數(shù)上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)求實(shí)數(shù)a的取值范圍的取值范圍.), 1 ()4(ln21)(2在xaxxxf再見再見2120101已知函數(shù)（ ），(若（ ）在(上是增函數(shù)，求 的取值范圍f xaxx, ,f xxx,a.322( )f xax求參數(shù)求參數(shù)解：由已知得解：由已知得因?yàn)楹瘮?shù)在（因

8、為函數(shù)在（0，1上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增32( )0,即在 （ 0， 1上恒成立f xa-xx31max而( )在（ 0， 1上單調(diào)遞增，( )(1)=-1g xxg xg1a-2120 10 1已 知 函 數(shù) （ ），( 若 （ ） 在(上 是 增 函 數(shù) ， 求的 取 值 范 圍fxaxx,fxxx,a.322當(dāng)a1時(shí)， ( )f xx 1對(duì)x （0， 1）也有 ( ) 0時(shí)，（ ）在(0, 1)上是增函數(shù)f xa-f x所以a的范圍是-1，+ ）在某個(gè)區(qū)間上，在某個(gè)區(qū)間上， ，f（x）在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增）在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增（遞減）；但由（遞減）；但由f（x）在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增（遞減）而

9、）在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增（遞減）而僅僅得到僅僅得到 是不夠的。還有可能導(dǎo)數(shù)等于是不夠的。還有可能導(dǎo)數(shù)等于0也能使也能使f（x）在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)，）在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)，所以對(duì)于能否取到等號(hào)的問題需要單獨(dú)驗(yàn)證所以對(duì)于能否取到等號(hào)的問題需要單獨(dú)驗(yàn)證( )0(或0(或0,即在（0， 1上恒成立f xa-xx31max而 ( )在（0， 1上單調(diào)遞增，( )(1)=-1g xxg xg 1a -變式變式322當(dāng)a1時(shí)， ( )f xx 1對(duì)x （0， 1）也有 ( ) 0時(shí)，（ ）在(0, 1)上是增函數(shù)f xa-f x所以a的范圍是-1，+ ）本題用到一個(gè)重要的轉(zhuǎn)化：本題用到一個(gè)重要的轉(zhuǎn)化：maxminm

10、 f( )恒 成 立( )( )恒 成 立( )xmfxmfxmfx的的取取值值范范圍圍。減減函函數(shù)數(shù)，求求上上是是在在已已知知函函數(shù)數(shù)aRxxaxxf13)(. 1233,0030163)(2aaxaxxf得恒成立解：33)(, 0) 13()(32aaRxfxxfa合合題題意意上上單單調(diào)調(diào)遞遞減減，故故在在時(shí)時(shí)，檢檢驗(yàn)驗(yàn)：當(dāng)當(dāng)(課本課本) P98 A組組 T1 ,T2322( ), ,30( )( )( )( )( )f xxaxbx ca b cabf xRABCD 函函數(shù)數(shù)其其中中為為常常數(shù)數(shù)，當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，在在 上上( ( ) )增增函函數(shù)數(shù) 減減函函數(shù)數(shù) 常常數(shù)數(shù) 既既不不是是增增函函

11、數(shù)數(shù)也也不不是是減減函函數(shù)數(shù)AxyoY=1xyoy=xy=xxyo2xyoy=2X(2) f(x)=x2-2x-3 ;解： =2x-2=2(x-1)0)(xf圖象見右圖。當(dāng) 0，即x1時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；)(xf當(dāng) 0，即x1時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；)(xf練習(xí)練習(xí)2 判斷下列函數(shù)的單調(diào)性判斷下列函數(shù)的單調(diào)性, 并求出單調(diào)區(qū)間并求出單調(diào)區(qū)間:; 32)( )2( ;3)( ) 1 (23xxxfxxxf );, 0(,sin)( ) 3(xxxxf. 12432)( )4(23xxxxf解解:(1) 因?yàn)橐驗(yàn)?, 所以所以xxxf3)(3. 0) 1( 333)(22xxxf因此因此, 函數(shù)函數(shù) 在在

12、 上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增.xxxf3)(3Rx(2) 因?yàn)橐驗(yàn)?, 所以所以32)(2xxxf).1(222)(xxxf當(dāng)當(dāng) , 即即 時(shí)時(shí), 函數(shù)函數(shù) 單調(diào)遞增單調(diào)遞增;0)( xf1x32)(2xxxf當(dāng)當(dāng) , 即即 時(shí)時(shí), 函數(shù)函數(shù) 單調(diào)遞減單調(diào)遞減.0)( xf1x32)(2xxxf練習(xí)練習(xí)2 判斷下列函數(shù)的單調(diào)性判斷下列函數(shù)的單調(diào)性, 并求出單調(diào)區(qū)間并求出單調(diào)區(qū)間:; 32)( )2( ;3)( ) 1 (23xxxfxxxf );, 0(,sin)( ) 3(xxxxf. 12432)( )4(23xxxxf解解:(3) 因?yàn)橐驗(yàn)?, 所以所以), 0(,sin)(xxxxf. 01

13、cos)(xxf因此因此, 函數(shù)函數(shù) 在在 上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減.xxxf sin)(), 0(x(4) 因?yàn)橐驗(yàn)?, 所以所以12432)(23xxxxf 當(dāng)當(dāng) , 即即 時(shí)時(shí), 函函數(shù)數(shù) 單調(diào)遞增單調(diào)遞增;0)( xf21712171xx或)(xf 當(dāng)當(dāng) , 即即 時(shí)時(shí), 函數(shù)函數(shù) 單調(diào)遞減單調(diào)遞減.0)( xf2466)(2xxxf21712171x)(xf例例1 1、已知導(dǎo)函數(shù)、已知導(dǎo)函數(shù) 的下列信息：的下列信息：( )f x當(dāng)當(dāng)1x41x0;0;當(dāng)當(dāng)x4,x4,或或x1x1時(shí)，時(shí)， 0;0)(xf從而函數(shù)f(x)=x3+3x在xR上單調(diào)遞增，見右圖。(2) f(x)=sinx-x ; x(0,解： =cosx-10)(xf從而函數(shù)f(x)=sinx-x 在