物理復(fù)習(xí)臨界與極值問題

1、專題臨界與極值問題概述：在某些物理情境中，物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化的過程中，由于條件的變化，會(huì)出現(xiàn)兩種狀態(tài)的銜接，兩種現(xiàn)象的分界，同時(shí)使某個(gè)物理量在特定狀態(tài)時(shí)，具有最大值或最小值。在解決極值問題時(shí)，常碰到所求物理量，物理過程或物理狀態(tài)的極值與某一臨界值有關(guān)，所以我們首先可以考慮用臨界法求解極值，其次才是數(shù)學(xué)方法，比如運(yùn)用三角函數(shù)、配方、不等式、圖象、等效法和歸納法求極值，盡管運(yùn)用數(shù)學(xué)方法求解物理學(xué)中的極值問題有其獨(dú)到的功能，但決不能讓數(shù)學(xué)方法掩蓋住事物的物理實(shí)質(zhì)。教學(xué)過程：一、知識概要1豎直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題在高考復(fù)習(xí)階段，經(jīng)常會(huì)遇到一類專門研究物體在豎直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題的題目。遇到

2、這類題目，學(xué)生大多把分析的著眼點(diǎn)放在了小球過最高點(diǎn)時(shí)的受力和運(yùn)動(dòng)狀況，認(rèn)為只要保證小球在最高點(diǎn)能作圓周運(yùn)動(dòng)，就一定能保證小球在豎直平面內(nèi)作完整的圓周運(yùn)動(dòng)。如圖甲、乙所示，小球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)繩子的拉力（或軌道的彈力）若剛好等于零，則小球的重力提供其作圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力，即小球能過最高點(diǎn)的條件是：vv臨界（vv臨界時(shí)，繩、軌道分別對小球產(chǎn)生拉力或壓力）。小球不能通過最高點(diǎn)的條件是：vv臨界（實(shí)際上小球還沒有到達(dá)最高點(diǎn)就脫離了圓軌道）。事實(shí)上在某些情況下，我們不能只盯著最高點(diǎn)，而要隊(duì)小球作全面地、動(dòng)態(tài)的分析，目的就是找出小球最不容易完成圓周運(yùn)動(dòng)的關(guān)鍵點(diǎn)，只要保證小球在這一點(diǎn)上恰能作圓周運(yùn)動(dòng)，就能保

3、證他在豎直平面內(nèi)作完整的圓周運(yùn)動(dòng)，如此這類臨界問題得以根本解決。這一關(guān)鍵點(diǎn)并非總是最高點(diǎn)，也可以是最低點(diǎn)，或其他任何位置。2極值法常見的極值問題有兩類：一類是直接指明某量有極值而要求某極值；另一類則是通過求出某量的極值，進(jìn)而以此作為依據(jù)而解出與之相關(guān)的問題。物理極值問題的兩種典型解法：解法一是根據(jù)問題所給的物理現(xiàn)象涉及的物理概念和規(guī)律進(jìn)行分析，明確題中的物理量是在什么條件下取極值，或在出現(xiàn)極值時(shí)有何物理特征，然后根據(jù)這些條件或特征去尋找極值，這種方法更為突出了問題的物理本質(zhì)，這種解法稱之為解極值問題的物理方法；解法二是由物理問題所遵循的物理規(guī)律建立方程，然后根據(jù)這些方程進(jìn)行數(shù)學(xué)推演，在推演中利

4、用數(shù)學(xué)中已有的有關(guān)極值求法的結(jié)論而得到所求的極值，這種方法較側(cè)重于數(shù)學(xué)的推演，這種方法稱之為極值問題的物理數(shù)學(xué)方法。二、考題回顧1在如圖所示的電路中，R1、R2、R3和R4皆為定值電阻，R5為可變電阻，電源的電動(dòng)勢為E，內(nèi)阻為r。設(shè)電流表A的讀數(shù)為I，電壓表V的讀數(shù)為U。當(dāng)R5的滑動(dòng)觸點(diǎn)向圖中a端移動(dòng)時(shí)（ ）AI 變大，U變小 BI 變大，U變大CI 變小，U變大 DI 變小，U變小【解析】由圖易知R5的滑動(dòng)觸點(diǎn)向a端移動(dòng)時(shí)R5有效電阻單調(diào)變小，引起電路中各量的變化也是單調(diào)的。設(shè)滑動(dòng)觸點(diǎn)到達(dá)a點(diǎn)，則R5被短路，（極值法），并聯(lián)部分等效于一根導(dǎo)線，則外電阻變小，路端電壓U變小，從而可排除選項(xiàng)B、

5、C。電流表所在支路被短路，則電流表讀數(shù)減至零也是變小的，所以應(yīng)選選項(xiàng)D。2在抗洪搶險(xiǎn)中，戰(zhàn)士駕駛摩托艇救人，假設(shè)江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度為v1，摩托艇在靜水中的航速為v2，戰(zhàn)士救人的地點(diǎn)A離岸邊最近處O的距離為d。如戰(zhàn)士想在最短時(shí)間內(nèi)將人送上岸，則摩托艇登陸的地點(diǎn)離O點(diǎn)的距離為 （）Adv2/ B0 Cdv1/v2 Ddv2/v1【解析】當(dāng)水流速度v1=0（極限）時(shí)，摩托艇登陸的地點(diǎn)是O點(diǎn)，也就是離O點(diǎn)距離為零，此時(shí)用時(shí)最短，只有C選項(xiàng)正確。點(diǎn)評：當(dāng)某一個(gè)物理量趨近于零時(shí)，所判斷的物理量就趨近于一個(gè)不變的值，這是應(yīng)用極限法的一個(gè)特征。同時(shí)由以上兩例，說明了用極限法思考使解答問

6、題變得極為簡捷。但請注意，極限思維法在回避了對物理問題的繁瑣運(yùn)算的同時(shí)，也回避了物理問題中對一些物理規(guī)律的考查，所以，在應(yīng)用極限法的同時(shí)，還應(yīng)對物理過程進(jìn)行分析，并應(yīng)用要考查的物理規(guī)律，最后得出的結(jié)果應(yīng)與極限法得出的結(jié)果一致。 a b S ·3如圖，真空室內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B=0.60T，磁場內(nèi)有一塊平面感光板ab，板面與磁場方向平行，在距ab的距離l=16cm處，有一個(gè)點(diǎn)狀的放射源S，它向各個(gè)方向發(fā)射粒子，粒子的速度都是v=3.0×106m/s，已知粒子的電荷與質(zhì)量之比C/kg，現(xiàn)只考慮在圖紙平面中運(yùn)動(dòng)的粒子，求ab上被粒子打中的區(qū)域

7、的長度。解：粒子帶正電，故在磁場中沿逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，用R表示軌道半徑，有由此得代入數(shù)值得R=10cm可見，2R>l>R.因朝不同方向發(fā)射的粒子的圓軌跡都過S，由此可知，某一圓軌跡在圖中N左側(cè)與ab相切，則此切點(diǎn)P1就是粒子能打中的左側(cè)最遠(yuǎn)點(diǎn).為定出P1點(diǎn)的位置，可作平行于ab的直線cd，cd到ab的距離為R，以S為圓心，R為半徑，作弧交cd于Q點(diǎn)，過Q作ab的垂線，它與ab的交點(diǎn)即為P1.再考慮N的右側(cè)。任何粒子在運(yùn)動(dòng)中離S的距離不可能超過2R，以2R為半徑、S為圓心作圓，交ab于N右側(cè)的P2點(diǎn)，此即右側(cè)能打到的最遠(yuǎn)點(diǎn).由圖中幾何關(guān)系得 所求長度為 代入數(shù)值得 P1P2=

8、20cm三、解題方法與技巧：1關(guān)于物體在豎直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題的解題方法是：掌握原理，具體分析，統(tǒng)觀全局，抓住要害。物體在最高點(diǎn)的最小速度決定于物體在最高點(diǎn)的最小合力。由可知，不同情況下的最小合外力決定了不同情況下的最小速度。同時(shí)，在具體的問題中，要分清繩（或沿圓環(huán)內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)）與桿（或管）的區(qū)別。即繩對球只能提供拉力且繩對球的拉力方向只能沿繩指向圓心。因此，在繩的約束下物體能在豎直面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)的條件是最高點(diǎn)速度；而桿對球即可能是拉力也可能是壓力。在桿（或管）約束下能在豎直面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)的條件是最高點(diǎn)速度v0。2.極限類推法解決問題的關(guān)鍵是如何對物理過程初狀態(tài)和極限狀態(tài)巧妙的賦值?；?qū)D(zhuǎn)

9、折點(diǎn)的取值。取值既要遵循客觀事實(shí)，又要使問題簡化，使?fàn)顟B(tài)變化趨勢明朗化。四、典題例析【例題1】如圖所示，質(zhì)量M4kg的木板長L1.4m，靜止在光滑水平面上，其上面右端靜止一質(zhì)量m=1kg的小滑塊（可看作質(zhì)點(diǎn)），滑塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)0.4，先用一水平恒力F28N向右拉木板，要使滑塊從木板上恰好滑下來，力F至少應(yīng)作用多長時(shí)間（g=10m/s2）？【解析】題中木板在恒力F的作用下由靜止開始向右加速運(yùn)動(dòng)，滑塊受摩擦力作用相對地面也向右滑動(dòng)，因?yàn)閍mf/m=g=4m/s2，aM=（F-f）/M=6m/s2。即木板的加速度大于滑塊的加速度。所以在力F作用時(shí)間內(nèi)的任意時(shí)刻木板的速度必大于滑塊的速度，若力

10、F作用停止后，當(dāng)兩者的速度恰好能夠相等并且滑塊到達(dá)下滑的臨界狀態(tài)，這時(shí)滑塊相對于木板的位移為L，則力F作用在木板上的時(shí)間就是最短時(shí)間，設(shè)木板在力F作用期間的位移為sM，通過上述物理過程的分析可知，要使滑塊滑下來，其臨界條件是vM=vm=v，且滑塊的相對位移sM=L，明確這些條件后，求極值就不難了，對由M和m組成的系統(tǒng)有：由動(dòng)量定理得：由功能關(guān)系得：對木板有由、式，得s點(diǎn)評： 對于臨界條件不明顯的物理極值問題，解題的關(guān)鍵在于通過對物理過程的分析，使隱蔽的臨界條件暴露，從而找到解題的突破口，根據(jù)有關(guān)規(guī)律求出極值?！纠}3】 將質(zhì)量為2m的長木板靜止的放在光滑的水平面上，如圖甲所示。以質(zhì)量為m的小鉛

11、塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）以水平初速度v0由木板左端恰能滑至木板的右端與木板相對靜止，鉛塊運(yùn)動(dòng)中所受的摩擦力始終不變?，F(xiàn)在將木板分成長度與質(zhì)量均相等的兩段（1、2）后緊挨著仍放在此水平面上，讓小鉛塊仍以相同的速度v0由木板的左端開始滑動(dòng)，如圖乙所示，則下列判斷正確的是A小鉛塊仍滑到木板2的右端保持相對靜止B小鉛塊滑過木板2的右端后飛離木板C小鉛塊滑過木板2的右端前就與之保持相對靜止D乙過程產(chǎn)生的熱量少于甲過程產(chǎn)生的熱量【解析】 小鉛塊在木板上滑動(dòng)時(shí)，由于水平面是光滑的，小鉛塊和木板組成的系統(tǒng)在水平方向上動(dòng)量守恒，木板的質(zhì)量越大，小鉛塊在木板上滑動(dòng)的距離越長，若是木板的質(zhì)量無窮大，則鉛塊最終的速度為零，其

12、動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為熱，沒有動(dòng)能轉(zhuǎn)移到長木板上，這說明了長木板的質(zhì)量越大，獲得的動(dòng)能越?。毁|(zhì)量越小，獲得的動(dòng)能越大。在乙圖中小鉛塊在木板1上運(yùn)動(dòng)時(shí)的情況與甲圖中的情況完全相同，小鉛塊滑上木板2之后，由于木板2的質(zhì)量變小，動(dòng)能轉(zhuǎn)移到木板2上多于轉(zhuǎn)移到甲中的情況，那么小鉛塊與木板2相對靜止時(shí)的速度比甲中的大，系統(tǒng)損失的動(dòng)能小于甲中損失的動(dòng)能。而E損Qfs相對，說明在乙中的相對位移比甲中的小，故小鉛塊會(huì)滑到木板2的右端前就與之保持相對靜止，乙過程產(chǎn)生的熱量少于甲過程產(chǎn)生的熱量。選項(xiàng)C、D正確。點(diǎn)撥：此類問題在日常生活中經(jīng)常遇到：人站在岸上向船上跳容易，而從船上向岸上跳就比較困難，船的質(zhì)量越大，越容易跳到岸

13、上，其原理與本題是一致的。五、課后作業(yè)：1、如圖所示的裝置是在豎直平面內(nèi)放置光滑的絕緣軌道，處于水平向右的勻強(qiáng)電場中，以帶負(fù)電荷的小球從高h(yuǎn)的A處靜止開始下滑，沿軌道ABC運(yùn)動(dòng)后進(jìn)入圓環(huán)內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)。已知小球所受到電場力是其重力的34，圓滑半徑為R，斜面傾角為，sBC=2R。若使小球在圓環(huán)內(nèi)能作完整的圓周運(yùn)動(dòng)，h至少為多少？答案：小球所受的重力和電場力都為恒力，故可兩力等效為一個(gè)力F，如圖所示。可知F1.25mg，方向與豎直方向左偏下37º，從圖6中可知，能否作完整的圓周運(yùn)動(dòng)的臨界點(diǎn)是能否通過D點(diǎn)，若恰好能通過D點(diǎn)，即達(dá)到D點(diǎn)時(shí)球與環(huán)的彈力恰好為零。由圓周運(yùn)動(dòng)知識得：即：由動(dòng)能定理有：聯(lián)立、可求出此時(shí)的高度h。2、如圖所示，質(zhì)量為m的球放在傾角為的光滑斜面上，試分析擋板AO與斜面間的傾角多大時(shí)，A O所受壓力最小？命題意圖：考查分析推理能力及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識處理物理問題的能