立體幾何專題講座

1、丹陽市2005年全員培訓專題講座材料立體幾何專題講座丹陽市第五中學朱國良第一部分高考中的立體幾何高考立體幾何試題一般共有4道（選擇、填空題3道,解答題1道）,共計總分26分左右，考查的知識點在20個以內.選擇填空題主要考查立幾中的計算型問題，而解答題則著重考查立幾中的邏輯推理型問題，當然，二者均應以正確的空間想象為前提。隨著新的課程改革的進一步實施，立體幾何考題正朝著“多一點思考，少一點計算”的方向發(fā)展。一、考試內容：平面及其基本性質。平行直線，對應邊分別平行的角，異面直線所成的角，異面直線的公垂線，異面直線的距離。直線和平面平行的判定與性質，直線和平面垂直的判定與性質，點到平面的距離，斜線在

2、平面上的射影，直線和平面所成的角，三垂線定理及其逆定理。平行平面的判定與性質，平行平面間的距離，二面角及其平面角，兩個平面垂直的判定與性質。多面體、棱柱、棱錐、正多面體、球。其中，從歷年的考題變化看，重點考查的內容是以多面體為載體的線線、線面、面面的平行與垂直的判定與性質，三垂線定理及逆定理，線線、線面、面面所成的角及有關的距離計算。、考試要求（1）掌握平面的基本性質，能夠畫出空間兩條直線、直線和平面的各種位置關系的圖形，能夠根據圖形想象它們的位置關系。（2）了解空間兩條直線的位置關系，掌握兩條直線平行與垂直的判定定理和性質定理，掌握兩條直線所成的角和距離的概念（對于異面直線的距離，只要求會計

3、算已給出公垂線時的距離）。（3）了解空間直線和平面的位置關系，掌握直線和平面平行的判定定理和性質定理，理解直線和平面垂直的判定定理和性質定理，掌握斜線在平面上的射影、直線和平面所成的角、直線和平面的距離的概念，了解三垂線定理及其逆定理。（4）了解平面與平面的位置關系，掌握兩個平面平行的判定定理和性質定理。掌握二面角、二面角的平面角、兩個平面間的距離的概念，掌握兩個平面垂直的判定定理和性質定理。（5）會用反證法證明簡單的問題。（6）了解多面體的概念，了解凸多面體的概念。（7）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性質，會畫直棱柱的直觀圖。（8）了解棱錐的概念，掌握正棱錐的性質，會畫正棱錐的直觀圖。（9）了解

4、正多面體的概念，了解多面體的歐拉公式。（10）了解球的概念，掌握球的性質，掌握球的表面積、體積公式。高考試題的特點是：試題以中等難度為主，兼有少量容易題；融線面關系與立體圖形之中，以線面關系的分析為主；融推理論證與幾何量的計算之中，以推理論證為主。試題在考查四個能力-空間想象能力、推理判斷能力、邏輯表達能力及計算能力的同時，非常重視對數學素質和基本的數學思想方法的考查，試題主要體現了立體幾何的通性通法，突出了化歸思想、轉化思想，以及反證法、模型法、等積變換等思想和方法?？碱}主要分為兩類，一類是空間線面關系的判斷、推理；一類是幾何量（如角度、距離、面積、體積等）的計算。前者應畫圖或識圖，借助圖形

5、分析思考，應充分、熟練地運用相關的判定定理和性質定理，要能從文字語言、符號語言、圖形語言全方位準確理解，要廣泛聯想，合理轉化，從整體上把握與處理。后者一般分三個步驟：作圖證明計算。尤其是證明必不可少，應引起學生高度重視。三、學習目標1在掌握直線與平面的位置關系（包括直線與直線、直線與平面、平面與平面間的位置關系）的基礎上，研究有關平行和垂直的的判定依據（定義、公理和定理）、判定方法及有關性質的應用；在有關問題的解決過程中，進一步了解和掌握相關公理、定理的內容和功能，并探索立體幾何中論證問題的規(guī)律；在有關問題的分析與解決的過程中提高邏輯思維能力、空間想象能力及化歸和轉化的數學思想的應用。2在掌握

6、空間角（兩條異面直線所成的角，平面的斜線與平面所成的角及二面角）概念的基礎上，掌握它們的求法（其基本方法是分別作出這些角，并將它們置于某個三角形內通過計算求出它們的大?。辉诮鉀Q有關空間角的問題的過程中，進一步鞏固關于直線和平面的平行垂直的性質與判定的應用，掌握作平行線（面）和垂直線（面）的技能；通過有關空間角的問題的解決，進一步提高學生的空間想象能力、邏輯推理能力及運算能力。3通過學習，使學生更好地掌握多面體有關概念、性質，并能夠靈活運用到解題過程中。通過教學使學生掌握基本的立體幾何解題方法和常用解題技巧，發(fā)掘不同問題之間的內在聯系，提高解題能力。4使學生更好地理解多面體與旋轉體的體積及其計

7、算方法，提高空間想象能力、推理能力和計算能力四、雙基透視1. 有關平行與垂直（線線、線面及面面）的問題，是在解決立體幾何問題的過程中，大量的、反復遇到的，而且是以各種各樣的問題（包括論證、計算角、與距離等）中不可缺少的內容，因此在主體幾何的總復習中，首先應從解決“平行與垂直”的有關問題著手，通過較為基本問題，熟悉公理、定理的內容和功能，通過對問題的分析與概括，掌握立體幾何中解決問題的規(guī)律一一充分利用線線平行（垂直）、線面平行（垂直）、面面平行（垂直）相互轉化的思想，以提高邏輯思維能力和空間想象能力.2. 判定兩個平面平行的方法：（1）根據定義一一證明兩平面沒有公共點；（2）判定定理一一證明一個

8、平面內的兩條相交直線都平行于另一個平面；（3）證明兩平面同垂直于一條直線。3 兩個平面平行的主要性質：由定義知：“兩平行平面沒有公共點”。由定義推得：“兩個平面平行，其中一個平面內的直線必平行于另一個平面。兩個平面平行的性質定理：“如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行”。一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面。夾在兩個平行平面間的平行線段相等。經過平面外一點只有一個平面和已知平面平行。以上性質、在課文中雖未直接列為“性質定理”，但在解題過程中均可直接作為性質定理引用。4 空間的角和距離是空間圖形中最基本的數量關系，空間的角主要研究射影以及與射影有關的定

9、理、空間兩直線所成的角、直線和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等解這類問題的基本思路是把空間問題轉化為平面問題去解決?？臻g的角，是對由點、直線、平面所組成的空間圖形中各種元素間的位置關系進行定量分析的一個重要概念，由它們的定義，可得其取值范圍，如兩異面直線所成的兀兀"I角氏（0,-），直線與平面所成的角兩0,，二面角的大小，可用它們的平面角212來度量，其平面角（0,n）。對于空間角的計算，總是通過一定的手段將其轉化為一個平面內的角，并把它置于一個平面圖形，而且是一個三角形的內角來解決，而這種轉化就是利用直線與平面的平行與垂直來實現的，因此求這些角的過程也是直線、平面的平行與

10、垂直的重要應用通過空間角的計算和應用進一步培養(yǎng)運算能力、邏輯推理能力及空間想象能力。如求異面直線所成的角常用平移法（轉化為相交直線）；求直線與平面所成的角常利用射影轉化為相交直線所成的角；而求二面角:-1的平面角(記作曲通常有以下幾種方法：(1) 根據定義；(2) 過棱I上任一點0作棱I的垂面，設n:.=OA,n1=OB,則/AOB=二(圖1);(3) 利用三垂線定理或逆定理，過一個半平面：內一點A,分別作另一個平面的垂線AB(垂足為B),或棱I的垂線AC(垂足為C)，連結AC,則/ACB=二或/ACB=二一2圖2);(4) 設A為平面：外任一點，AB丄：，垂足為B,AC丄爲垂足為C,則/BA

11、C=二或/BAC=二一圖3);(5) 利用面積射影定理，設平面內的平面圖形F的面積為S,F在平面1內的射I影圖形的面積為S,則cos-=空間的距離問題，主要是求空間兩點之間、點到直線、點到平面、兩條異面直線之間(限于給出公垂線段的)、平面和它的平行直線、以及兩個平行平面之間的距離.求距離的一般方法和步驟是：一作一一作出表示距離的線段；二證一一證明它就是所要求的距離；三算一一計算其值此外，我們還常用體積法求點到平面的距離.棱柱的概念和性質理解并掌握棱柱的定義及相關概念是學好這部分知識的關鍵，要明確“棱柱直棱柱正棱柱”這一系列中各類幾何體的內在聯系和區(qū)別。平行六面體是棱柱中的一類重要的幾何體，要理

12、解并掌握“平行六面體直平行六面體f長方體宀正四棱柱7正方體”這一系列中各類幾何體的內在聯系和區(qū)別。須從棱柱的定義出發(fā)，根據第一章的相關定理對棱柱的基本性質進行分析推導，以求更好地理解、掌握并能正確地運用這些性質。關于平行六面體，在掌握其所具有的棱柱的一般性質外，還須掌握由其定義導出的一些其特有的性質，如長方體的對角線長定理是一個重要定理并能很好地掌握和應用。還須注意，平行六面體具有一些與平面幾何中的平行四邊形相對應的性質，恰當地運用平行四邊形的性質及解題思路去解平行六面體的問題是一常用的解題方法。多面體與旋轉體的問題離不開構成幾何體的基本要素點、線、面及其相互關系，.S.圖1圖2圖3因此，很多

13、問題實質上就是在研究點、線、面的位置關系，與直線、平面、簡單幾何體第一部分的問題相比，唯一的差別就是多了一些概念，比如面積與體積的度量等從這個角度來看，點、線、面及其位置關系仍是我們研究的重點多面體與旋轉體的體積問題是直線、平面、簡單幾何體課程當中相對獨立的課題體積和面積、長度一樣，都是度量問題常用“分割與補形”，算出了這些幾何體的體積.7. 歐拉公式：如果簡單多面體的頂點數為V,面數F,棱數E,那么V+F-E=2.計算棱數E常見方法：(1) E=V+F-2;(2) E=各面多邊形邊數和的一半；(3) E=頂點數與共頂點棱數積的一半。&經緯度及球面距離根據經線和緯線的意義可知，某地的經

14、度是一個二面角的度數，某地的緯度是一個線面角的度數，設球0的地軸為NS,圓0是0°緯線，半圓NAS是0°經線，若某地P是在東經120°，北緯40°,我們可以作出過P的經線邙PS交赤道于B,過P的緯線圈圓Oi交NAS于A，那么則應有：/AO!P=代0°(二面角的平面角)，/POB=40。(線面角)。兩點間的球面距離就是連結球面上兩點的大圓的劣弧的長，因此，求兩點間的球面距離的關鍵就在于求出過這兩點的球半徑的夾角。C大圓劣弧AP的長例如，可以循著如下的程序求A、P兩點的球面距離。/AOP的弧度數線段AP的長在應用球體積公式時要注意公式中給出的是球半

15、徑R,而在實際問題中常給出9.球的表面積及體積公式S球表=4nR243V球=nR3球的外徑(直徑)。球與其它幾何體的切接問題，要仔細觀察、分析，弄清相關元素的位置關系和數量關系，選擇最佳角度作出截面，以使空間問題平面化。10.主要題型：以棱柱、棱錐為載體，考查線面平行、垂直，夾角與距離等問題。利用歐拉公式求解多面體頂點個數、面數、棱數。求球的體積、表面積和球面距離。解題方法：求球面距離一般作出相應的大圓，轉化為平面圖形求解。第二部分高二立體幾何在高二教學中要注意：1要給學生正確的觀念，就是公理意識，推理意識，樹立“先猜想，后證明”的思維方式。2.要明確直線、平面、簡單幾何體中所述的兩個平面、兩

16、條直線是指兩個不重合的平面、兩條直線。3. 從認識平面圖形到認識立體圖形是一次飛躍，建立空間觀念要有一個過程。因此，教師可讓學生自制一些空間幾何模型并反復觀察，有空就對一些立體圖形進行觀察、揣摩，并且判斷其中的線線、線面、面面位置關系，探索各種角、各種垂線作法。4要用圖形、文字、符號三種語言形式表達概念、定理、公式，要及時不斷地復習前面學過的內容。要多用圖表示概念和定理，多在頭腦中“證明”定理和構造定理的“圖”。要學會用圖（畫圖、分解圖、變換圖）幫助解決問題。5在解答問題的過程中，注意培養(yǎng)他們的語言表述能力和“說話要有根據”的邏輯思維的習慣，提高思維品質。如立體幾何計算題三個步驟：作圖證明計算

17、中尤其是證明必不可少，把應該寫的話寫出來，而且必須寫對才行，如二面角的平面角等，這應引起學生高度重視。6在解題中，要書寫規(guī)范，如用平行四邊形ABCD表示平面時，可以寫成平面AC,但不可以把平面兩字省略掉;要寫出解題根據，不論對于計算題還是證明題都應該如此，不能想當然或全憑直觀,對于提出的命題,不要輕易肯定或否定它,要多用幾個特例進行檢驗,最好做到否定舉出反面例子,肯定給出證明；對于文字證明題,要寫已知和求證,要畫圖;用定理時,必須把題目滿足定理的條件逐一交待清楚,自己心中有數而不把它寫出來是不行的。7要使學生掌握轉化思想、化歸思想，特別是將立體幾何問題轉化為平面幾何問題的思想意識和方法,并提高

18、空間想象能力、推理能力和計算能力。如將求點到平面距離的問題,或轉化為求直線到平面距離的問題,再繼而轉化為求點到平面距離的問題；或轉化為體積的問題。&要掌握求各種角、距離的基本方法和推理證明的基本方法一一分析法、綜合法、反證法。要不斷提高分析問題、解決問題的水平:一方面從已知到未知,另一方面從未知到已知,尋求正反兩個方面的知識銜接點一個固有的或確定的數學關系。要不斷提高反省認知水平,積極反思自己的學習活動,從經驗上升到自動化,從感性上升到理性,加深對理論的認識水平,提高解決問題的能力和創(chuàng)造性。9.選題時要把握好難度，別把學生嚇住，要努力保持住好不容易調動起來的興趣！附：立體幾何學習口訣學好立幾并不難，空間觀念最關鍵點線面體是一家，共筑立幾百花園點在線面用屬于，線在面內用包