數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換與歐拉角

1、數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換歐拉角歐拉角航天器動(dòng)力學(xué)與控制數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換一、坐標(biāo)系一、坐標(biāo)系11 1Ox y z的基矢量為的基矢量為1111xyzeeeex1Oz1y1x2y2z2設(shè)有不同的坐標(biāo)系設(shè)有不同的坐標(biāo)系11 1Ox y z222Ox y z222Ox y z的基矢量為的基矢量為2222xyzeeeerx1Oz1y1x2y2z2設(shè)設(shè) r 是矢量，其與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)。是矢量，其與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)。但其分量與坐標(biāo)系有關(guān)但其分量與坐標(biāo)系有關(guān)1111xryz111111xyzxyzreee2222xryz222222xyzxyzeee1T1111111xyzxryzeeee2T2222222xyzxryzeeee

2、x1Orz1y1x2y2z2二、坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣二、坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣TT1122rrreeTT111122rre ee e1T1111111xyxyzzee eeeeeeT1122rre e100 010001T1122rre e1T1212221xyxyzzee eeeeeeT1212Ae ex1Orz1y1x2y2z2坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣121212121212121212 xxxyxzyxyyyzzxzyzzeeeeeeeeeeeeeeeeee第第2個(gè)坐標(biāo)系的個(gè)坐標(biāo)系的z軸單軸單位矢量在第位矢量在第1個(gè)坐標(biāo)系個(gè)坐標(biāo)系中的投影（列陣）中的投影（列陣）特例特例cossin0sincos0001X

3、xAXYxyOr100 xr cossin01cossincos00sin00100XXx xrA r 三、坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣的性質(zhì)三、坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣的性質(zhì)112 2rA r（2）單位正交矩陣）單位正交矩陣T1AA1T212 112 121 1rA rA rA r1122AAI（1）（3）傳遞性）傳遞性112 2rA r223 3rA r112 21223 3rA rA A r113 3rA r131223AA AxyzoB 兩位觀察者，兩位觀察者，A 在地面（慣性坐標(biāo)系）上，在地面（慣性坐標(biāo)系）上，B 在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤（非慣性系）上。在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤（非慣性系）上。B隨手隨手拋出一物體，求兩位觀察者

4、認(rèn)為物體應(yīng)遵守的拋出一物體，求兩位觀察者認(rèn)為物體應(yīng)遵守的動(dòng)力學(xué)方程，看到的運(yùn)動(dòng)軌跡，以及相應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)方程，看到的運(yùn)動(dòng)軌跡，以及相應(yīng)的轉(zhuǎn)換關(guān)系。換關(guān)系。XYZOA例題例題其分量形式為其分量形式為2222xxyyyxzg mmmrF(r)2 r00 xyrzxyzxvyvzv 初始條件為初始條件為xyzoBB在非慣性坐標(biāo)系中，其動(dòng)力學(xué)方程為在非慣性坐標(biāo)系中，其動(dòng)力學(xué)方程為根據(jù)相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程求解：根據(jù)相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程求解：2222xxyyyxzg 123456, , , , yxyyyzyxyyyz14253624152524622yyyyyyyyyyyyyg 設(shè)設(shè)可以用可以用matlab的程序

5、求解的程序求解XYZOAA在慣性坐標(biāo)系中，其動(dòng)力學(xué)方程為在慣性坐標(biāo)系中，其動(dòng)力學(xué)方程為m rF00mxmymzmg xaybrzcxyzxvryvzv 其分量形式為其分量形式為初始條件為初始條件為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系XYXYOxyo設(shè)設(shè)OXYZ為慣性系為慣性系oxyz為非慣性系為非慣性系RRoroR = R + rcossin0sincos0001A oRRArT()orARR衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)微分方程衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)微分方程是在慣性坐標(biāo)系是在慣性坐標(biāo)系OXYZ中列寫的中列寫的223d dtr rr N Z y x XY O z p if四、軌道的轉(zhuǎn)換關(guān)系四、軌道的轉(zhuǎn)換關(guān)系而軌道根數(shù)表示法是而軌道根數(shù)表

6、示法是在衛(wèi)星軌道平面內(nèi)的在衛(wèi)星軌道平面內(nèi)的極坐標(biāo)中列寫的極坐標(biāo)中列寫的2(1)1cosaeref00 xryz 在衛(wèi)星軌道平面內(nèi)的軌道坐標(biāo)系在衛(wèi)星軌道平面內(nèi)的軌道坐標(biāo)系Oxyz中中XxXxYAyZz很容易得到很容易得到 N Z y x XY O z p ifr?XxA根據(jù)前面的分析，有根據(jù)前面的分析，有 N Z y x XY O z p if如果讓如果讓 開(kāi)始時(shí)開(kāi)始時(shí)與與 重合，則圖中重合，則圖中定義的三個(gè)角度定義的三個(gè)角度 Ox y zOXYZ, , ()if,2 , 0, 02 , 0進(jìn)動(dòng)角進(jìn)動(dòng)角章動(dòng)角章動(dòng)角自轉(zhuǎn)角自轉(zhuǎn)角正是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)中的歐拉角：正是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)中的歐拉角：OZYXz1y1x1z

7、2y2x2z3y3x3歐拉角的轉(zhuǎn)動(dòng)次序：歐拉角的轉(zhuǎn)動(dòng)次序：1.繞繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)2.繞繞x1軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)3.繞繞z2軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)五、歐拉角定義五、歐拉角定義OXYZ：固定坐標(biāo)系，定系：固定坐標(biāo)系，定系Oxi yi zi：與剛體固連的結(jié)體：與剛體固連的結(jié)體系，動(dòng)系，下標(biāo)表示第幾次系，動(dòng)系，下標(biāo)表示第幾次轉(zhuǎn)動(dòng)。初始時(shí)結(jié)體系與參考轉(zhuǎn)動(dòng)。初始時(shí)結(jié)體系與參考系重合系重合OZYXzxyN(節(jié)線節(jié)線)歐拉角與方位是一一對(duì)應(yīng)的：歐拉角與方位是一一對(duì)應(yīng)的：,給定歐拉角給定歐拉角坐標(biāo)系可唯一確定。坐標(biāo)系可唯一確定。給定坐標(biāo)系，給定坐標(biāo)系，歐拉角也是唯一確定的。歐拉角也是唯一確定的。找找xy平面與平面與XY平面平面

8、的交線，稱為節(jié)線的交線，稱為節(jié)線 角容易確定角容易確定如何確定如何確定 、 ?關(guān)于歐拉角的具體例子關(guān)于歐拉角的具體例子zyx人的頭部相對(duì)身體可以認(rèn)為是作定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。如果人的頭部相對(duì)身體可以認(rèn)為是作定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。如果初始狀態(tài)頭部的固連坐標(biāo)系定義為：前后是初始狀態(tài)頭部的固連坐標(biāo)系定義為：前后是x方向，方向，左右是左右是y方向，上下是方向，上下是z方向，如圖所示。方向，如圖所示。（1）點(diǎn)頭同意）點(diǎn)頭同意主要是章動(dòng)角在變化，另兩個(gè)角為零；主要是章動(dòng)角在變化，另兩個(gè)角為零；（2）搖頭不同意）搖頭不同意主要是自轉(zhuǎn)角在變化，另兩個(gè)角為零；主要是自轉(zhuǎn)角在變化，另兩個(gè)角為零；（3）搖頭晃腦）搖頭晃腦主要是進(jìn)動(dòng)角在變化

9、，自轉(zhuǎn)角為零，章動(dòng)角不為零。主要是進(jìn)動(dòng)角在變化，自轉(zhuǎn)角為零，章動(dòng)角不為零。（1）點(diǎn)頭同意；）點(diǎn)頭同意；（2）搖頭不同意；）搖頭不同意；（3）搖頭晃腦吟詩(shī)。）搖頭晃腦吟詩(shī)。請(qǐng)說(shuō)出下列常見(jiàn)的頭部動(dòng)作主要是什么歐拉角在請(qǐng)說(shuō)出下列常見(jiàn)的頭部動(dòng)作主要是什么歐拉角在變化？變化？歐拉角的方向余弦矩陣歐拉角的方向余弦矩陣OZYXz1y1x1z2y2x2z3y3x3311 22 3 ( ) ( ) ( )XxXxx xx xAAAAAAAA1000cossin0sincos)(Acossin0sincos0001)(A1000cossin0sincos)(A下面把歐拉角與軌道根數(shù)聯(lián)系起來(lái)下面把歐拉角與軌道根數(shù)聯(lián)

10、系起來(lái)NZXYhiSreO i 表示表示軌道頃角；軌道頃角；ON 表示表示節(jié)線節(jié)線，是軌道平面與地，是軌道平面與地球赤道平面的交線。球赤道平面的交線。 表示表示升交點(diǎn)赤徑升交點(diǎn)赤徑，節(jié)線，節(jié)線ON與與X軸的夾角。軸的夾角。 表示表示近地點(diǎn)幅角近地點(diǎn)幅角，節(jié)線，節(jié)線ON與與 e 的夾角。的夾角。 i ()if( ) ( ) ()XxAAA i Af極坐標(biāo)系軌道坐標(biāo)系（1）已知軌道根數(shù)，求出軌道后）已知軌道根數(shù)，求出軌道后00 xryz , , , , rfi均已知，對(duì)每一個(gè)計(jì)算點(diǎn)，均已知，對(duì)每一個(gè)計(jì)算點(diǎn)，XxXxYAyZz( ) ( ) ()XxAAA i Af這樣就把軌道平面內(nèi)衛(wèi)這樣就把軌道平面內(nèi)衛(wèi)星軌道坐標(biāo)系中的曲線星軌道坐標(biāo)系中的曲線轉(zhuǎn)化到慣性坐標(biāo)系中了轉(zhuǎn)化到慣性坐標(biāo)系中了xyxyXYZ六、兩種軌道計(jì)算的轉(zhuǎn)換關(guān)系六、兩種軌道計(jì)算的轉(zhuǎn)換關(guān)系（2）已知初始位置、速度，求出軌道后）已知初始位置、速度，求出軌道后根據(jù)初始的位置和速度，可以求出全部的軌道根數(shù)根據(jù)初始的位置