江蘇省南通市如皋市2025屆高三第一次適應(yīng)性考試（1.5模）數(shù)學(xué)試題（解析版）

第第頁2025南通（如皋）1.5模一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得集合，再由集合間的包含關(guān)系可得.【詳解】，因?yàn)?，所以，所以，即?shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C2.若拋物線的準(zhǔn)線為直線，則截圓所得的弦長為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出準(zhǔn)線方程，進(jìn)而可求出圓心到直線的距離，結(jié)合勾股定理可求得結(jié)果.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為，圓心到直線的距離為，所以，截圓所得的弦長為，故選：A.3.在公差不為的等差數(shù)列中，若，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依題意可得，再由乘“1”法及基本不等式計(jì)算可得.【詳解】，，，顯然，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào).故選：D．4.若非零向量，滿足，且向量在向量上的投影向量是，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】運(yùn)用投影向量的公式，結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算即可.【詳解】在上投影向量，，，則，由于，，故選：B．5.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）與點(diǎn)對(duì)應(yīng)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義得到方程組，然后相加，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式和兩角差的余弦公式計(jì)算即可.【詳解】，，，，故選：C．6.已知，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件，利用多項(xiàng)式的運(yùn)算及組合，得，即可求解.【詳解】由題知，故選：D．7.已知一幾何體上半部分為圓臺(tái)，下半部分為圓錐，其中圓錐底面的半徑為，高為．圓臺(tái)的兩底面的半徑分別為和，高為．該幾何體內(nèi)接于表面積為的球，則圓臺(tái)的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】組合體的存在外接球，作出圖形，由圖形去列出關(guān)系式，從而求出半徑和高，然后求體積．【詳解】外接球半徑，則．，設(shè)外接球球心，在即在即則，，故選：D．8.已知橢圓，稱點(diǎn)和直線是橢圓的一對(duì)極點(diǎn)和極線，每一對(duì)極點(diǎn)與極線是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系當(dāng)在圓外時(shí)，其極線是橢圓從點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)所確定的直線（即切點(diǎn)弦所在直線）結(jié)合閱讀材料回答下面的問題：已知是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)向橢圓引兩條切線，切點(diǎn)分別為，直線恒過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線的方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)極點(diǎn)極線的定義，寫出極點(diǎn)坐標(biāo)和極線方程，再利用切點(diǎn)弦和弦中點(diǎn)斜率乘積為定值，得直線的方程.【詳解】設(shè),則的直線方程為，，整理得,由解得，，定點(diǎn)，則為中點(diǎn)，，即．故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.某市對(duì)高三年級(jí)學(xué)生進(jìn)行體育測試，其中甲班的成績與乙班的成績均服從正態(tài)分布，且，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)條件，利用正態(tài)分布的性質(zhì)，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷，即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，，所以選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，所以選項(xiàng)C正確對(duì)于選項(xiàng)D，易知，所以選項(xiàng)D錯(cuò)，故選：AC．10.把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到的函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則下列說法正確的是（）A.的最小正周期為B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.在上單調(diào)遞增D.若在區(qū)間上存在極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【答案】ABD【解析】【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)，由已知求出即得解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)逐項(xiàng)判斷.【詳解】，由關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，得，，而，則，，對(duì)于A，的最小正周期，A正確；對(duì)于BC，由，得，直線是的圖象一條對(duì)稱軸，B正確，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，得，而在上有極大值點(diǎn)又有極小值點(diǎn)，則，解得，D正確故選：ABD11.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)的積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值，則下列說法正確的是（）A.B.數(shù)列為等比數(shù)列C.使數(shù)列的前項(xiàng)的積取最大值時(shí)，最大正整數(shù)的值為198D.若數(shù)列的前項(xiàng)的積大于1成立最大正整數(shù)的值為396，則的最大正整數(shù)的值為198【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列結(jié)合前n項(xiàng)的積分別判斷A，B，再根據(jù)通項(xiàng)與1的大小關(guān)系計(jì)算前n項(xiàng)的積的最大值判斷C，D.【詳解】正項(xiàng)等比數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值，則且時(shí)，時(shí)，，是等比數(shù)列，A，B正確；的前197項(xiàng)都大于1，第198項(xiàng)開始可能小于1，第199項(xiàng)后一定小于1前197項(xiàng)積最大，C錯(cuò)誤；的前項(xiàng)積成立的最大正整數(shù)為396，即，即，，時(shí)，時(shí)，的最大正整數(shù)為198，D正確；故選：ABD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.一組從小到大排列的數(shù)據(jù)：，若刪去前后它們的百分位數(shù)相同，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)計(jì)算規(guī)則得到第百分位數(shù)，從而得到方程，解得即可.【詳解】原來有10個(gè)數(shù)據(jù)，，原來第百分位數(shù)為，刪去后有9個(gè)數(shù)據(jù)，，則第百分位數(shù)，依題意可得，解得．故答案為：13.從公比不為1的正項(xiàng)等比數(shù)列的前8項(xiàng)中任取三項(xiàng)，則這3項(xiàng)能構(gòu)成等比數(shù)列的概率為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可知任取3項(xiàng)能構(gòu)成等比數(shù)列共有12種取法，根據(jù)計(jì)數(shù)原理，前8項(xiàng)中任取三項(xiàng)，共有種取法，結(jié)合古典概型可得答案.【詳解】從公比不為1的正項(xiàng)等比數(shù)列的前8項(xiàng)中任取三項(xiàng)，共有種取法，其中能構(gòu)成等比數(shù)列的有，，，，，，，，，，，，共12種取法，假設(shè)任取三項(xiàng)并能構(gòu)成等比數(shù)列為事件A，所以．故答案為：.14.已知是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，的導(dǎo)函數(shù)滿足，則______．【答案】3【解析】【分析】先根據(jù)是偶函數(shù)得出的一個(gè)等式關(guān)系，再對(duì)其求導(dǎo)得到的一個(gè)等式關(guān)系，然后結(jié)合推出的周期，最后根據(jù)周期求出的值.【詳解】因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈呐己瘮?shù)，所以，即.兩邊求導(dǎo)，可得：，可得.因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則.用代替可得.將代入中，可得①.用代替可得②.由②-①可得：.所以是周期為的周期函數(shù).所以.在中，令，可得.又因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，所以.在中，令，可得，解得，所以，即.故答案為：3.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.近年來，盲盒經(jīng)濟(jì)在消費(fèi)市場中掀起了一陣熱潮，成為一種普遍的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象．商家通過不斷變換花樣吸引消費(fèi)者．某商店推出一款售價(jià)為1元/個(gè)且外觀相同的盲盒，每開一個(gè)盲盒，會(huì)開出3款不同顏色（分別記為紅色、黃色、藍(lán)色）的某一商品，開出紅色、黃色、藍(lán)色商品的概率分別為．（1）若某顧客一次性購買了3個(gè)盲盒，求該顧客恰好開出兩個(gè)紅色商品的概率；（2）若某顧客只想要紅色商品，與老板協(xié)商一致，每次開一個(gè)盲盒，如果開出紅色商品則停止，否則再開一個(gè)盲盒，若連續(xù)4次均未開出紅色商品，老板就贈(zèng)送一個(gè)紅色商品給他為了得到紅色商品，求該顧客的平均花費(fèi)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由二項(xiàng)分布求解概率；（2）記該顧客打開盲盒的次數(shù)為，的所有可能取值為，求出分布列，找出均值，即可求出平均消費(fèi).【小問1詳解】記“該顧客恰好開出兩個(gè)紅色商品”為事件，．【小問2詳解】為了得到紅色商品，記該顧客打開盲盒次數(shù)為，的所有可能取值為．，，的分布列如下：1234則該顧客的平均花費(fèi)為元．16.在四棱錐中，底面是等腰梯形，，面底面．（1）證明：；（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)可得平面再利用線面垂直的性質(zhì)可得結(jié)論.（2）以為原點(diǎn)，以分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量以及平面的一個(gè)法向量，利用空間向量夾角公式求解即可.【小問1詳解】平面底面，平面平面平面平面又因?yàn)槠矫?【小問2詳解】因?yàn)榈酌媸堑妊菪?，，，，，由?）平面以為原點(diǎn)，以分別為軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系．，設(shè)平面的一個(gè)法向量，，令可得，而平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面的夾角為．17.已知的三邊所對(duì)的角分別為．（1）求證：；（2）若，求的取值范圍．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）可以采用正弦定理邊角互化，再用余弦定理得到，最后結(jié)合和角公式和同角三角函數(shù)關(guān)系式計(jì)算即可;（2）有了，兩角之間正切關(guān)系，直接將用和表示，轉(zhuǎn)變成關(guān)于的函數(shù)，借助函數(shù)單調(diào)性求范圍即可．【小問1詳解】由正弦定理得，．【小問2詳解】，令,由于在上單調(diào)遞增，則原函數(shù)也是在上單調(diào)遞增.，即的取值范圍為．18.若函數(shù)與函數(shù)的圖象在公共點(diǎn)處有相同的切線．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)與在公共點(diǎn)處的切線方程；（2）求的最小值；（3）求證：當(dāng)時(shí)，．【答案】（1）（2）1（3）證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)為與一個(gè)公共點(diǎn)，再根據(jù)斜率相等和切點(diǎn)在函數(shù)圖像上列出等式，即可求得結(jié)果.（2）設(shè)為與的一個(gè)公共點(diǎn)，再根據(jù)斜率相等和切點(diǎn)在函數(shù)圖像上列出等式，得到，再構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性與最大值即可求得結(jié)果.（3）證：時(shí)，，即證：對(duì)恒成立，再通過構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性即可證明.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，設(shè)為與的一個(gè)公共點(diǎn)，，切點(diǎn)與在公共點(diǎn)處的切線方程為．【小問2詳解】設(shè)為與的一個(gè)公共點(diǎn)，，由，代入①，，令當(dāng)時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，．【小問3詳解】由（2）知，證：時(shí)，，即證：對(duì)恒成立令，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在時(shí)取最小值，，證畢！19.雙曲線，射線和射線分別與交于點(diǎn)和點(diǎn)．（1）求雙曲線的離心率；（2）作射線（異于與分別交于點(diǎn)，記的面積為．①求證：；②若，且，記，證明：．【答案】（1）（2）①證明見解析；②證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得，再利用，從而可求解；（2）①中將直線與雙曲線方程分別聯(lián)立求出，，從而求出，同理求出，從而可證；②中由（1）可得當(dāng)時(shí)，且，則可得直線方程為：，再由到到的距離，從而求出，令，再利用導(dǎo)數(shù)求出，從而得，又因?yàn)槎鴷r(shí)，，從而可證.【小問1詳解】雙曲線，雙曲線離心率.【小問2詳解】①證明：由題意將與雙曲線聯(lián)立，，化簡得，，，同理將與雙曲線聯(lián)立，，同理可得，同理，，．從而可證．②由（1）可知，當(dāng)時(shí)，且，直線方程為：，且，則到的距離，，令，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，，又因?yàn)闀r(shí)，，．從而可證．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：第二問的第一小問可分別將兩條射線，和雙