債券合成、選擇與套利

1、4. 債券合成、選擇與套利債券合成、選擇與套利byHonglin Yu UIBE School of Banking & Finance 1主要內(nèi)容n債券合成n債券選擇n獲取套利機(jī)會n構(gòu)造債券組合n債券價格的時間效應(yīng)2債券合成n債券合成的基本思想n債券合成的關(guān)鍵n每期的現(xiàn)金流量相等n風(fēng)險(xiǎn)相等，否則需用利差來調(diào)整n本章都假定各債券的風(fēng)險(xiǎn)相等。3債券合成n債券合成n合成方法一：零息債券組合=附息債券n合成方法二：零息債券+年金債券=附息債券n合成方法三：附息債券組合=零息債券n合成方法四：年金債券+零息債券+遠(yuǎn)期利率=附息債券4債券合成n合成方法一：零息債券組合=附息債券n利用折現(xiàn)因子，一

2、個n期的附息債券可以表示為：ntttdCP105債券合成n合成方法二：零息債券+年金債券=附息債券n利用折現(xiàn)因子和折現(xiàn)方程，一個n期的附息債券可以表示為：nzeronttdCdCP106債券合成n合成方法三：附息債券組合=零息債券n思考：如何利用附息債券組合來合成零息債券呢？nnn7債券合成n合成方法三：附息債券組合=零息債券n例：用三種附息債券合成零息債券，具體情況如下表：時點(diǎn)現(xiàn)金流量債券A債券B債券C零息債券0-P-100.47-114.16-119.31-95.951C1510151002C251011503C3105110008債券合成n合成方法三：附息債券組合=零息債券n構(gòu)造一個債券

3、組合（A+B+C),確定每種債券的數(shù)量NA,NB和NC，使得債券組合的每期現(xiàn)金流量等于零息債券相應(yīng)時點(diǎn)上的現(xiàn)金流量： 時點(diǎn)1：5NA+10NB+15 NC =100 時點(diǎn)2：5NA+10NB+115 NC =0 時點(diǎn)3：105NA+110NB+0 NC =0 9債券合成n合成方法三：附息債券組合=零息債券n計(jì)算結(jié)果：NA=-25.3; NB=24.15; NC=-1.n特點(diǎn)：n需要賣空；n債券數(shù)量不一定為整數(shù)。10債券合成n合成方法三：附息債券組合=零息債券n構(gòu)造合成債券的一般方法：1111122222:.:.:.AABBQQAABBQQNAANBBNQQNNTN CN CN CWTN CN

4、CN CWTN CN CN CW11債券合成n合成方法三：附息債券組合=零息債券n注意：n如果QN, 可能存在多種組合，可以用最優(yōu)化的方法來求取債券組合中各種債券的數(shù)量。12債券合成n債券合成的用途：n債券的定價；n債券的選擇；n獲取套利機(jī)會。同一回事13債券選擇n思考：如何選擇以下三種債券呢？債券面值票面利率期限付息次數(shù)價格11008%10每年1次117.8321006%10每年1次103.6431004%10每年1次87.4614債券選擇n選擇方法一：基于到期收益率來進(jìn)行選取債券面值票面利率期限付息次數(shù)價格到期收益率11008%10每年1次117.835.62%21006%10每年1次10

5、3.645.52%31004%10每年1次87.465.68%15債券選擇n選擇方法一：基于到期收益率來進(jìn)行選取n基于到期收益率來進(jìn)行選取的方法存在什么問題？n各種債券每期的現(xiàn)金流量并不相同；n再投資收益不同。16債券選擇n選擇方法二：基于持有期收益率來進(jìn)行債券選取109010109110101011100(1)(1).(1)(1)1tttPHPRPCCiCiPCiHPRP17債券選擇n選擇方法二：基于持有期收益率來進(jìn)行債券選取n基于持有期收益率來進(jìn)行債券選取，需要：n確定再投資收益率。n當(dāng)未來的再投資收益率未知時，可模擬各種可能的再投資收益率來進(jìn)行債券選取。18債券選擇n選擇方法二：基于持有

6、期收益率來進(jìn)行債券選取n假定有三種可能的再投資收益率：n應(yīng)選取那種債券？n可肯定排除債券2，但債券1和債券2 之間的選擇則取決于未來的再投資收益率。債券再投資收益率4%6%8%15.225.726.2425.205.626.0735.405.736.0919債券選擇n選擇方法二：基于持有期收益率來進(jìn)行債券選取n方法二優(yōu)于方法一，但存在的問題是？n再投資收益率是不確定的。20債券選擇n選擇方法三：基于債券合成方法進(jìn)行債券選取n例子同上：債券面值票面利率期限價格11008%10117.8321006%10103.6431004%1087.4621債券選擇n選擇方法三：基于債券合成方法進(jìn)行債券選取n

7、用年金債券和零息債券合成附息債券：10101117.838100387.464100dd10tt=110tt=1債券 ： d債券 ： d22債券選擇n選擇方法三：基于債券合成方法進(jìn)行債券選取n用年金債券和零息債券合成n可計(jì)算得出：107.59250.5709d10tt=1d23債券選擇n選擇方法三：基于債券合成方法進(jìn)行債券選取n用年金債券和零息債券合成n用計(jì)算結(jié)果可得出債券2的相對價格相對價格為：210210261006100102.645PdPdP10tt=110tt=1dd24債券選擇n方法三：基于債券合成方法進(jìn)行債券選取n用年金債券和零息債券合成n相對于債券1和債券3而言，債券2的價格被

8、高估：22102.465103.64PP25債券選擇n思考： 當(dāng)債券組合的到期日不完全相同時，如何通過相對定價來進(jìn)行債券選擇？nnn26債券選擇n合成方法四：年金債券+零息債券+遠(yuǎn)期利率=附息債券n通過引入遠(yuǎn)期利率來為期限不同的債券進(jìn)行相對定價。27債券選擇n合成方法四：年金債券+零息債券+遠(yuǎn)期利率=附息債券n比如上例，其他條件不變，但債券2的期限為11年，如何通過債券1和債券3 給債券2進(jìn)行定價？債券面值票面利率期限11008%1021006%1131004%1028債券選擇n合成方法四：年金債券+零息債券+遠(yuǎn)期利率=附息債券n已知，當(dāng)債券2的期限為10年時，價格為：n當(dāng)債券2的期限為11年

9、時，價格為：2106100Pd10tt=1d2116106Pd10tt=1d未知的折現(xiàn)因子29債券選擇n合成方法四：年金債券+零息債券+遠(yuǎn)期利率=附息債券n時點(diǎn)11上的折現(xiàn)因子d11為：遠(yuǎn)期利率)1 (11_1011ttfdd30債券選擇n合成方法四：年金債券+零息債券+遠(yuǎn)期利率=附息債券n時點(diǎn)11上的折現(xiàn)因子d11的推導(dǎo)：tt+1債券A債券Btt+0.5t+131債券選擇n合成方法四：年金債券+零息債券+遠(yuǎn)期利率=附息債券n時點(diǎn)11上的折現(xiàn)因子d11的推導(dǎo)：n花1元錢購買債券A，持有時間從t到t+1；假如把t到t+1的時間長度平分為兩段，每段的平均收益為y, 則收益為：25 . 01_1_5

10、 . 05 . 0_1_)1 (1)1 (1)1)(1 (1)1 (1yyyyytttttttt32債券選擇n合成方法四：年金債券+零息債券+遠(yuǎn)期利率=附息債券n時點(diǎn)11上的折現(xiàn)因子d11的推導(dǎo)：n花1元錢購買債券B，持有時間從t到t+0.5，在t+0.5到t+1期間則可以獲得再投資收益，假定再投資收益率等于遠(yuǎn)期利率，則收益為：)1)(1 (11_5 . 05 . 0tttfy33債券選擇n合成方法四：年金債券+零息債券+遠(yuǎn)期利率=附息債券n時點(diǎn)11上的折現(xiàn)因子d11的推導(dǎo)：n花1元錢購買債券B獲得的收益應(yīng)該等于在同樣的時間段內(nèi)花1元錢購買債券A所獲得的收益：25 . 01_5 . 05 .

11、0)1 (1)1)(1 (1yfyttt34債券選擇n合成方法四：年金債券+零息債券+遠(yuǎn)期利率=附息債券n時點(diǎn)11上的折現(xiàn)因子d11的推導(dǎo)：25 . 01_5 . 05 . 025 . 01_5 . 05 . 0)1 ()1 ()1)(1 ()1 ()1 (1)1)(1 (1yyfyyyfytttttttttt35債券選擇n合成方法四：年金債券+零息債券+遠(yuǎn)期利率=附息債券n時點(diǎn)11上的折現(xiàn)因子d11的推導(dǎo)：11_5 . 05 . 025 . 01_5 . 05 . 0)1 (1)1 ()1 (1)1 (1)1 ()1 (1tttttttttttdfdyyfyy36債券選擇n合成方法四：年金債

12、券+零息債券+遠(yuǎn)期利率=附息債券n時點(diǎn)11上的折現(xiàn)因子d11的推導(dǎo)：)1 (1)1 (11_10111_1ttttttfddfdd可以通過遠(yuǎn)期協(xié)議得到37債券選擇n合成方法四：年金債券+零息債券+遠(yuǎn)期利率=附息債券n當(dāng)債券2的期限為11年時，相對價格相對價格為：377.102%)5 . 61 (15709. 01065925.67)1 (110662211_10101012PPfddPtt38債券選擇n方法四：年金債券+零息債券+遠(yuǎn)期利率=附息債券n由于債券2的相對價格相對價格和當(dāng)前價格，因此債券2相對于債券1和3來說被高估：225 .103377.102PP39債券選擇n思考：n1.如果債券

13、2的期限是12年，如何選擇？債券面值票面利率期限11008%1021006%1231004%1040債券選擇n思考：n要做出選擇，同樣要對債券2進(jìn)行相對定價：12111012121212106661006dddPddPtttt41債券選擇n思考：n其中：)1)(1 (1111112_1111_101012_11111211_101011ffdfddfdd42債券選擇n思考：n2.如果債券2的期限是9年，如何選擇？債券面值票面利率期限11008%1021006%931004%1043債券選擇n思考：n同樣對債券2進(jìn)行相對定價：91010129912100661006dddPddPtttt44債券

14、選擇n思考：n其中：)1 (1110_910910_9910fddfdd45構(gòu)造債券組合n構(gòu)造債券組合n構(gòu)造債券組合其實(shí)和債券合成沒有本質(zhì)區(qū)別。n構(gòu)造債券組合的要點(diǎn)仍然是：在相同的風(fēng)險(xiǎn)條件下，構(gòu)造出債券組合的現(xiàn)金流等于所要求的現(xiàn)金流。n構(gòu)造債券組合必須要考慮支付成本問題。n構(gòu)造債券組合通常和尋找套利機(jī)會緊密相連。46構(gòu)造債券組合n構(gòu)造債券組合n例：假如你是退休基金賬戶管理人，基金賬戶規(guī)模為11000萬元。你在未來四年內(nèi)需要支付的金額如下表所示，你如何配置資產(chǎn)組合？（單位：萬元）時點(diǎn)1234需支付的資金020004500800047構(gòu)造債券組合n構(gòu)造債券組合n資產(chǎn)配置策略：n1、為避免未來的支付

15、風(fēng)險(xiǎn)，須建立精確組合；n2、為獲取較高收益，其余資金可以購買收益較高的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。48構(gòu)造債券組合n構(gòu)造債券組合n具體而言，只要構(gòu)造一債券組合，其現(xiàn)金流滿足未來支付的要求即可。方法可有多種：n方法一：用零息債券組合構(gòu)造；n方法二：用附息債券組合構(gòu)造；nn49構(gòu)造債券組合n構(gòu)造債券組合n方法一：利用零息債券構(gòu)造債券組合。n已知零息債券的折線因子時點(diǎn)1234折線因子0.90910.8000.71430.625050構(gòu)造債券組合n構(gòu)造債券組合n方法一計(jì)算結(jié)果：時點(diǎn)需支付的現(xiàn)金流零息債券面值折線因子零息債券數(shù)量成本0-9814.35萬101000.90910022000萬1000.80020萬1600萬

16、34500萬1000.714345萬3214.35萬48000萬1000.625080萬5000萬51構(gòu)造債券組合n構(gòu)造債券組合n方法二：利用其他附息債券構(gòu)造債券組合。n已知其他附息債券的現(xiàn)金流量如下：01234A-98.08941111111B-99.0805121212112C-104.4055101215120D-106.69403535353552構(gòu)造債券組合n構(gòu)造債券組合n方法二構(gòu)造方法：n構(gòu)造一債券組合，使得資產(chǎn)組合的現(xiàn)金流量等于負(fù)債的現(xiàn)金流量。800035120112:4500351512111:200035121211:035101211:4321DCBDCBADCBADCBA

17、NNNTNNNNTNNNNTNNNNT53構(gòu)造債券組合n構(gòu)造債券組合n方法二計(jì)算結(jié)果：價格債券數(shù)量成本A98.0894-5-490.44B99.0805-1020.55-101116.60C104.40551000104405.50D106.694065.767016.209814.6654構(gòu)造債券組合n構(gòu)造債券組合n比較方法一和方法二，你會選擇哪一種？n在滿足現(xiàn)金流的條件下，應(yīng)選擇支付成本較小的方式。55構(gòu)造債券組合n構(gòu)造債券組合n例：有三種無風(fēng)險(xiǎn)債券，其現(xiàn)金流如圖所示（不能賣空）：012A-90100B-750100C造債券組合n構(gòu)造債券組合n問題1、是否存在一組

18、折線因子，與上述價格相對應(yīng)？ 即是否存在一組折線因子，滿足： 顯然，并不存在這樣一組折線因子。21211001001551007510090dddd57構(gòu)造債券組合n構(gòu)造債券組合并且，依據(jù)債券A和債券B，可以給債券C進(jìn)行相對定價：可得出，債券C被低估。CCBAPddPddPddP15516510010075. 0100759 . 01009021221158構(gòu)造債券組合n構(gòu)造債券組合n問題2、張三想構(gòu)造一組合，該組合在時點(diǎn)1產(chǎn)生200的現(xiàn)金流量，在時點(diǎn)2產(chǎn)生100的現(xiàn)金流量。他應(yīng)如何選擇？n方法1：A+C，成本為245；n方法2：2A+B，成本為255。59構(gòu)造債券組合n構(gòu)造債券組合n問題3.

19、1、張三為讓組合在時點(diǎn)1多產(chǎn)生100的現(xiàn)金流，那么額外增加100的現(xiàn)金流的收益率是多少？（不允許賣空）n時點(diǎn)1：應(yīng)該再持有1張債券A,價格為90，收益率為：%11.11,100)1 (9011yy60構(gòu)造債券組合n構(gòu)造債券組合n問題3.2、如在額外增加的現(xiàn)金流發(fā)生在時點(diǎn)2，則情況又如何？n在時點(diǎn)2增加100元的現(xiàn)金流，則方法有： 增加1張債券B，價格為75； 出售債券A，然后購買債券C，支付成本為65，收益率為：%03.24100)1 (65222yy61構(gòu)造債券組合n構(gòu)造債券組合n問題4、李四想構(gòu)造另一債券組合，該組合在時點(diǎn)1產(chǎn)生100的現(xiàn)金流，在時點(diǎn)2產(chǎn)生200的現(xiàn)金流，他如何選擇，支付成

20、本如何？n選擇一：B+C，成本230；n選擇二：A+2B，成本240。62構(gòu)造債券組合n構(gòu)造債券組合n問題5.1、李四想讓組合在時點(diǎn)1多產(chǎn)生100的現(xiàn)金流，那么額外增加現(xiàn)金流的收益率是多少？n在時點(diǎn)1增加100元的現(xiàn)金流，則方法有： 增加1張債券A，價格為90； 出售組合中債券B，然后購買債券C，支付成本為80，收益率為：%25100)1 (8011yy63構(gòu)造債券組合n構(gòu)造債券組合n問題5.2、如額外增加的現(xiàn)金流發(fā)生在時點(diǎn)2，則情況又如何？n在時點(diǎn)2增加100元的現(xiàn)金流，則方法有： 增加1張債券B，價格為75，收益率為；%47.15100)1 (75222yy64構(gòu)造債券組合n構(gòu)造債券組合n

21、問題6、額外增加的現(xiàn)金流相等，但張三和李四的收益率為什么存在很大差別？n組合中的債券構(gòu)成不同；nC債券的相對定價較低；n相對定價較低債券C所占的比重存在差別。65構(gòu)造債券組合n構(gòu)造債券組合n最優(yōu)債券組合最優(yōu)債券組合的構(gòu)造n最優(yōu)債券組合為滿足每一時點(diǎn)的現(xiàn)金流量要求，并且支付成本最小。n盡量將相對定價較低的債券納入組合中，這樣可以獲取較高的收益率。n前提：風(fēng)險(xiǎn)相等。66構(gòu)造債券組合n構(gòu)造債券組合n例：已有5種債券，如何構(gòu)造最優(yōu)債券組合？價格現(xiàn)金流量買入價賣出價123A94.3292.81100B91.4189.97100C87.6585.14100D109.02106.0788108E113.70

22、111.9012112要求現(xiàn)金流量5020016067構(gòu)造債券組合n構(gòu)造債券組合n最優(yōu)債券組合的構(gòu)造0,160)(108)(100200)(112)(8)(10050)(12)(8)(100.)9 .11107.10614.8597.8981.92()7 .11302.10965.8741.9132.94(.EbEaDbDaCbCaBbBaAbAaDbDaCbCaEbEaDbDaBbBaEbEaDbDaAbAaEbDbCbBbAbEaDaCaBaAaNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNstNNNNNNNNNNZMin68構(gòu)造債券組合n構(gòu)造債券組合n計(jì)算結(jié)果：0.48. 1;88

23、. 1;38. 0;48.369其余為DaBaAaNNNZ69套利機(jī)會n套利機(jī)會的尋找n例：假定到期收益率曲線向下傾斜，有效的年收益率如下：y1=9.9%,y2=9.3%,y3=9.1%。已知三年期，票面利率為11%的債券的價格為102。問：n是否存在套利機(jī)會？n如何得到這一機(jī)會？70套利機(jī)會n套利機(jī)會的尋找n提示：需計(jì)算債券的相對價格；需要構(gòu)造債券組合。71套利機(jī)會n套利機(jī)會的尋找n答案：n1、三年期債券的相對價格為：n因此，存在套利機(jī)會。PPP10269.104%)1 . 91 (111%)3 . 91 (11%)9 . 91 (113272套利機(jī)會n套利機(jī)會的尋找n答案：n2、構(gòu)造組合，

24、買低賣高，獲取無風(fēng)險(xiǎn)收益： 賣空三個零息債券組合，該組零息債券組合的現(xiàn)金流量與所購買的低估債券的現(xiàn)金流量一致。得到104.69元； 購買被低估的債券，支付102元； 無風(fēng)險(xiǎn)收益為2.69元。73套利機(jī)會n套利機(jī)會的尋找n例：有無風(fēng)險(xiǎn)債券A，B和C，現(xiàn)金流量如下表所示。問：n是否存在套利機(jī)會？n如何獲得2元的無風(fēng)險(xiǎn)收益？0123A-2.24111B-1.6101C-0.7401074套利機(jī)會n套利機(jī)會的尋找n1、該題的方法有多種，最簡便的一種是構(gòu)造一個債券組合A-B：n顯然存在套利機(jī)會。0123A-2.24111B-1.6101A-B-0.64010C-0.7401075套利機(jī)會n套利機(jī)會的尋找

25、n2、2元無風(fēng)險(xiǎn)收益的獲?。嘿徺I一個債券組合A-B，賣空一張C債券，就可以獲得0.1元的無風(fēng)險(xiǎn)收益。把該交易放大20倍，即可得到2元無風(fēng)險(xiǎn)收益：0123A-B-0.64010C-0.7401076套利機(jī)會n套利機(jī)會的尋找n例：有四個無違約風(fēng)險(xiǎn)的債券，其價格和現(xiàn)金流量如下表所示。問：是否存在套利機(jī)會?如果存在，如何實(shí)現(xiàn)無風(fēng)險(xiǎn)收益？0123A-100.21010110B-93100C-92.855105D-110151511577套利機(jī)會n套利機(jī)會的尋找n解答：n首先需要給債券進(jìn)行相對定價； 思考：根據(jù)已知條件，可用哪種方法來進(jìn)行相對定價？78套利機(jī)會n套利機(jī)會的尋找n解答：n利用折線方程：93. 01009311ddPB79套利機(jī)會n套利機(jī)會的尋找n解答：n利用折線方程：84. 0105585.92221dddPC80套利機(jī)會n套利機(jī)會的尋找n解答：n利用折線方程：75. 0110101002.1003321ddddPA81套利機(jī)會n套利機(jī)會的尋找n解答：n利用折線方程：n存在套利機(jī)會。DDDPPdddP1108 .112115151532182套利機(jī)會n套利機(jī)會的尋找