幾類常見遞推數(shù)列的解題方法

1、疊加、 疊乘、迭代遞推、代數(shù)轉(zhuǎn)化幾類常見遞推數(shù)列的教學(xué)隨筆已知數(shù)列的遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法大約分為兩類：一類是根據(jù)前幾項(xiàng)的特點(diǎn)歸納猜 想出an的表達(dá)式，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明；另一類是將已知遞推關(guān)系，用代數(shù)法、迭代法、換元法， 或是轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列(等差或等比)的方法求通項(xiàng).第一類方法要求學(xué)生有一定的觀察能力以及足夠的 結(jié)構(gòu)經(jīng)驗(yàn)，才能順利完成，對(duì)學(xué)生要求高.第二類方法有一定的規(guī)律性，只需遵循其特有規(guī)律方可順利 求解.在教學(xué)中，我針對(duì)一些數(shù)列特有的規(guī)律總結(jié)了一些求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的解題方法.一、疊加相消.類型一：形如an + = an+ f (n),其中f (n)為關(guān)于n的多項(xiàng)式或指數(shù)形

2、式(an )或可裂項(xiàng)成差的分式 形式.一一可移項(xiàng)后疊加相消.例 1:已知數(shù)列 an ,a1 = 0,n N 十，an1 = an + ( 2n 1),求通項(xiàng)公式 a n .解：= a n = a n + ( 2n 1),an>=an + ( 2n 1), , a 2 一 a 1 =1、a 3 一 a 2 =3、 an a n _i =2 n _ 3, , an = a1 + (a2 a1) + (a3 a2 )+，+ (an an)=0 + 1 + 3+ 5+ + (2n 3)=11 + (2n-3)( n-1)=( n-1)2 ne N +2練習(xí)1 ：.已知數(shù)列 an ,a1 =1,

3、ne N +, an =a n +3 n ,求通項(xiàng)公式an .2.已知數(shù)列 an 滿足 a1 = 3, = n(n +1) , ne N +,求 a n .an - an 1二、疊乘相約.類型二：形如電土 = f (n)淇中 f (n) = (mn_助(pw 0, mw 0,b - c = km,kC Z) 或-nl =kn( 口 0)an(mn c)pan0v m 且 m 豐 1).an 1 n或=km ( k w 0,an例 2:已知數(shù)列 an , a1 =1, an >0,( n+1) a n + 2 - n an2 + an 由 an=0,求 an.解：( n+ 1) an +

4、n a n +an由an=0(n+ 1) an + nan (an4t + an)= 0v an>0an書+ an >0 (n+1) an+nan=0.an 1 _ nann 1 an =-aJ Man± Man芻xMa_ Ma1 n-JZ1 X n _2 X n _3 X'1 xl X 1 =n an。an an 3 a1n n-1n -22 n練習(xí)2:已知數(shù)列 an 滿足Sn = -an ( ne N*), $口是 an 的前n項(xiàng)和，a 2 =1,求a n2.已知數(shù)列 an 滿足 an+ = 3 nan ( nC N*),且 a1 =1,求 an .三、逐層迭

5、代遞推.類型三：形如an+= f (an),其中f (an)是關(guān)于an的函數(shù).一一需逐層迭代、細(xì)心尋找其中規(guī)律.例3:已知數(shù)列 an , a1=1, nC N+，anH4 = 2an +3 n ,求通項(xiàng)公式an .解：an + = 2 an +3n an =2 an+3 n-1 =2(2 an/+3 nj+3 n-1 = 22(2 an+3 n-3) + 2 - 3n-2+3 n-1 =2 *2(2 a1 + 3) + 2 n-3 - 3 2+2 n-4 - 3 3+2 n-5 - 3 4+ 22 - 3 n-3+2 - 3 n-2+3 n-1 =2 n-1 + 2 n-2 - 3 +2 n-

6、3 - 3 2+2 n-4 - 3 3+ 22 3n-3 + 2 - 3 n-2+ 3 n-1£1”i-2=3n 2n2練習(xí)3:.右數(shù)列 an中，a 1=3,且an+=a n (nC N+)，求通項(xiàng)an .已知數(shù)列 an的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=2an+( 1)n, nCN+,求通項(xiàng)an .四、運(yùn)用代數(shù)方法變形，轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求解.可通過倒數(shù)變形為基本數(shù)列類型四：形如anan + = pan +qan書，(pq豐0).且an #0的數(shù)歹U,問題.111當(dāng)p = q時(shí)，則有： -=一 轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列;an 1 anp當(dāng)p w q時(shí)，則有： ,=q+ 1.同類型五轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列.an 1p

7、an pn C N十，求通項(xiàng)an .例4：若數(shù)列 an 中，a1=1 , an+=aan2解： a 7 2anan 1 an 2又< a1 =1 > 0, an >0 ,111.111. . 1d1an 1 2 an an 1 an 2a1，數(shù)列 an是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列.工=1+ 1(n-1)，an=nCN +an 2n 1一一 一，2x ，一3練習(xí)4 ：已知f (n)=,數(shù)列 a n滿足a1=1 , an = f (a n=)，求a n3 x2類型五：形如 an + = pan + q ,pqw0 , p、q為常數(shù).當(dāng)p =1時(shí)，為等差數(shù)列;當(dāng)p W1時(shí)，可在兩

8、邊同時(shí)加上同一個(gè)數(shù)x,即an+ x = pan + q + x一q x 人 q xq ,.=an書+ x = p(an+ ), 令 x = x = 時(shí)，有 an書 + x = p(an + x),ppp -1從而轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列an+ 乙求解.P -1例 5:已知數(shù)列an中，a 1 =1, an = a n + 1 , n= 1、2、3、，求通項(xiàng) an .2解：: a n = a n _+ 1 = an-2 = (a nj - 2)221又a1 2 = -1W0 數(shù)列 an - 2首項(xiàng)為-1,公比為1的等比數(shù)列.2an2 = -1M(1)n,即 an = 2 211 n N +練習(xí)5:.已知a1

9、=1, an = 2 an+ 3 (n = 2、3、4)，求數(shù)列a n的通項(xiàng).12an ,.已知數(shù)列 an 滿足a二 一 , an + =，求an .2an 1類型六：形如 an + = pan + f (n), pw。且p為常數(shù)，f (n)為關(guān)于n的函數(shù).當(dāng)p=1時(shí)，則an + = an + f (n)即類型一.當(dāng)p W1時(shí)，f (n)為關(guān)于n的多項(xiàng)式或指數(shù)形式(an )或指數(shù)和多項(xiàng)式的混合形式.若f (n)為關(guān)于n的多項(xiàng)式(f (n) = kn + b或kn 2 + bn + c, k、b、c為常數(shù))，可用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列.例 6:已知數(shù)列 an滿足 a=1, an4 = 2an

10、+n2, nC N十求 an .解：令 a n 1 + xa(n+1)2 + b(n+1) + c = 2( an + an2 + bn + c)即 an4= 2 a n + (2a - ax)n2 + (2b -2ax - bx)n +2c - ax - bx - cx 比較系數(shù)得：2a - ax =12b -2ax - bx = 0 二2c - ax - bx - cx = 01a 二2 - x2ax 一<b= =令 x = 1,得:2 xax + bxc 二2-xan*+ (n+1) 2 +2(n+1) + 3 = 2( an + n 2 +2n + 3); a1+1+2X1+3

11、= 7令bn= an+ n2+2n + 3則bn+ = 2b n b二 7.數(shù)歹U bn為首項(xiàng)為7,公比為2德等比數(shù)列bn = 7X 2n 即 an+ n2+2n + 3 = 7X 2n. an = 7X 2n"( n2+2n + 3 ) nCN +若f (n)為關(guān)于n的指數(shù)形式(an ).當(dāng)p不等于底數(shù)a時(shí)，可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列；當(dāng)p等于底數(shù)a時(shí)，可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列.例 7:(同例 3)若 a1=1, an = 2 an+ 3 n。(n = 2、3、4)，求數(shù)列 a n的通項(xiàng) an .n入nn Jn J斛： an = 2 an+ 3令 a n + xx 3 = 2(an1+xX3 )得

12、a n = 2 an一xX3令 -xx 3 n = 3 n = x = -1 an - 3 n = 2(a n j_ 3 n -)又 : a1 - 3 = - 2，數(shù)列an -3n是首項(xiàng)為-2,公比為2的等比數(shù)列.an -3n =-2 - 2 nA 即 an = 3 n -2 n nCN 十例 8:數(shù)列 a n中,a1 =5 且 an =3a n1+ 3 n -1 (n = 2、3、4)試求通項(xiàng) an .解：a n =3a n 1+ 3 -1 an-2=3(an1-2)3an1-23na 1 an 1qr213nlan=與12是公差為1的等差數(shù)列.an2 . 3na12+( n -1)二54+

13、( n -1) = n +12an = (n 2) 3n若f (n)為關(guān)于n的多項(xiàng)式和指數(shù)形式 (an)的混合式，則先轉(zhuǎn)換多項(xiàng)式形式在轉(zhuǎn)換指數(shù)形式.例 如上面的例8.練習(xí)6:.已知數(shù)列23中21= 1,a n+ = 3 a n + n , n N書求an的通項(xiàng).設(shè) a0 為常數(shù)，且 an= 3 n' 2 anJL (nCNn > 2 ).證明：X任意 n > 1, an= 13n + (-1) n,2n +(-1) n 2n a0.5類型七：形如an= p an + + q an ( pq豐0, p、q為常數(shù)且p2 + 4q > 0 ),可用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列.

14、例9:已知數(shù)列%中a= 1, a2 = 2且and2 =an書+2an ,n= N+;求an的通項(xiàng).解:令 an 2+x an 1 = (1 + x) an 1 + 2 an =- an 2+x an 1 = (1 + x)( an 1 + -2- an)1 x令 x = 2=x2 + x - 2 = 0 =x = 1 或-21 x當(dāng) x = 1 時(shí),an_2+ an-1 =2(an書 + an) 從而 a2 + a 1 = 1 + 2 = 3.數(shù)歹U a0+ + an是首項(xiàng)為3且公比為2的等比數(shù)列.an+ a n = 3 父 2" 當(dāng) x = - 2 時(shí)，an七-2anH1 = -

15、 (an + -2an), 而 a2- 2a1 二 0an+-2a n = 0 由、得：an=2n4 , nN.練習(xí) 7 :已知：a 1= 2, a 2 = 5 , an七=5 an 十 一2 an ,(n = 1、2、3、),求數(shù)列 an的通項(xiàng).333已知數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、,根據(jù)規(guī)律求出該數(shù)列的通項(xiàng).五、數(shù)列的簡單應(yīng)用例10:設(shè)棋子在正四面體 ABCD的表面從一個(gè)頂點(diǎn)移向另外三個(gè)頂點(diǎn)時(shí)等可能的.現(xiàn)拋擲骰子，根據(jù)其點(diǎn)數(shù)決定棋子是否移動(dòng) 若投出的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)，則棋子不動(dòng)；若投出的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)，棋子移動(dòng)到另外一個(gè)頂點(diǎn).若棋子初始位置在頂點(diǎn)A ,則:投了三次骰子，棋子恰巧在頂點(diǎn)的概率是

16、多少？投了四次骰子，棋子都不在頂點(diǎn)的概率是多少？投了四次骰子，棋子才到達(dá)頂點(diǎn)的概率是多少?分析：考慮最后一次投骰子分為兩種情況最后一次棋子動(dòng)；最后一次棋子不動(dòng).1解：;事件投一次骰子棋子不動(dòng)的概率為-;事件投一次骰子棋子動(dòng)且到達(dá)頂點(diǎn)2 , 11B的概率為-X-2 3.投了三次骰子，棋子恰巧在頂點(diǎn)B分為兩種情況.最后一次棋子不動(dòng)，即前一次棋子恰在頂點(diǎn)B;.最后一次棋子動(dòng),且棋子移動(dòng)到B點(diǎn).設(shè)投了i次骰子，棋子恰好在頂點(diǎn) B的概率為pi ,則棋子不在頂點(diǎn)B的概率為(1-Pi ).所以，投了 i+1次骰子，棋子恰好在頂點(diǎn) B的概率：Pf = Pi X)+2 p i 41= + X*63P1= 1 1

17、=12 3 61(1- Pi)x -62.投了四次骰子，棋子都不在頂點(diǎn) B,說明前幾次棋子都不在最后一次棋子不動(dòng)；最后一次棋子動(dòng)，且不到B點(diǎn).=1、2、3、_ 13p3 =544、B點(diǎn)，應(yīng)分為兩種情況設(shè)投了 i次骰子，棋子都不在頂點(diǎn)B的概率為P：,則投了i+1次骰子,棋子都不在頂點(diǎn)B的概率為：p& =11“1pi x + pi x x (1) i = 1、2、3、2234、即:Pi 1 =56Pi-11 一、 15又.p1 = + x(1-)=2 236.投了四次骰子，棋子才到達(dá)頂點(diǎn) 到達(dá)頂點(diǎn)B .設(shè)其概率為P則：P = 1 1 X p3 = 1 x (-)3 =2 366答：(略).

18、- P45 4 =(6)B;說明前三次棋子都不在 B點(diǎn)，最后一次棋子動(dòng)且1251296例11：用磚砌墻，第一層(底層)用去了全部磚塊的一半多一塊；第二層用去了剩下的一半多一塊，依次類推，每層都用去了上層剩下的一半多一塊.如果第九層恰好磚塊用完，那么一共用了多少塊磚?分析：本題圍繞兩個(gè)量即每層的磚塊數(shù)ai和剩下的磚塊數(shù) bi,關(guān)鍵是找出ai和bi的關(guān)系式，通過方程(組)求解.解：設(shè)第i層所用的磚塊數(shù)為 ai ,剩下的磚塊數(shù)為bi(i = 1、2、3、4、)則b9 = 0,且設(shè)bo為全部的磚塊數(shù)，依題意，得又 bi=ai +聯(lián)立得bi-bi = b+ 1 即 bi = bj-122b i + 2 = (b2i1+ 2)b9+2 = (-) (b0+ 2 )b0+2 = 2X2，b0= 1022練習(xí)8:十級(jí)臺(tái)階，可以一步上一級(jí)，也可以一步上兩級(jí)；問上完十級(jí)臺(tái)階有多少種不同走法?.三角形內(nèi)有n個(gè)點(diǎn)，由這n個(gè)點(diǎn)和三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，這n + 3個(gè)點(diǎn)可以組成多少