博弈論入門8_概率論簡(jiǎn)介

1、隨機(jī)試驗(yàn)事件二二 、 概概 率率 （一）概率的統(tǒng)計(jì)定義（一）概率的統(tǒng)計(jì)定義 n研究研究隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)，僅知道可能發(fā)生哪些隨機(jī)事，僅知道可能發(fā)生哪些隨機(jī)事件是不夠的，還需了解各種隨機(jī)事件發(fā)生的可件是不夠的，還需了解各種隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小，以揭示這些事件的內(nèi)在的統(tǒng)計(jì)規(guī)律能性大小，以揭示這些事件的內(nèi)在的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，從而指導(dǎo)實(shí)踐性，從而指導(dǎo)實(shí)踐。n測(cè)度：這測(cè)度：這就要求有一個(gè)能夠就要求有一個(gè)能夠刻劃事件發(fā)生可刻劃事件發(fā)生可能性大小的數(shù)量指標(biāo)能性大小的數(shù)量指標(biāo)，這指標(biāo)應(yīng)該是事件本身，這指標(biāo)應(yīng)該是事件本身所固有的，且不隨人的主觀意志而改變，人們所固有的，且不隨人的主觀意志而改變，人們稱之為概率稱之

2、為概率（probability）。n事件事件A的概率記為的概率記為P（A）。）。 概率的統(tǒng)計(jì)定義概率的統(tǒng)計(jì)定義 在相同條件下進(jìn)行在相同條件下進(jìn)行n次重次重復(fù)試驗(yàn)，如果隨機(jī)事件復(fù)試驗(yàn)，如果隨機(jī)事件A發(fā)生的次數(shù)為發(fā)生的次數(shù)為m，那么，那么m/n稱為隨機(jī)事件稱為隨機(jī)事件A的的頻率頻率（frequency）；當(dāng)）；當(dāng)試驗(yàn)重復(fù)數(shù)試驗(yàn)重復(fù)數(shù)n逐漸增大時(shí)，隨機(jī)事件逐漸增大時(shí)，隨機(jī)事件A的頻率越的頻率越來(lái)越穩(wěn)定地接近某一數(shù)值來(lái)越穩(wěn)定地接近某一數(shù)值 p ， 那么那么 就就 把把 p稱稱為隨機(jī)事件為隨機(jī)事件A的的概率概率。 這這 樣樣 定定 義義 的的 概概 率率 稱稱 為為 統(tǒng)統(tǒng) 計(jì)計(jì) 概概 率率（statis

3、tics probability），或者稱），或者稱后驗(yàn)概后驗(yàn)概率率（posterior probability）。）。 在一般情況下，隨機(jī)事件的概率在一般情況下，隨機(jī)事件的概率p是不可是不可能準(zhǔn)確得到的。通常以試驗(yàn)次數(shù)能準(zhǔn)確得到的。通常以試驗(yàn)次數(shù)n充分大時(shí)隨機(jī)充分大時(shí)隨機(jī)事件事件A的頻率作為該隨機(jī)事件概率的近似值。的頻率作為該隨機(jī)事件概率的近似值。 即即 P（A）=pm/n （n充分大）充分大）（4-1） （二）概率的古典定義（二）概率的古典定義 對(duì)于某些隨機(jī)事件，用不著進(jìn)行多次重復(fù)對(duì)于某些隨機(jī)事件，用不著進(jìn)行多次重復(fù)試驗(yàn)來(lái)確定其概率試驗(yàn)來(lái)確定其概率 ， 而是根據(jù)隨機(jī)事件本身而是根據(jù)隨機(jī)事件

4、本身的特性直接計(jì)算其概率。的特性直接計(jì)算其概率。 有很多隨機(jī)試驗(yàn)具有以下特征：有很多隨機(jī)試驗(yàn)具有以下特征： 1、試驗(yàn)的所有可能結(jié)果只有有限個(gè)，即、試驗(yàn)的所有可能結(jié)果只有有限個(gè)，即樣本空間中的基本事件只有有限個(gè)；樣本空間中的基本事件只有有限個(gè)； 2、各、各 個(gè)個(gè) 試驗(yàn)的可能結(jié)果出現(xiàn)的可能性試驗(yàn)的可能結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，即所有基本事件的發(fā)生是等可能的；相等，即所有基本事件的發(fā)生是等可能的； 3、試驗(yàn)的所有可能結(jié)果兩兩互不相容。、試驗(yàn)的所有可能結(jié)果兩兩互不相容。 具有上述特征的隨機(jī)試驗(yàn)，稱為具有上述特征的隨機(jī)試驗(yàn)，稱為古典概古典概型型（classical model）。對(duì)于古典概型，概率）。對(duì)于古

5、典概型，概率的定義如下：的定義如下： 設(shè)樣本空間由設(shè)樣本空間由 n 個(gè)等可能的基本事件所個(gè)等可能的基本事件所構(gòu)成，其中事件構(gòu)成，其中事件A包含有包含有m個(gè)基本事件，則事個(gè)基本事件，則事件件A的概率為的概率為m/n，即，即 P（A）=m/n (4-2) 這樣這樣定義的概率稱為定義的概率稱為古典概率古典概率(classical probability)或或先驗(yàn)概率先驗(yàn)概率(prior probability)。 【例例4.1】在編號(hào)為在編號(hào)為1、2、3、10的的10個(gè)紅球中個(gè)紅球中隨機(jī)抽取隨機(jī)抽取1個(gè)，個(gè)，求下列隨機(jī)事件的求下列隨機(jī)事件的概率。概率。 （1）A=“抽得一個(gè)編號(hào)抽得一個(gè)編號(hào)4”； （

6、2）B=“抽得一個(gè)編號(hào)是抽得一個(gè)編號(hào)是2的倍數(shù)的倍數(shù)”。 因?yàn)樵撛囼?yàn)樣本空間由因?yàn)樵撛囼?yàn)樣本空間由10個(gè)等可能的基個(gè)等可能的基本事件構(gòu)成，即本事件構(gòu)成，即n=10,而事件而事件A所包含的基本所包含的基本事件有事件有4個(gè)，即抽得編號(hào)為個(gè)，即抽得編號(hào)為1，2，3，4中的任中的任何一個(gè)，事件何一個(gè)，事件A便發(fā)生，于是便發(fā)生，于是mA=4，所以，所以 P(A)=mA/n=4/10=0.4 同理，事件同理，事件B所包含的基本事件數(shù)所包含的基本事件數(shù)mB=5，即抽得編號(hào)為即抽得編號(hào)為2，4，6，8，10中的任何一個(gè)，中的任何一個(gè)，事件事件B便發(fā)生，故便發(fā)生，故 P(B)=mB/n=5/10=0.5。 【例

7、例4.2】 在在N個(gè)小球個(gè)小球中中，有，有M個(gè)是紅球個(gè)是紅球，從從這些小球中任意這些小球中任意抽出抽出n個(gè)球個(gè)球，試求試求:(1)其中恰有其中恰有m個(gè)是紅球個(gè)是紅球的的概率是多少？概率是多少？(2)若若N=30，M =8，n =10，m =2，其概率，其概率是多少？是多少？ 我們把從有我們把從有M個(gè)紅球的個(gè)紅球的N個(gè)小球個(gè)小球中中任意抽任意抽出出n個(gè)小球個(gè)小球 ，其中恰有，其中恰有m個(gè)紅球個(gè)紅球這這一事件一事件 記為記為A ， 因?yàn)橐驗(yàn)?從從 N 個(gè)小球個(gè)小球中中 任任 意意 抽抽 出出 n個(gè)小球個(gè)小球的的基本事件總數(shù)為基本事件總數(shù)為 ； 事件事件A所包含的基本事件數(shù)所包含的基本事件數(shù)為為 ；

8、 因此所求事件因此所求事件A的概率為：的概率為： nNCmnMNmMCCnNmnMNmMCCCAp.)( 將將N=30，M =8，n =10，m =2代入代入上式，得上式，得 210 2830 81030.( )0.0695C Cp AC例例 ：在電話號(hào)碼薄中任取一個(gè)電話號(hào)碼在電話號(hào)碼薄中任取一個(gè)電話號(hào)碼,求后面求后面4個(gè)數(shù)全不相同的概率個(gè)數(shù)全不相同的概率.(設(shè)后面設(shè)后面4個(gè)數(shù)中的每一個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)中的每一個(gè)數(shù)都等可能地取自都等可能地取自0,1.2,8,9). 例例 ：歷史上有名的歷史上有名的“生日問題生日問題” 某班級(jí)有某班級(jí)有n個(gè)人（個(gè)人（n365）問至少有兩）問至少有兩個(gè)人的生日在同一天的概率

9、是多大？個(gè)人的生日在同一天的概率是多大？ 表所列出的答案足以引起大家的驚奇，因?yàn)椤耙粋€(gè)班級(jí)中至少有兩個(gè)人生日相同”這個(gè)事件發(fā)生的概率并不如發(fā)多數(shù)人想象的那樣小，而是足夠大，從表中可以看出，當(dāng)班級(jí)人數(shù)達(dá)到23時(shí)，就有半數(shù)以上的班級(jí)會(huì)發(fā)生這件事情，而當(dāng)班級(jí)人數(shù)達(dá)到50人時(shí)，竟有97 的班級(jí)會(huì)發(fā)生上述事件，當(dāng)然這里所講的半數(shù)以上，有97 都是對(duì)概率而言的，只是在大數(shù)次的情況下（就要求班級(jí)數(shù)相當(dāng)多），才可以理解為頻率。從這個(gè)例子告訴我們“直覺”并不可靠，從而更有力的說(shuō)明了研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的重要性。但與自己生日相同的概率：n=50,p=0.1258n（）（）0.120.410.510.710.890

10、.97P(A) 如下表：（三）概率的定義及性質(zhì)（三）概率的定義及性質(zhì) 在隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間在隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間 上對(duì)上對(duì)每個(gè)事件每個(gè)事件A都有對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)都有對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)P（A），），如果這樣的如果這樣的P（A）滿足：滿足： 1、對(duì)于任何事件、對(duì)于任何事件A，有，有0P（A）1； 2、必然事件的概率為、必然事件的概率為1，即，即P（）=1； 3、不可能事件的概率為、不可能事件的概率為0，即，即P（）=0。 4、A1，A2，Ai為互斥事件，則為互斥事件，則P（A1+A2+Ai）= P（A1）+ P（A2）+ P（Ai）則稱則稱P（A）為事件為事件A的概率的概率定義 當(dāng)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間是某個(gè)區(qū)域,并且任

11、意一點(diǎn)落在度量 (長(zhǎng)度, 面積, 體積) 相同的子區(qū)域是等可能的,則事件 A 的概率可定義為SSAPA )(說(shuō)明 當(dāng)古典概型的試驗(yàn)結(jié)果為連續(xù)無(wú)窮多個(gè)時(shí),就歸結(jié)為幾何概率.四、四、幾何概率幾何概率.),(幾何概率幾何概率定的概率稱為定的概率稱為量來(lái)合理規(guī)量來(lái)合理規(guī)這樣借助于幾何上的度這樣借助于幾何上的度區(qū)域的度量區(qū)域的度量的子的子是構(gòu)成事件是構(gòu)成事件是樣本空間的度量是樣本空間的度量其中其中ASSA 那末.0,0TyTx 兩人會(huì)面的充要條件為, tyx 例8 甲、乙兩人相約在 0 到 T 這段時(shí)間內(nèi), 在預(yù)定地點(diǎn)會(huì)面. 先到的人等候另一個(gè)人, 經(jīng)過(guò)時(shí)間 t( tT ) 后離去.設(shè)每人在0 到T 這

12、段時(shí)間內(nèi)各時(shí)刻到達(dá)該地是等可能的 , 且兩人到達(dá)的時(shí)刻互不牽連. 求甲、乙兩人能會(huì)面的概率.會(huì)面問題解,刻刻乙兩人到達(dá)的時(shí)乙兩人到達(dá)的時(shí)分別為甲分別為甲設(shè)設(shè)yx故所求的概率為正正方方形形面面積積陰陰影影部部分分面面積積 p222)(TtTT .)1(12Tt xoytxy tyx 若以 x, y 表示平面上點(diǎn)的坐標(biāo) ,則有 t T T（四）概率的幾何概（四）概率的幾何概型型在在古典概型中，利用等可能性的古典概型中，利用等可能性的概念，成功概念，成功地計(jì)算了某一類問題的地計(jì)算了某一類問題的概率；不概率；不過(guò)，古典過(guò)，古典概型要求可能場(chǎng)合的總數(shù)必須有限。因此歷史上有不少人企圖把這種做概型要求可能場(chǎng)

13、合的總數(shù)必須有限。因此歷史上有不少人企圖把這種做法推廣到法推廣到有無(wú)限多結(jié)果而又有某種等可能性有無(wú)限多結(jié)果而又有某種等可能性的場(chǎng)合。這類問題一般可以通過(guò)幾何的場(chǎng)合。這類問題一般可以通過(guò)幾何方法來(lái)求解。方法來(lái)求解?！纠?】某人午覺醒來(lái)某人午覺醒來(lái),發(fā)覺表停了發(fā)覺表停了,他打開收音機(jī)他打開收音機(jī),想聽電臺(tái)報(bào)時(shí)想聽電臺(tái)報(bào)時(shí), 假定電臺(tái)每小假定電臺(tái)每小時(shí)報(bào)時(shí)一次，求他等待的時(shí)間短于時(shí)報(bào)時(shí)一次，求他等待的時(shí)間短于10分鐘的概率。分鐘的概率。【例例2】約會(huì)問題約會(huì)問題 兩人相約兩人相約8點(diǎn)到點(diǎn)到9點(diǎn)在某地會(huì)面，先到者等候另一人點(diǎn)在某地會(huì)面，先到者等候另一人20分鐘，過(guò)時(shí)就可離去，分鐘，過(guò)時(shí)就可離去，試求

14、這兩人能會(huì)面的概率試求這兩人能會(huì)面的概率【例例3】蒲豐蒲豐(Buffon)投針問題投針問題在平面上畫有等距為在平面上畫有等距為a的一些平行線，今向的一些平行線，今向此平面任意投一長(zhǎng)為此平面任意投一長(zhǎng)為b（ba）的針，試求）的針，試求此針與平行線相交的概率此針與平行線相交的概率。【不講不講】 （五）概率的一般運(yùn)算（五）概率的一般運(yùn)算5.1加法原理加法原理 定理定理1兩個(gè)互不相容事件的和的概率，兩個(gè)互不相容事件的和的概率，等于這兩個(gè)事件的概率之和：等于這兩個(gè)事件的概率之和： 由此定理推廣得下面定理由此定理推廣得下面定理2 定理定理2 有限個(gè)互不相容事件的和的概率，有限個(gè)互不相容事件的和的概率，等于

15、這些事件的概率之和：等于這些事件的概率之和：推論推論1 如果一組事件構(gòu)成互不相容的完如果一組事件構(gòu)成互不相容的完備事件組，則這些事件的概率之和為備事件組，則這些事件的概率之和為 1. 推論推論2 對(duì)立事件的概率之和為一對(duì)立事件的概率之和為一 定理定理3任意二事件的和的概率，等于這二任意二事件的和的概率，等于這二事件的概率的和減去這二事件的積的概率事件的概率的和減去這二事件的積的概率. 定理定理4 任意有限個(gè)事件的和的概率可按下面的公式計(jì)算：任意有限個(gè)事件的和的概率可按下面的公式計(jì)算： 注注:特別是只有三個(gè)事件特別是只有三個(gè)事件A、B、C時(shí)，有時(shí)，有 5.2 條件概率條件概率.)()()|(,

16、0)(,條件概率條件概率發(fā)生的發(fā)生的條件下事件為在事件稱且是兩個(gè)事件設(shè)ABBPABPBAPBPBA ABAB);()()()( ) 3(212121BAAPBAPBAPBAAP ).(1)( )4(BAPBAP 則有則有件件是兩兩不相容的事是兩兩不相容的事設(shè)設(shè)可加可列性可加可列性,A,A:)5(21. )BA(PBAP1ii1ii 性質(zhì)性質(zhì); 1)(0: ) 1 (BAP有界性0)B|(PBP 1,)(2)規(guī)范性規(guī)范性例例2 某種動(dòng)物由出生算起活某種動(dòng)物由出生算起活20歲以上的概率歲以上的概率為為0.8，活，活到到25歲以上的概率為歲以上的概率為0.4，如果，如果現(xiàn)在有一現(xiàn)在有一個(gè)個(gè)20歲的這

17、種歲的這種動(dòng)物動(dòng)物, 問它能活到問它能活到25歲以上的概率歲以上的概率是多少是多少? 1/2例例1 從自然數(shù)從自然數(shù)1-100中隨機(jī)取出一個(gè)，設(shè)中隨機(jī)取出一個(gè)，設(shè)A=“偶偶數(shù)數(shù)”，B=“3的倍數(shù)的倍數(shù)”，求已知該數(shù)被，求已知該數(shù)被3整除的情況整除的情況下為偶數(shù)的概率。下為偶數(shù)的概率。16/33則有則有且且, 0)(121 nAAAP, 2,21 nnAAAn個(gè)事件個(gè)事件為為設(shè)設(shè)推廣推廣則有則有且且為事件為事件設(shè)設(shè), 0)(, ABPCBA()( ) () ().P ABCP A P B A P C AB).()()(, 0)(APABPABPAP 則有則有設(shè)設(shè))()()()()(1212131

18、2121nnnAAAAPAAAPAAPAPAAAP注：注：獨(dú)立事件獨(dú)立事件定義 對(duì)于兩個(gè)事件A和B，若P（AB）=P（A）P（B）， 則稱A、B為相互獨(dú)立事件 等價(jià)于：P（A|B）=P（A），即B的發(fā)生對(duì)A沒有任何影響0)( BAP獨(dú)立與互斥的關(guān)系獨(dú)立與互斥的關(guān)系兩事件相互獨(dú)立兩事件相互獨(dú)立)()()(BPAPABP 兩事件互斥兩事件互斥 AB二者之間沒二者之間沒有必然聯(lián)系有必然聯(lián)系性質(zhì)性質(zhì) 必然事件必然事件 及不可能事件及不可能事件與任何事件與任何事件A相互獨(dú)立相互獨(dú)立. 若事件若事件A與與B相互獨(dú)立相互獨(dú)立, 則以下三對(duì)事件也相互獨(dú)立則以下三對(duì)事件也相互獨(dú)立.；與與 BA；與與 BA.BA

19、 與與例1：甲甲, 乙兩人乙兩人同時(shí)同時(shí)向敵人炮擊向敵人炮擊,已知甲擊中敵機(jī)的概率為已知甲擊中敵機(jī)的概率為0.6, 乙擊中敵機(jī)的概率為乙擊中敵機(jī)的概率為0.5, 求敵機(jī)被擊中的概率求敵機(jī)被擊中的概率.例3：加工某一零件共需經(jīng)過(guò)三道工序加工某一零件共需經(jīng)過(guò)三道工序.設(shè)第一、二、三道工設(shè)第一、二、三道工序的次品率分別是序的次品率分別是2%、3%、5%.假定各道工序是互不影假定各道工序是互不影響的響的,問加工出來(lái)的零件的次品率是多少？問加工出來(lái)的零件的次品率是多少？ .,2;, 2 , 1,1,21210021的一個(gè)劃分為樣本空間則稱若的一組事件為的樣本空間為試驗(yàn)設(shè)定義nnjinAAAAAAnjiAAEAAAE1. 樣本空間的劃分樣本空間的劃分1A2A3AnA1nA5.4 全概率公式全概率公式2. 全概率公全概率公