博弈論入門8_概率論簡介

1、隨機試驗事件二二 、 概概 率率 （一）概率的統(tǒng)計定義（一）概率的統(tǒng)計定義 n研究研究隨機試驗隨機試驗，僅知道可能發(fā)生哪些隨機事，僅知道可能發(fā)生哪些隨機事件是不夠的，還需了解各種隨機事件發(fā)生的可件是不夠的，還需了解各種隨機事件發(fā)生的可能性大小，以揭示這些事件的內在的統(tǒng)計規(guī)律能性大小，以揭示這些事件的內在的統(tǒng)計規(guī)律性，從而指導實踐性，從而指導實踐。n測度：這測度：這就要求有一個能夠就要求有一個能夠刻劃事件發(fā)生可刻劃事件發(fā)生可能性大小的數量指標能性大小的數量指標，這指標應該是事件本身，這指標應該是事件本身所固有的，且不隨人的主觀意志而改變，人們所固有的，且不隨人的主觀意志而改變，人們稱之為概率稱之

2、為概率（probability）。n事件事件A的概率記為的概率記為P（A）。）。 概率的統(tǒng)計定義概率的統(tǒng)計定義 在相同條件下進行在相同條件下進行n次重次重復試驗，如果隨機事件復試驗，如果隨機事件A發(fā)生的次數為發(fā)生的次數為m，那么，那么m/n稱為隨機事件稱為隨機事件A的的頻率頻率（frequency）；當）；當試驗重復數試驗重復數n逐漸增大時，隨機事件逐漸增大時，隨機事件A的頻率越的頻率越來越穩(wěn)定地接近某一數值來越穩(wěn)定地接近某一數值 p ， 那么那么 就就 把把 p稱稱為隨機事件為隨機事件A的的概率概率。 這這 樣樣 定定 義義 的的 概概 率率 稱稱 為為 統(tǒng)統(tǒng) 計計 概概 率率（statis

3、tics probability），或者稱），或者稱后驗概后驗概率率（posterior probability）。）。 在一般情況下，隨機事件的概率在一般情況下，隨機事件的概率p是不可是不可能準確得到的。通常以試驗次數能準確得到的。通常以試驗次數n充分大時隨機充分大時隨機事件事件A的頻率作為該隨機事件概率的近似值。的頻率作為該隨機事件概率的近似值。 即即 P（A）=pm/n （n充分大）充分大）（4-1） （二）概率的古典定義（二）概率的古典定義 對于某些隨機事件，用不著進行多次重復對于某些隨機事件，用不著進行多次重復試驗來確定其概率試驗來確定其概率 ， 而是根據隨機事件本身而是根據隨機事件

4、本身的特性直接計算其概率。的特性直接計算其概率。 有很多隨機試驗具有以下特征：有很多隨機試驗具有以下特征： 1、試驗的所有可能結果只有有限個，即、試驗的所有可能結果只有有限個，即樣本空間中的基本事件只有有限個；樣本空間中的基本事件只有有限個； 2、各、各 個個 試驗的可能結果出現的可能性試驗的可能結果出現的可能性相等，即所有基本事件的發(fā)生是等可能的；相等，即所有基本事件的發(fā)生是等可能的； 3、試驗的所有可能結果兩兩互不相容。、試驗的所有可能結果兩兩互不相容。 具有上述特征的隨機試驗，稱為具有上述特征的隨機試驗，稱為古典概古典概型型（classical model）。對于古典概型，概率）。對于古

5、典概型，概率的定義如下：的定義如下： 設樣本空間由設樣本空間由 n 個等可能的基本事件所個等可能的基本事件所構成，其中事件構成，其中事件A包含有包含有m個基本事件，則事個基本事件，則事件件A的概率為的概率為m/n，即，即 P（A）=m/n (4-2) 這樣這樣定義的概率稱為定義的概率稱為古典概率古典概率(classical probability)或或先驗概率先驗概率(prior probability)。 【例例4.1】在編號為在編號為1、2、3、10的的10個紅球中個紅球中隨機抽取隨機抽取1個，個，求下列隨機事件的求下列隨機事件的概率。概率。 （1）A=“抽得一個編號抽得一個編號4”； （

6、2）B=“抽得一個編號是抽得一個編號是2的倍數的倍數”。 因為該試驗樣本空間由因為該試驗樣本空間由10個等可能的基個等可能的基本事件構成，即本事件構成，即n=10,而事件而事件A所包含的基本所包含的基本事件有事件有4個，即抽得編號為個，即抽得編號為1，2，3，4中的任中的任何一個，事件何一個，事件A便發(fā)生，于是便發(fā)生，于是mA=4，所以，所以 P(A)=mA/n=4/10=0.4 同理，事件同理，事件B所包含的基本事件數所包含的基本事件數mB=5，即抽得編號為即抽得編號為2，4，6，8，10中的任何一個，中的任何一個，事件事件B便發(fā)生，故便發(fā)生，故 P(B)=mB/n=5/10=0.5。 【例

7、例4.2】 在在N個小球個小球中中，有，有M個是紅球個是紅球，從從這些小球中任意這些小球中任意抽出抽出n個球個球，試求試求:(1)其中恰有其中恰有m個是紅球個是紅球的的概率是多少？概率是多少？(2)若若N=30，M =8，n =10，m =2，其概率，其概率是多少？是多少？ 我們把從有我們把從有M個紅球的個紅球的N個小球個小球中中任意抽任意抽出出n個小球個小球 ，其中恰有，其中恰有m個紅球個紅球這這一事件一事件 記為記為A ， 因為因為 從從 N 個小球個小球中中 任任 意意 抽抽 出出 n個小球個小球的的基本事件總數為基本事件總數為 ； 事件事件A所包含的基本事件數所包含的基本事件數為為 ；

8、 因此所求事件因此所求事件A的概率為：的概率為： nNCmnMNmMCCnNmnMNmMCCCAp.)( 將將N=30，M =8，n =10，m =2代入代入上式，得上式，得 210 2830 81030.( )0.0695C Cp AC例例 ：在電話號碼薄中任取一個電話號碼在電話號碼薄中任取一個電話號碼,求后面求后面4個數全不相同的概率個數全不相同的概率.(設后面設后面4個數中的每一個數個數中的每一個數都等可能地取自都等可能地取自0,1.2,8,9). 例例 ：歷史上有名的歷史上有名的“生日問題生日問題” 某班級有某班級有n個人（個人（n365）問至少有兩）問至少有兩個人的生日在同一天的概率

9、是多大？個人的生日在同一天的概率是多大？ 表所列出的答案足以引起大家的驚奇，因為“一個班級中至少有兩個人生日相同”這個事件發(fā)生的概率并不如發(fā)多數人想象的那樣小，而是足夠大，從表中可以看出，當班級人數達到23時，就有半數以上的班級會發(fā)生這件事情，而當班級人數達到50人時，竟有97 的班級會發(fā)生上述事件，當然這里所講的半數以上，有97 都是對概率而言的，只是在大數次的情況下（就要求班級數相當多），才可以理解為頻率。從這個例子告訴我們“直覺”并不可靠，從而更有力的說明了研究隨機現象統(tǒng)計規(guī)律的重要性。但與自己生日相同的概率：n=50,p=0.1258n（）（）0.120.410.510.710.890

10、.97P(A) 如下表：（三）概率的定義及性質（三）概率的定義及性質 在隨機試驗樣本空間在隨機試驗樣本空間 上對上對每個事件每個事件A都有對應的實數都有對應的實數P（A），），如果這樣的如果這樣的P（A）滿足：滿足： 1、對于任何事件、對于任何事件A，有，有0P（A）1； 2、必然事件的概率為、必然事件的概率為1，即，即P（）=1； 3、不可能事件的概率為、不可能事件的概率為0，即，即P（）=0。 4、A1，A2，Ai為互斥事件，則為互斥事件，則P（A1+A2+Ai）= P（A1）+ P（A2）+ P（Ai）則稱則稱P（A）為事件為事件A的概率的概率定義 當隨機試驗的樣本空間是某個區(qū)域,并且任

11、意一點落在度量 (長度, 面積, 體積) 相同的子區(qū)域是等可能的,則事件 A 的概率可定義為SSAPA )(說明 當古典概型的試驗結果為連續(xù)無窮多個時,就歸結為幾何概率.四、四、幾何概率幾何概率.),(幾何概率幾何概率定的概率稱為定的概率稱為量來合理規(guī)量來合理規(guī)這樣借助于幾何上的度這樣借助于幾何上的度區(qū)域的度量區(qū)域的度量的子的子是構成事件是構成事件是樣本空間的度量是樣本空間的度量其中其中ASSA 那末.0,0TyTx 兩人會面的充要條件為, tyx 例8 甲、乙兩人相約在 0 到 T 這段時間內, 在預定地點會面. 先到的人等候另一個人, 經過時間 t( tT ) 后離去.設每人在0 到T 這

12、段時間內各時刻到達該地是等可能的 , 且兩人到達的時刻互不牽連. 求甲、乙兩人能會面的概率.會面問題解,刻刻乙兩人到達的時乙兩人到達的時分別為甲分別為甲設設yx故所求的概率為正正方方形形面面積積陰陰影影部部分分面面積積 p222)(TtTT .)1(12Tt xoytxy tyx 若以 x, y 表示平面上點的坐標 ,則有 t T T（四）概率的幾何概（四）概率的幾何概型型在在古典概型中，利用等可能性的古典概型中，利用等可能性的概念，成功概念，成功地計算了某一類問題的地計算了某一類問題的概率；不概率；不過，古典過，古典概型要求可能場合的總數必須有限。因此歷史上有不少人企圖把這種做概型要求可能場

13、合的總數必須有限。因此歷史上有不少人企圖把這種做法推廣到法推廣到有無限多結果而又有某種等可能性有無限多結果而又有某種等可能性的場合。這類問題一般可以通過幾何的場合。這類問題一般可以通過幾何方法來求解。方法來求解。【例例1】某人午覺醒來某人午覺醒來,發(fā)覺表停了發(fā)覺表停了,他打開收音機他打開收音機,想聽電臺報時想聽電臺報時, 假定電臺每小假定電臺每小時報時一次，求他等待的時間短于時報時一次，求他等待的時間短于10分鐘的概率。分鐘的概率?！纠?】約會問題約會問題 兩人相約兩人相約8點到點到9點在某地會面，先到者等候另一人點在某地會面，先到者等候另一人20分鐘，過時就可離去，分鐘，過時就可離去，試求

14、這兩人能會面的概率試求這兩人能會面的概率【例例3】蒲豐蒲豐(Buffon)投針問題投針問題在平面上畫有等距為在平面上畫有等距為a的一些平行線，今向的一些平行線，今向此平面任意投一長為此平面任意投一長為b（ba）的針，試求）的針，試求此針與平行線相交的概率此針與平行線相交的概率?！静恢v不講】 （五）概率的一般運算（五）概率的一般運算5.1加法原理加法原理 定理定理1兩個互不相容事件的和的概率，兩個互不相容事件的和的概率，等于這兩個事件的概率之和：等于這兩個事件的概率之和： 由此定理推廣得下面定理由此定理推廣得下面定理2 定理定理2 有限個互不相容事件的和的概率，有限個互不相容事件的和的概率，等于

15、這些事件的概率之和：等于這些事件的概率之和：推論推論1 如果一組事件構成互不相容的完如果一組事件構成互不相容的完備事件組，則這些事件的概率之和為備事件組，則這些事件的概率之和為 1. 推論推論2 對立事件的概率之和為一對立事件的概率之和為一 定理定理3任意二事件的和的概率，等于這二任意二事件的和的概率，等于這二事件的概率的和減去這二事件的積的概率事件的概率的和減去這二事件的積的概率. 定理定理4 任意有限個事件的和的概率可按下面的公式計算：任意有限個事件的和的概率可按下面的公式計算： 注注:特別是只有三個事件特別是只有三個事件A、B、C時，有時，有 5.2 條件概率條件概率.)()()|(,

16、0)(,條件概率條件概率發(fā)生的發(fā)生的條件下事件為在事件稱且是兩個事件設ABBPABPBAPBPBA ABAB);()()()( ) 3(212121BAAPBAPBAPBAAP ).(1)( )4(BAPBAP 則有則有件件是兩兩不相容的事是兩兩不相容的事設設可加可列性可加可列性,A,A:)5(21. )BA(PBAP1ii1ii 性質性質; 1)(0: ) 1 (BAP有界性0)B|(PBP 1,)(2)規(guī)范性規(guī)范性例例2 某種動物由出生算起活某種動物由出生算起活20歲以上的概率歲以上的概率為為0.8，活，活到到25歲以上的概率為歲以上的概率為0.4，如果，如果現在有一現在有一個個20歲的這

17、種歲的這種動物動物, 問它能活到問它能活到25歲以上的概率歲以上的概率是多少是多少? 1/2例例1 從自然數從自然數1-100中隨機取出一個，設中隨機取出一個，設A=“偶偶數數”，B=“3的倍數的倍數”，求已知該數被，求已知該數被3整除的情況整除的情況下為偶數的概率。下為偶數的概率。16/33則有則有且且, 0)(121 nAAAP, 2,21 nnAAAn個事件個事件為為設設推廣推廣則有則有且且為事件為事件設設, 0)(, ABPCBA()( ) () ().P ABCP A P B A P C AB).()()(, 0)(APABPABPAP 則有則有設設)()()()()(1212131

18、2121nnnAAAAPAAAPAAPAPAAAP注：注：獨立事件獨立事件定義 對于兩個事件A和B，若P（AB）=P（A）P（B）， 則稱A、B為相互獨立事件 等價于：P（A|B）=P（A），即B的發(fā)生對A沒有任何影響0)( BAP獨立與互斥的關系獨立與互斥的關系兩事件相互獨立兩事件相互獨立)()()(BPAPABP 兩事件互斥兩事件互斥 AB二者之間沒二者之間沒有必然聯系有必然聯系性質性質 必然事件必然事件 及不可能事件及不可能事件與任何事件與任何事件A相互獨立相互獨立. 若事件若事件A與與B相互獨立相互獨立, 則以下三對事件也相互獨立則以下三對事件也相互獨立.；與與 BA；與與 BA.BA

19、 與與例1：甲甲, 乙兩人乙兩人同時同時向敵人炮擊向敵人炮擊,已知甲擊中敵機的概率為已知甲擊中敵機的概率為0.6, 乙擊中敵機的概率為乙擊中敵機的概率為0.5, 求敵機被擊中的概率求敵機被擊中的概率.例3：加工某一零件共需經過三道工序加工某一零件共需經過三道工序.設第一、二、三道工設第一、二、三道工序的次品率分別是序的次品率分別是2%、3%、5%.假定各道工序是互不影假定各道工序是互不影響的響的,問加工出來的零件的次品率是多少？問加工出來的零件的次品率是多少？ .,2;, 2 , 1,1,21210021的一個劃分為樣本空間則稱若的一組事件為的樣本空間為試驗設定義nnjinAAAAAAnjiAAEAAAE1. 樣本空間的劃分樣本空間的劃分1A2A3AnA1nA5.4 全概率公式全概率公式2. 全概率公全概率公