智能控制原理第6章

1、第二節(jié)第二節(jié) 模糊集合模糊集合。,01Ax x Rx )(xAAxAxxA01)(AxAxAxxA0)1 , 0(1)(的程度屬于)(xA)(xAiixxxA/2211),( ,),(),(2211iixxxA12,nAxxAA/ )(AAuCA學習差學習好01)(,0.850.95,0.90A 100/)(xxA121025( )251251005xY xxx0,100X 02040608010012000.10.20.30.40.50.60.70.80.91X YearsDegree of membership0)(uAA1)(uEAA)()(uuBABA)(1)(uuAAAA2 . 08

2、 . 01)(0uA0u8 . 0)(0uA0u)()(uuABAB)()()(),(max()(uuuuuBABABABA)()()(),(min()(uuuuuBABABABAAABABABABA43215 .08 .02 .09 .0uuuuA43216 .04 .01 .03 .0uuuuB43216 . 08 . 02 . 09 . 0uuuuBA43215 .04 .01 .03 .0uuuuBA1)()(uuAA0)()(uuAA4 .0)(uA6 . 04 . 01)(uA16 . 06 . 04 . 0)()(uuAA04 . 06 . 04 . 0)()(uuAA)(),(

3、)(xxMinxBAc)()()(xxxBAc1)()(, 0)(xxMaxxBAc)(),()(xxMaxxBAc)()()()()(xxxxxBABAc)()(, 1)(xxMinxBAc)(1 ()(1 (1)()()(1xxxxxBABAc)()()(xxxBAc)()()()()(xxxxxBABAc第三節(jié)第三節(jié) 隸屬函數(shù)隸屬函數(shù)222)(),(cxecxfc), gaussmf(x,01234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.91trimf,P=3 6 8bacxcbaxf211),(c)b,a,gbellmf(x,01234567891000.1

4、0.20.30.40.50.60.70.80.91trimf,P=2 4 6)(11),(cxaecaxf01234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.91trimf,P=2 4dxdxccdxdcxbbxaabaxaxdcbaxf010),(trapmf(x,a,b,c,d)01234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.91trimf,P=1 5 7 8cxcxbbcxcbxaabaxaxcbaxf00),(c)b,a,trimf(x,01234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.91trimf,

5、P=3 6 8b)a,zmf(x,01234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.91trimf,P=3 7010203040506070809010000.20.40.60.81gradeDegree of membershipEDCBANAu試驗總次數(shù)的次數(shù)00u第四節(jié)第四節(jié) 模糊關(guān)系模糊關(guān)系1.模糊關(guān)系的定義所謂A，B兩集合的直積中的一個模糊關(guān)系R，是指以為論域的一個模糊子集，序偶 的隸屬度為一般地，若論域為n個集合的直積 ，則它所對應的是n元模糊關(guān)系R，其隸屬度函數(shù)為n個變量的函數(shù) 。顯然當隸屬度函數(shù)值只取“0”或“1”時，模糊關(guān)系就退化為普通關(guān)系。BbA

6、abaBA,),(BA),(ba。),(baRnAAA21),(21nRaaa例26設(shè)有七種物品：蘋果、乒乓球、書、籃球、花，桃、菱形組成的一個論域U，并設(shè) 為這些物品的代號，則。現(xiàn)在就物品兩兩之間的相似程度來確定它們的模糊關(guān)系。 假設(shè)物品之間完全相似者為“1”、完全不相似者為“0”，其余按具體相似程度給出一個01之間的數(shù)，就可確定出一個U上的模糊關(guān)系R，列表如下721,xxx721,xxxUR蘋果x1乒乓球x2書x3籃球x4花x5桃x6菱形x7蘋果x11.00.700.70.50.60乒乓球x20.71.000.90.40.50書x3001.00000.1籃球x40.70.901.00.40

7、.50花x50.50.400.41.00.40桃x60.60.500.50.41.00菱形x7000.10001.0 功功課課 姓姓名名英英語語數(shù)數(shù)學學物物理理化化學學張三70908065李四90857670王五50958580100)(uu 功功課課 姓姓名名英英語語數(shù)數(shù)學學物物理理化化學學張三0.700.900.800.65李四0.900.850.760.70王五0.500.950.850.8080.085.095.050.070.076.085.090.065.080.090.070.0R)(ijaA )(ijbB nji, 2 , 1,（1）相等若ijijba ，則A=B。（2）包含若

8、ijijba ，則AB。例例3-10 設(shè)9 . 03 . 01 . 07 . 0A1 . 02 . 09 . 04 . 0B（3）并運算若ijijijbac，則)(ijcC為A和B的并，記為C=AB。（4）交運算若ijijijbac，則)(ijcC為A和B的交，記為C=AB。（5）補運算若ijijac1，則)(ijcC為A的補，記為C=A。9 . 03 . 09 . 07 . 01 . 09 . 02 . 03 . 09 . 01 . 04 . 07 . 0BA1 . 02 . 01 . 04 . 01 . 09 . 02 . 03 . 09 . 01 . 04 . 07 . 0BA1 . 0

9、7 . 09 . 03 . 09 . 013 . 011 . 017 . 01An對于有些系統(tǒng)，只依賴單一的條件、結(jié)合推理是不夠的。因此存在多重推理現(xiàn)象，如IF A THEN B, IF B THEN C這樣一類控制規(guī)則，其控制輸出變量是C，那么，人們不禁要問，A和C之間是否存在某種定量的關(guān)系呢？答案是肯定的。尋求這種關(guān)系的方法就是模糊關(guān)系的合成。對于普通關(guān)系也存在關(guān)系合成計算。如A和B是父子關(guān)系，B和C是夫妻關(guān)系，則A和C就會形成一種新的關(guān)系，即公媳父子 夫妻。推廣到模糊概念域，模糊關(guān)系也存在關(guān)系的合成，其合成的方法是通過模糊關(guān)系矩陣來進行的。kjikkijbac例例 3-11 設(shè)， ，22

10、211211aaaaA22211211bbbbB22211211ccccBAC)b(a)ba (c2112111111)b(a)ba (c2212121112)b(a)ba (c2122112121)b(a)ba (c2222122122當3 . 05 . 07 . 08 . 0A，9 . 06 . 04 . 02 . 0B時，有 4 . 03 . 07 . 06 . 0BA 6 . 06 . 03 . 04 . 0AB 可見，ABBA。 n例28某家中子女與父母的長像相似關(guān)系R為模糊關(guān)系，可表示為R父母子0.20.8女0.60.11.06.08.02.0RS祖父祖母父0.50.7母0.100

11、1 . 07 . 05 . 0Sn那么，在該家中孫子、孫女與祖父、祖母的相似程度應該如何呢？模糊關(guān)系的合成運算就是為了解決諸如此類問題而提出來的?，F(xiàn)在先給出問題的結(jié)果再來明確其定義。針對此例，一個簡單的模糊關(guān)系合成運算為6 , 05 , 02 , 02 , 0)01 . 0()7 . 06 . 0() 1 . 01 . 0()5 . 06 . 0()08 . 0()7 . 02 . 0() 1 . 08 . 0()5 . 02 . 0(01 . 07 . 05 . 01 . 06 . 08 . 02 , 0 SR第五節(jié)第五節(jié) 模糊推理模糊推理二、模糊推理 以往我們接觸到的常規(guī)的邏輯推理方法如演

12、繹推理，歸納推理都是嚴格的。 除此這些確定性推理之外尚存在著一些不確定性推理，目前己知的主要不確定性推理方法可歸結(jié)為四類：MYCIN法、主觀悲葉斯方法、證據(jù)理論法和模糊邏輯推理法。我們在此只介紹模糊邏輯推理法，模糊邏輯推理是不確定性推理方法的一種，其基礎(chǔ)是模糊邏輯，它是在二值邏輯三段論的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。雖然它的數(shù)學基礎(chǔ)沒有形式邏輯那么嚴密，但用這種推理方法得到的結(jié)論與人類的思維推理結(jié)論是一致或相近的。并在實際使用中得到 了驗證，因此模糊邏輯推理方法己經(jīng)受到 了廣泛的重視。模糊邏輯推理是以模糊判斷為前提的，運用模糊語言規(guī)則，可推出一個新的模糊判斷結(jié)論的方法，例 大前提：腿長則跑步快 小前提：小

13、王腿很長 結(jié)論：小王跑步很快它屬于近似于二值邏輯的三段論推理模式。還是“腿長”和“跑步快”都是模糊概念，而且小前提的模糊判斷和大前提的前件不是嚴格相同的。因此這一推理的結(jié)論也不是從前提中嚴格地推出來的而是近似于邏輯地推出的結(jié)論。通稱為假言推理或是似然推理。判斷是否屬于模糊邏輯推理的標準是看推理過程是否具有模糊性，具體表現(xiàn)為推理規(guī)則是不是模糊的。從條件變量的多少、模糊規(guī)則多少的角度來劃分，模糊規(guī)則推理方法又可以分為以下四種模糊推理規(guī)則。 四種規(guī)則都 可選用不同的推理方法等。 1、近似推理 在控制系統(tǒng)中經(jīng)常存在此類現(xiàn)象，“如果溫度低，則控制電壓就增大”這樣一個前提下，要問“如果溫度很低，則控制電壓

14、將是多少呢？很自然用人們的常識可以推知，“如果溫度很低，則控制電壓就很大”，這種推理方式就稱為模糊近似推理。這種推理方式可以這樣來表達。 前提1：如果是A，則是Bxy 前提2：如果是A 結(jié) 論： 是 。（AB）即結(jié)論可用 與由A到B的推理關(guān)系進行合成而得到,由于A到B模糊關(guān)系矩陣R,利用R可以得到近似推理的隸屬度函數(shù).根據(jù)不同的推理方法可以得到模糊關(guān)系矩陣元素的不同計算方法，主要有扎德（Zadeh)推理法那么其隸屬度函數(shù)為瑪達尼（Mamdani)推理法 那么其隸屬度函數(shù)為BxyB A),(yxBA()()(1)RABABA )(1)()(),(xyxyxABABA()RABA B),()()(

15、),(minyxyxyxRBABA1.模糊取式: 2.模糊拒式:例2-12設(shè)論域 XY1, 2, 3, 4, 5X、Y上的模糊子集“大”、“小”、“較小”分別定義為： “大”0.4 / 3 + 0.7 / 4 + 1 / 5 “小”1 / 1 + 0.7 / 2 + 0.3 / 3 “較小”1 / 1 + 0.6 / 2 + 0.4 / 3 + 0.2 / 4己知：規(guī)則若小，則大問題：當較小時，？解己知 且 由扎德（Zadeh) 推理法xyxy;17 . 04 . 000)(,003 . 07 . 01)yx大小（02 . 04 . 06 . 01)(x較小)1)(),xyxyx（小大小大小也

16、可以得到其關(guān)系矩陣選擇扎德推理法，因此，可得較小時的推理結(jié)果zdRmin000.40.71000.40.710.30.30.40.70.7000.40.70.70.70.70.70.70.7000.30.30.311111000001111100000zdRRzdRyy)（較小較大000.40.710.30.30.40.70.710.60.40.200.4 0.4 0.4 0.7 10.70.70.70.70.71111111111 ， ， ， ，x5/14/7 . 03/4 . 02/4 . 01/4 . 0)y（較大從中可以看出，扎德推理的結(jié)果與人們的思維是一致的。同樣，由瑪達尼推理法也可

17、得從上例可以看出，在近似推理中，扎德推理比瑪達尼推理法更符合人們的思維。2.模糊條件推理語言規(guī)則是：如果是A，則是B，否則是C。其邏輯表達式為：。要實現(xiàn)模糊推理的關(guān)鍵是找出模糊關(guān)系矩陣，根據(jù)邏輯表達式，其模糊關(guān)系R是XY的子集，可以表示為有了這個模糊關(guān)系矩陣，就可根據(jù)模糊推理合成規(guī)則，將輸入與該關(guān)系矩陣R進行合成得到模糊推理結(jié)論，即例2-13對于一個系統(tǒng)，當輸入A時，輸出為B，否則為C，5/14/7 . 03/4 . 0)y（較大xyy)()(CABA)()(CABAR )402 ()()(1 ()()(),(yxyxyxCABACABAR AB)()(CABAARAB且有己知當前輸入。求輸出

18、D。解先求關(guān)系矩陣R因為。由瑪達尼推理法得則321321321/7 . 0/6 . 0/5 . 0/2 . 0/5 . 0/8 . 0/1 . 0/4 . 0/1vvvCvvvBuuuA321/4 . 0/1/2 . 0uuuA)()(CABAR7 . 06 . 05 . 06 . 06 . 05 . 0000,1 . 01 . 01 . 02 . 04 . 04 . 02 . 05 . 08 . 0CABA7 . 06 . 05 . 06 . 06 . 05 . 02 . 05 . 08 . 0)()(CABAR輸出即。3.多輸入模糊推理多輸入模糊推理在多輸入單輸出系統(tǒng)的設(shè)計中經(jīng)常遇到，如在

19、速度設(shè)定值控制系統(tǒng)中，“速度誤差較大且速度誤差的變化量也較大，那么加大輸入控制電壓”這樣一類規(guī)則就需要用多輸入模糊推理方式來解決。這種規(guī)則的一般形式為前提1：如果A且B，那么C前提2：現(xiàn)在是且結(jié)論：因為如果A且B，那么C的數(shù)學表達式是，其模糊關(guān)系矩陣若用瑪達尼推理，則模糊關(guān)系矩陣的計算就變成6 . 06 . 05 . 07 . 06 . 05 . 06 . 06 . 05 . 02 . 05 . 08 . 04 . 012 . 0RAD321/6 . 0/6 . 0/5 . 0vvvDABCBANDABANDAC)() ()()(),(yxyxBABANDA)()()(zyxCBACABR)(

20、)()(zyxCBA 如果各語言變量的論域是有限集時，即模糊子集的隸屬度函數(shù)是離散的，則模糊邏輯推理過程可以用模糊關(guān)系矩陣的運算來描述。下面以一類模糊控制器為例來說明離散模糊子集下的模糊邏輯推理。已知當A和B時，輸出為C，即存在推理規(guī)則IF A AND B , THEN C求當和，控制輸出應該多少時可以采取以下步驟1）先求令得矩陣為2）將寫成列矢量即3）求出關(guān)系矩陣R，（2-43）4）由， （2-44）5）仿照2），將化為列矢量 ABCBAD)()(yxdBAyxD)422(212222111211mnmmnndddddddddDDDTTmnmdddddDT，2111211CDTRDBA求出、

21、BADDDDT6）最后求出模糊推理輸出解)452(RDTC。則且假設(shè)例213212112 . 0,15 . 01 . 05 . 01142zzCyyyBxxA。求及現(xiàn)己知,02 . 05 . 01 . 08 . 032121CyyyBxxA5.05.01.015.01.0BAD5 . 02 . 05 . 02 . 01 . 01 . 012 . 05 . 02 . 01 . 01 . 012 . 05 . 05 . 01 . 015 . 01 . 0CDTR又因為所以即01 . 01 . 01 . 02 . 05 . 002 . 05 . 01 . 08 . 0BAD2 . 02 . 05 .

22、 02 . 05 . 02 . 01 . 01 . 012 . 05 . 02 . 01 . 01 . 001 . 01 . 002 . 05 . 0C212 . 02 . 0zzC瑪達尼推理削頂法：其隸屬度函數(shù)為是指模糊集合A與交集的高度?，斶_尼推理削頂法的幾何意義是分別求出對對的隸屬度，并且取這兩個之中小的一個作為總的模糊推理前件的隸屬度，再以此為基準去切割推理后件的隸屬度函數(shù)，便得到結(jié)論。推理過程如圖2-15。 ()() () ()CA AND BA AND BCAACBBC。) )()() )()()412 ()()()()()()()()()()()()()()()()()(yyax

23、xazaazazazyyzxxzyyzxxzBByBAAxACBACBCACBByCAAxCBByCAAxCa A ABA、BBAaa 、C圖2-15二輸入瑪達尼推理法過程ABCBaAaCaxyz000A ABBCC),min(BACaaa 4.多輸入多規(guī)則推理對于一個控制系統(tǒng)而言，一條模糊控制規(guī)則是不能滿足控制要求的。通常都有一系列控制規(guī)則來構(gòu)成一個完整的模糊控制系統(tǒng)。如（2-46）（2-47）對于這類系統(tǒng)如何進行推理運算呢？多輸入多規(guī)則推理方法就是為了解決此問題而提出來的。為了簡單起見，我們以二輸入多規(guī)則為例。它可以很容易推廣到多輸入多規(guī)則的情況?？紤]如下一般形式：mmMCTHENBAND

24、AIFCTHENBANDAIFCTHENBANDAIF,222111?, ,222111CBACBACBACBAnnn那么且己知那么且否則如果那么且否則如果那么且如果在這里，上的模糊集合。利用瑪達尼推理方法，規(guī)則如果，那么的模糊關(guān)系可以表示為“否則”的意義是“OR”即“或”，在推理計算過程中可以寫成并集形式。由此，推理結(jié)果為（2-49）其中，其隸屬度函數(shù)為Z、分別是不同論域和、和、和YXCCBBAAnnniiBA 且iC)482()()()(zyxCiBiAi) )( ,() (111nnnCBANDACBANDABANDACnCCCC,321iiiiCBANDABANDAC)() (niCB

25、BCAAiiii，21)()()()()()()()()(zyyzxxzCiBiByCiAiAxCi整個推理過程的意義為分別從不同的規(guī)則得到不同的結(jié)論，其幾何意義是分別在不同規(guī)則中用各自推理前件的總隸屬度去切割本推理規(guī)則中后件的隸屬度函數(shù)以得到輸出結(jié)果。最后對所有的結(jié)論進行模糊邏輯和，即進行“并”運算，得到總的推理結(jié)果。下面看一下二輸入二規(guī)則的推理方法。例2-15對于二輸入二規(guī)則的推理過程可以用圖2-16示意)()()()()()(zyyzxxCiBiByCiAiAx)502()()()(zaazazaCiBiAiCiBiCiAi圖2-16二輸入二規(guī)則的推理過程 AABC0 AB1A2A1B2

26、B1C2C1C總的推理結(jié)論2C00000CBAAaBaCaxyzzyxB這種推理方法是先在推理前件中選取各個條件中隸屬度最小的值（即“最不適配”的隸屬度）作為這條規(guī)則的適配程度，以得出這條規(guī)則的結(jié)論。這一過程簡稱為“取小”操作。然后對所有規(guī)則的結(jié)論部選取最大適配度的部分。這一過程稱為“取大”操作。這樣整個推理的最后結(jié)果為所有規(guī)則結(jié)論部的并集。這種推理方法簡單且實用，但其推理結(jié)果經(jīng)常不平滑。因此，也有人主張把從推理前件到后件削頂?shù)摹芭c”運算改為“代數(shù)積”，這就不是用推理前件的隸屬度函數(shù)為基準去切割推理后件的隸屬度函數(shù)，而是用該隸屬度去乘后件的隸屬度函數(shù)。這樣得到的推理結(jié)果就不再呈平臺梯形，而是原

27、隸屬度函數(shù)的等底縮小。這種處理結(jié)果最后經(jīng)對各規(guī)則結(jié)論的“并”運算后，總的推理結(jié)果的平滑性得到了改善。綜上分析，對于這樣多輸入多規(guī)則總的推理結(jié)果是將每一個推理規(guī)則的模糊關(guān)系矩陣進行“并”運算就可以，即對于以上式（2-46）（2-47）中的每一條推理規(guī)則，都可以得到相應的模糊關(guān)系矩陣。niCBARiiii,2,1,其中直積算子“”可取“極小”運算，也可取“代數(shù)積”運算。系統(tǒng)總的控制規(guī)則所對應的關(guān)系矩陣R通常采用并的算法求出，即五、模糊關(guān)系方程的解在模糊控制系統(tǒng)中，應用較多的“模糊條件語句”也是一種模糊推理，它的一般形式為若則，否則?？杀硎緸椋涸O(shè)是論域U上的模糊命題，對應U上的模糊子集為是論域V上的

28、模糊命題，分別對應V上的模糊子集B，C。則上述模糊條件語句就可以表示為一種模糊關(guān)系它是在UV上的一個模糊子集。其隸屬度函數(shù)為這也意味著在模糊系統(tǒng)中其輸入為A、輸出B，且存在模糊關(guān)系R滿足：模糊關(guān)系R實際上表示模糊系統(tǒng)的輸入輸nRRRR21bac)()(cabaaacbA,)()(CABAR)()(1()()(),(vuvuvuCABARRAB出之間的一種映射。當輸入為時，輸出。同時我們也注意到，以上提到的四種推理過程都是與模糊關(guān)系相對應的。模糊關(guān)系反映了模糊控制系統(tǒng)本質(zhì)的聯(lián)系。當論域UV為有限集時，模糊關(guān)系R就可以用模糊關(guān)系矩陣R來表示了。因此，研究模糊關(guān)系矩陣R的性質(zhì)、求解對模糊控制系統(tǒng)理論

29、有著重要的意義。與傳統(tǒng)的控制系統(tǒng)設(shè)計相對應的模糊系統(tǒng)設(shè)計也存在系統(tǒng)的建模和控制問題，對于有限域上的模糊關(guān)系R可以用模糊矩陣來表示，則模糊控制系統(tǒng)的建模和控制問題就轉(zhuǎn)化為模糊關(guān)系方程的求解問題了。建模辨識問題己知給定的A和B，求關(guān)系矩陣（2-51） 系統(tǒng)控制問題己知需控制的目標B和關(guān)系矩陣R，求控制輸入建模問題是正問題，系統(tǒng)控制問題屬于逆問題。因為對方程（2-52）兩邊取轉(zhuǎn)置可以將其轉(zhuǎn)化為方程（2-51）的形式，即，這樣待求解的關(guān)系矩陣 ARAB BRAR;)522(; BRAATTTTTBARBRA)(都在合成算子的右邊。因此我們只需討論模糊關(guān)系方程（2-51）的求解問題了。只要模糊關(guān)系方程（

30、2-51）可以求解，則模糊關(guān)系方程（2-52）也可以同理而解了。己知，分別為笛卡爾空間上的模糊關(guān)系矩陣，記則式（2-51）可用以下分塊矩陣的形式來表示因此方程（2-53）的求解問題可簡化為下面?zhèn)€簡單的模糊矩陣方程的求解問題了。展開方程（2-54）得（2-55）)(TAR 或)()()(WVFRWUFBVUFA、WVWUVU、nmjiaA)(snjismjirRBB)()(、TnjjjTnjjjjBBBRRRR),( ,),(2121)532(),(),(2121ssBBBRRRAs)542(,2,1sjBRAjjmnmnmmnnbbbrrraaaaaaaaa2121212222111211假設(shè)

31、合成算子取極小運算（min)，則為了解方程（2-55）需首先討論一元一次方程（2-56）和一元一次不等式方程：（2-57）的解。其中未知。顯然等式方程（2-56）的解為 (2-58) 式中，表示等式方程的解：不等式方程（2-57）的解為：式中，表示不等式方程的解?，F(xiàn)在再來考慮方程（2-55）的求解問題，由合成算子的計算法則可知。式（2-55）等價于下面的模糊線性方程組： baIFbaIFbbaIFbr1,brabra1,01,0rba且己知，、 r)592(1,0,0)(baIFbaIFbr)(r （2-60） 為了求模糊方程（2-60）的解集，先討論其中的第 個方程的解：顯然方程（2-61）可以分解為n個一元一次等式方程和個一元一次不等式方程：設(shè)式（2-62）中第個方程成立，則式（2-61）的一個解為其中表示第個等式方程的解；表示第個不等式方程的解。我們稱為方程（2-61）的部分解。若等式（2-62）中還有其它若干等式也成立，則式（2-61）存在全部解：imnmnmmnnnnbrararabrararabrarara)()()()()()()()()(22112222212111212111)612(,2, 1)()()(2211mibrararaininii)632()( ,)( ,)()622()( ,)( ,)(22112211ininiiiiini